具有固定参数的CIR过程的最优启停和切换

接下来，我们提供了条件，在条件下，一旦CIR过程达到某个较低水平，CHIT就可以进入。定理3.4在CIR模型下，IfB>0且cb<b*- 脑脊液（b*), （3.11）带b*在（3.5）中给出，那么最优切换问题（2.6）-（2.7）允许解J（y）=KF（y）- （y+cb）如果y∈ [0，~d*],QG（y）如果y∈ （~d）*, +∞),（3.12）和V（y）=KF（y）如果y∈ [0，~b*),QG（y）+（y）- cs）如果y∈ [b]*, +∞),（3.13）式中k=G（~d）*) - （~d）*+ cb）G′（~d）*)F′（~d）*)G（~d）*) - F（~d）*)G′（~d*),Q=F（~d）*) - （￠d）*+ cb）F′（~d）*)F′（~d）*)G（~d）*) - F（~d）*)G′（~d*).存在唯一的最佳启动和停止水平d*和b*, 这是从非线性方程组中发现的：G（d）- （d+cb）G′（d）F′（d）G（d）- F（d）G′（d）=G（b）- （b）- cs）G′（b）F′（b）G（b）- F（b）G′（b），F（d）- （d+cb）F′（d）F′（d）G（d）- F（d）G′（d）=F（b）- （b）- cs）F′（b）F′（b）G（b）- F（b）G′（b）。此外，我们还有d*< ybandb*> 是的。在这种情况下，当CIR过程降至d时，我们最好在启动和停止的有限次数内启动和停止*并在过程达到b时停止*. 请注意，在3.3款的情况下，启动永远不是最佳的，最佳停止级别为b*与定理3.1中的最优停止问题相同。最佳起始水平d*, 它只在顺序启动和停止是最佳的情况下出现，通常与d不同*在定理3.2中。我们用两个r标记来结束本节。注释3.5给出模型参数，以确定定理3.3或定理3中的哪一个。4适用时，我们首先检查yb≤ 0.如果是这样，最好不要进入。否则，定理3.3仍然适用于cb≥B*-脑脊液（b*)持有。在剩下的另一种情况下，问题按照定理3.4解决。实际上，条件cb<b*-脑脊液（b*)意味着yb>0（参见PPE ndix中引理4.3的证明）。

因此，定理3.4中的条件（3.11）实际上与定理3.2中的条件（3.7）相同。备注3.6为了验证定理3.3和3.4中结果的最优性，可以通过直接替换来证明（3.9）-（3.10）和（3.12）-（3.13）中的解（~J，~V）满足变分不等式：min{r ~J（y）- L~J（y），~J（y）- （V（y）- （y+cb））}=0，最小{rV（y）- 长V（y），~V（y）- （~J（y）+（y）- cs=0。事实上，这是Zervos等人（2013年）用来检查其最优切换问题解决方案的方法。3.3数值示例我们以数值方式实现定理3.1、3.2和3.4，并举例说明相关的启动和停止阈值。在图1（左）中，我们观察到随着平均反转速度的增加，最佳启动和停止水平的变化。两个起点都是d*和d*随着u从0.3增加到0.85，随u的增加而增加，分别从0.0964增加到0.1219和从0.1460增加到0.1696。最佳切换停止水平b*也会增加。另一方面，停止b级*对于启动-停止过程，随着u的变化，lem保持相对恒定。在图1（右）中，我们看到，随着停止成本C的增加，最佳停止水平的增加伴随着最佳启动水平的下降。特别是停车位，b*和b*增长相比之下，两个起点都是d*和d*落下较低的启动水平和较高的停止水平意味着由于较高的交易成本，进入和退出时间都会延迟。有趣的是，虽然成本CSD仅适用于流程停止时，但它也会影响启动时间，如d中的变化所示*和d*在图中。在图1中，我们可以看到切换问题的延续（等待）区域（~d）*,~b*)在起停问题（d）的范围内*, B*).

