长期风险：鞅方法

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英文标题：
《Long Term Risk: A Martingale Approach》
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作者：
Likuan Qin and Vadim Linetsky
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper extends the long-term factorization of the stochastic discount factor introduced and studied by Alvarez and Jermann (2005) in discretetime ergodic environments and by Hansen and Scheinkman (2009) and Hansen (2012) in Markovian environments to general semimartingale environments. The transitory component discounts at the stochastic rate of return on the long bond and is factorized into discounting at the long-term yield and a positive semimartingale that extends the principal eigenfunction of Hansen and Scheinkman (2009) to the semimartingale setting. The permanent component is a martingale that accomplishes a change of probabilities to the long forward measure, the limit of T-forward measures. The change of probabilities from the data generating to the long forward measure absorbs the long-term risk-return trade-off and interprets the latter as the long-term risk-neutral measure.
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中文摘要：
本文将Alvarez和Jermann（2005）在离散时间遍历环境中以及Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）在马尔可夫环境中引入和研究的随机折扣因子的长期因子分解推广到一般半鞅环境。短期成分按长期债券的随机收益率贴现，并被分解为按长期收益率贴现和正半鞅，该半鞅将Hansen和Scheinkman（2009）的主特征函数扩展到半鞅设置。永久分量是一个鞅，它实现了对长前向测度的概率变化，即T前向测度的极限。从数据生成到远期度量的概率变化吸收了长期风险收益权衡，并将后者解释为长期风险中性度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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2022-5-7 03:39:36 上传

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关键词：Environments Quantitative environment QUANTITATIV Internation

长期风险：鞅方法*Likuan Qin+和Vadim Linetsky西北大学工业工程与管理科学系，本文将Alvarez和Jermann（2005）在离散时间遍历环境中以及Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）在马尔可夫环境中引入和研究的随机折扣因子的长期分解推广到一般半鞅环境。在长期债券上，以随机收益率贴现的过渡成分被分解为长期收益率贴现和扩展Han sen和Scheinkman主特征函数的正半鞅*作者感谢拉尔斯·彼得·汉森（合编）和匿名推荐人提出的有助于改进论文的有说服力的评论和建议，感谢雅罗斯拉夫·博罗维卡、彼得卡尔、蒂莫西·克里斯滕森（讨论者）和何塞·舍因克曼激发讨论。本文基于国家科学基金会资助的CMMI-1536503研究。+likuanqin2012@u.northwestern.edulinetsky@iems.northwestern.edu（2009）到半鞅设置。永久分量是一个鞅，它实现了对长向前测度的概率变化，即T向前测度的极限。

从数据生成到远期度量的概率变化吸收了长期风险收益权衡，并将后者解释为长期风险中性度量。关键词：随机贴现因子，定价核，长期因子分解，长期债券，长期正向测度，长期风险中性测度，主特征函数。1引言继Alvarez和Jermann（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）之后，本文分解了无套利定价kernelSt=e-λtπtM∞t以长期贴现率λ（长期债券的收益率，一种在遥远的未来到期的纯贴现债券）贴现，一个描述长期债券净长期贴现率的总持有期收益率的过程πt，以及一个正的部分收益率M∞t这定义了一个长期的前瞻性措施。这一指标吸收了长期风险，即随机增长现金流的调整，就像风险中性指标吸收了短期或瞬时风险调整一样。与Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）的原始算子方法相比，我们描述长期利率定价的鞅方法不需要马尔可夫规范，而是基于一个限制程序，将长期远期测度构造为有限到期远期测度的限值（Jarrow（1987），Jamshidian（1989），Geman等人（1995年））随着成熟度的增加。长期贴现率λ和过程π皮重对应于Hansen和Scheinkman（2009）a和Hansen（201 2）的Perron-Frobenius特征值和特征函数。在马尔可夫经济体中，过程πt归结为马尔可夫状态的函数π（Xt），其中π（x）是具有特征值e的定价算子的Perron-Frobenius特征函数-Hansen和Scheinkman（2009）中的λtas。论文的结构如下。

定理3.1和定理3.2给出了我们长期极限表征的关键结果。定理3.3确定指数λ与有界矩现金流的长期收益率。定理3.4处理了λ=0的退化情况，并表明在这种情况下，虽然长期贴现是次指数的，但仍可以确定渐近功率收益率。定理3.5描述了长期远期措施下的长期风险回报交易。它表明，在适当的移动条件下，随机增长的现金流的限制长期收益率仍然等于长期远期措施下纯贴现债券的长期收益率，因为鞅分量a吸收了长期风险收益交易效应。因此，即使现金流呈现随机增长，在长期前瞻性指标下，现金流的长期风险溢价也会消失。这一结果导致将长期远期指标解释为长期风险中性指标，并扩展了Boroviˇcka等人（2016）相应的马尔可夫结果。第4节将我们的结果与Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen（2012）在马尔科夫环境中的算子设置联系起来。我们基于半鞅收敛的处理自然地统一了Alvarez和Jermann（2005）的离散时间特征，以及Hansen和Scheinkman（2009）、Hansen（2012）和Bo r oviˇcka等人（2016）在鞅理论框架下的马尔科夫特征，并揭示了长期因子分解是无套利资产定价模型的一个基本特征，而不是特殊假设的一部分，比如马尔可夫性质。这一特征增强了我们对另类投资范围内风险定价的理解。越来越多的相关文献包括Hansen（2012）、Hansen和Scheinkman（2012）、Hansen和Scheinkman（2014）、Boroviˇcka等人。

