马尔可夫定价算子的正特征函数：

然后我们选择一个新的起点并重复算法。详情见附录G。G二次向量方程。我们研究（F.10）形式的二次向量方程。我们从anM矩阵的定义开始（见Berman and Plemmons（1994））。定义G.1。如果矩阵a可以表示为a=sI- s>0和B的B≥ 0与≥ ρ（B），B的谱半径，那么A称为M矩阵。如果s>ρ（B），则A称为非奇异M矩阵。提案G.1。如果A是Z矩阵（即带有非正对角项的矩阵），则以下条件相当于A是M矩阵。如果x6=0，y=Ax，那么对于某些下标i，xi6=0，xiyi≥ 0.提案G.2。如果A是Z-矩阵，那么以下条件等价于非奇异M-矩阵：（i）A的每个特征值的实部为正。（ii）A-1存在和-1.≥ 0.（iii）如果≥ I+M表示M-矩阵M且>0。（iv）存在x≥ 使Ax>0。设F（x）=Mx- C-x和J（x）=M- d iag（x，…，xm）（雅可比矩阵）。我们考虑方程F（x）=0。解决方案x*被称为minimal，如果对于任何其他解x，我们必须有这个x*≤ x、 我们得到了以下结果。定理G.1。如果M是Z-矩阵，那么：（i）F（x）=0有一个解i F，并且仅当存在向量y，使得F（y）≥ 如果F（x）=0至少有一个解，则存在一个最小解x*. Fu rthermore，J（x）*) 是anM矩阵。（iii）如果F（x）=0有一个最小解x*, 然后从任何x<x开始*牛顿迭代法（xk）k≥0solvingJ（xk）（xk+1- xk）=-F（xk）（G.1）单调收敛于x*, x<x<…<十、*.（iv）如果存在向量y，则F（y）≥ 0，然后是最小解x*≤ y、 （v）如果存在一个向量y，使得F（y）>0，那么F（x）=0有一个最小解x*< y、 此外，J（x）*) 是一个非奇异M矩阵。证据

（i） 设ξ+θ=x，其中θ是一个非正常数向量。将其代入f（x）=0，我们得到：[M- diag（θ，…，θm）]ξ=[c+θ- Mθ]+ξ。我们可以选择θk=-s、 所以我-diag（θ，…，θm）=sI+m。通过定义G.1和命题。2（iii），我们可以选择足够大的- diag（θ，…，θm）是一个非单m-矩阵。此外，由于c+θ-Mθ是四次有理且严格凸的，我们可以选择足够大的s，使c+θ-Mθ>0。最后，F（x）=0的解的数量是有限的，因此，如果s很大，则F（x）=0的每个解x满足x>θ。我们选择满足上述所有属性的s。现在，让我们定义M=M-diag（θ，…，θm），~c=c+θ-Mθ，~F（ξ）=~Mξ-~c-ξ.~J（ξ）=~M-diag（ξ，…，ξm）。那么F（x）=0相当于Mξ=~c+ξ，（G.2），其中M是一个非奇异的M-矩阵和c≥ 所以它只能有严格的正解。根据Poloni（2011）的引理3.4，当且仅当存在向量时，等式（G.2）具有正解≥ 0，使得F（y）≥ 假设存在一个向量y，使得F（y）≥ 当ξ+θ=x时，我们可以选择θ<y和η=y- θ>0，使得/F（η）≥ 这意味着eq。（G.2）（因此F（x）=0）有一个解。相反，如果F（x）=0有一个解，则存在这样的解：F（y）≥ 这证明了（我）。（ii）当ξ+θ=x时，由于∧J（ξ）=J（x），因此（ii）遵循Poloni（2011）的定理3.1和3.2。（iii）选择x<x*. 我们通过归纳证明xk<x*. 对于k=0，x<x*, 所以基本步骤是成立的。假设xk<x*. 自J（x）*) 是一个M-矩阵且xk<x*, 根据命题G.2（iii）和（ii），J（xk）=M- diag（xk，…，xkm）是一个非奇异的M-矩阵和（J（xk））-1.≥ 0.因此，牛顿的迭代得到了很好的定义。

