具有交互波动性的美式看跌期权交易研究

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英文标题：
《On Trading American Put Options with Interactive Volatility》
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作者：
Sigurd Assing and Yufan Zhao
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a simple stochastic volatility model, whose novelty consists in taking into account hitting times of the asset price, and study the optimal stopping problem corresponding to a put option whose time horizon (after the asset price hits a certain level) is exponentially distributed. We obtain explicit optimal stopping rules in various cases one of which is interestingly complex because of an unexpected disconnected continuation region. Finally, we discuss in detail how these stopping rules could be used for trading an American put when the trader expects a market drop in the near future.
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中文摘要：
我们引入了一个简单的随机波动率模型，其新颖之处在于考虑了资产价格的击中次数，并研究了时间范围（在资产价格达到一定水平后）呈指数分布的看跌期权的最优停止问题。在各种情况下，我们得到了显式的最优停止规则，其中一个有趣的是，由于意外的断开连续区域，它非常复杂。最后，我们详细讨论了当交易员预期近期市场下跌时，这些止损规则如何用于美国看跌期权的交易。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_Trading_American_Put_Options_with_Interactive_Volatility.pdf (767.23 KB)

2022-5-7 04:18:26 上传

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关键词：交易研究 期权交易 看跌期权 波动性 Continuation

具有交互波动性的美式看跌期权交易研究*英国考文垂华威大学统计系CV4 7AL电子邮件：s。assing@warwick.ac.ukAbstractWe引入一个简单的随机波动率模型，其新颖之处在于考虑了资产价格的击中次数，并研究了时间范围（资产价格达到一定水平后）呈指数分布的期权的最优停止问题。在各种情况下，我们得到了明确的最优停止规则，其中一个有趣的是，由于存在意外的断开连续区域，因此非常复杂。最后，我们详细讨论了当交易员预期近期市场下跌时，这些止损规则如何用于美国看跌期权的交易。关键词最优停止，随机波动模型，制度转换，美国期权数学学科分类（2010）：初级60G40；本文讨论了期权交易激励下的最优停止问题。首先，我们介绍了一个简单的短期资产价格模型，该模型能够捕捉所谓杠杆效应的某些方面，其次，在这种模型下，我们预测该资产上永久美国看跌期权的价值和执行时间。杠杆效应指的是一种现象，即资产价格下降通常伴随着波动性上升。我们不会争论杠杆效应是否是真实现象。我们更倾向于将其视为一种观察到的现象，自20世纪70年代中期以来，许多论文都对此进行了讨论，当时布莱克[1]给出了广受欢迎的宏观经济解释。由于已经观察到这种影响，寻求风险的市场参与者可能希望利用它。然而，其他影响可能会叠加在可能的杠杆效应上。

例如，负收益报告后股价下跌通常伴随着波动性下降，因为在宣布事件后不确定性降低。因此，押注于价格下跌和波动性上升的组合的决定需要对相关市场条件进行仔细分析，这就留给了代理市场参与者。我们心目中的市场参与者是一名期权交易员，他做出了这个决定，并计划在美国看跌期权上做多。当押注杠杆效应时，做多美国看跌期权的理由有两个；价格下跌和波动加剧都会提高看跌期权价格。但是，如果交易者想在进入交易前了解这种下注策略的风险，他们应该创建一个价格模型（St，t）≥ 0）美国看跌期权的基础资产，首先，*由EPSRC博士奖学金#ASTAA1213YXZ资助。它足够简单，第二，能够捕捉交易者对未来偏好的关键特征，第三，有足够的参数来控制未来价格不同情景的概率。我们提出的模型可以试探性地描述如下：o价格St，t≥ 0，表现为几何布朗运动，波动性参数σ和趋势u直到达到临界水平s s，其中s是当前价格；o当达到临界水平时，波动性参数上升到σ，股票的趋势变为u；o这种“激发”状态持续一段时间，其长度为T，与速率λ呈指数分布最终，价格冻结在指数时间T到期时的价格。这种波动率模型的新特点是它依赖于价格过程的击中次数，这在文献中还没有讨论过。我们称这种随机波动性为交互进化性，以强调这种额外的依赖性。备注1.1。

（i） 上述模型假设St=St∧（τs+T），对于T≥ 0，其中τadef=inf{t≥ 0:St≤ a} ，（1.1）对于给定的价格水平a。将价格冻结在τs+T的原因是，这个时间跨度被认为是交易的时间范围：一旦市场的波动性降至正常水平，交易者希望退出。在该模型下研究永久美式看跌期权很容易发现，看跌期权应在随机时间τs+T最佳行使，最新情况见备注1.3（ii）。（ii）符号s s用于强调差异- 在资产的当前价格和临界水平之间，应选择足够大的数值。s的大小- 根据杠杆效应，确定市场下跌的强度，从而导致波动率从σ变为σ。（iii）σ的合理选择是交易员希望做多的已交易美国国债的当前隐含波动率。现在回想一下log St=log s+（u-σ） 假设t+σ布朗运动z}|{bt对t成立∈ [0，τs）。因此，对于固定σ，u的选择决定了命中时间τs的分布。为了满足交易者对近期市场下跌的偏好，应选择足够小的u，以降低τs大值的概率。

