具有交易费用和止损退出的最优均值回归交易

如果我≥ L*,那么VL（x）=x- c、 为了x∈ R.止损退出约束的直接影响是，每当价格过程在上清算级别b之前达到HESL时，强制清算*L.有趣的是，还有一个额外的间接影响：较高的顶部损失水平将促使投资者自愿提前在较低的取食比例水平下进食。命题5.3最优清算水平b*Lof（5.2）随着止损水平的增加而严格降低。证据回想一下，zL=ψ（b*五十） ψ是严格递增函数。因此，有充分的证据表明，zl随着L:=ψ（L）的增加而严格减小。因此，我们用zL（~L）来强调它对~L的依赖性。区别（5.6）w.r.t.~L给定Z′L（~L）=H′（zL）- H′（~L）H′（zL）（zL）-)L）。(5.8)-2.5-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 1-0.500.51磅*Lθ=0.3θ=0θ=-0.3图5：最佳退出阈值b*Lis随停车服务水平s水平L的响应而严格降低。直线为w he re b*L=L，每个圆圈都定位临界停止损失水平L*.根据WLand zL的定义，H′（zL）>H′（~L）和zL>~L。此外，由于H在zL处是凹的，所以H′（z）<0。将这些应用于（5.8），我们得出结论，z′L（~L）<0。图5显示了b级最优退出价格*Las是止损水平L的函数，对于不同的长期运行意味着θ。Wh en b*Lis严格大于L（在直线e的左侧），延迟区域不为空。随着L的增加，b*L急剧下降，二者在L相遇*（在直线上），延迟区域消失。此外，不同长期手段的病例与转移成本之间存在着有趣的联系。为此，让我们用VL（x；θ，c）表示值函数，以强调对θ和c的依赖，并用b表示相应的最佳清算水平*L（θ，c）。

我们发现，对于任何θ，θ∈ R、 c，c>0，L≤μθ+rcu+r和L≤uθ+rcu+r，相关的值函数和最优清算水平满足以下关系：VL（x+θ；θ，c）=VL（x+θ；θ，c），（5.9）b*L（θ，c）- θ=b*L（θ，c）- θ、 （5.10）只要θ- θ=c- c=L- L.这些结果（5.9）和（5.10）也适用于无超支损失的情况。5.2最佳进入时机我们现在讨论（5.1）中定义的最佳进入时机问题JL（x）。自从supx∈R（VL（x）-十、-^c）≤ 0表示JL（x）=0表示x∈ R、 我们可以用UPX来关注这个案例∈R（VL（x）- 十、- ^c）>0，（5.11），并寻找非平凡的最佳时机策略。与奖励函数^hL（x）相关：=VL（x）- 十、- ^c进入市场后，我们在（3.11）中定义了函数^HLas，其性质总结在以下引理中。引理5.4函数^hl在[0]上是连续的+∞), （0，^ψ（L））上的可微性∪（ψ（L），+∞ ), （0，^ψ（L））上的可微性∪ （ψ（L），ψ（b）*五十） )∪ （φψ（b）*五十） ,+∞), 并具有以下性质：（i）^HL（0）=0。^HL（y）<0表示y∈ （0，^ψ（L）]∪ [^ψ（b）*五十） ,+∞).（ii）^HL（y）在y中严格下降∈ （0，^ψ（L））∪ （φψ（b）*五十） ,+∞).（iii）存在一些恒定的“dL”∈ （L，b）*五十） 因此（L）- ^r）^hL（\'dL）=0，如果y，则^hL（y）是（凸的）∈ （0，^ψ（L））∪ ^ψ（\'dL）+∞),如果y是凹的∈ （ψ（L），ψ（\'dL））。此外，^z∈ （^ψ（L），^ψ（\'dL）），其中^z:=arg maxy∈[0,+∞)^HL（y）。定理5.5最优进入时机问题（5.1）允许解jl（x）=P^F（x）如果x∈ (-∞, A.*五十） ，VL（x）- 十、- ^c如果x∈ [a]*五十、 d*五十] ，Q^G（x）如果x∈ （d）*我+∞ ),（5.12）式中P=VL（a*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十） ，Q=VL（d）*L）- D*L- ^c^G（d）*五十） 。（5.13）最佳进入时间由νa给出*五十、 d*L=inf{t≥ 0:Xt∈ [a]*五十、 d*五十] }，（5.14）其中*土地d*分别满足^F（a）（V′L（a）- 1） =^F′（a）（VL（a）- A.- ^c）、（5.15）和^G（d）（V′L（d）- 1） =^G′（d）（VL（d）- D- ^c）。