多次进入和退出的能力意味着，在最大化聚合回报的同时，可以在每个单独的开始-停止序列上获得较小的回报。此外，我们观察到，与切换问题的进入和退出阈值相比，启动-停止问题的最佳进入和退出水平对模型参数的变化不那么敏感。图2显示了一个模拟的CIR路径，以及启动停止和切换问题的最佳进入和退出水平。在启停问题下，当进程到达d时启动是最优的*= 0.0373，并在过程达到b时到达s顶部*= 0.4316. 对于切换问题，最好在过程值达到d时启动*= 0.1189，当CIR过程的值上升到b时停止*= 0.2078. 我们注意到两个停止级别都是b*和b*高于长期平均值θ=0.2，且起始水平为d*和d*低于θ。该过程从Y=0.15>秒开始*, 在最佳切换设置下，第一次进入的时间发生在第8天，过程降至0.1172，然后在第935天以0.2105的水平退出。对于启动-停止问题，输入发生在第200天的更晚时间，此时过程达到0.0306，并在第2671天以0.4369退出。在最优切换问题下，两个入口和两个出口将在启动-停止问题实现单个入口-出口序列时完成。0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.050.10.150.20.250.3ud*~b*D*B*0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.10.150.20.250.3csd*~b*D*B*图1：（左）最佳启动和停止水平与平均回复速度的关系。参数：σ=0.15，θ=0.2，r=0.05，cs=0.001，cb=0.001。（Rig ht）最佳启动和停止水平与交易成本。

参数：u=0.6，σ=0.15，θ=0.2，r=0.05，cb=0.001.4求解和证明方法我们现在为第3节中的分析结果提供详细的证明，从优化问题开始。这里我们的主要结果是定理4.1，它提供了值函数的数学特征，并建立了我们构造解的方法的最优性。4.1最佳启动-停止问题我们首先描述停止问题V的一般解决程序，然后是启动问题J.4.1.1最佳停止时间我们解决方法的关键步骤包括转换φ（y）：=-G（y）F（y），y≥ 0.（4.1）据此，我们还定义了函数h（z）：=hsFo φ-1（z）如果z<0，limz→+∞（hs（y））+F（y）如果z=0，（4.2），其中hsi在（2.4）中给出。我们现在证明了价值函数的解析形式。0 1000 2000 3000 4000 500000.10.20.30.40.50.60.70.8天b*~b*~d*D*图2：示例CIR路径，以及启动和停止级别。在“开始-停止”设置下，在νd处做出启动决定*= inf{t≥ 0:Yt≤ D*= 0.0373}，并在τb处作出停止决定*= inf{t≥ νd*: Yt≥ B*= 0.4316}. 在最优切换问题下，进入和退出发生在νd*= inf{t≥ 0:Yt≤~d*= 0.1189}和τb*= inf{t≥ ~nd*: Yt≥~b*= 分别为0.2078}。参数：u=0.2，σ=0.3，θ=0.2，r=0.05，cs=0.001，cb=0.001。定理4.1在CIR模型下，（2.2）的值函数V由V（y）=F（y）W（φ（y）），（4.3）给出，其中F和φ分别在（3.2）和（4.1）中给出，W是（4.2）中H的最小递减凹主。证据我们首先介绍了V（y）是如何≥ F（y）W（φ（y））。从任何时候开始∈ [0, +∞), 我们从[a，b]与0的间隔中考虑Y的起始时间≤ A.≤ Y≤ B≤ +∞.

我们计算相应的预期折扣报酬{e-r（τa）∧τb）hs（Yτa）∧τb）}=hs（a）Ey{e-rτa{τa<τb}}+hs（b）Ey{e-rτb{τa>τb}=hs（a）F（y）G（b）- F（b）G（y）F（a）G（b）- F（b）G（a）+hs（b）F（a）G（y）- F（y）G（a）F（a）G（b）- F（b）G（a）=F（y）hs（a）F（a）φ（b）- φ（y）φ（b）- φ（a）+hs（b）F（b）φ（y）- φ（a）φ（b）- φ（a）= F（φ）-1（z））H（za）zb- zzb- za+H（zb）z- 扎兹布- za,式中，za=φ（a），zb=φ（b）。自V（y）≥ sup{a，b:a≤Y≤b} Ey{e-r（τa）∧τb）hs（Yτa）∧τb）}，我们有v（φ）-1（z））F（φ-1（z））≥ 上{za，zb:za≤Z≤zb}H（za）zb- zzb- za+H（zb）z- 扎兹布- za, （4.4）这意味着V（φ-1（z））/F（φ-在CIR模型下，区间型策略并不包括所有的单阈值策略。特别是，a可以取的最小值是0。如果2uθ<σ，则Y可以达到0级并反映。a=0的区间型策略意味着在0级停止进程Y，尽管等待并让Y进化可能是最优的。因此，我们还必须分别考虑等待Y到r达到b级以上的候选策略≥ 没有较低的停车位。（e）的著名超鞅性质-rtV（Yt）t≥0（见Karatzas和ShrEve（1998）的附录D）表示V（y）≥ Ey{e-τ的rτV（Yτ）}∈ T然后取τ=τb，我们得到v（y）≥ Ey{e-rτbV（Yτb）}=V（b）F（Y）F（b），或相当于V（φ-1（z））F（φ-1（z））=V（y）F（y）≥V（b）F（b）=V（φ-1（zb））F（φ-1（zb）），（4.5），表示V（φ-1（z））/F（φ-1（z））正在减少。通过（4.4）和（4.5），我们现在看到v（y）≥ F（y）W（φ（y）），其中W是H的递减最小凹主分量。对于r-everse不等式，我们首先证明了F（y）W（φ（y））≥ Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） W（φ（Yt）∧τ） （4.6）代表y∈ [0, +∞), τ ∈ T和T≥ 0

