具有固定参数的CIR过程的最优启停和切换

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英文标题：
《Optimal Starting-Stopping and Switching of a CIR Process with Fixed
  Costs》
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作者：
Tim Leung, Xin Li, Zheng Wang
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper analyzes the problem of starting and stopping a Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process with fixed costs. In addition, we also study a related optimal switching problem that involves an infinite sequence of starts and stops. We establish the conditions under which the starting-stopping and switching problems admit the same optimal starting and/or stopping strategies. We rigorously prove that the optimal starting and stopping strategies are of threshold type, and give the analytical expressions for the value functions in terms of confluent hypergeometric functions. Numerical examples are provided to illustrate the dependence of timing strategies on model parameters and transaction costs.
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中文摘要：
本文分析了具有固定成本的Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程的启动和停止问题。此外，我们还研究了一个相关的最优切换问题，该问题涉及无限的启动和停止序列。我们建立了启动-停止和切换问题允许相同的最优启动和/或停止策略的条件。我们严格证明了最优启动和停止策略是阈值型的，并给出了用合流超几何函数表示的值函数的解析表达式。通过数值例子说明了定时策略对模型参数和交易成本的依赖性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Starting-Stopping_and_Switching_of_a_CIR_Process_with_Fixed_Costs.pdf (280.42 KB)

2022-5-7 04:10:06 上传

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关键词：CIR Mathematical Quantitative mathematica expressions

具有固定成本的CIR过程的最优启停和切换*Xin Li+Zheng Wang2018年8月30日摘要本文分析了在固定成本下启动和停止Cox-Ingersoll-Ross（CIR）流程的问题。此外，我们还研究了一个相关的最优切换问题，该问题涉及到s起始点和停止点的有限序列。我们建立了启动、停止和切换问题具有相同最优启动和/或停止策略的条件。我们严格地证明了最优启动和停止策略是阈值型的，并给出了值函数的解析表达式。通过数值例子说明了定时策略对模型参数和交易成本的依赖性。关键词：最佳启动-停止、最佳切换、CIR过程、冲突超几何函数EL分类：C41、G11、G12数学主题ct分类（2010）：60G40、91G10、62L15内容1简介22问题概述32.1最佳启动-停止问题。32.2最佳切换问题。43分析结果总结53.1最佳启动-停止问题。63.2最佳切换问题。73.3数值示例。94解决方法和证明104.1最佳启停问题。104.1.1最佳停车时间。104.1.2最佳启动时间。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2最佳切换问题。17A附录17*IEOR系，哥伦比亚大学，纽约，纽约10027；tl2497@columbia.edu.通讯作者。+IEOR系，哥伦比亚大学，纽约，纽约10027；xl2206@columbia.edu.纽约哥伦比亚大学IEOR系，纽约10027；zw2192@columbia.edu.1引言风险分析和融资中的许多问题涉及一系列启动和停止决策。例如，一家公司可能会寻求购买和出售资产的最佳时机，或者一家公司可能会寻求投资一个项目，然后将其出售给另一家公司。开始或停止这项研究的最佳时机。一般来说，最佳时机在很大程度上取决于潜在流程的动态。特别是，如果这个过程是一个超/次鞅，比如几何布朗运动，那么要么立即停止，要么永远等待（参见Shiryaev等人（2008））。因此，相应的最佳单次停止、开始停止或切换问题将允许一个平凡的解决方案。在本文中，我们的最优启动-停止和切换问题由Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程驱动（见Cox等人（1985））。CIR过程已被广泛用作利率、波动性和能源价格的模型（分别见Cox等人（1985年）、Heston（1993年）、Ribeiro和Hodges（2004年）。在实物期权文献中，均值回复过程被用来模拟项目的价值。例如，Ewald和Wang（2010）研究了价值由CIR过程建模的不可逆投资的时机，并解决了相关的最优单停问题。

Carmona和Le\'on（2007）研究了利率根据CIR过程变化的最佳投资时机。inDixit（1994）讨论了其他均值回复模型，如指数O rnstein-Uhlenbeck（OU）模型。与这些stu-dies不同，我们的模型解决了多个时间决策。我们的主要贡献是分析推导了非平凡最优启动和停止定时策略以及相关的价值函数。在启动-停止和切换方法下，当过程值足够高时停止是最佳选择，尽管在不同的级别。至于启动时间，我们找到了必要且充分的条件，在面临最优切换问题时，根本不启动是最优的。在这种情况下，最优切换问题实际上简化为最优单停问题，其中最优停站水平与最优启动停站问题相同。在文献中，Menaldi等人（1996）研究了一般马尔科夫过程的最优起止问题，并给出了值函数的数学特征。Sun（1992）考虑了由时间齐次微分驱动的最优启停问题，并分析了相关的嵌套变分不等式（VIs）。Zervos等人（2013年）讨论了一种求解方法，该方法涉及一个最优切换问题的耦合变分不等式，该问题在某些同质差异下受到固定交易成本的影响。Tanaka（1993）研究了离散时间下双参数随机过程的最优启停问题。VI方法不仅常用于最佳启动-停止和切换问题，也常用于最佳停止问题（见Bensoussan and Lions（1982）和Oksendal（2003）等）。