但是，交易者还应该分析u值较大时的最优止损问题，也就是说，他们应该在假设自己错了且近期市场下跌的可能性很小的情况下分析自己的头寸。（iv）对于t∈ [τs，τs+T），这是交易的最后阶段，交易者假设slog St=log s+（u）-σ） （t）- τs）+σ（Bt）- Bτs）。参数σ，u的选择反映了交易者对杠杆效应引发的注册机制强度的看法，因此，这种选择或多或少取决于交易者的经验和他们对市场历史的理解。（v） 使用指数时间T对杠杆效应影响的时间跨度进行建模，使模型足够简单。还假设T与τs之前发生的情况无关。参数λ应足够大，以确保新波动率制度的时间跨度平均为天而不是周。如果τ和T都在平均水平上较短，那么整个交易的时间范围可能小于美国看跌期权的到期时间。（vi）根据上述第（iii）、（iv）项中的建议，交易员选择u、u的理由与交易期间的市场利率无关。因此，模型的潜在概率度量应该被视为对现实世界度量的猜测，而不是定价度量。在这个模型的背景下，计算出美国看跌期权的最佳行使时间，可以让交易者根据自己对未来的偏好，指示何时退出他们进入的交易。

模型下的看跌期权价值主要用于确定最佳行使时间，不应与交易看跌期权的价格混淆。（vii）我们的分析可用于激励选择具有合理的行权水平和到期时间的已交易美式看跌期权，以押注价格下跌和波动性上升的组合。详细示例见第3节。该模型具有马尔可夫链状态转换波动率模型的特点，当波动率为σ时，其激励状态持续指数时间。但是，在这个指数时间结束时，马尔可夫链并没有进入对应于另一个波动水平的状态，而是进入吸收状态。因此，对于交易的第二个也是最后一个阶段，该模型可以被视为退化的马尔可夫链制度转换波动率模型。我们将在下面的备注1.7（ii）中对马尔可夫链制度转换波动率模型进行评论。对于交易的初始阶段，该模型不同于马尔可夫链制度转换波动率模型，因为系统不会在马尔可夫链移动后进入兴奋状态。相反，它会根据资产价格是否下降到临界水平进入兴奋状态，也就是说，根据资产价格过去的表现。为了实现马尔可夫性，我们添加了一个过程（Yt，t≥ 0）用于筛选价格是否已降至临界水平。

为了充分描述St的动力学，我们还添加了一个过程（ηt，t≥ 0）这是一个筛选激励长度的吸收马尔可夫链。从技术上讲，我们使用强马尔可夫过程（S，Y，η）=（St，Yt，ηt，t）≥ 0），在一类概率空间上(Ohm, F、 Ps，y，i，（s，y，i）∈其中def=h（s，∞) ×{0}×{1}i∪h（0，∞) ×{1}×{0，1}被认为是拓扑空间（0，∞) 配有producttopology的×{0,1}×{0,1}。该过程的发生器由F（s，0，1）=us正式定义f（s，0，1）+σsf（s，0，1），代表s∈ （s），∞),Lf（s，1，1）=usf（s，1，1）+σsf（s，1，1）+λf（s，1，0）- f（s，1，1）, 对于s∈ (0, ∞),Lf（s，1，0）=0，对于s∈ （s），∞),考虑空间C上的无界算子∞（A）在一个消失的整体上的连续函数。它的域由所有f组成∈ C∞（A）满足f（s，1，1）-f（s，0，1）=0，这样，当从A上的Schwartz分布的意义上理解Lf时，它给出了一个完全消失的连续函数，并且对A.备注1.2。（i） 条件f（s，1，1）- f（s，0，1）=0是一个离散的Neumann边界条件。

