长期风险：鞅方法

（2016）和克里斯滕森（2016a）。我们注意到，条件式（3.1）并不限制初始期限结构PT=EP[ST]随着成熟度T增加的渐近行为，而是限制PK的时间演化，以便初始期限结构PT的渐近行为随着时间的推移而保持，即对于每一个T>0，比率PTt/PT具有有限的正极限。接下来，我们证明，在假设等式（3.1）中加入的初始期限结构的渐近行为具有规律性的假设下，我们可以实现长期因子分解的一个更明确的特征，其中我们可以进一步分解长期债券B∞tinto指数因子eλ和半鞅πt将马氏环境中Hansen和Scheinkman（2009）的主特征函数推广到一般半鞅环境。为此，我们首先回顾缓慢变化函数的定义。可测函数L：（0，∞) → (0, ∞) 如果对于所有a>0，比率L（ax）/L（x）收敛为1，则称为缓慢变化（在单位）→ ∞. 如果每个a>0的极限都是一个有限的正数，但不一定等于一，则该函数称为规则变化函数（有关慢变函数的详细研究，请参见Bing-ham et al.（1989）。定理3.2。（长键的长期因式分解）假设定理3.1中的假设等式（3.1），此外还假设每个t>0 theratio PT-t/Pt有一个确切的限制→ ∞.

接下来的结果是：（i）存在一个常数λ，使得每个t>0limT→∞PT-此外，存在一个缓慢变化的函数L（x），使得pt=e-λtL（et），t≥ 0.（ii）对于所有t≥ 0，limT→∞- 日志PTtT- t=λ，（3.3），其中极限在局部等价于P的任何测度下的概率中。（iii）半鞅序列（πTt）t≥0由πTt定义为每个T>0:=PTt/PT-t为t≤ 当T>T时，T和πTt:=1收敛到半鞅拓扑中的正半鞅πtwithπ=1，即T→ ∞.（iv）长债券具有因子分解B∞t=eλtπt，因此定价核的长期因子分解readsSt=e-λtπtM∞T

（3.4）（v）正半鞅πtsatis fies:EPtSTStπT= E-λ（T）-t） πt（3.5）对所有0≤ t<t和limt→∞T- 对于所有T，tlog（ELt[1/πT]）=0（3.6）≥ 0，其中极限在任何测度下的概率为局部等价顶。该证明在附录A中给出，并依赖于Karamata关于规则变化函数的特征化定理，该定理表明任何规则变化函数都是形式x的o-λL（x）对于某些实常数λ和一个慢变函数L（x）。我们注意到，Alvarez和Jermann（2005）在离散时间中的原始长期特征，作为特例，通过将离散时间自适应过程嵌入到连续时间半鞅中，自然嵌套在定理3.1和3.2中。附录B提供了精确的结果。定理3.2表明，在正则性假设下，初始项结构的渐近行为要求大鼠io PT收敛-t/PT=EP[ST-t] /EP[ST]as t→ ∞ 对于每一个固定的t以及我们的假设等式（3.1），即项结构的渐近行为随时间保持不变，定价核拥有一个正半鞅πt，它直接扩展了与马尔可夫环境中Hansen和Scheinkman（2009）的主特征函数π（x）相关的过程π（Xt）（详情见第4节）。事实上，式（3.5）直接扩展了Hansen和Scheinkman（2009）以及Qin和Linetsky（2016）研究的本征函数问题（另见第4节）。式（3.6）表明，除去指数增长或衰减eλt后，长键倒数的L-平均值的增长率为零。因此，因子eλt实际上移除了所有的指数增长或衰减，以及我们的因式分解B∞t=eλtπ确实与定价核的长期行为研究密切相关。

相应的长期因式分解（3.4）重新定义了因式分解（3.2），是Hansen和Scheinkman（2009）的长期因式分解的半鞅对应物，与定价核的主要特征值相关，与长期行为密切相关（更多细节见第4节）。定理3.2中的等式（3.3）还暗示，长期因子分解中出现的λ是长期贴现率（长期渐近零息票债券收益率），与计算收益率时的时间t无关。这与Dybvig等人（1996年）的定理是一致的，他们断言长期零息票利率在更一般的情况下永远不可能实现。在我们的理论条件下。长期利率保持不变，而不仅仅是不下降。正如我们接下来所展示的，半鞅πt的性质等式（3.6）对于研究L下的长期风险收益交易非常重要。为此，我们考虑一个正半鞅现金流过程（Ct）≥0.从时间t到时间t收到现金流的持有期内的L-预期总收益在时间t为ELt[CT]/EPt[STCT]=ELt[CT]/ELt[CT/B∞T] 。在第四节Ain Boroviˇcka等人（2016）之后，我们还将L下的预期指数收益率定义如下：ρLt，T（CT）：=T- tlog英语教学[CT]英语教学[CT/B∞[T]= λ+T- tlogELt[CT]ELt[CT/πT]. （3.7）我们有下面的结果来描述渐近产量。定理3.3。（长期指数收益率）≥ 0存在正常量0<c<c<∞T′>0，几乎可以确定所有T>T′的lyc<ELt[CT]<c和c<ELt[CT/πT]/ELt[1/πT]<c。