（5.16）y^HL^WL^z=^ψ（a）*五十） ^z=^ψ（d）*五十） ^ψ（L）^ψ（b）*五十） 图6：^HLand^WL的草图。^wl是与^HLat^zon[0，^z]相切的直线，与^HLon[^z，^z]重合，等于（^z）上的常数^HL（^z）+∞). 注意，^hl在^ψ（L）处不可微。证据我们寻找以下形式的值函数：JL（x）=^G（x）^WL（^ψ（x）），其中^WL是^HL的最小非负凹主。根据引理5.4和图6中的^HLin草图，最大化^HL，^z，满意度^H′L（^z）=0。（5.17）还有一个唯一的数字^z∈ （^ψ（L），^z）使得^HL（^z）^z=^H′L（^z）。（5.18）反过来，最小的非负凹面主分量接受f形式：^WL（y）=y^H′L（^z）如果y∈ [0，^z），^HL（y）如果y∈ [^z，^z]，^HL（^z）如果y∈ （^z+∞ ).代替*L=^ψ-1（^z）到（5.18），我们有^HL（^z）^z=VL（a）*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十） ，^H′L（^z）=^G（a）*五十） （V′L（a）*L）- 1) -^G′（a）*五十） （VL（a）*L）- A.*L- ^c）^F′（a）*五十） ^G（a）*L）-^F（a）*五十） ^G′（a）*五十） 。等价地，我们可以用a来表示条件（5.18）*L:VL（a）*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十） =^G（a）*五十） （V′L（a）*L）- 1) -^G′（a）*五十） （VL（a）*L）- A.*L- ^c）^F′（a）*五十） ^G（a）*L）-^F（a）*五十） ^G′（a）*五十） 。简化这一点表明*Lsolves（5.15）。此外，我们可以用a来表示^H′L（^z）*L:^H′L（^z）=^HL（^z）^z=VL（a）*L）- A.*L- ^c^F（a）*五十） =P.此外，替换为d*L=^ψ-1（^z）到（5.17），我们有^H′L（^z）=^G（d）*五十） （V′L（d）*L）- 1) -^G′（d）*五十） （VL（d）*L）- D*L- ^c）^F′（d）*五十） ^G（d）*L）-^F（d）*五十） ^G′（d）*五十） =0，经过简单简化后，与（5.16）相同。此外，^HL（^z）可以写成^HL（^z）=VL（d）*L）- D*L- ^c^G（d）*五十） 把它们代入JL（x）=^G（x）^WL（^ψ（x）），我们得到（5.12）。定理5.5揭示了最优进入区域的特征是一个临界区间[a*五十、 d*五十] 严格高于止损水平L，严格低于最佳退出水平b*L.特别是，如果当前资产价格介于L和a之间*五十、 那么，即使价格较低，投资者也最好等待。

这是直观的，因为如果进入价格太接近L，那么投资者很可能在s之后被迫亏损退出。因此，投资者等待进入市场的延迟区域断开。图7显示了两条模拟路径和相关的锻炼时间。我们选择L作为低于长期平均值θ的2个标准d表示，其他参数来自我们的配对交易示例。根据定理5.5，投资者将以νa进入市场*五十、 d*L（见（5.14））。因为两条路径都以x>d开头*五十、 投资者等待进入，直到OU路径到达d*从上面看，如ν所示*D小组（a）和（b）。进入后，图7（a）描述了投资者自愿退出最优b级的情况*五十、 在图7（b）中，投资者被迫在止损水平L下退出。根据定理5.5和定理5.1，根据给定的估计参数计算出这些最佳水平。0 10 20 30 40 50 60 70 90 1000.460.480.50.520.540.560.58天b*Ld*LLν*dτ*b（a）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.460.480.50.520.540.560.58天b*Ld*LLν*dτL（b）图7：模拟的OU路径和运动时间。