长期风险：鞅方法

下面的定理表明，如果我们加强概率收敛到逐点收敛，我们就得到了期望的结果。定理4.1。（作为特征度量的长前向度量）假设定价核满足假设4.1，等式（3.1）在px下对每个初始状态x保持不变∈ E.此外，假设函数P（T- t、 y）/P（t，x）收敛到正极限→ ∞ f对于每个固定的t>0和x，y∈ E.然后，长债券估值函数与X的正乘法函数以与转换无关的形式识别：B∞t（x）=eλLtπL（Xt）/πL（x），（4.4），其中πL（x）是定价算子（Pt）t的正本征函数≥0对于这些参数值e-λL对于某些λL∈ R、 pricin g核具有Hansen-Schei-nkmaneigen因子分解等式。（4.2），长前向测度L与Hansen-Scheinkman特征测度QπL一致。附录C给出了证明，并依赖于债券定价函数的马尔可夫性、可测性和柯西乘法函数方程。该定理通过进一步识别过程πtwithπL（Xt）/πL（X）定义了马尔可夫环境中的定理3.2，其中πL（X）是定价算子的正特征函数。马尔可夫定价算子的正特征函数通常不是唯一的。对于满足假设4.1的给定定价核函数，可能存在其他与长期因子分解无关的正函数。如果研究人员面临着通过首先确定本征函数πL来确定长期因式分解的问题，那么在所有正本征函数中找出πL是有用的。

Hansen和Scheinkman（2009年）、Boroviˇcka等人（2016年）和Qin和Linetsky（2016年）表明，如果状态过程X在特征测度Qπ下满足一定的随机稳定性假设，则相应的特征函数是唯一的。此外，在足够强的稳定性假设下，可以用一个与长期因子分解密切相关的特征函数来识别该特征函数。随机稳定性假设中最弱的是重复性。Qin和Linetsky（2016）建立了至多存在一个正本征函数，使得X在Qπ下是连续的。如果存在一个正本征函数π，使得X在Qπ下是循环的，秦和莱恩茨基（2016）称之为循环本征函数，用π和λR表示它和相应的本征值，并称之为相关的本征测度QπRrecurren t本征测度。虽然递归特征测度是唯一的，但递归通常太弱，无法确保πR与πLand的识别，因此，递归智能测度与长前向测度。以下假设适用于识别周期性特征测度和长前向测度。假设4.2。（指数遍历性）假设满足假设4.1的马尔可夫pric i ng核允许一个循环本征函数πR。进一步假设E上存在一个概率测度，因此在QπR下，以下指数遍历性估计适用于所有满足| f |的Borel函数≤ 1:等式πRx[f（Xt）/πR（Xt）]- 查阅≤ 总工程师-所有t的αt/πR（x）（4.5）≥ 每个x都倒立∈ E、 其中cf=E[f（Y）/πR（Y）]=RE（f（Y）/πR（Y））（dy）。Borel-right过程方程（4.5）的充分条件可在定理6中找到。Meyn and Tweedie（1993）的第1篇。定理4.2。

（确定L和Qπ兰德长期定价）如果假设4.2得到满足，则等式（3.1）适用于M∞t=MπRt，定理3.1适用，长键由等式（4.4）给出，其中πL=πR，周期性e i gen度量包含长向前度量QπR=L。此外，Hansen和Scheinkman（2009）的长期公式适用于任何有界支付≥ t出现以下错误时：Ptf（x）- cfe-λLtπL（x）≤ ckfkL∞E-（λL+α）t（4.6）对于所有时间t≥ 每个x都倒立∈ E、 KKKL在哪里∞= 好的∈E | f（x）|。指数遍历性估计（4.5）确保XtanderQπR的分布快速收敛到极限分布，从而期望EQπRx[f（Xt）/πR（Xt）]f或任何有界函数f以指数速率α>0收敛到极限分布下的期望。exponential erg odicity能够识别πr和πL。它也能识别定理3.2中的条件，从而得到定理3.1和定理3中的结果。2等一下。长期定价公式（4.6）补充了Hansen和Scheinkman（2009）第7.1条中的长期定价公式（另见Boroviˇcka等人（2016）第4节），也提供了长期极限的指数收敛速度。