当奖励函数和价值函数是简单的显式函数，且具有可修正的性质时，VI方法最有用。然而，在我们的起止问题中，起止问题的报酬函数用第一类的反超几何函数表示，可以是正的，也可以是负的。这促使我们采用概率方法来严格构造值函数。与VI方法不同，我们通过将值函数描述为相应奖励函数的最小凹主函数，来解决最优启动-停止问题。这使我们能够直接推导出值函数并证明其最优性，而无需事先猜测结果区域的开始/停止/继续。Dayanik和Karatzas（2003年）讨论了这种方法，可以追溯到Dynkin和Yushkevich（1969年）。在解决了最优启动-停止问题之后，我们应用我们的结果来推断最优切换问题的类似解结构，并使用变分不等式进行验证。作为最优起止问题的相关应用，Leung和Li（2014）研究了在止损约束下交易均值回复价差的最佳时机。Leu ng等人（2014年）研究了在交易成本的影响下购买和出售股票的问题。Karpowicz和Szajowski（2007）分析了保险公司风险流程的开始-停止时间。在衍生品交易的背景下，Leung和Liu（2012）研究了清算信用衍生品的最佳时机，其中违约强度由OU或CIR流程调整。他们关注有限期交易问题，并确定即时停止或永久持有是最优的条件。论文的其余部分结构如下。

在第二节中，我们计算了最优启动-停止和最优切换问题。然后，我们在第3节给出了我们的分析结果和数值例子。第4节详细介绍了我们主要结果的证明。最后，附录包含了一些引理的证明。2问题概述表示概率空间(Ohm , F、 P），其中P是历史概率度量。我们考虑一个循环过程≥0满足SDEdYt=u（θ）的条件- Yt）dt+σpYtdBt，（2.1）常数u，θ，σ>0时，d B是概率空间上定义的标准布朗运动。如果2θ≥ σ保持，这通常被称为Feller条件（参见Feller（1951）），则Y无法访问0级。如果初始值Y>0，则Y几乎总是严格地保持为正。然而，如果Y=0，那么Y将立即进入状态空间的内部，并且此后几乎肯定会保持正值。如果2μθ<σ，则0级为反射边界。这意味着一旦Y达到0，它会立即返回状态空间的内部并继续进化。关于扩散过程边界的详细分类，我们参考Borodin and Salminen（2002）第2章和K arlin and Taylor（1981）第15章。2.1最佳启动-停止问题给定CIR过程，我们首先考虑最佳停止时间。如果在某个时间τ做出停止的决定，则收到金额Yτ，同时必须支付恒定交易成本cs>0。用F表示B生成的过滤，T表示所有F停止时间的集合。通过求解最优停止问题v（y）=supτ，可获得最大期望d值∈泰E-rτ（Yτ）- （政务司司长）, （2.2）其中r>0是恒定贴现率，Ey{·}≡ E{·| Y=Y}。值函数V表示最佳停止过程Y的期望值。

另一方面，流程价值加上交易成本构成了启动的总成本。在开始之前，我们需要选择最佳的开始时间，或者根本不开始。这导致我们分析启动-停止问题中固有的启动时间。精确地说，我们解j（y）=supν∈泰E-rν（V（Yν）- Yν- （cb）, （2.3）初始发生的固定交易成本cb>0。换句话说，目标是最大化价值函数V（Yν）和当前Yν之间的预期差异，即交易成本cb。价值函数J（y）表示进入和随后退出时可能产生的最大预期价值，在进入和退出时，交易成本分别为CBC和csincurred。根据我们的分析，CBC和CSC的交易成本可能有所不同。为了便于表达，我们将函数shs（y）=y表示为- cs，and hb（y）=y+cb。（2.4）如果结果是J（Y）≤ 对于某个初始值Y为0，则最好根本不启动。因此，识别无关紧要的情况非常重要。在CIR模型下，因为supy∈R+（V（y）-hb（y））≤ 0表示J（y）=0表示y∈ R+，因此我们将重点讨论Supy的情况∈R+（V（y）- hb（y））>0，（2.5），并求解非平凡最优定时策略。2.2最优切换问题在最优切换方法下，假设存在一定数量的进入和退出操作。顺序进入和退出时间由s顶部时间ν、τ、ν、τ、·建模∈不是这样的≤ ν≤ τ≤ ν≤ τ≤ . . . .进入和退出决定分别在νi和τi，i时作出∈ N.最佳进出时机取决于初始位置。