Bakshi and Chabi-Yo（2012）、Christensen（2016a）、Christensen（2016 b）、Qin and Linetsky（2016）和Qin等人（2016）。2半鞅定价核我们研究的是一个完整的过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）与过滤（Ft）t≥0满足正确连续性和完整性的通常条件。我们假设F是平凡的模P。过滤对不连续时间内的信息流动进行建模。条件期望E[·| Ft]写为Et[·]。所有随机变量都经过识别，几乎可以确定相等。在P-空集合外具有相同路径的随机过程在不另行通知的情况下被识别。惊人的过程（Xt）t≥据说0适合过滤（Ft）t≥0if Xtismeasurable关于所有FTT≥ 0.对于具有右连续左极限（RCLL）路径的实值过程X-表示其左极限的过程（X-)t=lims↑t>0和（X）的txt-):= X.半鞅是实值适应的RCLL过程X，可分解为form Xt=X+Mt+At，其中Mt是局部鞅（即存在一系列停止时间（Tn）n）≥1增加完整性，使每个停止的过程∧t是一个鞅），Atis是一个有限变化的过程（即其路径在每个有限时间间隔内都有有限的变化）。半鞅框架基本上涵盖了连续时间金融中使用的所有模型，包括具有随机波动性和跳跃的模型。此外，离散时间模型自然嵌入到连续时间纯跳跃半鞅中，在离散时间具有j个ump。

关于半鞅的更多细节，我们参考了Jacod和Shiryaev（2003）以及Protter（2003）。两个半鞅之间的Emery距离定义为：dPS（X，Y）=Xn≥1.-nsup |η|≤1EP1.∧η（X）- Y） +Znηsd（X- Y）s, （2.1）其中rtηsdxs表示可预测过程η关于半鞅X的随机积分，且上确界取所有可预测过程η，其界为|ηt |≤ 1.如果过程η相对于σ场是可测量的，则称其为可预测的Ohm 所有左连续进程生成的×R+。我们可以将Xt视为一项资产的价格，将ηtas视为交易策略（时间t时持有的资产X的单位数量）。然后，随机积分ηsdxs表示从交易策略到时间t的收益。交易策略的可预测性具有一种直觉，即代理人不能对同时发生的价格变化做出即时反应。也就是说，如果XT在跳的时候突然跳了起来，那么经纪人就不能在同一时间调整他的位置，以从跳中获利。赋予Emery度量的半鞅空间是一个完备拓扑向量空间（`Emery（1979）），相应的拓扑称为Emery半鞅拓扑。它有一种自然的经济解释。假设我们有两个资产价格过程，X=Y=1。为了简单起见，考虑一个有限的时间范围[0,1]和所有交易策略（多头或空头）头寸限制不超过一个单位。然后dPS（X，Y）根据交易这两种资产的最大可实现差异来测量这两种资产之间的距离。如果XnS-→ 十、 哪里-→ 表示半鞅拓扑中的收敛性，然后随着n的增加，xn将变得与此类交易策略中的收益X不可区分。

虽然Emery的距离取决于计算期望的概率测度，但Emery的半鞅收敛在局部等价测度变化下是不变的（Memin（1980）中的定理II.5）。我们假设不存在套利和交易摩擦，并且存在pricingkernel（PK）过程S=（St）t≥0满足以下假设。假设2.1。（半鞅定价核）定价核过程S是S=1，S的严格正半鞅-绝对是正面的，andEP[ST/ST]<∞ 尽管如此，T>T≥ 0.假设2.1在本文中有效，无需进一步提及。Foreach 0≤ T≤ T<∞ PK定义了一个定价运营商（Pt，T）0≤T≤t将时间Tpayo fff s Y（可测量的随机变量）映射到其时间t价格Pt，t（Y）（可测量的随机变量）：Pt，t（Y）=EPt[STY/St]，其中St/sti是从t到t的stoc HastcDiscount因子（SDF）。在指定了PK s之后，我们将对正半鞅的凸锥感兴趣，定义如下。定义2.1。（S定价的估值过程）左极限正过程为V的正半鞅-如果产品VTSTI是鞅，则称为估值过程。估值过程作为S定价的资产模型，是Hansen和Scheinkman（2009）在马尔可夫环境下估值泛函的半鞅对应。它们包括资本利得和再投资股息，因此，从t到t期间，通过估值过程持有资产所获得的总回报由RVt给出，t=VT/VT。t-ma纯粹贴现（零息票）债券有一个单位现金流时间t和一个估值过程PTt=Pt，t（1）=EPt[ST/ST]，0≤ T≤ T