实际上，等式（4.6）是通过等式（4.3）从等式（4.5）中获得的。当假设4.2不满足时，可能会出现以下情况：QπRexist而Ldoes不存在，或L存在而QπRdoes不存在，或bot h L和QπRexist但不同。为了通过调用比假设5.2更弱的随机稳定性假设来识别QπR和L，我们需要确保（零耦合债券的）恒定收益在长期定价公式的范围内，即REπR（y）（dy）<∞.如果这一条件失败，即使长期定价公式适用于不包括常数的一类支付，长期远期措施也不存在。Boroviˇcka等人（2016年）在第4节中明确规定了这种可积性条件，因此排除了这种情况。然而，即使在这种可积条件下，我们通常也只能证明BTtto B的几乎确定的收敛性∞对于每个t，这并不意味着Bt的ucp收敛性和t-正向测度QT到L的强收敛性。指数遍历性假设5.2确保了定理3.1的L收敛条件，因此，ucp和过程的强半鞅收敛BTTO长键和QTto L.5总变差的收敛性结论注释本文在没有马尔可夫假设的情况下，对Alvarez和Jermann（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）的pricingkernel在半鞅设置下的长期因式分解进行了统一处理。transitorycomponent在长期债券的随机收益率下贴现，并进一步分解为渐进长期债券收益率λ下的贴现和一个正半鞅，在马尔可夫环境下，该鞅表示为定价算子的正半鞅函数，其特征值为e-λt。

永久分量是一个鞅，a C完成了长前向测度的概率变化，即T前向测度的极限。长期风险度量进一步被解释为长期风险中性度量，因为短期现金流的长期风险溢价在L下消失。这种通过半鞅收敛到长期极限的方法扩展并补充了Hansen和Scheinkman（2009）的算子方法，并用Alvarez和Jermann（2005）的方法对其进行了统一。永久性成分的波动性在数据生成和远期概率之间形成了楔子。Q in等人（2016年）将该方法应用于美国国债市场的实证分析，并表明鞅成分具有高度的波动性，控制着债券市场风险收益转移的期限结构。这些关于鞅分量经济意义的结果补充了Alvarez和Jermann（20 05）、Bakshi和Chabi-Yo（2012）基于边界的非参数结果，以及Boroviˇcka等人（2016）和Christensen（2016a）基于根据宏观经济基本面校准的结构性资产定价模型的非参数结果，并对资产定价模型施加了显著的经济限制。参考文献f。阿尔瓦雷斯和U·J·杰曼。用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《特里卡经济》，73（6）：1977-2016年，2005年。G.Bakshi和F.Chabi-Yo。随机贴现因子的永久性和暂时性分量的方差界。《金融经济学杂志》，105（1）：191-208，2012年。R·班萨尔和B·N·L·埃曼。资产定价模型的最优增长对账单限制。宏观经济动态s，1（2）：333–354，1997年。N.H.宾厄姆、C.M.戈尔迪和J.L.泰格尔。规则变化，第27卷。剑桥大学出版社，1989年。J.Boroviˇcka、L.P.Hansen和J.A。

舍因克曼。错误的恢复。致美联社《金融杂志》，20-16。D.C.布罗迪和L.P.休斯顿。社会贴现和长期利率。《数学金融》杂志，2016年。E.C,inlar、J.Jacod、P.Protter和M.J.Sharpe。半鞅和马尔可夫过程。泽伊奇·里夫特（Zeitsch ri f t fur Wahrscheinlickheitstheorie and Verwandte Gebiete），54（2）：161–2191980年。T·M·克里斯滕森。非参数随机贴现因子分解。可从arXiv获得，http://arxiv.org/abs/1412.4428，2016a。T·M·克里斯滕森。正特征函数的非参数识别。计量经济学理论，31（6）：1310-13302016b。P·H·戴维格、J·E·英格索尔和S·A·罗斯。长期和零息票利率永远不会下降。商业杂志，69（1）：1-251996。埃默里。半鞅空间上的拓扑。在《概率论》第十三卷第72-1页第260-280页。斯普林格，1979年。H.G埃曼、N.El Kar oui和J.Rochet。计分制、概率测度和期权定价的变化。应用概率杂志，32（2）：443-4581995。L.P.哈森。随机经济中的动态估值分解。《计量经济学》，80（3）：911-967，2012。L.P.汉森和R.贾甘纳森。证券市场数据对动态经济模型的影响。政治经济学杂志，99（2）：225-262，1991年。L.P.汉森和J.A.舍因克曼。长期风险：运营商方法。《计量经济学》，77（1）：177-234，2009年。L.P.汉森和J.a.舍因克曼。为增长定价会降低风险。《金融与随机》，16（1）：2012年1月1日至15日。L.P.汉森和J.A.舍因克曼。随机复合和不确定估值。即将于4月出版的《金融与危机后的共同利益》，Ed Glaeser、Tano Santos和Glen Weyl主编，20-14。J.贾科德和A.N.希里亚耶夫。随机过程的极限定理。斯普林格，2003年。F.贾姆希德。一个精确的债券期权公式。