准确地说，在CIR模型下，如果初始位置为零，那么第一个任务是确定何时启动，相应的最佳切换问题是J（y）=sup∧Ey(∞Xn=1[e-rτnhs（Yτn）- E-rνnhb（Yνn）]，（2.6）和一组容许停止时间∧=（ν，τ，ν，τ，…），以及（2.4）中定义的奖励函数。另一方面，如果我们从一个长的位置开始，那么就有必要求解∧V（y）=sup∧Ey（e）-rτhs（Yτ）+∞Xn=2[e-rτnhs（Yτn）- E-rνnhb（Yνn）]，（2.7）与∧=（τ，ν，τ，ν，…）决定何时停止。总之，最佳的启动、停止和切换问题取决于入口和出口决策的数量。注意，任何针对启动-停止问题（2.2）-（2.3）的策略都是针对切换问题（2.6）-（2.7）的附带策略。因此，V（y）≤■V（y）和dJ（y）≤~J（y）。我们的目标是推导并比较这两种方法下相应的最佳时机策略。3分析结果摘要我们首先总结分析结果，并说明最佳启动和停止策略。解的方法和证明将在第4节讨论。我们考虑了最优启停问题和最优切换问题。首先，我们表示Y的最小生成元asL=σyddy+u（θ- y） 考虑普通微分方程（ODE）Lu（y）=ru（y），表示y∈ R+。

（3.1）为了给出该常微分方程的解，我们定义了函数sf（y）：=M（ru，2uθσ；2uyσ）和G（y）：=U（ru，2uθσ；2uyσ），（3.2）其中M（a，b；z）=∞Xn=0anznbnn！，a=1，an=a（a+1）（a+2）·a+n- 1） ，U（a，b；z）=Γ（1）- b） Γ（a）- b+1）M（a，b；z）+Γ（b）- 1） Γ（a）z1-bM（a）- b+1,2- Bz） 是第一类和第二类的有效超几何函数，也分别称为库默函数和特里科米函数（参见Abramowitz和Stegun（1965）第13章和Lebedev（1972）第9章）。众所周知（见G¨oing Jaeschke和Yor（2003）），F和Gare分别严格正解，以及ODE（3.1）的严格递增和递减连续可微解。此外，我们注意到贴现过程（e-rtF（Yt））t≥0和（e）-rtG（Yt））t≥0是鞅。此外，回顾（2.4）中定义的奖励函数，并注意（L）- r） 血红蛋白（y）> 如果y<yb，则为0；如果y>yb，则为<0；和（L）- r） 房协（y）> 0如果y<ys，<0如果y>ys，（3.3）其中临界常数yb和y由yb定义：=μθ- rcbu+rand ys:=uθ+rcsu+r.（3.4）注意，Yb和ys分别取决于参数u、θ和r，以及Cb和Cs，而不是σ。3.1最佳启动-停止问题我们现在给出了最佳启动-停止问题（2.2）-（2.3）的结果。事实证明，价值函数V用F表示，J用V和G表示。函数F和G也在确定最佳启动和停止阈值方面发挥作用。定理3.1最优停止问题（2.2）的值函数由v（y）给出=B*-脑脊液（b*)F（y）如果y∈ [0，b]*),Y- csif y∈ [b]*, +∞).这里是最佳停车级别b*∈ （cs）∨ 是的，∞) 从方程f（b）=（b）中可以找到- cs）F′（b）。（3.5）因此，最好在过程Y达到b时立即停止*从下面。

b级停车场*还必须高于固定成本以及（3.4）中规定的临界水平。现在我们转向最佳启动问题。定义函数h（y）的奖励：=V（y）- （y+cb）。（3.6）由于F和V是凸的，所以^h也是凸的，我们还观察到奖励函数^h（y）在y中递减。为了排除永远不会开始的最佳情况，在（2.5）中所述的条件，即supy∈R+h（y）>0，现在等于v（0）=b*- 脑脊液（b*)> cb，（3.7），因为F（0）=1。定理3.2最优启动问题（2.3）允许解j（y）=V（y）- （y+cb）如果y∈ [0，d*],V（d）*)-（d）*+cb）G（d）*)G（y）如果y∈ （d）*, +∞).最佳起始水平d*> 0由g（d）（V′（d）唯一确定- 1） =G′（d）（V（d）- （d+cb）。（3.8）因此，当CIR过程Y降到严格的正水平d以下时，最好如此启动*.3.2最优切换问题现在我们研究（2.1）中CIR模型下的最优切换问题。我们首先给出一个条件，在这个条件下，永远不要开始。定理3.3在CIR模型下，如果它认为（i）yb≤ 0，或（ii）yb>0和cb≥B*-脑脊液（b*),和b*如（3.5）所示，最优切换问题（2.6）-（2.7）允许y的解J（y）=0≥ 0，（3.9）和V（y）=B*-脑脊液（b*)F（y）如果y∈ [0，b]*),Y- csif y∈ [b]*, +∞).（3.10）条件（i）和（ii）取决于问题数据，可以很容易地验证。特别是，如果Yb在（3.4）中定义且易于计算，则它与σ和cs无关。由于不进入是最优的，切换问题等价于一个停止问题，定理3.3中的解与定理3.1中的解一致。