如果初始值y=0，则Wimplies的递减性质使不等式e{e-r（t）∧τ）F（Yt）∧τ） W（φ（Yt）∧τ))} ≤ E{E-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） }W（φ（0））=F（0）W（φ（0）），其中等式来自（e）的鞅性质-rtF（Yt））t≥0.当y>0时，W的凹度意味着，对于任何固定的z，存在一个函数Lz（α）：=mzα+CZ，使得Lz（α）≥ W（α）表示α≥ φ（0）和Lz（z）=W（z）在α=z时，W=mzand cz。反过来，这就产生了不平等-r（τ）∧T∧τ） F（Yτ）∧T∧τ） W（φ（Yτ）∧T∧τ))} (4.7)≤ Ey{e-r（τ）∧T∧τ） F（Yτ）∧T∧τ） Lφ（y）（φ（yτ）∧T∧τ） ）}=mφ（y）Ey{e-r（τ）∧T∧τ） F（Yτ）∧T∧τ） φ（Yτ）∧T∧τ） }+cφ（y）Ey{e-r（τ）∧T∧τ） F（Yτ）∧T∧τ)}= -mφ（y）Ey{e-r（τ）∧T∧τ） G（Yτ）∧T∧τ） }+cφ（y）Ey{e-r（τ）∧T∧τ） F（Yτ）∧T∧τ)}= -mφ（y）G（y）+cφ（y）F（y）（4.8）=F（y）Lφ（y）（φ（y））=F（y）W（φ（y）），（4.9），其中（4.8）来自（e）的鞅性质-rtF（Yt））t≥0和（e）-rtG（Yt））t≥0.如果2μθ≥ σ、 那么τ=+∞ 对于y>0。这立即得出（4.7）-（4.9）所需的不等式（4.6）。另一方面，如果2μθ<σ，那么我们将（4.7）分解为两项：Ey{e-r（τ）∧T∧τ） F（Yτ）∧T∧τ） W（φ（Yτ）∧T∧τ） ）}=Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） W（φ（Yt）∧τ） ）11{t∧τ≤τ} |{z}（I）+Ey{e-rτF（Yτ）W（φ（Yτ））11{t∧τ> τ}|{z}（II）。根据可选抽样定理和W的递减性质，第二项满足（II）=W（φ（0））Ey{e-rτF（Yτ）11{t∧τ>τ}}≥ W（φ（0））Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） 11{t∧τ>τ}}≥ Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） W（φ（Yt）∧τ） ）11{t∧τ> τ}=：（II\'）。（4.10）结合（4.10）和（4.9），我们得到了atF（y）W（φ（y））≥ （一） +（II\'）=Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） W（φ（Yt）∧τ） ）}，对于所有y>0。总的来说，不平等（4.6）对所有人都适用∈ [0, +∞), τ ∈ T和T≥ 0.从（4.6）和W主导H的事实，它遵循f（y）W（φ（y））≥ Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） W（φ（Yt）∧τ))}≥ Ey{e-r（t）∧τ） F（Yt）∧τ） H（φ（Yt）∧τ))} ≥ Ey{e-r（t）∧τ） hs（Yt）∧τ)}.