（a）投资者在ν*d=inf{t≥ 0:Xt≤ D*五十} 和d*L=0.4978，在τ处退出*b=inf{t≥ ν*d:Xt≥ B*五十} 和b*L=0.5570。（b） 投资者以ν进入*d=inf{t≥ 0:Xt≤ D*五十} 但止损水平L=0.4834时退出。参数s：θ=0.5388，u=16.6677，σ=0.1599，r=^r=0.05，c=^c=0.05。备注5.6我们注意到最佳水平a*五十、 d*土地b*根据参数（u、θ、σ）和止损水平L的选择，模型的大量输出。回想一下，我们的模型参数是根据第2.1节中讨论的可能性最大化投资组合估算的。

可以使用其他估计方法和价格数据，并可能导致不同的投资组合策略（α、β）和估计参数值（u、θ、σ）。反过来，由此产生的最佳进入和退出阈值也可能相应地改变。5.3相对止损对一些投资者来说，根据入门级设定止损可能更可取。换句话说，如果进入时X的值为X，那么投资者将指定一个较低的止损水平X- l, 为了某个常数l > 因此，投资者面临最优进入时机问题l（x） =s upν∈德克萨斯州-^rν（V）l（Xν）- Xν- ^c）o，（5.19）其中Vl（x） ：=Vx-l（x） （见（5.2））是止损水平为x的最佳退出时机问题- l. Vx的依赖性-l（x） 与V（x）或VL（x）相比，x上的问题要复杂得多，这使得问题更难处理。在图e 8中，我们用数字说明了最佳定时策略。投资者仍将以较低的级别d进入*. 进入后，投资者将在止损水平上等待退出*- l 还是b级以上*.-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 1-0.500.511.522.5x d*Jl（x） 五l（十）- 十、- ^c-2.-1.5-1.-0.5 0 0.5 1-2.5-2.-1.5-1.-0.500.51xD*- lB*性病*-l（x） x- 图8：（左）最优输入值函数Jl（x） 主导奖励函数Vl（十）- 十、- ^c，他们为x而杀人≤ D*. （右）对于出口问题，止损水平为d*- l 最优清算水平为B*.5.4结论性意见其他扩展包括使我们的双最优停止问题适应指数OU、CoxIngorsoll-Ross（CIR）或其他基本动态，以及可数交易数（Zervos等人，2013；Zhang和Z hang，2008）。或者，可以通过指定股息流的动态来模拟资产价格。

例如，Scheinkman和Xiong（2003）研究了两个对均值回复（OU）股息动态有不同信念的投机性交易者之间进行交易的最佳时机。除了风险资产交易之外，研究在均值回复基础上买入/卖出衍生品的时机也很有用（参见Leung和Liu（2012）以及Leung和Shirai（2013））。对于所有这些应用程序，虽然没有明确的解决方案，但在有限的时间范围内检查最佳停止问题是自然的。附录。1 orem 3.2的证明（V的最优性）。自τa∧ τb∈ T，我们有V（x）≥ sup{a，b:a≤十、≤b} 前{e-r（τa）∧τb）h（Xτa）∧τb）}=G（x）W（ψ（x））。为了证明等式的相反，我们首先证明了G（x）W（ψ（x））≥ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） W（ψ（Xt）∧τ） ）}，对于τ∈ T和T≥ 0.W的凹度意味着，对于任何固定的y，都存在一个函数（z）：=myz+cyth（z）≥ 在z=y时，W（z）和Ly（y）=W（y），而mye和cy都依赖于y。