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英文标题：
《Positive Eigenfunctions of Markovian Pricing Operators:
  Hansen-Scheinkman Factorization, Ross Recovery and Long-Term Pricing》
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作者：
Likuan Qin and Vadim Linetsky
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper develops a spectral theory of Markovian asset pricing models where the underlying economic uncertainty follows a continuous-time Markov process X with a general state space (Borel right process (BRP)) and the stochastic discount factor (SDF) is a positive semimartingale multiplicative functional of X. A key result is the uniqueness theorem for a positive eigenfunction of the pricing operator such that X is recurrent under a new probability measure associated with this eigenfunction (recurrent eigenfunction). As economic applications, we prove uniqueness of the Hansen and Scheinkman (2009) factorization of the Markovian SDF corresponding to the recurrent eigenfunction, extend the Recovery Theorem of Ross (2015) from discrete time, finite state irreducible Markov chains to recurrent BRPs, and obtain the long maturity asymptotics of the pricing operator. When an asset pricing model is specified by given risk-neutral probabilities together with a short rate function of the Markovian state, we give sufficient conditions for existence of a recurrent eigenfunction and provide explicit examples in a number of important financial models, including affine and quadratic diffusion models and an affine model with jumps. These examples show that the recurrence assumption, in addition to fixing uniqueness, rules out unstable economic dynamics, such as the short rate asymptotically going to infinity or to a zero lower bound trap without possibility of escaping.
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中文摘要：
本文发展了马尔可夫资产定价模型的谱理论，其中潜在的经济不确定性遵循具有一般状态空间的连续时间马尔可夫过程X（Borel right process（BRP）），随机贴现因子（SDF）是X的正半鞅乘性泛函。一个关键结果是定价的正特征函数的唯一性定理算子，使得X在与该特征函数（递归特征函数）相关的新概率测度下是递归的。作为经济应用，我们证明了与递归特征函数对应的马尔可夫SDF的Hansen和Scheinkman（2009）因子分解的唯一性，将Ross（2015）的恢复定理从离散时间、有限状态不可约马尔可夫链推广到了递归BRP，并获得了定价算子的长成熟渐近性。当一个资产定价模型由给定的风险中性概率和马尔可夫状态的短利率函数指定时，我们给出了一个循环特征函数存在的充分条件，并在一些重要的金融模型中给出了明确的例子，包括仿射和二次扩散模型以及带跳跃的仿射模型。这些例子表明，除了固定唯一性外，递归假设还排除了不稳定的经济动态，例如短期利率渐近地趋于无穷大或零下限陷阱，而不存在逃脱的可能性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Positive_Eigenfunctions_of_Markovian_Pricing_Operators:_Hansen-Scheinkman_Factor.pdf (726.37 KB)

2022-5-7 03:33:19 上传

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关键词：马尔可夫 特征函数 Mathematical Applications Quantitative

马尔可夫定价算子的正特征函数：Hansen-Scheinkman因子分解，Ross Recovery and Long Term PricingLikuan Qin+和Vadim Linetsky工业工程与管理科学系西南大学工程与应用科学学院摘要本文发展了马尔可夫资产定价模型的谱理论，其中潜在的经济不确定性遵循具有一般状态空间的连续时间马尔可夫过程X（Borel right process（BRP））和随机贴现因子（SDF）是X的一个正半鞅乘法泛函。一个关键的结果是pr icing算子的一个正函数的唯一性定理，使得X在与该特征函数（递归特征函数）相关的一个新的概率测度下是连续的。作为经济应用，我们证明了Hansen和Scheinkman（2009）将马尔可夫SDFcorres事实化为递归特征函数的唯一性，将Ross（2015）的恢复定理从离散时间、有限状态不可约马尔可夫链扩展到递归BRPs，并获得了定价算子的长成熟渐近性。当n资产定价模型由给定的风险中性概率和马尔可夫状态的短期利率函数描述时，我们给出了存在循环特征函数的充分条件，并在许多重要的金融模式中提供了明确的例子，包括一个有效和二次扩散模型以及带跳跃的一个有效模型。

