具有交互波动性的美式看跌期权交易研究

根据中值定理，存在s<s<b<s<K，如f（s）=f（s）=0，即V（s，1，1）姐妹γ-= K- si，对于i=1，2。只存在两个点，因为V（s，1，1）（·/s）γ-严格凸于（0，∞) 并且可以在不超过两个点处与一条直线相交。此外，V（s，1，1）党卫军γ-< K- s、 对于s<s<s，（2.13），也因为严格凸性。引理2.3的证明。引入Γ（s，~s）def=V（s，1，1）φ（s，~s）+（K）- ~s）φ（s，~s），用于≤ s≤ 使用引理2.4中定义的函数φ，φ。对于固定的s>s，请注意函数[s，~s]3s 7→ Γ（s，~s）的形式为esγ++esγ-e=V（s，1，1）~sγ-- （K）- ~s）sγ-sγ+~sγ-- sγ-~sγ+，e=-V（s，1，1）~sγ++（K- ~s）sγ+sγ+sγ-- sγ-~sγ+，这两个边界条件都是γ++esγ-= Γ（s，~s）=V（s，1，1）&e~sγ+e~sγ-= Γ（~s，~s）=K- 已经满足了。因此，如果我们能证明只有一个b*∈ （s，b）使Γ（b）*, B*) = -1和Γ（s，b）*) > K- s、 s∈ （s，b）*),然后是三胞胎（e*, E*, B*), e在哪里*, E*当用b代替s时，上述公式给出了e，e3的值*, 将是引理2.3中所述问题的唯一解决方案。这里是e的独特之处*, E*源于b的唯一性*作为e的公式*, E*当处理sγ±和bγ±时，与引理2.3中条件的子系统（2.11）、（2.12）的唯一解一致*作为同事。首先，我们证明存在b*∈ （s，b）使Γ（b）*, B*) = -1.对于b的唯一性*我们参考以下备注2.6（ii）。使用基于It^o公式的简单计算，观察到≥ s、 随机过程（e-α（t）∧τs）V（s，1，1）（St∧τs/s）γ-, T≥ 0）是一个Ps，0,1-鞅。现在，回想一下Lemma2中的SF。以及Γ（s，~s）的φ，φ的随机表示。

然后，通过Doob的可选采样Theorem≤ s≤ s、 V（s，1，1）党卫军γ-= Es，0,1[e-α（τs）∧τs）V（s，1，1）SτS∧τssγ-]= V（s，1，1）φ（s，s）+V（s，1，1）党卫军γ-φ（s，s）=V（s，1，1）φ（s，s）+（K）- s） φ（s，s）=Γ（s，s），使用引理2.5证明上述倒数第二个等式。因此Γ（s，s）=s“V（s，1，1）党卫军γ-#s=s.（2.14）接下来，对于任何s>s，Γ（s，s）=vsγ++γ--1(γ+- γ-) + （K）- s） s-1(γ-sγ+sγ-- γ+sγ-sγ+sγ+sγ-- sγ-sγ+，其中V代表V（s，1，1）。考虑上面的右手边是（V，s）的函数，在下面的例子中，它被g（V，s）取代。选择s=波段，意识到功能V7→ g（V，b）是严格递减的，因为s<bimplies sγ+bγ-- sγ-bγ+<0。此外g（（K）- b） （s/b）γ-, b） =-我们假设v（s，1，1）<（K- b） （s/b）γ-意味着g（V（s，1，1），b）>-1.但是，使用（2.14），我们也有thatg（V（s，1，1），s）=s“V（s，1，1）党卫军γ-#s=s，其中，根据引理2.5证明中使用的相同参数，上述右侧必须小于-1.总之，我们得到了g（V（s，1，1），s）<-1<g（V（s，1，1），b）。由于函数g（V（s，1，1），·）在（s）上是连续的，∞), 由于s<s<bby引理2.5，这也是中间值定理的一个结果，即存在b*∈ （s，b）使Γ（b）*, B*) =g（V（s，1，1），b*) = -1.其次，完成引理2.3的证明，我们将证明Γ（s，b）*) = E*sγ+e*sγ-> K- s、 对于s∈ （s，b）*),在哪里*=V（s，1，1）bγ-*- （K）- B*)sγ-sγ+bγ-*- sγ-bγ+*, E*=-V（s，1，1）bγ+*+ （K）- B*)sγ+sγ+bγ-*- sγ-bγ+*.为此，我们分析了函数f（s）=e*sγ+e*sγ-, s>0。自f（b）*) = -1已经显示，f（s）>K- s、 s∈ （s，b）*), f在（0，b）上严格凸*)我们将在下面证明这一点。首先，观察两种情况*还有e*这些都是积极的。