这导致了不平等性-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） W（ψ（Xt）∧τ))} ≤ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） Lψ（x）（ψ（Xt）∧τ） ）}=mψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） ψ（Xt）∧τ） }+cψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） }=mψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） F（Xt）∧τ） }+cψ（x）Ex{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） }=mψ（x）F（x）+cψ（x）G（x）（A.1）=G（x）Lψ（x）（ψ（x））=G（x）W（ψ（x）），（A.2），其中（A.1）来自（e）的鞅性质-rtF（Xt））t≥0和（e）-rtG（Xt））t≥通过（A.2）和W支配H的事实，它遵循g（x）W（ψ（x））≥ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） W（ψ（Xt）∧τ))}≥ 前{e-r（t）∧τ） G（Xt）∧τ） H（ψ（Xt）∧τ） ）}=Ex{e-r（t）∧τ） h（Xt）∧τ)}. （A.3）在所有τ上最大化（A.3）∈ T和T≥ 0表示G（x）W（ψ（x））≥ V（x）。A.2引理4.1的证明（H的性质）。H在（0+∞) 直接从h，G和ψ的方程出发。显示H在0处的连续性，因为H（0）=limx→-∞（十）-c） +G（x）=0，我们只需要显示limy→0H（y）=0。

注意y=ψ（x）→ 0，作为x→ -∞.所以limy→0H（y）=limx→-∞h（x）G（x）=limx→-∞十、- cG（x）=limx→-∞G′（x）=0。我们得出结论，H在0处也是连续的。（i） ψ（x）可以表示∈ (0, +∞) 为了x∈ R是严格递增函数。然后性质（i）直接从G（x）>0的事实出发。（ii）通过定义H，H′（y）=ψ′（x）（hG）′（x）=H′（x）G（x）- h（x）G′（x）ψ′（x）G（x），y=ψ（x）。由于ψ′（x）和G（x）都是正的，我们只需要确定h′（x）G（x）的符号-h（x）G′（x）=G（x）- （十）- c） G′（x）。定义u（x）：=（x）-c）-G（x）G′（x）。u（x）+c是G（x）切线x轴上的交点。由于G（·）是一个正的、严格递减的凸函数，因此u（x）是严格递增的，u（x）<0as x→ -∞ . 另外，请注意u（c）=-G（c）G′（c）>0，u（L）*) = （L）*-c）-G（x）G′（x）=ur（θ）- L*) -G（L）*)G′（L）*)= -σ2rG′（L）*)G′（L）*)> 因此，存在唯一的根x*这就解决了u（x）=0和x*< C∧ L*, 例如g（x）- （十）- c） G′（x）（<0如果x∈ (-∞, 十、*),> 如果x为0∈ （十）*, +∞ ).因此，如果y∈ （0，ψ（x）*)), 否则会增加。（iii）通过定义H，H′（y）=σG（x）（ψ′（x））（L- r） h（x），y=ψ（x）。由于σ，G（x）和（ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- r） h（x）：（L）- r） h（x）=u（θ）- 十）- r（x）- c） =（μθ+rc）- （u+r）x(≥ 如果x为0∈ (-∞, L*],≤ 如果x为0∈ [L]*, +∞ ).因此，如果y是凸的，则H（y）是凸的∈ （0，ψ（L）*)], 反之亦然。A.3引理4.4的证明（^H的性质）。我们首先解释了V（x）和d^h（x）在任何地方都是两倍可微的，除了x=b*. 回想一下v（x）=（b*- c） F（x）F（b）*)如果x∈ (-∞, B*),十、- c否则，和^h（x）=V（x）- 十、- 因此，从（4.3）得出v′（x）=（b）*- c） F′（x）F（b）*)=F′（x）F′（b）*)如果x∈ (-∞ , B*),1如果x∈ （b）*, +∞ ),这意味着V′（b*-) = 1=V′（b）*+).