这些例子表明，重复性假设除了具有唯一性外，还排除了不稳定的经济动态，例如短期利率渐进地接近于完整性或零下限陷阱，而不存在逃脱的可能性。1简介在没有套利的无摩擦市场中，将价格分配给不确定未来支付的定价关系是一个线性算子。特别是，如果所有不确定性都是由时间齐次马尔可夫过程X产生的，且随机贴现因子（也称为定价核）为正*作者们感谢彼得·卡尔（Peter Carr）引起他们对罗斯恢复定理的注意，并进行了大量富有启发性的讨论，感谢托本·安德森（Torben Andersen）、雅罗斯拉夫·博罗维卡（Jaroslav Borovicka）、彼得·卡尔（Peter Carr）、拉尔斯·彼得·汉森（Lars Peter Han sen）、斯蒂芬·罗斯（Stephen Ross）、约瑟申克曼（Joseschenkman）、维克多·托多罗夫（Viktor Todorov）、两位匿名。该研究部分得到了美国国家科学基金会CMMI 1536503的资助。+likuanqin2012@u.northwestern.edulinetsky@iems.northwestern.edumultiplicative在X的函数中，当支付被视为未来马尔可夫状态的函数时，按当前和未来支付日期之间的时间进行索引的定价算子形成一个算子半群，假设支付位于适当的函数空间中。关于马尔可夫定价半群的早期贡献包括Garman（1985）和Duffeeand Garman（1991）。Hansen和Scheinkman（2009）对金融经济学中的马尔可夫定价半群进行了全面研究。Linetsky（2004a）和Linetsky（2008）调查了金融工程中的一系列应用。如果用于模拟不确定性经济的马尔可夫过程属于对称马尔可夫过程（参见Chen和Fukushima（2011）以及Fukushima等人。

（2010）和一个将eself限制为平方可积支付的方法，因此定价算子在相应的Lspace中是对称的，一个可以利用谱定理f或Hilbert空间中的自伴随算子的力量来构造定价算子的谱分辨率。如果谱是纯离散的，我们可以得到方便的本征函数展开式，在本征函数的基础上展开平方可积的本征函数，这些本征函数是定价算子的本征函数。价格也在本征函数基础上展开。Davydov和Linetsky（2003）明确介绍了本征证券的概念，即具有本征支付的或有索赔。本征函数展开在金融领域的早期应用出现在Beaglehole和Ten ney（1992）中。波谱法在金融工程中对各种证券定价的应用可以在刘易斯（1998）、刘易斯（2000）、利普顿（2001）、阿尔巴尼斯等人（2001）、利普顿和麦基（2002）、达维多夫和L伊内茨基（2003）、阿尔巴尼斯和库兹涅佐夫（2004）、戈罗沃伊和莱恩茨基（2004）、莱恩茨基（2004a）、莱恩茨基（2004b）、莱恩茨基（2004c）、莱恩茨基（2006）中找到，Boyarchenko和Levendorskiy（2007）、Gorovoi和Linetsky（2007）、Mendoza Arriaga和Linetsky（2010）、Mendoza Arriaga和Linetsky（2011）、Fouque等（2011）、Lorig（2011）、Mendoza Arriaga和Linetsky（2014b）、Li和Linetsky（2013）、Mendoza Arriaga和Linetsky（2014a）、Li和Linetsky（2014）。在本文中，我们从以下几个方面偏离了这些文献。首先，我们没有对马尔可夫过程强加任何结构假设，只是假设它是一个Borel-rightprocess，这是一个最普遍的马尔可夫过程，可以作为无障碍经济的马尔可夫随机驱动力。特别是，我们不做任何对称性假设。此外，除Borel测量能力外，我们不限制支付空间。

