具有交互波动性的美式看跌期权交易研究

确定的最佳停车时间为τb∧ τη,0.（iii）如果其中一种情况（a）b>沙V（s，1，1）≥ （K）- b） （s/b）γ-,（b） b≤ 沙V（s，1，1）>（K）- s） +，（c）b≤ s<K和V（s，1，1）=（K- s） 满足，则V（s，0，1）=V（s，1，1）党卫军γ-, 对于s>s，该值函数在可能的有限马尔可夫时间τb处获得∧ τη，0，if（a）、（b）和τs，if（c）。（iv）如果b>K- s≤ V（s，1，1）<（K）- b） （s/b）γ-, thenV（s，0，1）=E*sγ+e*sγ-: s∈ （s，b）*)K- s:s∈ [b]*, b]∩ （s），∞)（K）- b）某人γ-: s∈ （b），∞)在哪里*= s、 如果K- s=V（s，1，1）和e*, E*, B*取自第14页引理2.3的证明，否则。值函数在可能的有限马尔可夫时间τ[b]处获得*,b] ，0∧ τb∧ τη，0，其中τ[a，b]，0def=inf{t≥ 0:St∈ [a，b]，Yt=0}，对于级别0<a<b，这里（s，b*) =  当b*= s、 备注1.7。（i） 本文的贡献包括两个非平凡案例（iii）和（iv），但也包括对已知案例（ii）的批判性审查——见下文备注1.7（iii+iv）。案例（iv）在数学上最有趣，因为它导致了一个断开的连续区域。如备注1.1（vi）中所述，只有最佳停止时间才与转换器真正相关。请注意，除了（iii）和（iv）中提到的子案例之外，没有其他子案例。在第（iii）（c）种情况下，对s<K的限制源于如果s为V（s，1，1）>0这一事实≥ K.我们将在第3节中讨论所有子情况的数值示例。（ii）在（iii）和（iv）两种情况下的计算都依赖于在情况（ii）下获得的测度Ps，1,1，s>0下的最优停止问题的解。

在这些措施下，定价过程（St，t≥ 0）满足随机微分方程Dst=μηtStdt+σηtstdbt，这是备注1.1（iv）和备注1.2（ii）+（iii）中讨论的结果。请注意，上述随机微分方程描述了马尔可夫调制的几何布朗运动，该运动在文献中被广泛用作简单的马尔可夫链制度转换波动率模型。然而，在这种政权转换模型的背景下，只有两篇关于PricinPerpetal American puts的重要论文：一篇由郭/张[3]撰写，论述了两种状态马尔可夫链的情况，另一篇由Jobert/Rogers[4]撰写，论述了具有完全多个状态的马尔可夫链的一般情况。布林顿/埃利奥特[2]的有限时间期限美国看跌期权的工作可以被认为是[3]背后思想的延伸。当马尔可夫链退化时，情形（ii）中给出的值函数的显式形式是郭/张结果的特例。函数h：（0，∞) → R可以是上述第9页（2.2）中两个微分方程的首解，例如h（s）=-λsα+λ- u+λKα+λ和h（s）=λs对数sα+λ+σ/2+λKα+λ分别表示α+λ6=u和α+λ=u。（iii）为了证明（ii）中V（·，1，1）的显式表达式确实是值函数，需要验证参数。用V表示这个显式表达式*（·，1，1），验证的标准方法是验证第2.2.1节开头给出的属性（v1）、（v2）、（v3），但关于测量值Ps，1,1，s>0。在[3]之后，人们意识到作者没有验证，而是在定理3.1中假设（v3）。

