具有固定参数的CIR过程的最优启停和切换

反过来，^H在（φ（0），0）上的连续性和可微性，以及^H在（φ（0），φ（b）上的两次可微性*)) ∪（φ（b）*), 0）跟随。为了证明^H在0处的连续性，我们注意到^H（0）=limy→+∞（^h（y））+F（y）=limy→+∞F（y）=0，和limz→0^H（z）=石灰→+∞^hF（y）=limy→+∞-（cs+cb）F（y）=0。由此，我们得出结论，^H在0时也是连续的。（i） 首先，对于y∈ [b]*, +∞),^h（y）≡ -（cs+cb）。为了你∈ （0，b*), 我们计算v′（y）=b*- 脑脊液（b*)F′（y）=F′（y）F′（b）*), 到（3.5）。回想一下，F′（y）是一个严格递增函数，^h（y）=V（y）- Y- cb。差异化产物^h′（y）=V′（y）- 1=F′（y）F′（b）*)- 1<F′（b）*)F（b′）*)- 1=0，y∈ （0，b）*),这意味着^h（y）对于y是严格递减的∈ （0，b）*). 另一方面，当我们考虑非平凡情况时，^h（0）>0。因此，存在一个独特的解决方案“d<b”*to^h（y）=0，因此^h（y）>0表示y∈ [0，\'d），而^h（y）<0表示y∈ （\'d+∞). 带^H（z）=（^H/F）o φ-1（z），^h的上述性质，以及φ（y）严格增加且F（y）>0的事实，意味着性质（i）。（ii）z=φ（y），对于y>b*,由于^H′（z）=φ′（y）（^hF）′（y）=φ′（y），因此^H（z）严格增加(-（cs+cb）F（y））′=φ′（y）（cs+cb）F′（y）Fχ（y）>0。当y→ 0，因为（^h（y）F（y））是有限的，但是φ′（y）→ +∞, 我们有limz→φ（0）^H′（z）=0。（iii）考虑二阶导数：^H′（z）=σF（y）（φ′（y））（L- r） ^h（y）。σ、F（y）和（φ′（y））的正性表明我们考虑了（L）的符号- r） ^h（y）：（L- r） ^h（y）=σxV′（y）+u（θ）- y） V′（y）- u(θ - y）- r（V（y）- （y+cb）=（u+r）y- μθ+rcbif y<b*,如果y>b，r（cs+cb）>0*.由于u，假设r>0- r） ^h（y）严格地在（0，b）上增加*). 接下来，我们展示了0<yb<ys<b*.

通过F′（0）=rμθ和假设V（0）=b*-脑脊液（b*)> 我们有v′（0）=b*- 脑脊液（b*)F′（0）=b*- 脑脊液（b*)rμθ>rcbμθ。此外，通过V和V′（b）的凸性*) = 1，它得出rcbμθ<V′（0）<V′（b）*) = 1，这意味着μθ>Rc，因此yb>0。简单地比较yb和yb的定义。因此，通过观察（L- r） ^h（yb）=0，我们得出（L）- r） ^h（y）<0∈ [0，yb）和（L）- r） ^h（y）>0如果y∈ （yb+∞). 这表明^H的凹凸性是理想的。参考文献Abramowitz，M.和Stegun，I.（1965）。《数学函数手册：公式、图表和数学表格》，第55卷。多佛出版社s.Bensoussan，A.和Lions，J.-L.（1982）。变分不等式在随机控制中的应用。北荷兰出版公司，阿姆斯特丹。Borodin，A.和Salminen，P.（2002年）。布朗运动手册：事实和公式。Birkhauser，第二版。卡莫纳，J.安德勒昂，A.（2007）。CIR利率下的投资期权。《金融研究快报》，4（4）：242-253。Cox，J.C.，Ingersoll，J.E.，和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385-408。Dayanik，S.和Karatzas，I.（2003年）。关于一维微分的最优停止问题。随机过程及其应用，107（2）：173–212。Dixit，A.K.（1994年）。不确定性下的投资。普林斯顿大学出版社。丁金，E.和尤什凯维奇，A.（1969）。马尔可夫过程：定理和问题。全会新闻。Ewald，C-O.和Wang，W-K.（2010）。Cox-Ingersoll-Ross型均值回归的不可逆投资。数学社会科学，59（3）：314-318。费勒，W.（1951）。两个单一的分歧问题。《数学年鉴》，54（1）：173-182。G–oing Jaeschke，A.和Yor，M.（2003）。贝塞尔过程的综述和一些推广。伯努利，9（2）：313-349。赫斯顿，S.L。

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