具有交易费用和止损退出的最优均值回归交易

这有助于分析交易问题固有的进入时机。精确地说，我们解j（x）=supν∈德克萨斯州-^rν（V（Xν）- Xν- ^c）o，（2.4）^r>0，^c∈ R.换句话说，投资者寻求最大化价值函数V（Xν）和当前Xν减去交易成本^c之间的预期差异。价值函数J（X）代表价格过程X中投资机会的最大预期价值，特别是在进入和退出时产生的交易成本^c和c。在我们的分析中，只要0<r，进入前和进入后的贴现率r和r可以不同≤ r、 此外，只要c+^c>0，交易成本^c和ccan也会有所不同。此外，由于τ=+∞ 和ν=+∞ 分别是（2.3）和（2.4）的候选停止时间，两个值函数V（x）和J（x）是非负的。作为扩展，我们可以将结对交易的止损水平纳入其中，以限制最大损失。在实践中，止损水平可能是由交易台的经理外来施加的。实际上，如果价格X在投资者自愿清算时间之前达到L级，则该头寸将立即平仓。止损信号由首次通过时间τL:=inf{t给出≥ 0:Xt≤ 五十} 。因此，我们从受约束的最优停止问题：JL（x）=s upν中确定进入和液化时间∈德克萨斯州-^rν（VL（Xν）- Xν- ^c）o，（2.5）VL（x）=s upτ∈德克萨斯州-r（τ）∧τL）（Xτ∧τL- c） o.（2.6）由于额外的时间限制，投资者可能被迫在任何给定清算水平的止损水平提前退出。因此，停止损失约束减少了值函数，我们精确地推导出x- C≤ VL（x）≤ V（x）和0≤ JL（x）≤ J（x）。

正如我们将在第4节和第5节中所展示的，在没有止损的情况下，具有d的最佳时机策略是非常不同的。3.解决方法在这一部分中，我们讨论了我们的解决方法。首先，我们表示OUprocess X byL=σddx+u（θ）的最小生成器- x） ddx，（3.1）并回顾微分方程lu（x）=ru（x）（3.2）对于x的经典解∈ R、 是（参见Borodin and Salminen（2002）第542页）和Prop。Alili等人（2005）的2.1:F（x）≡ F（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（x）-θ） u-udu（3.3）G（x）≡ G（x；r）：=Z∞uru-1eq2μσ（θ）-x） u-乌杜。（3.4）直接差异产生F′（x）>0，F′（x）>0，G′（x）<0和G′（x）>0。因此，我们观察到F（x）和G（x）都是严格正的和凸的，它们分别是严格递增和递减的。通过τκ=inf{t，确定X到某一水平κ的首次通过时间≥ 0:Xt=κ}。众所周知，Fand G承认有问题的表达方式（参见It\'o and McKean（1965）和Rogers and Williams（2000））：-rτκ}=（F（x）F（κ）如果x≤ κ、 G（x）G（κ）if x≥ κ.（3.5）我们的求解方法的一个关键步骤涉及变换ψ（x）：=FG（x）。（3.6）从任意x开始∈ R、 我们用τa表示∧ τb间隔[a，b]的退出时间-∞ ≤ A.≤ 十、≤B≤ +∞. 用奖励函数h（x）=x- c、 我们向前计算相应的预期折扣：Ex{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}=h（a）Ex{e-rτa{τa<τb}}+h（b）Ex{e-rτb{τa>τb}（3.7）=h（a）F（x）G（b）- F（b）G（x）F（a）G（b）- F（b）G（a）+h（b）F（a）G（x）- F（x）G（a）F（a）G（b）- F（b）G（a）（3.8）=G（x）h（a）G（a）ψ（b）- ψ（x）ψ（b）- ψ（a）+h（b）G（b）ψ（x）- ψ（a）ψ（b）- ψ（a）（3.9）=G（ψ）-1（y））H（ya）yb- yyb- ya+H（yb）y- 耶- 对, （3.10）式中，ya=ψ（a），yb=ψ（b），和h（y）：=汞o ψ-1（y）如果y>0，则limx→-∞（h（x））+G（x）如果y=0。（3.11）第二个等式（3.8）源于f（x）：=Ex{e-r（τa）∧τb）{τa<τb}是（3.2）的唯一解，边界条件f（a）=1，f（b）=0。