这个边界条件意味着Ps，0,1=Ps，1,1，以及状态（s，0，1）和（s，1，1）之间的相互作用，导致过程Yt的跳跃，当价格链达到s时。（ii）因此，对于所有s>s，在Ps，0,1下，它认为Yt=1[τs，∞)（t） ，t≥ 0，ηt=1，t≤ τs，而对于所有的s>0，在Ps，1,1下，它认为Yt=1，t≥ 0和（ηt，t≥ 0）是一个独立的两态连续时间马尔可夫链，从1开始，以λ的速率在零处吸收。（iii）结合（ii）和Lf（·，1，0）≡ 0个yieldsPs，y，i{St=St∧τη，0表示所有t≥ 0}= 1.为所有人（s、y、i）∈ A、 其中τη，0def=inf{t≥ 0:ηt=0}，（1.2）也就是说，τη，0起着注释1.1（i）中所称的τs+t的作用。（iv）考虑到发电机L的其他定义特性，过程的S分量（S，Y，η）从S>shas开始，根据Ps，0,1，与备注1.1第（iii）项和第（iv）项中讨论的价格过程相同。请注意，我们本可以在Y跳跃后以λ的速率终止进程（S，Y）。但是，正如下面备注1.7（ii）中所解释的，使用像η这样的额外分量具有这样的优势，即我们可以在马尔可夫链区域切换模型的上下文中应用关于最优停止的结果。（v） 由于（S，Y，η）是强马尔可夫函数，过滤（Ft，t≥ 0）由（S，Y，η）生成的是右连续的，并且，由于明显的原因，该过滤与最小的右连续过滤一致，该过滤包含（σ（Su:u）的普遍增强≤ t） ，t≥ 0).总而言之，我们已经建立了一个概率模型，根据第2页四个要点中列出的特性预测资产的价格。接下来，在这个模型下，我们将研究以这种资产为基础的永久美国看跌期权合同的价值和最佳行使时间。

使用我们的概率模型，这样一个看跌期权的价值函数取了FORMV（s，y，i）def=supτ≥是的，是的，我-ατ（K）- Sτ）+]，表示（S，y，i）∈ A、 （1.3）在过滤（Ft，t≥ 0).备注1.3。（i） 贴现率α是指在交易时间间隔内，贸易商或多或少无风险考虑的投资回报率。如备注1.1第（iii）项和第（v）项所述，根据交易者的未来偏好，假设该时间间隔平均较短，因此选择α为常数是一个很好的近似值。这里，“由（S，Y，η）生成的过滤”指过滤（σ（Su，Yu，ηu:u）的普遍增强≤ t） ，t≥0）参见第2.7节。[5]中的B，以充分说明通用过滤。（ii）注意v（s，y，i）=supτ≤τη，0Es，y，i[e-ατ（K）- Sτ）+]因为St=St∧τη，0，t≥ 0，意味着e-ατ（K）- Sτ）+≤ E-ατη，0（K- Sτη，0）+onτ≥ τη,0. 因此，在我们的模型下，永久看跌期权应在τη，0=τs+T，最晚执行。首先回顾一下[7]中在几何布朗运动背景下获得的永久美式看跌期权的结果。定理1.4。给出了一类概率空间（~Ohm,~F，~Ps，s>0），let（~St，t≥ 0）是一个Fellerprocess，它的生成器是Lf=usf+σsf，f的闭包∈ C（（0，∞)),其中，当下标0添加到C时，表示紧凑支持。然后，值函数V（s）def=supn~Es[e-α∧τ（K）-~S~τ）+]：~τ关于（~St，t）的停止时间≥ 0）由V（s）给出的ois=K- s:s∈ （0，b）（K）- b）某人γ-: s∈ （b），∞)（1.4）其中b=-γ-K/（1）- γ-), γ-表示二次方程∑γ+（u）的负根-σ)γ - α = 0. （1.5）备注1.5。

（i） 上述值函数V满足度0=usV（s）+σsV（s）- αV（s），对于s>b，受制于V（b）=K- b、 ~V（b）=-1.lims→∞~V（s）=0。（ii）如果：-σ> 0，则不存在（确定的）最佳停止时间，在该时间，值函数V可以达到。但是)τbis是一个马尔可夫时间，在设置)Es[e]时，达到定理1.4中给出的)V-α∧τb（K）-在{τb=∞}. 在下面所有进一步的情况下，在可能的有限马尔可夫时间内获得一个值函数将被理解为如上所述，因为所有考虑的值函数在有限时间内消失。下一个定理给出了本文的主要结果。定理1.6。回忆（1.1）、（1.2）和备注1.1（ii）中的s，以及备注1.5（ii）中的b.Letγ+（γ）的含义-) 表示方程（1.5）的正（负）根。以下情况完全描述了（1.3）给出的值函数。（i） 在平凡的情况下，V（s，1，0）=（K- s） +，对于所有s>0的情况，最佳停止时间为0。（ii）让β+（β-) 表示二次方程σβ+（u）的正（负）根-σ)β - (α + λ) = 0. （1.6）然后，存在一个光滑函数h:（0，∞) → R使v（s，1，1）=K- s:s∈ （0，b]csβ++csβ-+ h（s）：s∈ （b，K]dsβ-: s∈ （K），∞)式中，系数c、c、D和停止水平是通过求解第9页的方程（2.4）获得的。