那我们就有极限了→∞ρLt，T（CT）=λ，其中，如果存在0<c<c，则极限在任何局部等价于P.（ii）的度量下的概率中∞ 几乎可以肯定的是，对于所有T>T′，P下的预期指数收益率ρPt，T（CT）具有相同的符号极限λ。该证明基于（3.6）并在附录A中给出。定理3.3表明，只要现金流动过程的适当时刻CTremain有界为TinIncremes，现金流动的A指数收益率等于长期零息票收益率λ，无论现金流动过程的具体情况如何。定理3.3中满足有界矩假设的正现金流过程的一类例子是有界现金流，也有界于零以下。另一类重要的例子是形式为Ct=f（Xt）的现金流，其中Xt是满足L下适当稳定性假设的马尔可夫状态，以及满足适当力矩条件的支付函数（此类例子见Bo r oviˇcka et al.（2016））。如果P-mo也为零且远离零，那么λ也是P下的极限收益率，与现金流的结构无关。在其他领域，如Boroviˇcka等人（2016年）的马尔可夫环境中，适当的有界或固定现金流风险不会改变长期收益率。在此类现金流风险的概率测度P和L下，极限风险溢价均为零。我们注意到，对于λ=0的定价核，定理3.3中的极限结果随着极限指数收益率的消失而退化，因为在这种情况下，指数速率太快。特别是，考虑Pt=O（t）的情况-γ） （参见Brody和Hughston（2016）的社会折扣模型）。在这种情况下，我们对发电量有一个类似的限制结果。

将预期发电量定义如下：Lt，T（CT）：=log（T- t） 日志英语教学[CT]英语教学[CT/B∞[T]同样，在P定理3.4下。（长期发电量）（i）假设定理3的假设。2保持，Pt=O（t-γ） 作为t→ ∞. 进一步支持一些t≥ 0存在0<c<c<∞ T′>0，几乎可以肯定，对于所有T>T′，c<ELt[CT]<c和c<ELt[CT/πT]/ELt[1/πT]<c。那我们就有极限了→∞Lt，T（CT）=γ，其中，如果存在0<c<c，则极限在任何度量下的概率局部等同于P.（ii）∞ 几乎可以肯定，对于所有的T>T′，c<EPt[CT]<cP下的预期发电量Pt，T（CT）具有相同的符号极限γ。定理3.3和3.4考虑了现金流过程中的时刻是有界的，因此排除了长期增长。继Hansen和Scheinkman（2009）和Bo roviˇcka等人（2016）第四节之后，我们现在考虑现金流，即在P，考虑一个正半鞅增长指数Gt（通过G=1标准化），在对通货膨胀指数债券进行建模时，可以将其解释为通货膨胀指数；在对股票进行建模时，可以将其解释为总股本股息增长。我们感兴趣的是随机增长的现金流GTL下的指数lyield，即ρLt，T（GT）=T- tlog英语教学[GT]ELt[GTBt/B∞[T]= λ+T- tlogEPt[STGTπTStπt]EPt[STGTSt]！。（3.8）在第二个等式中，我们使用关系M根据P-期望重写了L-期望∞如果将πwegtt视为内核中的λ，则可以将πwegtt视为内核中的λ。更一般地说，STGT被解释为增长指数的内核。如果我们假设STGT也满足定理3.1和定理3.2中的条件，即。

f对于每个t>0 EPt[STGT]/EP[STGT]收敛到last中的正随机变量→ ∞ 和EP[ST-tGT-t] /EP[STGT]收敛到一个正有限极限，然后我们得到增长指数的长期因式分解-λGtπGtMG，∞t、 MG，∞这是一个鞅，可以用来定义一个新的概率度量（长向增长度量）G | Ft=MG，∞tP | Fton each Ft.然后，我们得到了以下结果，与在波罗维·奇卡等人（2016）在马尔可夫环境下制定的长期风险回报交易结果平行。定理3.5。（L下的长期风险收益率交易）假设定价核和增长指数定价核都满足OREM 3.2中的条件。进一步假设，对于一些t≥ 存在常数0<c<c<∞ T′>0，几乎可以肯定，对于所有T>T′，c<EGt[πT/πGT]EGt[1/πGT]<c。特林姆→∞ρLt，T（GT）=λ，（3.9），其中，在局部相当于P的任何度量下，极限概率为。该结果表明，在适当的时刻条件下，长期远期度量L下的极限收益率保持不变，并等于纯贴现债券的长期收益率，即使我们在现金流中引入随机增长。因此，即使现金流呈现随机增长，在L下，现金流的长期风险溢价也会消失。显然，这一结论在P下发生了改变，在P下，不断增长的现金流GT的极限收益率不再等于λ。这一结果有助于将长期远期指标解释为长期风险中性。