此外，他们对（v2）的证明是不完整的，因为他们只证明（α）- 五十） 五*(·, 1, 1) ≤ 0位于连续区域内。在延拓区域之外，也就是当V*（·，1，1）与（K）重合- ·)+, （α）的有效性-五十） 五*(·, 1, 1) ≤ 0将取决于b的值，而[3]中没有解决这个问题。最后，他们还假设≥ 0，这是我们可能希望避免的假设，如备注1.1所述。总之，[3]中给出的价值函数的验证是不完整的，其假设对我们的目的来说过于严格，这就是为什么我们决定在附录中讨论这个验证。（iv）我们还检查了[4，Prop.2]证明中给出的验证论点。在这里，作者特别证明（α- 五十） 五*(·, 1, 1) ≤ 0在延拓区域之外，但其证明要求（e-utSt，t≥ 0）成为限制u至u选择的超级艺人≤ r、 我们无法遵循他们的（v3）证明，因为在我们看来，他们似乎使用了Doob的可选采样定理，使用了无限的停止时间。此外，我们不明白为什么在没有进一步论证的情况下，在附录1中提到的两种特殊情况下（Uniquetsy）的解[1]和[2]中提到的两种非线性解[1.2]的结果。在我们的例子中，相应马尔可夫链的Q矩阵是退化的。因此，在下一节中，我们仅概述案例（ii）的证据。但我们给出了足够的细节，将定理1.6（ii）中使用的符号置于上下文中。然而，回想一下备注1.7（iii），其中Wee解释说[3]中的值函数验证不完整。

相应的细节见附录。2.1定理1.6（i）和（ii）对所有s>0以及任何停止时间τ，Es，1，i[e]的证明-ατ（K）- Sτ）+]≤ 是的，1，i[e]-α(τ ∧τη，0）（K）- Sτ∧τη，0）+]，对于（s，i）∈ (0, ∞) ×{0，1}，自进程（St，t≥ 0）在τη0处停止。因此V（s，1，0）=（K- s） +最佳停止时间为0（i）。为了显示（ii），回想一下Yt=1，对于所有t≥ 0，a.s.，当从anys>0开始动力学时，y=i=1。现在，假设停止区域的形式为（0，b）×{1}×{1}∪ (0, ∞) ×{1}×{0}当从s>0开始时，y=i=1，其中bis是未知的停止水平。然后，通过[9，定理2.4]例如，如果V是下半连续的，则值函数V（s，1，1）将在τ处获得*= τb∧ τη，0，（2.1）和（e）-α(τ*∧t） V（圣∧τ*, Yt∧τ*, ηt∧τ*), T≥ 0）将是一个Ps，1，1-鞅。我们想利用这个鞅性质来推导V和b的方程。现在假设V有更多的正则性，可以应用一个推广的It^o公式（见下面的备注2.2）来获得-α（t）∧τ*)V（圣∧τ*, Yt∧τ*, ηt∧τ*) = V（S，Y，η）+Zt∧τ*E-αu（L）- αI）V（Su，Yu，ηu）du+Mt∧τ*,尽管如此，t≥ 0，a.s.，其中M表示局部鞅，I表示恒等式算子。当然，对于上面左边的鞅，右边的积分必须消失。

利用第3页给出的L的具体形式和上文证明的（i），可以得到该积分消失的充分条件0=微秒V（s，1，1）+σsV（s，1，1）+λ（K）- （s）- s的（α+λ）V（s，1，1）∈ （b，K）0=微秒V（s，1，1）+σsV（s，1，1）- s的（α+λ）V（s，1，1）∈ （K），∞)取决于边界的未知B主题和粘贴条件→∞V（s，1，1）=0，V（K）-, 1,1）=V（K+，1,1），V（K）-, 1, 1) = V（K+，1,1），（2.2）K- b=V（b+，1，1），- 1 = V（b+，1，1），其中- 和+分别表示在相应的参数处取左极限和右极限。上述方程的已知解的形式为v（s，1，1）=（csβ++csβ-+ h（s）代表s∈ （b，K）dsβ++dsβ-对于s∈ （K），∞)（2.3）具有未知系数c、c、d、d和β+（β-) 是方程（1.6）的正（负）根。关于函数h的选择，我们参考备注1.7（ii）。当然，（2.2）中的第一个条件意味着d=0，而其他四个条件则意味着kβ++cKβ-+ h（K）=dKβ-,cβ+Kβ+cβ-Kβ-+ Kh（K）=dβ-Kβ-,K- b=cbβ++cbβ-+ h（b），- b=cβ+bβ++cβ-bβ-+ 波黑（b）。（2.4）请注意，系数c、c、D线性依赖于bβ，因此问题归结为b的数值求解。有关验证，请参阅附录。关于y=1的V的讨论到此结束。现在我们来看看理论1的案例（iii）和（iv）。6处理案例y=0.2.2定理1.6的证明（iii）回顾定理1.4的设置，但也要介绍V（s）def=supnEs[e]-α∧τ（K）-~S~τ∧ττs）+]：关于（~St，t）的ττ停止时间≥ 0）哦，为了所有的人≥ s、 引理2.1。如果b≤ s<K，那么V（s）=（K- （s）党卫军γ-, 对于s≥ s、 （2.5）和（可能是有限的）马尔可夫时间τ是最佳时间。证据假设b≤ s<K和fix s≥ s