《金融杂志》，44（1）：205–2091989。R.A.雅罗。随机利率下商品期权的定价。期货和期权研究进展，1987年2:19–45。梅明。《概率论及相关领域》第52（1）：9-391980页。S.P.梅恩和R.L.特维迪。马尔可夫过程的稳定性iii：连续时间过程的Foster-Lyapunov准则。《应用概率研究进展》，1993年第518-548页。体育普罗特。随机积分和微分方程。斯普林格，2003年。L.秦和V.莱恩茨基。马尔可夫定价算子的正特征函数：Hansen-Scheinkman因子分解、Ross恢复和长期定价。运营研究，64（1）：99–117，2016年。L.秦、V.莱恩茨基和Y.聂。长期远期概率、恢复和债券风险溢价的期限结构。可从S SRN获得，http://ssrn.com/abstract=2721366, 2016.长期风险的补充附录：第3节的鞅方法Likuan Qin和Vadim LinetskyA证明我们首先回顾了Emery（1979）最初引入的关于半鞅拓扑的一些结果（关于最近在数学金融中的应用，参见Czichowsky和Schweizer（2011）、Kardaras（2013）和Cuchiero和Teichman（2015））。半鞅拓扑强于紧集上概率一致收敛的拓扑（ucp）。在后一种情况下，对于每一个s>0:ducp（X，Y）=Xn，等式（2.1）中的上确界仅以ηt=1[0，s]（t）的形式接管被积函数≥1.-nEP[1∧ 小吃≤n | Xs- Ys |]。以下由Burkholder提出的不等式有助于证明定理3.1中半鞅拓扑的收敛性（参见Meyer（197 2）定理47，关于离散鞅和Cuchiero and Teichmann（2015）关于连续鞅的第50页，其中在定理L emma 4.7的证明中提供了一个证明）。引理A.1。

对于每个鞅X和每个可预测过程η有界，|ηt|≤ 1.它能支撑住你∈[0，t]ZsηudXu> A.≤ 18EP[下一步]适用于所有≥ 0和t>0。我们还将使用以下结果（见Kardaras（2013），命题2.10）。引理A.2。如果XnS-→ X和YnS-→ Y，然后是XnYnS-→ XY。我们还将利用以下引理。引理A.3。让（Xnt）t≥0是一个鞅序列，如XntL-→ 十、∞tforeach t≥ 0.然后（X）∞t） t≥0是一个鞅。证据E[|X]立即∞t|]<∞ 对于所有t.我们需要验证Es[X]∞t] =X∞稳定部队t>s≥ 0.首先，我们从XntL展示了这一点-→ 十、∞下面是[Xnt]L-→ Es[X∞t] （A.1）对于每一个s<t.的Jensen不等式，对于每一个0≤ 我们有| Es[Xnt- 十、∞t] |≤Es[|Xnt- 十、∞t |]。除了双方的期望，我们还有- Es[X∞t] |≤ Es[|Xnt- 十、∞t |]。因此，XntL-→ 十、∞timplies[Xnt]L-→ Es[X∞t] 对于自Xntare鞅以来的每个s<t，Es[Xnt]=Xns。按（A.1）表示t≥ s、 XnsL-→ Es[X∞t] 。另一方面，XnsL-→ 十、∞s、 因此，Es[X∞t] =X∞sfor t>s，因此X∞这是阿马丁格尔。定理3.1的证明。（i） 很容易看出等式（3.1）表示MTT收敛到M∞tinLunder P.自（MTt）t≥0是MT=1的正P-鞅，对于每个≥ 0个随机变量收敛到M∞t> 艾玛A.3（M∞t） t≥0也是一个带M的正P-鞅∞= 1.某些T>0和M的马氏体之间的埃默里距离∞isdS（MT，M）∞) =Xn≥1.-nsup |η|≤1EP1.∧Znηsd（MT- M∞)s.证明MTS-→ M∞, 必须证明，对于所有nlimT→∞sup |η|≤1EP1.∧Znηsd（MT- M∞)s= 0