（4.11）在所有τ上最大化（4.11）∈ T和T≥ 0产生逆不等式F（y）W（φ（y））≥ V（y）。在总结中，我们在（4.3）中找到了值函数V（y）的表达式，d证明了只考虑y第一次达到单个上限阈值或退出区间所描述的候选停止时间是有效的。为了确定最优定时策略，我们需要了解H及其最小凹主分量W的性质。为此，我们有以下引理。引理4.2函数H在[φ（0），0]上是连续的，在（φ（0），0）上是二次可微的，并且具有以下性质：（i）H（0）=0，和H（z）< 如果z为0∈ [φ（0），φ（cs）），>0如果z∈ （φ（cs），0）。（4.12）（ii）H（z）严格地为z增加∈ （φ（0），φ（cs）∨ φ（ys））。（iii）H（z）是凸if z∈ （φ（0），φ（ys）]，如果z是凹的∈ [φ（ys），0）。在图3中，我们看到H先增大后减小，先凸后凹。利用这些性质，我们现在得出最佳停止时间。-∞HWz*= φ（b）*)φ（ys）φ（cs）φ（0）（a）2μθ<σ-∞HWz*= φ（b）*)φ（ys）φ（cs）（b）2μθ≥ σ图3：H和W的草图。函数W等于常数H（z*) 关于（φ（0），z*), 与[z]上的H重合*, 0]. 不，别那样-∞ <φ（0）<0，如果2μθ<σ，和φ（0）=-∞ 如果2θ≥ σ.定理3.1的证明我们确定了以下形式的值函数：V（y）=F（y）W（φ（y）），其中W是H的最小凹主函数。通过引理4.2和图3，H在z处达到峰值*> φ（cs）∨ φ（ys）so th′（z）*) = 0.（4.13）在tur n中，递减的最小凹面主成分的形式为：W（z）=H（z）*) 如果z<z*,H（z）如果z≥ Z*.（4.14）代以b*= φ-1（z）*) 在（4.13）中，我们有h′（z）*) =F（φ）-1（z）*)) - (φ-1（z）*) - cs）F′（φ-1（z）*))F′（φ）-1（z）*))G（φ）-1（z）*)) - F（φ）-1（z）*))G′（φ）-1（z）*))=F（b）*) - （b）*- cs）F′（b）*)F（b′）*)G（b）*) - F（b）*)G′（b）*),可以进一步简化为（3.5）。我们可以表示H（z）*) 就b而言*:H（z）*) =B*- 脑脊液（b*).

（4.15）应用（4.15）到（4.14），我们得到（φ（y））=H（z）*) =B*-脑脊液（b*)如果y<b*,H（φ（y））=y-csF（y）如果y≥ B*.最后，将其代入值函数V（y）=F（y）W（φ（y）），我们得出结论。4.1.2最佳启动时间我们现在转向最佳启动问题。我们在第4.1.1节中的方法适用于一般的支付函数，因此也可以应用于最优启动问题（2.3）。为此，我们采用相同的变换（4.1）并定义函数^H（z）：=^hFo φ-1（z）如果z<0，则为limy→+∞（^h（y））+F（y）如果z=0，其中^h在（3.6）中给出。然后，我们按照定理3.1确定函数J的值。这相当于找到^H的最小凹主^W。实际上，我们可以在定理3.1及其证明中用^H和^W替换手W。因此，最优启动时间问题的值函数必须采用形式j（y）=F（y）^W（φ（y））。为了解决最佳启动时间问题，我们需要了解^H引理4.3的性质。函数^H在[φ（0），0]上是连续的，在（φ（0），0）上是可微的，在（φ（0），φ（b）上是两次可微的*)) ∪ （φ（b）*), 并且具有以下性质：（i）^H（0）=0。设d表示^h（y）=0的唯一解，然后d<b*和^H（z）> 如果z为0∈ [φ（0），φ（\'d）），<0如果z∈ （φ（\'d），0）。（ii）当z>φ（b）时，^H（z）严格增加*) 还有林茨→φ（0）^H′（z）=0。^H（z）是如果z是凹的∈ （φ（0），φ（yb）），如果z是凸的∈ （φ（yb），0）。通过引理4.3，我们在图4中绘制了^H。-∞^H^W^z=^φ（d）*)^φ（d）^φ（b）*)φ（yb）φ（0）（a）2μθ<σ-∞^H^W^z=^φ（d）*)^φ（d）^φ（b）*)φ（yb）（b）2μθ≥ σ图4：^H和^W的草图。函数^W与[φ（0），^z]上的^H重合，是一条与（^z，0）上的^H相切的直线-∞<φ（0）<0，如果2μθ<σ，和φ（0）=-∞ 如果2θ≥ σ.定理3.2的证明为了确定形式为：J（y）=F（y）^W（φ（y））的值函数，我们分析了^H的最小凹主函数^W。