通过“猜测和验证”，可以检查（2.5）的右侧是否满足（v1）（K）- s） （s/s）γ-=~Es[e-α∧τs（K）-~SτS）+{τS<∞}],（v2）过程（e）-αt（K）- s） （）∧ττs/s）γ-, T≥ 0）是一个Ps超鞅，（v3）（K）- s） （s/s）γ-≥ （K）- s） +。对于（v1），根据It^o的公式，~Es[e-α∧τs（K）-~SτS）+{τS<∞}]= 极限→∞~Es[e-α（ττs）∧t） （K）- s） ~sτs∧ts！γ-]= 极限→∞~Es“（K- （s）党卫军γ-+ （K）- s） Z~τs∧te-αu[（）- αI）·sγ-]（~Su）du+Mt∧■τs#=（K- （s）党卫军γ-,因为（Mt，t）≥ 0）是一个Ps鞅，积分中的表达式消失。对于（v2），根据马尔可夫性质，有必要证明-αt（~St）∧ττs/s）γ-] ≤ （s/s）γ-, 无论如何≥ 0，忽略常数K- s、 但是，对于固定的t≥ 0，~Es[e-αt~St∧τss！γ-] ≤~Es[e-α（t）∧~τs）~St∧τss！γ-] =党卫军γ-,当证明上述（v1）时，最后一个等式已经验证。对于（v3），请注意V（b）=（K- b） γ-b=-1如备注1.5（i）所述。基于两个参数，我们现在可以推断（K）的导数- s） （·/s）γ-比-1开（s，K）。首先是（K）的导数- s） （·/s）γ-下面是-1在s，因为b≤ 单纯形V（b）（K）- s） γ-/s=（K）- b） s（K）- s） b≥ 1.第二，（K）- s） （·/s）γ-在（s，K）上是凸的。但是，如果（K）的导数-s） （·/s）γ-比-1关于（s，K）和（K）-s） （·/s）γ-触摸（K）- ·) 在s，然后（K- s） （s/s）γ-> （K）- s） +，对所有人来说∈ （s，K）。最后- s） （s/s）γ->（K）- s） +=0，代表s∈ [K，∞), 这是显而易见的。备注2.2。在下面的内容中，我们将使用Meyer公式[8]的一个简单应用，它推广了^o\'s公式，如下所示：如果φ：（0，∞) → R是一个连续两次可微分的函数，除了在若干点{a，…，an}处，使得φ（ak±）def=limx→ak±φ（x）和φ（ak±）def=limx→ak±φ（x）存在且是有限的，k=1。