为了显示单调性，我们首先注意到，对于每个kJ（xk）（x*- xk）+F（xk）=（x*-xk）>0。自（J（xk））-1.≥ 这意味着0-（J（xk））-1F（xk）<x*-xk，这意味着xk+1<x*对于每个k，这就完成了归纳。通过牛顿迭代（G.1），F（xk）=-（xk）- xk-1)≤ 0代表所有k≥ 1.我们已经展示了（J（xk））-1.≥ 因此，通过（G.1），我们得到xk+1≥ XK适用于所有k≥ 1.这意味着xkis是一个单调序列，其上以x为界*, 因此，它必须趋同。将其极限表示为x∞≤ 十、*. 然后取等式（G.1）中的极限，我们得到F（x）∞) = 0，也就是x∞是方程F（x）=0的解。通过最小解的定义，x∞= 十、*.（iv）选择x小于x的x*, x<y，并将其作为牛顿迭代的起点。正如在上一个陈述的证明中，我们可以通过归纳证明xk<y，然后取极限（iv）。（v） 通过（i）和（ii），我们知道F（x）=0有一个最小解x*. 考虑另一个二次向量方程F（x）=Mx- \'c-其中，c=c+F（y）（请注意，y在假设中给出，并且是固定的）。因为F（y）=0，同样通过（i）和（ii），我们知道F（y）=0有一个最小解x*≤ y、 自F（`x*) =\'F（\'x*) + F（y）=F（y）>0，乘以（iv）最小解x*F（x）=0*≤ \'x*. 设ξ=x*- 十、*≥ 0.我们可以验证j（x）*)ξ=F（y）+ξ>0。自J（x）*) 是一个Z-矩阵，由命题G.2（iv），J（x）*) 是非奇异M矩阵。自J（x）*) isZ矩阵，ξ≥ 0和J（x）*)ξ>0，我们看到ξ>0。因此x*< \'x*≤ Y二次项结构模型中的回归本征函数本节研究二次项结构模型中的回归本征函数（Beaglehole and Tenney（1992），Constantinides（1992），Rogers（1997），Ahn et al.（2002），an d Chen et al.（2004））。

假设x是在Q:dXt=（b+BXt）dt+ρdBQt下求解SDE的d维OU过程，其中b是d维向量，b是d×d矩阵，ρ是非奇异d×d矩阵，因此扩散矩阵a=ρ是严格的正定义。短速率函数取ber（x）=γ+δx+xΦx，其中常数γ、向量δ和对称正半有限矩阵Φ被视为所有x的短速率均为非负∈ Rd.如果Φ是严格正定义，则QTSM满足理论5中的充分条件。3（自r（x）起）→ ∞ 作为kxk→ ∞), 这里有一个唯一的循环本征函数。如果Φ是半正定的，这种情况通常超出定理5.3中的有效条件，但仍然可能存在唯一的递归特征函数。下面我们将建立一个有效的条件。我们假设Φ不为零（如果为零，则模型简化为只有OU因子且没有CIR因子的有效模型，并在最后一节中介绍）。考虑一个指数二次函数fu，V（x）：=e-U十、-十、vx，其中向量u和对称正半有限矩阵V是x+xVx≥ c代表所有x∈ Rd和一些实常数c。然后，以下公式成立（参见Chen等人的定理3.6）。

（2004）：EQxhe-RTr（Xs）dsfu，V（XT）i=e-l（T，u，V）-m（T，u，V）十、-十、N（T，u，V）x，（H.1），其中标量l，向量m和对称矩阵N满足Riccati方程（tr（·）表示矩阵轨迹）：tl（t，u，V）=F（m（t，u，V），N（t，u，V）），l（0，u，V）=0，tm（t，u，V）=R（m（t，u，V），N（t，u，V）），m（0，u，V）=u，tN（t，u，V）=t（m（t，u，V），N（t，u，V）），N（0，u，V）=V，（H.2）带F（m，N）=-Mam+tr（aN）+mb+γ，R（m，N）=-2Nam+Bm+2Nb+δ和t（m，N）=-2南+BN+NB+Φ。我们寻找指数二次型fu，V（x）：Ehe的定价算子的正本征函数π（x）-RTtr（Xs）ds+λTfu，V（Xt）i=fu，V（x）。使用Eqs。（H.1）和（H.2），我们发现矩阵V满足所谓的连续时间代数ICCATI方程（CTARE）（此类方程在随机控制文献中得到了很好的研究，参见Lancaster和Rodman（1995））2V aV- B五、- V B- Φ = 0.给定CTARE解V，向量u满足线性方程2v au- BU- 2V b- δ = 0.给定解u和V，特征值为λ=γ-Uau+tr（aV）+ub、 首先假设Φ为正定义（这是罗杰斯（1997）的例子3.2所考虑的情况）。然后根据CTARE理论，存在唯一解V，使得矩阵B的所有特征值- 2aV有负实部。标准数值算法可用于确定数值解，包括在Matlab中。自从矩阵B- 2aV是奇异的n，e也是u的唯一解。然后我们有一个正的Q-鞅Mπt=e-Rtr（Xs）ds+λtfu，V（Xt）/fu，V（X）可以定义一个新的度量Qπ。通过它的^o公式，我们得到了∧Mπt=-~Mπt∧（Xt）dBQt，其中∧（Xt）=ρ(-U- 2V Xt）。根据Girsanov定理，BQπt=BQt-Rt∧（Xs）ds是Qπ下的标准布朗运动。