（A.2）我们可以为任意>0（对于任意随机变量X，它认为E[1∧|X |]≤ P（|X |>）+EP1.∧Znηsd（MT- M∞)s≤ PZnηsd（MT- M∞)s> + .引理A.1，sup |η|≤1EP1.∧Znηsd（MT- M∞)s≤EP[|MTn- M∞n |]+。自limT以来→∞EP[| MTn- M∞n |]=0，且可以取任意小，等式（A.2）已验证，因此为MTS-→ M∞.（ii）我们已经证明StBTt=MTT-→ M∞t:=StB∞t、 引理A.2，BTtS-→ B∞t、 B∞根据定义3.1（半鞅收敛性强于ucp收敛性），这是LONG键。第（iii）部分是（i）和（ii）的直接结果。（iv）定义一个新的概率度量Q∞作者：Q∞|Ft=M∞tP |每t≥ 0.某些T>0和Q的测量值qt之间的总变化距离∞关于Ftis:2 supA∈英尺|夸脱（A）- Q∞（A） |。每个t≥ 我们可以写：0=limT→∞EP[| MTt- M∞t |]=limT→∞EP[M∞电话| BTt/B∞T- 1 |]=limT→∞情商∞[| BTt/B∞T- 1|].因此，limT→∞苏帕∈英尺情商∞（BTt/B）∞t） 1A- 情商∞[1A]= 0.SincedQTdQ∞Ft=BTtB∞t、 这就是极限→∞苏帕∈英尺EQT[1A]- 情商∞[1A]= 0 .因此，qt收敛到Q∞由于收敛到总变化意味着度量的强收敛，这表明Q∞是根据定义3.2，Q的长期衡量标准吗∞= L证明T heorem 3.2。（i） 函数的定义h（t）：=Plog和g（t）：=limT→∞PT-t/PT（根据我们的假设，后一个是为每个t定义的）。然后对于ll 0<a<1limt→∞h（at）h（t）=limt→∞Plog atPlog t=limt→∞Plog t+log aPlog t=g(- 日志a）。因此，h（t）是一个规则变化的函数（见Bingham等人（1989））。根据Karamata的scharacterization定理（见Bingham et al.（1989）定理1.4.1），存在面积数λ，使得limt→∞h（at）h（t）=g(- 日志a=a-λ和一个慢变函数l（t），使得h（t）=t-λL（t）。重写它会得到g（t）=eλ和Pt=e-λtL（et）。（ii）根据等式（3.1），StPTt/PTM收敛到M∞田隆德P as T→ ∞.

因此，它也在P下收敛概率，以及在与P局部等价的任何度量下收敛。因此，PTt/PT以及log（PTt/PT）在概率上收敛（从现在起，以及在定理3.3-3.5的证明中，我们在讨论概率收敛时忽略了对概率度量的显式依赖，因为它在所有局部等价度量下都成立）。因此，log（PTt/PT）/（T- t） 概率收敛到零。因为PT=e-λTL（eT）和任何慢变函数limT→∞T-tlog（L（eT））=0（见宾厄姆等人（1989）的命题1.3.6），我们有limt→∞对数PT/（T）- t） =-λ.结合这两种房地产收益率（ii）。（iii）和（iv）宾厄姆等人（1989）定理1.2.1，PT/PT-t转化为1/g（t）作为t→ ∞ 在紧集上是一致的，因此在半鞅拓扑中也是一致的。根据定理3.1，BTt（因此PTt/PT）收敛到B∞锡半鞅拓扑。因此，通过引理A.2，比率PTt/PT-半鞅拓扑学中的t收敛→ ∞, 我们表示极限πt。B的分解∞那就立竿见影了。（v） 自从我∞t=StB∞t=Stπteλ这是一个鞅，我们有EPt[Stπteλt]=Stπteλt。重写它得到等式（3.5）。结合PTt=ELt[B∞电汇∞T] =e-λ（T）-t） ELt[πt/πt]和等式（3.3）得出等式（3.6）。定理3.3的证明。（i） 假设T>T′cCELt[1/πT]<ELt[CT]ELt[CT/πT]<cCELt[1/πT]。将其与等式（3.6）相结合，得到该对数ELt[CT]ELt[CT/πT]/（T）- t） 不概率收敛到零。将其代入式（3.7），我们得出第（i）部分。第（二）部分也得到了类似的证明。提奥·雷姆3.4的证据。（i） 因为PT=O（t-γ） λ=0和B∞与πt=3的定理相似(- 日志PTt）/日志（T）- t） 以t的概率收敛到γ→ ∞.因为PTt=ELt[B∞电汇∞T] =ELt[πT/πT]，我们有(- log ELt[1/πT]）/log（T- t） 概率收敛到γ。