类似的推理也适用于函数g（x）：=Ex{e-r（τa）∧τb）{τa>τb}，g（a）=0，g（b）=1。最后一个等式（3.10）将问题从x坐标变换为y=ψ（x）坐标（见（3.6））。候选最优退出区间[a]*, B*] 通过最大化（3.7）中的期望值确定。这相当于在转换后的问题中最大化Ya和Yb（3.10）。这导致两（y）：=sup{ya，yb:ya≤Y≤yb}H（ya）yb- yyb- ya+H（yb）y- 耶- 对. （3.12）这是H的最小凹主量。应用W到（3.10）的定义，我们可以表示最大预期折扣报酬asG（x）W（ψ（x））=sup{a，b:a≤十、≤b} 前{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}。备注3.1如果a=-∞, 那么我们有τa=+∞ 11{τa<τb}=0 a.s.在效果上，这移除了较低的奖励水平，以及相应的预期折扣奖励isEx{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}=Ex{e-rτah（Xτa）11{τa<τb}}+Ex{e-rτbh（Xτb）11{τa>τb}=Ex{e-rτbh（Xτb）}。因此，通过考虑区间型策略，我们还包括了一类返回单个上层b的停止策略（见下面的定理4.2）。接下来，我们证明了所提出的停止策略的最优性，并给出了函数值的表达式。定理3.2（2.3）中定义的值函数V（x）由V（x）=G（x）W（ψ（x）），（3.13）给出，其中G、ψ和W分别在（3.4）、（3.6）和（3.12）中定义。证据见附录A.1。让我们强调，最佳水平（a*, B*) 可能取决于初始值x，可能会重合，或取值-∞ 及+∞. 因此，停车区和延迟区的结构可能以多个间隔为特征，导致分离的延迟区（见下面的定理5.5）。我们按照定理3.2的步骤推导（2.4）中的值函数J的表达式。首先，我们用贴现率表示^F（x）=F（x；^r）和^G（x）=G（x；^r）（见（3.3）-（3.4））。

此外，我们定义了变换^ψ（x）：=^F^G（x）和^h（x）=V（x）- 十、- ^c.（3.14）使用这些函数，我们认为函数类似于H:^H（y）：=^h^Go^ψ-1（y）如果y>0，则limx→-∞（^h（x））+^G（x）如果y=0。（3.15）按照步骤（3.7）-（3.12）分别用^F、^G、^ψ和^H替换F、G、ψ和H，我们写出^H的最小凹主^W，即^W（y）：=sup{y^a，y^b:y^a≤Y≤y^b}^H（y^a）y^b- yy^b- y^a+H（y^b）y- y^ay^b- y^a.由此，我们寻求确定候选最优进入区间（y^a）*, y^b*) 在y=^ψ（x）坐标中。在定理3.2用新函数^F、^G、^ψ、^H和^W证明之后，最优进入时机问题的值函数允许表达式j（x）=^G（x）^W（^ψ（x））。（3.16）求解V（x）和J（x）的另一种方法是寻找一对变量不等式min{rV（x）的解- LV（x），V（x）- （十）- c） }=0，（3.17）min{^rJ（x）- LJ（x），J（x）- （V（x）- 十、- ^c）}=0（3.18）表示x∈ R.在充分的正则条件下，这种方法可以验证VIs、V（x）和J（x）的解确实对应于最优停止问题（例如，参见Oksendal（2003）的定理10.4.1）。尽管如此，这种方法并不能立即提出坦诚的最佳计时策略或价值函数，通常是从对最佳停止时间结构的猜测开始，然后进行验证。相比之下，我们的方法允许我们直接构造价值函数，代价是分析H、W、^H和^W的性质。4分析结果我们将在第4.1节中首先研究最佳退出时机，然后在第4.2.4.1节中研究最佳进入时机问题最佳退出时机我们现在分析最佳退出时机问题（2.3）。