n，那么φ（St）=φ（S）+Ztφ（Su）dSu+Ztφ（Su）dhSiu+nXk=1Lt（ak）[φ（ak+）- φ（ak）-)],尽管如此，t≥ 0，a.s.，其中Lt表示连续半鞅（St，t）的局部时间≥ 0).请注意，上述公式中的两个被积函数对于Lebesgue几乎每个u都有很好的定义，几乎可以肯定，它唯一地确定了积分。如果φ是连续的，那么当地时间项甚至会消失，并且上面的公式看起来像经典的It^o公式。现在，我们回到我们的问题：对于s>s，我们已经知道V（s，0，1），对于所有s>0，i=0，定理1.6（iii）（a）和（iii）（b）的证明，假设定理1.6（iii）的条件（a）或条件（b）满足*= τb∧τη，0，并引入：V*（s，y，i）def=V（s，1，1）党卫军γ-: s>s，y=0，i=1V（s，1，i）：s>0，y=1，i∈ {0，1}验证，对于任何s>s，（v1）V*（s，0，1）=Es，0,1[e-ατ*（K）- Sτ*)+{τ*<∞}],（v2）过程（e）-α电视*（St，Yt，ηt），t≥ 0）是一个Ps，0,1-超马氏体，（v3）V*（s，0，1）≥ （K）- s） +，在（a）和（b）两种情况下都意味着定理1.6的结论。我们将验证（v1）、（v2）、（v3）。首先观察V（s，1，1）>（K- s） +持有（a）和（b）两种情况。要在非平凡的情况（a）中看到这一点，请注意（K）- b） （·/b）γ-是严格凸[s，b]和接触（K- s） +在s=b<K时，所以V（s，1，1）≥ （K）- b） （s/b）γ-> K- s、 因此，（s，1，1）对于第4页上的最优停止问题（1.3）处于连续区域。由于当y=i=1时，bis是延拓区域的下边界，我们可以推断b<s，因此τs<τ*, 对于s>s，因此，Es，0,1[e-ατ*（K）- Sτ*)+{τs<∞}]=Es，0,1hEs，0,1[e-ατ*（K）- Sτ*)+{τs<∞}|Fτs]i=Es，0,1he-ατs{τs<∞}Es，1,1[e-rτ*（K）- Sτ*)+]| {z}V（s，1，1）i，由强马尔可夫性质。

所以，简单地算出命中时间τs（v1）的拉普拉斯变换。注意（St，t≥ 0）只接受正值。接下来我们验证（v2），对于s>s fix。通过Markov性质，我们只需要证明es，0,1[e-α电视*（St，Yt，ηt）]≤ 五、*（s，0，1），（2.6）表示所有t≥ 0.修复t≥ 0，考虑到-α电视*（St，Yt，ηt）=e-α电视*（St，Yt，ηt）- E-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，Yt∧τs，ηt∧τs）+e-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1），（2.7），其中最后一项由V调整*（s，1，1）=V*（s，0，1）。{t，利用马尔可夫的性质，现在认识到≥τs}e-α电视*（St，Yt，ηt）]=Es，0,1h{t≥τs}Es，0,1[e-α电视*（St，Yt，ηt）| Ft∧τs]i=Z{t≥τs（ω）}e-ατs（ω）Es，1,1[e-α（t）-τs（ω））V*（圣-τs（ω），Yt-τs（ω），ηt-τs（ω））]|{z}≤ 五、*（s，1，1）来自案例（ii）Ps，0,1（dω），并且由于（2.7）右侧的差异等于-α电视*（St，Yt，ηt）- E-ατsV*（s，1，1）]i×1{t≥τs}，我们得到了，0,1[e-α电视*（St，Yt，ηt）]≤ Es，0,1[e-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）]。（2.8）为了证明（2.6），我们想在上面的右边应用It^o公式，然后取期望值。回想一下我在第3页介绍的操作员。作为函数V*（·，0，1）定义于，∞) 可以推广到R上的C-函数，它的公式是Ps，0,1-a.s.yieldse-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）=V*（s，0，1）+Zt∧τse-αu（L）- αI）V*（Su，0，1）du+IBM，其中IBMis是针对期望值为零的布朗运动的可积随机积分。此外，通过显式计算- αI）V*（s，0，1）=0，表示s>s，因此（2.8）的右手侧减小为V*（s，0，1）最终显示（2.6）。在（a）和（b）两种情况下，对于任何s>s，仍需验证（v3）。对于（a），请注意*（s，0，1）=V（s，1，1）党卫军γ-≥ （K）- b）某人γ-党卫军γ-= （K）- b）某人γ-,因此必须证明（K-b） （s/b）γ-≥ （K）-s） +，对于s>s。注意（K-b） （·/b）γ-巧合，在[b]上，∞), 利用定理1.4中给出的值函数V，它同时满足V（s）≥（K）- s） +，代表s∈ [b]，∞), 和V（b）=-1.