事实上，当s<b*意味着分母γ+bγ-*- sγ-bγ+*是负值，两个系数的正值*, E*从v（s，1，1）bγ-*- （K）- B*)sγ-< 0和- V（s，1，1）bγ+*+ （K）- B*)sγ+<0，其中前一个不等式是（2.13）的结果，因为b*从区间（s，b）中选择，而后一个不等式是我们假设K的结果- 一方面，s<V（s，1，1），另一方面，s<b*, γ+>0，另一方面。因此，如果γ+≥ 1，那么f是两个严格凸函数的和，因此处处严格凸。现在，假设0<γ+<1，这是剩余的情况。注意f只有一个局部极小值s=[-E*γ-E*γ+]γ+-γ-, 这个最小值是全局的，因为f（0+）=lims→∞f（s）=∞.因此，f在（0，s）上严格递减，在（s）上严格递增，∞) 这意味着b*< 因为f（b）*) = -1.最后，f在s=[-E*γ-(γ--1） e*γ+(γ+-1)]γ+-γ-, 这一点满足度>s。因此，f必须至少在（0，s）上是严格凸的，这也证明了f在（0，b）上是严格凸的*)  （0，s）。备注2.6。（i） 以K为例- s=V（s，1，1），b的选择*还没有讨论过。在这种情况下，我们声称*= s、 我们将在下面验证（2.10）给出的相应函数是否与（s）上的V（·，0，1）一致，∞).（ii）在（K）的情况下- s） <V（s，1，1）<（K）- b） （s/b）γ-, 我们证明了b的存在*∈ （s，b）及任何该等b*唯一确定（2.10）中给出的函数。我们将在下面验证，任何这样的函数是否与（s）上的V（·，0，1）一致，∞). 此外，如引理2的证明所示。3.对于b的任何选择*, （2.10）给出的相应函数必须在（s，b）上严格凸*).

因此，由于关于最优停止问题的值函数是唯一的，因此只能有一个b*.集τ*= τ[b]*,b] ，0∧ τb∧ τη，0，并引入：V*（s，y，i）def=E*sγ+e*sγ-: s∈ （s，b）*), y=0，i=1K- s:s∈ [b]*, b]∩ （s），∞), y=0，i=1（K- b）某人γ-: s∈ （b），∞), y=0，i=1V（s，1，i）：s>0，y=1，i∈ {0，1}再次，通过验证第2.2.1节开头所述的条件（v1）、（v2）、（v3），我们完成了备注2.6中列出的程序和定理1.6（iv）的证明。对于（v1），如果s∈ [b]*, b] ，那么就没有什么需要证明的了，因为我们立即停止，如果s>b，那么（v1）遵循定理1.4，作为V*在（b）上与（V）重合，∞).在剩下的s<s<b的情况下*, 观察引理2.3的假设是否满足，询问- s=V（s，1，1）可以排除。此外，Es，0,1[e-ατ[b]*,b] ，0∧τb∧τη，0（K- Sτ[b*,b] ，0∧τb∧τη，0）+]=Es，0,1[e-α（τb∧τη，0）（K）- Sτb∧τη，0）+{τ[b]*,b] ，0>τs}]+Es，0,1[e-ατb*（K）- B*)+{τ[b]*,b] ，0<τs}]=Es，0,1hEs，0,1[e-α（τb）∧τη，0）（K）- Sτb∧τη，0）+{τ[b]*,b] ，0>τs}| Fτs]i+（K- B*) φ（s，b）*)根据强马尔可夫性，它简化为v（s，1，1）φ（s，b）*) + （K）- B*) φ（s，b）*).使用第14页引理2.3证明开头给出的Γ的定义，最后一个表达式等于Γ（s，b）*). 自从b*被选择为Γ（s，b*) = 五、*（s，0，1），条件（v1）在剩余的情况下也会出现。对于（v2），要意识到，通过第12页第2.2.1节中使用的相同参数，本节的上述候选值函数满足（2.8），因此我们只需要证明es，0,1[e-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）]≤ 五、*（s，0，1），（2.15）对于任何t≥ 现在，考虑函数φ（s）=V*（s，0，1），s>s。注意φ可以扩展为一个函数（0，∞) 属于备注2.2中描述的类型，具有许多明显的异常平滑点。