另一方面，在本文中，我们只关注严格正本征函数，尤其是具有严格正本征收益的调查证券。我们对正本征函数的关注源于金融经济学的两个重要最新发展。首先，Hansen和Scheinkman（2009）介绍了马尔可夫随机贴现因子（SDF）的以下显著因子分解。如果π（x）是pricingoperatorPtf（x）的正本征函数：=EPx[Stf（Xt）]（1.1）用特征值e将时间t支付映射到时间零价格-λt对于某个实λ(-λ是定价半群的极小生成元中正确定义的初始值，即Ptπ（x）=e-λtπ（x），（1.2）然后SDF或定价核（PK）进行因式分解：St=e-λtπ（X）π（Xt）Mπt，其中Mπt=eλtπ（Xt）π（X）St（1.3）是Mπ=1的正鞅（我们的λ=-ρ见Hansen和Scheinkman（2009）第6节）。Hansen和Scheinkman（2009）使用Mπ引入了一个新的概率测度，我们称之为本征测度，并用Qπ表示它与本征函数π相关联。每个Qπ的特征是，与IgenFunctionπ相关联的本征安全性eλtπ（Xt）π（X）作为该度量下的计价资产（参见Geman等人（1995）中与计价变化对应的度量变化）。每个正本征函数都会导致这样的分解，所以通常我们有一组由所有正本征函数索引的本征测度（Qπ）π。Hansen和Scheinkman（2009）表明，在Qπ下对X的动力学施加一定的稳定性（遍历性）假设，会选出唯一的π（和Qπ），如果它存在的话。它们进一步给出了这种本征函数存在的充分条件。

此外在遍历性假设下，他们确定了SDF的相应因式分解，以及Alvarez和Jermann（2005）在离散时间内的长期因式分解，该分解将SDFinto贴现为渐进长期零息债券（长期债券）的收益率，并通过附加鞅成分完成进一步的风险调整。长期因素分解在金融经济学中具有核心意义，因为它将经济中的风险溢价明确分解为持有长期债券和额外风险收益所获得的风险溢价。特别是，这种长期风险分解在宏观金融中至关重要，宏观金融是金融经济学和宏观经济学交叉的学科。Hansen（2012年）、Hansen和Scheinkman（2012a）、Hansen和Scheinkman（2012b）、Hansen和Scheinkman（2014年）、Boroviˇcka和Hansen（2014年）、Boroviˇcka等人（2014年）和Qin和Linetsky（2014年）提供了理论发展，Bakshi和C habi Yo（2012年）提供了补充Alvarez和Jermann（2005年）原始实证结果的进一步实证证据。这些发展的数学基础是Perron-Frobenius型理论，该理论控制函数空间中某些正线性算子的正特征函数。启发本文的另一个密切相关的最新发展是罗斯的恢复定理（2015）。

罗斯提出了一个理论上有趣且实际重要的问题：在什么样的假设下，人们可以从观察到的期权市场价格所隐含的阿罗-德布鲁状态价格中唯一地恢复市场参与者对实物概率的信念？这种识别将引起金融研究人员和市场参与者的极大兴趣，因为它将为提取市场对物理概率的评估开辟道路，这些评估可纳入投资决策和风险管理供应情景。罗斯的生态展示定理为这个问题提供了以下答案。如果一个无套利、无摩擦的经济体中的所有不确定性都遵循一个有限状态、离散时间不可约马尔可夫链，并且定价核满足一个过渡独立的结构，那么Ross证明了物理概率从给定的Arrow-Debreu状态价格中存在唯一的恢复。Ross的证明关键在于建立不可约非负矩阵正特征向量存在唯一性的标定Perron-Frobenius定理。Ross（2014）还应用Krein-Rutman定理，将他的恢复结果推广到状态空间连续且定价核从上到下都由一个常数限定且远离零的情况。Carr和Yu（2012）观察到，Ross的恢复结果可以扩展到两端有规则边界的有界区间上的一维效应，通过观察这种微分的最小生成元是具有唯一正特征函数的规则Sturm-Liouville算子。然后，他们依靠常规的斯特姆-刘维尔理论来展示罗斯康复的独特性。他们还进一步深入了解了扩散环境下的恢复结果。Du bynskiy和Goldstein（2013）进一步探索了具有反射边界条件的一维扩散模型。