对于每个t，零息债券估值过程（PTt）t∈[0，T]是PTT=1的正半鞅，而processMTt:=StPTt/PT（2.2）是T上的正鞅∈ [0，T]和MT=1。因此，对于每个T，我们可以在时间间隔T上写出工厂化St=（PT/PTt）mtt∈ [0，T]。然后，我们可以使用鞅MTT来定义一个新的概率度量QTonFTby QT | FT=MTTP | FT。这是T-向前度量（Jarrow（1987年）、Jamshidian（1989年）、Geman等人（1995年））。在qt下，到期日为零息票债券作为计价单位，定价运算符为：Ps，T（Y）=PTsEQTsY/PTt对于可测量的报酬和≤ T≤ T对于给定的T，T-向前度量是在FT上定义的（因此，对于allt，在FT上定义）≤ T）。现在，我们将其扩展到FTA，用于下面的所有t>t。修正T，并考虑一种自融资展期策略，从时间零点开始，将一个单位的账户投资于T到期零息票债券的1/Pt单位。在T时，债券到期，策略的价值为1/Pt账户单位。我们将byre投资的收益转为到期日为2T的zero coup on债券的1/（PTP2TT）单位。我们继续采用展期策略，每次kT都会将收益重新投资于mat urity（k+1）T的债券。我们表示这种自我融资策略的估值过程BTt:BTt=kYi=0P（i+1）TiT！-1P（k+1）Tt，t∈ [kT，（k+1）T），k=0，1，…。通过构造，过程stbttext将鞅mtt终止于allt≥ 0，因此，定义了所有T的沃德测量QTon FTT≥ 0，其中T表示复合区间的长度。根据QT扩展到allFtwith t≥ 0以这种方式，滚动策略（BTt）t≥0，复合区间T作为新的数字。

我们继续称该措施扩展到所有FTT≥ 0 T-向前测量，并使用相同的符号，因为它导出了自翻滚策略（BTt）T以来FT上向前测量的标准定义≥0和正鞅MTt=stbttar现在为所有t定义≥ 0，我们可以写出所有T的定价核的T向前分解≥ 0为St=（1/BTt）MTt。正鞅现在推广到所有t≥ 0是之前定义（等式（2.2））的扩展。3长期限制我们现在准备正式引入和研究长期因式分解。定义3.1。（长期债券）如果价值过程（BTt）t≥T-到期债券中的0个展期策略收敛于严格正半鞅（B）∞t） t≥0在概率为T的紧集上一致→ ∞, i、 e.对于所有t>0和K>0极限→∞P（sups）≤t | BTs- B∞s |>K）=0，我们称极限为长键。定义3.2。（远期措施）如果存在措施Q∞等价于每个FTS上的ENTP，T-前向测度强收敛于Q∞每一次，即限制→∞QT（A）=Q∞（A） 每个∈ F和每个t≥ 0，我们称之为长前向测度，并将其表示为L。以下定理提供了一个易于在应用中验证的显式有效条件，以确保更强的收敛模式——估值过程的Emery半鞅收敛于长后向测度，以及T-前向测度的总体变化收敛于长前向测度。定理3.1。（长期因子分解和长期前瞻性度量）支持每t>0，pricingkernel标准的Ft条件经验与其无条件期望的比率在Las t中转化为正极限→ ∞（P）下，即对于每个t>0，几乎肯定存在一个正的Ft可测随机变量，我们将其表示为M∞tsuch thatEPt[ST]EP[ST]L-→ M∞塔斯T→ ∞.

（3.1）以下结果成立：（i）随机变量的集合（M∞t） t≥0是一个正的P-鞅，而鞅族（MTt）t≥0关于鞅（M）的v erges∞t） t≥半鞅拓扑中的0。（ii）长期债券估值过程（B）∞t） t≥0存在，并且滚动策略（BTt）t≥0con v erge to the long bon d（B∞t） t≥0在半鞅拓扑中。（iii）prici-ing核具有长期因子分解ST=B∞商标∞t、 （3.2）（iv）t-f forward在每英尺的总变化量中测量了长向测量值L的QTcon v，而L在每英尺的总变化量中相当于P∞t、 附录A中给出了证明。定理3.1明确了远期措施的经济性。由于在L下，定价核降低为长债券的倒数，因此在L下，长债券的增长是最优的（参见Bansal和Lehmann（1997））。Qin等人（2016）进一步表明，在L下，持有期非常小的债券的夏普比率期限结构在到期日t通常具有增加的形状，长期债券在L下达到最大瞬时夏普比率（Hansen and Jagannathan（1991）bound）。Qin等人（2016年）估计的债券夏普比率期限结构的经验形态通常与上述相反，表明长期因子分解中的mart ingale成分具有高度的经济意义，补充了Alvarez和Jermann（2005年）、Bakshi和Chabi Yo（2012年）、Boroviˇcka等人的经验结果。