因此，因为（K- b） （·/b）γ-是一个凸函数（0，∞), 它必须以（K）为界- ·)+也在（s，b）上。对于（b），如果s≥ 但是，如果≤ s<K，那么我们从Lemma 2.1的证明中知道（K- s） （s/s）γ-> （K）- s） +，对于所有s>s。因此，V*（s，0，1）=V（s，1，1）党卫军γ-> （K）- s） +表示s>s，因为在（b）情况下，V（s，1，1）>（K- s） +假设。2.2.2定理1.6（iii）（c）的证明我们将验证第2.2.1节中的（v1）、（v2）、（v3）对于固定s>s，但使用τ*= τs。首先，注意，{τs<∞}, 过程（St，0≤ T≤ τs）在Ps下，0,1具有与过程相同的分布（~St，0≤ T≤ 定理1.4中引入的)p下的)τs）。引理2.1，对于s>s，wetherefore-Haves，0,1[e-ατs（K）- SτS）+{τS<∞}]=~Es[e-α∧τs（K）-~SτS）+{τS<∞}] = （K）- （s）党卫军γ-,式中V（s，1，1）=K- sby假设，和（v1）如下。对于（v2），可以复制第2.2.1节中的相应证明，因为值函数在所有子案例（a、b、c）中具有相同的形式。最后，V*（s，0，1）=V（s）≥ （K）- s） +，对于所有s>s，展示（v3）并完成定理1.6（iii）的证明。2.3定理1.6（iv）的证明与定理1.6（ii）的证明一样，我们首先猜测停止区域的结构，然后验证相应自由边值问题的解是期望值函数。首先，因为值函数声称是在马尔可夫时间τ[b]处获得的*,b] ，0∧ τb∧ τη，0，要猜测的停止区域应采用形式h[b*, b] ×{0}×{1}i∪h（0，b）×{1}×{1}i∪h（0，∞) ×{1}×{0}i，其中b是已知的，但是b*∈ [s，b]不是。

回想一下，这两个带B都必须由K控制。现在，参考定理1.6（ii）对基本参数的证明，未知值函数V（s，0，1）对应的自由边值问题是0=usV（s，0，1）+σsV（s，0，1）- αV（s，0，1），对于s∈ （s，b）*) ∪ （b），∞),取决于未知的b*根据边界条件sv（s，1，1）=V（s+，0，1），V（b*-, 0,1）=K- B*,V（b）*-, 0, 1) = -1，K- b=V（b+，0，1），- 1 = V（b+，0，1），lims→∞V（s，0，1）=0。（2.9）考虑到定理1.4，如果V（s，0，1）满足这些约束条件，那么它必须有相应的表示E*sγ+e*sγ-: s∈ （s，b）*)K- s:s∈ [b]*, b]∩ （s），∞)（K）- b）某人γ-: s∈ （b），∞)（2.10）其中e*, E*, B*应根据（2.9）的前三个条件确定。然而，这三个条件可能不会使e*, E*, B*唯一的但是，V是与最优停止问题相关的值函数，这导致了下一个引理中所述的唯一性，见下面的备注2.6（ii）。引理2.3。如果s<带（K- s） <V（s，1，1）<（K）- b） （s/b）γ-, 然后就有了独特的能力*, E*还有独特的b级停车位*∈ （s，b）使得v（s，1，1）=e*sγ+e*sγ-, （2.11）e*bγ+*+ E*bγ-*= K- B*, （2.12）e*γ+bγ+*+ E*γ-bγ-*= -B*,E*sγ+e*sγ-> K- s、 对于s∈ （s，b）*).在证明这个引理之前，我们将陈述以下预备结果。引理2.4。（例如参见[6，引理2]）固定的≤ s≤ ~s，φ（s，~s）def=Es，0,1[e-α（τs）∧τs）{τs<τs}]=sγ+sγ-- sγ-~sγ+sγ+sγ-- sγ-~sγ+，和φ（s，~s）def=Es，0,1[e-α（τs）∧τs）{τs>τs}]=sγ+sγ-- sγ-sγ+sγ+~sγ-- sγ-~sγ+，其中τsdef=inf{t≥ 0:St≥ ~s}。引理2.5。在引理2.3的假设下，方程v（s，1，1）党卫军γ-= K- 正好有两个解决方案∈ （s，K）其中只有一个，比如s，小于b。考虑函数f（·）=V（s，1，1）（·/s）γ-- （K）- ·) 在（0，∞), 注意f（s）>0，f（b）<0，f（K）>0。