因此，定理3.5将Bor oviˇcka等人（2016）第IV.B节中的结果从马尔可夫设置扩展到了我们的一般半鞅设置。4马尔可夫环境本文的重点是展示Hansen和Scheinkman（2009）在马尔可夫环境中基于马尔可夫定价算子正特征函数的Perron-Frobenius理论的结果是如何在定理3.1和3.2的背景下自然产生的。我们现在假设，潜在的过滤是由马尔可夫过程X生成的，PK是X的正乘法函数。更准确地说，所有经济不确定性的随机驱动因素被假设为保守的右过程（BRP）X=(Ohm, F，（Ft）t≥0，（Xt）t≥0，（Px）x∈E） 。BRP是一个连续时间、时间齐次的马尔可夫过程，取值于某个度量空间的Borel子集E（因此E配备了Borel sigma代数E；在应用中，我们可以将E视为欧氏空间Rd的Borel子集），具有正确的连续路径和Strong Markov特性（即，扩展到停止时间的马尔可夫特性）。概率测度px控制进程（Xt）t的行为≥0从X=X开始时∈ E在时间零点。如果过程从概率分布u开始，则相应的度量值用Pu表示。关于ω的一种表述∈ Ohm 如果这是真的，那么几乎可以肯定Px对allx来说几乎可以肯定∈ E.过滤（Ft）t≥在我们的模型中，0是由X的所有初始分布u的Pu-空集完成的X生成的过滤。它是正确连续的。假设X是保守的，即Px（Xt∈ E） 对于每个初始x=1∈ E和所有t≥ 0（无死亡或爆炸）。C,inlar等人。

（1980）证明了在BRP上定义的半鞅的随机演算可以被建立，使得所有关键性质对所有起始点x同时成立∈ E，在f法中，对于X的所有初始分布u，在第i部分中，a（Ft）t≥0-适应过程S是同时针对所有x的Px半鞅（局部鞅，鞅）∈ 事实上，对于所有的Pu。我们通常只写P，实际上，我们在处理测度族（Px）x∈相应地，我们简单地说，一个过程是一个P-半鞅（局部鞅，mart-ing-ale），这意味着它是一个Px半鞅（局部鞅，鞅）∈ E.在本节中，我们对定价核心做了一些额外的假设。假设4.1。（马氏核）PK（St）t≥假设0是X的正半鞅乘法泛函l，即St+τ（ω）=St（ω）Sτ（θt（ω）），其中θt：Ohm → Ohm 是移位算子（即Xτ（θt（ω））=Xt+τ（ω）），其左极限的过程假定为正-> 0，S被归一化，因此S=1，andEPx[St]<∞ 对于所有时间t>0和每个初始状态x∈ E.在假设4.1下，在时间t+τt时，支付f（Xt+τ）的时间t价格取决于当时的马尔可夫状态，可以写成以下形式：EP[St+τf（Xt+τ）/St | Ft]=EPXt[Sτf（Xτ）]=Pτf（Xt），（4.1），其中我们使用了X的马尔可夫性质和时间齐性以及S的乘法性质，并引入了一系列定价算子（Pt）t≥0:Ptf（x）：=EPx[Stf（Xt）]，其中EPxdenotes是关于Px的期望值。定价算子Pt将支付函数作为支付时间t的状态的函数映射为其在时间t为零时的现值，作为初始状态X=X的函数。假设定价算子Pt具有满足Ptπ（X）=e的正本征函数π-λtπ（x）对于某些λ∈ R和所有t>0和x∈ E

Hansen和Scheinkman（2009）的关键观点是，定价核允许因子分解ST=Mπte-λtπ（X）/π（Xt）（4.2）转化为与跃迁无关的乘法函数-λtπ（X）/π（Xt）和一个正鞅乘法泛函Mπt=Steλtπ（Xt）/X的π（X）。由于Mπtis是一个从1开始的正P-鞅，Hansen和Scheinkman（2009）定义了一个与特征函数π相关的新概率测度Qπ：Qπ| Ft=MπtP | Ft。定价算子可以表示为：Ptf（X）=e-λtπ（x）EQπx[f（Xt）/π（Xt）]，（4.3），其中EQπxis是关于eige n-测度Qπx的期望，x=x。我们的主要结果是，如果长前向测度L存在于马尔可夫环境中，那么，在一些正则性假设下，它必然与一个特征测度相一致。这个结果自然地将我们的定理3.1和定理3.2与Hansen和Scheinkman（2009）的马尔可夫先验算子的Perron-Frobenius理论联系在一起。具体地说，我们证明了在长期因子分解（3.4）的马尔可夫环境中，半鞅πt的形式为πt=π（Xt）π（X），其中π（X）是定价算子pte的正本征函数-λt.我们从观察结果开始，根据等式（4.1），在马尔可夫设置下，零息票bo和估值过程可以用马尔可夫状态写成，如下所示，PTt=（PT-t1）（Xt）=P（T- t、 Xt）f或0≤ T≤ 其中P（T，x）=EPx[St]是债券定价函数。我们还注意到，估值函数BTt（x）跟踪时间零点到时间零点的总收益，即在时间零点投资一个单位的纯贴现债券，并在第2节中进行滚动，现在取决于状态x=x。附录C中显示，当等式（3.1）在px下适用于每个x时∈E、 然后P（T- t、 对于每个x，Xt）/P（t，x）在px下以概率收敛。