因此，V（x）在任何地方都是可微的，而^h也是可微的。然而，V（x）不是两次可微的，因为V′（x）=（F′（x）F′（b）*)如果x∈ (-∞, B*),如果x为0∈ （b）*, +∞ ),和V′（b）*-) 6=V′（b）*+). 因此，^h（x）=V（x）- 十、- ^c在b中不是两次可区分的*.ψ和ψ的可微性是两倍的。^Hon（0+∞) （0，^ψ（b）上的二次可微性*))∪（φψ（b）*), +∞) 直接跟进。观察到^h（x）>0as x→ -∞ ,^H定义为0时也是连续的。我们现在建立了^H的性质。（i）首先我们得到了^H在0:^H（0）=limx时的值→-∞（^h（x））+^G（x）=lim supx→-∞（b）*-c） F（b）*)F（x）- 十、- ^c^G（x）=lim supx→-∞（b）*-c） F（b）*)F′（x）- 1^G′（x）=0。接下来，观察这个边缘→-∞^h（x）=+∞ 和^h（x）=-（c+^c），代表x∈ [b]*, +∞ ). 因为F′（x）是严格递增的，对于x，F′（x）>0∈ R、 我们有，因为x<b*,^h′（x）=V′（x）- 1=F′（x）F′（b）*)- 1<F′（b）*)F（b′）*)- 1=0，这意味着^h（x）对于x是严格递减的∈ (-∞, B*). 因此，存在一个唯一的解决方案“d到^h（x）=0，并且“d<b”*, 如果x，则^h（x）>0∈ (-∞,\'d）和^h（x）<0如果x∈ （\'d+∞). ^ψ（x）∈ (0, +∞) 为了x∈ 是一个严格的递增函数。因此，伴随着^G（x）>0的事实，性质（i）直接跟随。（ii）y=^ψ（x），对于x>b*,^H′（y）=^ψ′（x）（^H^G）′（x）=^ψ′（x）(-（c+^c）^G（x））\'=^ψ′（x）（c+^c）^G′（x）^G（x）<0，因为^ψ′（x）>0，^G′（x）<0，以及^G（x）>0。

因此，对于y>ψ（b），^H（y）是严格递减的*).（iii）通过定义^H，^H′（y）=σ^G（x）（^ψ′（x））（L）- ^r）^h（x），y=^ψ（x）。由于σ、^G（x）和（^ψ′（x））都是正的，我们只需要确定（L）的符号- ^r^h（x）：（L）- ^r）^h（x）=σV′（x）+u（θ）- x） V′（x）- u(θ - 十）- ^r（V（x）- 十、- ^c）=（r- ^r）V（x）+（u+^r）x- 如果x<b，θ+r^c*,如果x>b，则^r（c+^c）>0*.确定（L）的符号- ^r）^h（x）in(-∞, B*), 首先注意[（L）- ^r）^h]（x）是一个严格递增函数(-∞, B*), 因为V（x）是严格递增函数，r≥ ^r根据假设。接下来请注意，对于x∈ [L]*, B*),（L）- ^r）^h（x）=（r）- ^r）V（x）+（u+^r）x- θ+^r^c≥ （r）- ^r）（x）- c） +（u+^r）x- uθ+^r^c=（r+u）x- （μθ+rc）+^r（c+^c）≥ （r+L）u*- （μθ+rc）+^r（c+^c）=^r（c+^c）>0。另外，请注意（L）- ^r）^h（x）→ -∞ 作为x→ -∞. 因此- ^r）^h（x）<0如果x∈ (-∞, b） 和（L）- ^r）^h（x）>0如果x∈ （b）+∞ ) b<L*成为收支平衡点。由此，我们得出结论（三）。A.4引理5.4的证明（^HL的性质）。（i） ^HL（y）在（0）上的连续性+∞) 由^hL，^G和^ψ的连续性所暗示。