为了准备下一个结果，我们总结了H引理4.1的关键性质函数H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞) 并且具有以下性质：（i）H（0）=0，和H（y）（如果y小于0）∈ （0，ψ（c）），>0如果y∈ （ψ（c）+∞).（ii）让x*成为G（x）的唯一解决方案- （十）- c） G′（x）=0。然后，我们得到h（y）是严格的（如果y∈ （0，ψ（x）*)),如果y增加∈ （ψ（x）*), +∞),还有x*< C∧ L*用*=μθ+rcu+r.（4.1）（iii）H（y）是（凸的，如果y∈ （0，ψ（L）*)],如果y是凹的∈ [ψ（L）]*), +∞).基于引理4.1，我们在图2中绘制了H。H的性质对于导出估值函数和最优清算水平至关重要，我们将在下面展示。定理4.2最优清算问题（2.3）允许解v（x）=（b*- c） F（x）F（b）*)如果x∈ (-∞, B*),十、- c否则，（4.2）如果最优清算级别为b*从方程f（b）=（b）中可以找到- c） F′（b），（4.3）yHWz=ψ（b）*)ψ（c）ψ（x）*) ψ（L）*)图2:H和W的草图。根据引理4.1，H在ψ（L）的左边是凸的*) 右边是凹面。最小的凹主曲线W是一条直线，在[0，z]上与H相切，并与[z]上的H重合+∞).下面以L为界*∨ c、 相应的最佳清算时间由τ给出*= inf{t≥ 0:Xt≥ B*}. （4.4）证据。引理4.1和H′（y）的事实→ 0为y→ +∞ （参见图2），我们推断存在一个唯一的数字z>ψ（L）*) ∨ ψ（c）s uch thatH（z）z=H′（z）。

（4.5）反过来，最小的凹主分量由w（y）=（yH（z）zif y<z给出，如果y≥ z、 （4.6）代以b*= ψ-1（z）到（4.5），我们得到LHSH（z）z=H（ψ（b）*))ψ（b）*)=B*- cF（b）*), （4.7）和RHSH′（z）=G（ψ）-1（z））- (ψ-1（z）- c） G′（ψ）-1（z））F′（ψ-1（z））G（ψ-1（z））- F（ψ）-1（z））G′（ψ-1（z））=G（b*) - （b）*- c） G′（b）*)F（b′）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*).等价地，我们可以用b来表示条件（4.5）*:B*- cF（b）*)=G（b）*) - （b）*- c） G′（b）*)F′（b）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*),可以进一步简化为toF（b*) = （b）*- c） F′（b）*).将（4.7）应用于（4.6），我们得到w（ψ（x））=（ψ（x）H（z）z=F（x）G（x）b*-cF（b）*)如果x<b*,H（ψ（x））=x-cG（x）如果x≥ B*.（4.8）反过来，我们通过将（4.8）代入（3.13）得到值函数V（x）。接下来，我们研究了投资者的最佳时机策略对交易成本c的依赖性。命题4.3（2.3）的价值函数V（x）在everyx的交易成本c中递减∈ R、 以及最优清算水平l b*在c.Proof中越来越多。对于任何x∈ R和τ∈ T，对应的预期折扣报酬，Ex{e-rτ（Xτ）- c） }=Ex{e-rτXτ}- c Ex{e-rτ}在c中降低。这意味着V（x）在c中也在降低。接下来，我们将测试最佳阈值b*（c） 作为c的函数，并将（4.3）w.r.t.c区分为getb*′（c） =F′（b）*)（b）*-c） F′（b）*)> 0.因为F′（x）>0，F′（x）>0（见（3.3）），而b*> 根据定理4.2，我们得出结论*换句话说，如果交易成本很高，投资者会倾向于在更高的水平上进行清算，以补偿交易成本的损失。对于其他参数，如u和σ，b的依赖性*通常不是我在奥通。4.2最佳进入时机解决了最佳退出时机问题后，我们现在转向最佳进入时机问题。