通过引理4.3和图3，我们得到了^H′（z）→ 0作为z→ φ(0). 因此，存在一个唯一的数字^z∈ （φ（0），φ（b）*)) 使得^H（^z）^z=^H′（^z）。（4.16）在tur n中，递减的最小凹面主成分的形式为：^W（z）=^H（z）如果z≤ ^z，z^H（^z）^zif z>^z.（4.17）代替d*= φ-1（^z）到（4.16），我们有^H（^z）^z=^H（φ（d）*)φ（d）*)= -V（d）*) - D*- cbG（d）*), （4.18）和^H′（^z）=F（d）*)（V′（d）*) - 1) - F′（d）*)（V（d）*) - （d）*+ cb）F′（d*)G（d）*) - F（d）*)G′（d）*).等价地，我们可以用d来表示条件（4.16）*:-V（d）*) - （d）*+ cb）G（d）*)=F（d）*)（V′（d）*) - 1) - F′（d）*)（V（d）*) - （d）*+ cb）F′（d*)G（d）*) - F（d）*)G′（d）*),这显示了d*简化后的满意度（3.8）。应用（4.18）到（4.17），我们得到（φ（y））=^H（φ（y））=V（y）-（y+cb）F（y）如果y∈ [0，d*],φ（y）^H（^z）^z=V（d）*)-（d）*+cb）G（d）*)G（y）F（y）如果y∈ （d）*, +∞).由此，我们得到了价值函数。4.2最优转换问题定理3.3和3.4的证明Zervos等人（2013）研究了交易成本固定的均值回复资产的类似问题，并使用变量不等式方法提供了详细的p屋顶。特别是，我们观察到Yb和ysin（3.3）分别与Zervos等人（2013）中的xbandxsin假设4发挥相同的作用。然而，Zervos等人（2013）的假设4要求0≤ xb，在我们的问题中，这不一定是真的。我们已经检查并认识到，对于定理3.3来说，这个假设是不必要的，而yb<0仅仅意味着没有最佳启动水平，即启动永远不是最佳的。此外，Zervos等人（2013年）假设（在他们的假设1中），0级的命中时间不确定，概率为1。当CIR为0时，我们只考虑了CIR为不可访问的过程，而在CIR为不可访问的情况下。事实上，我们发现泽沃斯等人（2013年）的证明适用于CIR模型下的两种情况。

因此，除了放松上述假设外，我们的定理3.3和3.4的证明分别与Zervos等人（2013）中的Lemmas 1和d 2的证明相同。附录。引理4.2的证明（H的性质）。（i） 首先，我们计算h（0）=limy→+∞（hs（y））+F（y）=limy→+∞Y- csF（x）=limy→+∞F′（y）=0。利用F（y）>0和φ（y）是严格递增函数的事实，（4.12）如下。（ii）我们研究H的一阶导数：H′（z）=φ′（y）（hsF）′（y）=φ′（y）F（y）- （y）- cs）F′（y）F（y），z=φ（y）。因为φ′（y）和F（y）都是正的，所以仍然需要确定F（y）的符号- （y）- cs）F′（y）。由于F′（y）>0，我们可以等价地检查v（y）：=F（y）F′（y）- （y）- cs）。注意v′（y）=-F（y）F′（y）（F′（y））<0。因此，v（y）是一个严格的递减函数。此外，很明显v（cs）>0和v（ys）>0。因此，如果y<（cs），v（y）>0∨ 因此，H（z）会急剧增加ifz∈ （φ（0），φ（cs）∨ φ（ys））。（iii）通过微分，我们得到h′（z）=σF（y）（φ′（y））（L- r） hs（y），z=φ（y）。因为σ、F（y）和（φ′（y））都是正的，所以H′的凹凸性取决于（L）的符号- r） hs（y）=u（θ）- y）- r（y）- cs）=（μθ+rcs）- （u+r）y≥ 如果y，则为0∈ [0，ys]，≤ 如果y，则为0∈ [ys+∞),这意味着财产（iii）。A.5引理4.3的证明（^H的性质）。可以直接检查V（y）在任何地方都是连续的和可微分的，并且除了y=b之外，在任何地方都是两次可微分的*, 所有这些都适用于^h（y）=V（y）- （y+cb）。F和φ都是二次可微的。