Walden（2013）研究了整个实线上1D差异的恢复，表明如果两个边界都不吸引，Ross的恢复是可能的，并用冯·诺依曼·摩根斯坦偏好研究了经典平衡环境下的恢复。Audrino等人（2014年）在有限状态空间的马尔可夫链框架下，开发了从期权价格中恢复的非参数估计程序，并对从标准普尔500指数期权数据中恢复的情况进行了实证分析。Hansen和Scheinkman（2014年）以及Boroviˇcka等人（2014年）指出，Ross对马尔可夫定价核的过渡独立性的假设相当于Hansen和Scheinkman（2009年）对鞅分量退化的特化，特别是等式中的Mπ=1。(1.3). 他们讨论了这个假设的经济局限性。特别是，他们证明，过渡独立性通常不适用于具有递归偏好和d/或非平稳消费的指令模型。他们进一步指出，如果定价核不是独立于转移的，那么通过佩龙-弗罗贝尼乌斯理论得到的不是物理概率测度，而是特征测度Qπ，在进一步的遍历性假设下，它与inAlvarez和Jermann（2005）以及Hansen和Scheinkman（2009）特征的长期前瞻测度一致。Martin和Ross（2013）在离散时间、遍历有限状态马尔可夫链环境中工作，也讨论了罗斯恢复概率测度和长前向测度的识别。

这是Qin和Linetsky（2014）在一般半鞅环境中进一步发展的。本文发展了马尔可夫定价算子的谱理论，作为该理论的应用，扩展和补充了Hansen和Scheinkman（2009）关于马尔可夫定价核因式分解的结果，并因此将Ross（2015）的恢复推广到具有一般状态空间的连续时间马尔可夫过程。本文的贡献和结构如下。第2节介绍了与Borel rightprocess（BRP）相关的马尔可夫定价算子的设置，这是一个状态空间上的马尔可夫过程，具有正确连续路径的Borel sigma代数，具有stron g Markov性质。在BRPs的框架下工作，使我们能够应用C,inlar等人（1980）关于在正确过程上定义的半鞅的随机演算的结果，并确保所有结果适用于状态空间中的所有初始状态（事实上，适用于所有初始分布）。BRP框架具有足够的通用性，可以涵盖连续时间金融中出现的所有马尔可夫过程，包括连续时间马尔可夫链、整个欧几里德空间中的差异，以及具有边界和规定边界行为的域中的差异，以及整个欧几里德空间或具有边界的域中的纯跳跃和跳跃差异过程。同时，由于C,inlar等人（1980年）关于马尔科夫过程的随机演算的结果，它本质上是最一般的马尔科夫过程，对无仲裁连续时间资产定价模型有意义。因此，我们选择马尔科夫经济中的随机驱动因素BRPA是基本的。本文的主要结果是第三节中关于马尔可夫定价算子的循环正函数的唯一性定理3.1。

我们证明了在相应的本征测度QπR（我们称这样的本征函数和相应的本征测度为递归）下，至多存在一个正的本征函数πR，如BRP是递归的。该定理是Perron-Frobeni-us定理的唯一性部分对与BRP s的正乘法泛函相关的Feynman-Kac型算子的扩展。该结果给出了马尔可夫s DF的当前Hansen-s cheinkman分解的唯一性，以及当前本征测度QπR的唯一性（定理3.2）。因此，在假设马尔可夫驱动因素是一个循环的Borelright过程，且SDF通过在这些假设下识别物理度量pw和循环特征度量Qπ而独立于转换的情况下，它立即产生了R oss恢复定理的唯一部分（定理3.3）。在额外的遍历性假设下，它进一步得到了马尔可夫先验算子的长成熟渐近性：Ptf（x）=cfe-λRtπR（x）+O（e）-（λR+α）t），其中常数Cf取决于payoff f（定理3.4），从而进一步补充了Hansen和Scheinkman（2009）的结果。在第4节中，我们进一步证明，如果我们假设瞬时无风险利率（短期利率）存在，那么它是唯一地从任何正特征函数和定价算子的相应特征值的知识中识别出来的。