因此，在QπdXt=（b- au+（B）- 2aV）Xt）dt+ρdBQπt.因为矩阵B的特征值-2aV有非负实部，X是平均混响tin g，因此，循环和er Qπ（参见附录F）。因此π=fu，相对于唯一的循环本征函数。现在考虑Φ仅为正半定义的情况。根据CTARE理论（参见Lancaster和Rodman（1995）第234页），如果, Φ）是可稳定的，其中B是风险中性测度Q下OU过程漂移中的矩阵，则存在CTARE的唯一正半有限解V，矩阵的所有特征值- 2aV具有严格的负实部（该解可通过标准数值算法在数值上找到）。因此，在这种情况下，X是Qπ下的均值回复，对应于这个解（u，V），π=fu，相对于递归本征函数。I JumpsLi等人（2015）提出的CIR过程的重现性，获得了JCIR过程的过渡密度的分析表示。从eir结果可以看出，JCIR过程具有正密度。因此，它与勒贝格测度是不可约的。另一方面，我们知道跳跃微分过程具有Feller性质（参见Duffee等人（2003）定理2.7）。根据定理3.2（ii）→（iii）在S chilling（1998）中，其转换半群将有界连续函数映射为有界连续函数。根据Tweedie（1994）的定理7.1，X是一个T模型。取任意点x∈ R+。根据Tweedie（1994）的定理4.1，X在定义B.3的意义上是递归的，当且仅当xis拓扑递归（当R（X，O）=∞ 适用于所有社区（x中的O）。根据Keller Restel and d Mijatovic（2012）的定理2.6，X在Qπ下有一个极限d分布，该极限分布也是一个平稳分布。

由于JCIR过程具有正的跃迁密度，因此很明显，它的平稳测度必须对x的每个开放邻域（实际上，每个集合都具有正的勒贝格测度）充电。因此很容易看出R（x，O）=∞ 对于x的O的所有社区，即x在拓扑上重复出现。因此，X在定义B.3（R1）的意义上是反复出现的。由于X相对于Lebesgue测度具有正的跃迁密度，因此满足假设B.1。因此，命题B.1 X在定义3的意义上也是反复出现的。1（R0）。参考文献-安和高。期限结构动力学的参数非线性模型。《金融研究评论》，12（4）：721-7621999。D-H.Ahn、R.F.Dittmar和A.R.Gallant。二次期限结构模型：理论与证据。《金融研究回顾》，15（1）：243–2882002。阿尔巴尼斯和库兹涅佐夫。统一三个波动率模型。《风险》，17（3）：94-982004年。C.Alb an ese、G.Campolieti、P.Carr和A.Lip ton。布莱克·斯科尔斯采用超几何方法。风险，14（12）：99-1032001。阿尔瓦雷斯和杰曼。用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977-2016年，2005年。W.O.Amerin、A.M.Hinz和D.B.Pearson。斯特姆·刘维尔理论。伯赫奥瑟，巴塞尔，2005年。F.奥德里诺、R.惠特马和M.路德维格。罗斯恢复定理的实证分析。SSRN提供，http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2433170, 2014.矩阵对（B）, Φ）是可稳定的当且仅当t存在矩阵K，使得矩阵B的所有特征值+ ΦK有负实部。J.Az\'ema、M.Kaplan Du fl o和D.Revuz。马尔可夫过程的重现性。亨利·庞卡研究所年鉴（B）《概率与统计》，2（3）：185-2201966年。J.Az\'ema、M.Kaplan Du fl o和D.Revuz。

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