在这种情况下，fun action的值是j（x）=supν∈特克斯{e-^rν（V（Xν）- Xν- ^c）}，x∈ R、 （4.9）式中，V（x）由heorem 4.2给出。为了求解最优进入阈值，我们需要^H的几个性质，正如我们所总结的那样。引理4.4函数^H在[0]上是连续的+∞), 在（0+∞), 和二次微分（0，^ψ（b*)) ∪ （φψ（b）*), +∞), 并具有以下性质：（i）^H（0）=0。设d表示^h（x）=0的唯一解，则d<b*和^H（y）（如果y大于0）∈ （0，^ψ（\'d）），<0如果y∈ （^ψ（\'d）+∞).（ii）如果y∈ （φψ（b）*), +∞).（iii）让我们注意到（L）的独特解决方案- ^r）^h（x）=0，那么b<L*如果y是凹的，则^H（y）是凹的∈ （0，^ψ（b）），如果y是凸的∈ （ψ（b）+∞).y^H^W^z=^ψ（d）*)ψ（\'d）ψ（b）*)^ψ（b）图3：^H和^W的草图。函数^W与[0，^z]上的^H重合，等于（^z）上的常数^H（^z）+∞).在图3中，我们根据引理4.4给出了^H的简图。这将有助于得出最佳入门水平。定理4.5最优进入时机问题（2.4）允许解j（x）=V（x）- 十、- ^c如果x∈ (-∞, D*],V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G（x）如果x∈ （d）*, +∞ ),（4.10）最佳入门级d*由方程^G（d）（V′（d）得出- 1） =^G′（d）（V（d）- D- ^c）。（4.11）证据。我们寻找以下形式的值函数：J（x）=^G（x）^W（^ψ（x）），其中e^W是^H的最小凹主。从引理4.4和图3，我们推断存在唯一数^z<^ψ（b）*) 使得^H′（^z）=0。（4.12）这意味着如果y≤ ^z，^H（^z）如果y>^z.（4.13）替换为d*=^ψ-1（^z）到（4.12），我们有^H′（^z）=^G（d）*)（V′（d）*) - 1) -^G′（d）*)（V（d）*) - D*- ^c）^F′（d）*)^G（d）*) -^F（d）*)^G′（d）*)= 0，相当于条件（4.11）。此外，使用（3.14）和（3.15），我们得到^H（^z）=V（d）*) - D*- ^c^G（d）*).

（4.14）最后，我们将（4.14）的^H（^z）和（3.15）的^H（y）替换为（4.13）的^W，通过（3.16）使（4.10）中的值函数J（x）变小。利用V和J的解析解，我们可以通过直接替换验证（4.2）中的V（x）和（4.10）中的J（x）同时满足（3.17）和（3.18）。由于最优进入时间问题与另一个最优停止问题嵌套，最优进入水平的参数依赖性是复杂的。下面，我们将说明交易成本的影响。命题4.6最佳入门级d*of（2.4）是交易成本下降的证明。考虑最佳入门级d*作为^c的函数，我们将（4.11）w.r.t.^c区分为getd*′（^c）=-^G′（d）*)^G（d）*)[V′（d）*) -V（d）*) - D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*)]-1.（4.15）自^G（d）*) > 0和^G′（d）*) < 0，d的符号*′（c）由V′（d）决定*) -V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*). 表示^f（x）=V（d*)-D*- ^c^G（d）*)^G（x）。回想一下，^h（x）=V（x）- 十、- ^c，J（x）=（^h（x）如果x∈ (-∞ , D*],^f（x）>^h（x）如果x∈ （d）*, +∞ ),以及d处的^f（x）平滑膏体^h（x）*. since^h（x）和^f（x）都是正递减凸函数，它遵循^h′（d*) ≤^f′（d）*). 观察到^h′（d*) = V′（d）*) 和^f′（d）*) =V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*), 我们有*) -V（d）*)-D*- ^c^G（d）*)^G′（d）*) ≤ 0.将其应用于（4.15），我们得出结论：*′（^c）≤ 0.我们以OU模型中的一个特殊例子结束本节，该模型没有均值回归。备注4.7如果我们在（2.1）中设置u=0，且r和^r固定，则X会减少为布朗运动：Xt=σBt，t≥ 0.在这种情况下，最佳清算级别为b*问题（2.3）isb*= c+σ√2r和最佳进入水平l d*因为问题（2.4）是方程1+r^rr的根！E√2rσ（d）-C-σ√2r）=√2^rσ（d+c）+1，d∈ (-∞, B*).5.考虑止损存在时，我们考虑具有s顶损失约束的最优进入和退出问题。