^HL（y）在0处的连续性遵循^HL（0）=limx→-∞（^hL（x））+^G（x）=limx→-∞^G（x）=0，石灰→0^HL（y）=limx→-∞^hL^G（x）=limx→-∞-（c+^c）^G（x）=0，其中我们使用了y=^ψ（x）→ 0作为x→ -∞.此外，对于x∈ (-∞, L]∪ [b]*我+∞ ), 我们有VL（x）=x- c、 因此，^hL（x）=-（c+^c）。此外，在^ψ（x）是严格递增函数且^G（x）>0的情况下，性质（i）如下。（ii）根据^HL的定义，由于^G和^ψ在任何地方都是可微的，我们只需要证明VL（x）的可微性。为此，VL（x）在b处是可以区分的*Lby（5.3）-（5.5），但不是在L。

在此之前，^HLis对y是不同的∈ （0，^ψ（L））∪ （ψ（L）+∞).鉴于^G′（x）<0，^ψ′（x）>0，d^G（x）>0，我们对x有∈ (-∞, L）∪ [b]*我+∞ ),^H′L（y）=^ψ′（x）（^hL^G）′（x）=^ψ′（x）(-（c+c）^G（x））\'=（c+c）^G′（x）^ψ′（x）^G（x）<0。因此，对于y，^HL（y）严格地减小∈ （0，^ψ（L））∪ [^ψ（b）*五十） ,+∞).（iii）^G和^ψ在任何地方都是二次可微的，而VL（x）在任何地方都是二次可微的，除了x=L和b*, ^hL（x）也是如此。因此，^HL（y）在（0，^ψ（L））上是二次可微的∪（ψ（L），ψ（b）*))∪（φψ（b）*), +∞).为了确定^HL的凹凸性，我们研究了二阶导数：^H′L（y）=σ^G（x）（^ψ′（x））（L）- ^r）^hL（x），其符号由（L）决定- ^r）^hL（x）=σV′L（x）+u（θ）- x） V′L（x）- u(θ - 十）- ^r（VL（x）- 十、- ^c）=（r- ^r）VL（x）+（u+^r）x- 如果x为θ+^r^c∈ （L，b）*五十） ，^r（c+^c）>0如果x∈ (-∞, L）∪ （b）*我+∞ ).这意味着^hly对于y是凸的∈ （0，^ψ（L））∪ （φψ（b）*五十） ,+∞).另一方面，条件supx∈R^hL（x）>0意味着supy∈[0,+∞)^HL（y）>0。通过性质（i）和^HL（y）对y的二次可微性∈ （ψ（L），ψ（b）*五十） ，必须存在一个区间（ψ（aL），ψ（\'dL））（ψ（L），ψ（b）*五十） ）使得^HL（y）是凹的，在^z处最大∈ （ψ（aL），ψ（\'dL））。此外，如果VL（x）在（L，b）上严格增加*五十） ，然后（L-^r）^hL（x）也严格处于缓和状态。为了证实这一点，我们无法从引理4.1中回忆起H（y）严格递增且凹于（ψ（L）上*), +∞).根据命题5.3，我们有b*L<b*, 这意味着zL<z，因此H′（zL）>H′（z）。然后，从（4.5）、（4.6）和（5.7）可以得出，对于y，W′L（y）=H′（zL）>H′（z）=W′（y）∈ （ψ（L），zL）。接下来，sin-ce-WL（y）=VLGo ψ-1（y），我们有w′L（y）=ψ′（x）（VLG）′（x）=ψ′（x）（V′L（x）G（x）- VL（x）G′（x）G（x））。对于W′（y）和V（x）代表系带VL（x）也是如此。由于ψ′（x）和G（x）都是正的，所以W′L（y）>W′（y）等价于V′L（x）G（x）- VL（x）G′（x）>V′（x）G（x）- V（x）G′（x）。