为了方便起见，我们从（2.5）和（2.6）中得出函数的值：JL（x）=s upν∈德克萨斯州-^rν（VL（Xν）- Xν- ^c）o，（5.1）VL（x）=s upτ∈德克萨斯州-r（τ）∧τL）（Xτ∧τL- c） o.（5.2）在求解最优时机策略后，我们还将研究最优清算阈值对止损水平L.5.1最优退出时机的依赖性。我们首先给出最优退出时机问题的解析解。定理5.1止损水平为L的最优清算问题（5.2）允许解vl（x）=（CF（x）+DG（x）如果x∈ （L，b）*五十） ，x- c否则，（5.3）式中c=（b）*L-c） G（L）- （L）- c） G（b）*五十） F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） ，D=（L）- c） F（b）*L）- （b）*L- c） F（L）F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） 。（5.4）最优清算水平el b*从方程式[L]中发现的Lis- c） G（b）- （b）- c） G（L）]F′（b）+[（b- c） F（L）- （L）- c） F（b）]G′（b）=G（b）F（L）- G（L）F（b）。（5.5）ψ（L）zL=ψ（b）*五十） yHWLψ（L）*)图4:WL的草图。关于[0，ψ（L）]∪[zL+∞), wl与H重合，在（ψ（L），zL）上，wl是与H在zL处相切的直线。证据由于止损水平L，我们考虑限制域[ψ（L）上H（y）的最小凹主，用WL（y）表示+∞) 并为y设置WL（y）=H（y）∈ [0，ψ（L）]。从引理4.1和图4中，我们可以看到H（y）在（0，ψ（L）上是凸的*)] [ψ（L）中的凹*), +∞).如果我≥ L*, 那么H（y）在[ψ（L）上是凹的+∞), 这意味着WL（y）=H（y）代表y≥ 0，而thusVL（x）=x- c代表x∈ R.另一方面，如果L<L*, 那么H（y）在[ψ（L），ψ（L）上是凸的*)], 在[ψ（L）上严格递增*), +∞). 存在一个单位数zL>ψ（L）*) 这样的话（zL）- H（ψ（L））zL- ψ（L）=H′（zL）。

（5.6）反过来，最小的凹面主分量接受以下形式：WL（y）=（H（ψ（L））+（y）- ψ（L））H′（zL）如果y∈ （ψ（L），zL），H（y）否则。（5.7）代以b*L=ψ-1（zL）到（5.6），我们从LHSH（zL）开始- H（ψ（L））zL- ψ（L）=H（ψ（b）*五十） )- H（ψ（L））ψ（b）*L）- ψ（L）=b*L-cG（b）*L）-L-cG（L）F（b）*五十） G（b）*L）-F（L）G（L）=C，而RHSH′（zL）=G（ψ）-1（zL））- (ψ-1（zL）- c） G′（ψ）-1（zL））F′（ψ-1（zL））G（ψ-1（zL））- F（ψ）-1（zL））G′（ψ-1（zL））=G（b*L）- （b）*-c） G′（b）*五十） F′（b）*五十） G（b）*L）- F（b）*五十） G′（b）*五十） 。因此，我们可以用b等价地表示（5.6）*L:（b）*L- c） G（L）- （L）- c） G（b）*五十） F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） =G（b）*L）- （b）*L- c） G′（b）*五十） F′（b）*五十） G（b）*L）- F（b）*五十） G′（b）*五十） ，通过重新排列立即简化为（5.5）。此外，对于x∈ （L，b）*五十） ，H′（zL）=C意味着wl（ψ（x））=H（ψ（L））+（ψ（x）- ψ（L））C.将其代入VL（x）=G（x）WL（ψ（x）），值函数变为VL（x）=G（x）H（ψ（L））+（ψ（x）- ψ（L））C= CF（x）+G（x）H（ψ（L））- ψ（L）C,在观察到h（ψ（L））之后，哪个序列是（5.3）- ψ（L）C=L- cG（L）-F（L）G（L）（b）*L- c） G（L）- （L）- c） G（b）*五十） F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） =（L）- c） F（b）*L）- （b）*L- c） F（L）F（b）*五十） G（L）- F（L）G（b）*五十） =D.我们可以用三个价格区间来解释投资者的时机策略，即清算区域[b]*我+∞ ), 延迟区（L，b）*五十） ，以及止损区(-∞, 五十] 。在清算区和止损区，价值函数VL（x）=x- c、 因此，投资者将立即平仓。根据定理5.1的证明，如果≥ L*=μθ+rcu+r（见（4.1）），然后VL（x）=x- C十、∈ R.换句话说，如果止损水平太高，那么延迟区域完全消失，投资者将立即为每个初始值x清算∈ R.推论5.2如果L<L*, 然后存在一个唯一的解决方案b*L∈ （L）*, +∞ ) 这就解决了（5.5）。