以K为例- s=V（s，1，1），其中b*= s、 在b有一个例外点，而在K的情况下- s<V（s，1，1）b有两个例外点*, b、 然而，在这两种情况下，分别应用定理1.4和引理2.3，可以用φ连续的方式扩展φ。因此，根据备注2.2，我们Ps，0,1-a.s.哈维-α（t）∧τs）V*（圣∧τs，0，1）=V*（s，0，1）+Zt∧τse-αu（L）- αI）V*（Su，0，1）du+IBM，（2.16），其中L再次代表第3页介绍的算子，而IBMis是一个针对期望值消失的布朗运动的可积随机积分。接下来，通过显式计算-αI）V*(·, 0, 1) ≤ （s，b）上的0*)∪（b）*, b）∪（b），∞). 因为这个过程（苏，u∈ [0，τs]）有Ps，0,1-a.s.在{b中没有占用时间*, b} 不平等性（2.15）由（2.16）衍生而来，采用期望值，证明（v2）。最后，条件（v3）是引理2.3的结果，如果s∈ （s，b）*), 定理1.4，如果∈ （b），∞). 否则，就没有什么可展示的了。3数值分析和讨论我们将使用s，u，σ，u，σ，α，λ，K的实际相关值来讨论定理1.6的四种情况（iii）（a-c）和（iv）。请注意，选择u，σ，α，α，λ，K将确定b的值，并且REM 1.6的两种情况（iii）（b，c）可以重新表示为（b）b≤ 沙b<s，（c）b≤ s<K和b≥ s、 然而，这两种情况（iii）（a）和（iv）的表述需要V（s，1，1）的值，这就是为什么我们决定用V（s，1，1）来表述（iii）（b，c）。在下文中，当使用名词“put”而无需进一步说明时，我们指的是定理1.6中所考虑的永久性Lamerican put。

然而，正如备注1.1（ii、iii、v）所示，看跌期权最佳行使时间的平均长度应该很短，因此我们认为我们的分析也为交易的美国看跌期权提供了良好的基准，到期时间足够长，可以进行中期期权交易，即三个月或更长。首先，我们必须选择看跌期权的标的资产。根据Black在[1]中给出的宏观经济解释，我们认为当整个市场下跌时，杠杆效应更有可能被观察到，因此我们选择了一个指数，比如道琼斯指数。第二，要完全确定看跌期权，必须选择一个打击级别。在本节的最后，我们总结了如何根据下面定理1.6的讨论选择罢工级别。现在我们选择K=17000进行演示。接下来，我们对σ=20%、u=0、σ=35%、α=5%、λ=100的下列假设值进行拟合，并参考备注1.1和备注1.3（i）的解释。因此，σ=20%被认为是当前交易的美国PutK的隐含波动率，罢工K和到期时间至少为三个月，我们假设预期的市场下跌将导致σ=35%的“兴奋”波动率。设置λ=100意味着假设“兴奋”状态平均只持续半周。在股市下跌后，目前尚不清楚该指数的新趋势是什么。此外，如果“激发”状态只持续很短的时间，可以假设根据更大σ的“激发”函数主导趋势。因此，新趋势的合理选择是u=0。剩下的两个非固定参数是：。由于σ，α，K已经确定，u和b之间存在一对一的对应关系，因此，每对（u，s）确定定理1.6的四种情况（iii）（a-c）和（iv）中的一种。

每种情况下给出的最优止损规则都被称为交易者的策略，如下所示。实际上，根据道琼斯指数的现值，交易者会根据他们对未来的偏好来选择，因为他们预计市场会出现一定规模的下跌。在我们的分析中，我们采取了相反的观点：我们首先对沙子的价值进行分类，然后讨论当前价值对交易者选择的策略的影响。而s- S决定了预期市场下跌的规模，u的选择决定了根据模型（回想一下，σ已经确定）这种情况应该在多长时间内发生。如果希望模型预测的许多价格轨迹在相当短的时间内达到该水平，则应使用相当小的u值。例如，u=-100%意味着，大致上，该模型下预期的指数值在两周内从15600降至15000。相比之下，在u值更大的情况下，该模型更经常地预测未来指数的上升，这当然与预期的市场下跌不一致。尽管如此，我们仍将分析u的更大值，因为如果贸易商在交易过程中发现他们对未来的偏好是错误的，相应的策略可能对他们有用。下面的图1显示了嵌入（u，s）-平面的b=b（u）的蓝色图形。红色水平线表示b=14658级，在u=13.7%处穿过b（u）。图1图2曲线b（u）左侧（或上方）的任何点（u，s）与其中一种情况（iii）（b，c）相关，曲线右侧（或下方）的任何点与理论1中的一种情况（iii）（a）、（iv）相关。6.图2显示了对应于两点的值函数(-114500）和(-图1中曲线b（u）的左侧。

绿色反对角线是增益函数（K）的一部分- ·)+, 红色的凸曲线是V（·，1，1）的图形，它合并到b处的增益函数上。分别在s=14500和s=15000处击中V（·，1，1）的蓝色分支是在s处的制度变化之前V（·，0，1）的对应版本的图形。回想一下，V（·，0，1）和V（·，1，1）是价值函数的两个不同组成部分，由于Remark1中解释的边界条件，它们在上图中连续相遇。2（i）第4页。图2可以用来说明假设s=14500的策略之间的质量差异≤ b（情况（iii）（c））和假设s=15000>b（情况（iii）（b））的情况。当假设=14500时，交易者等待指数到达，然后立即卖出/行使看跌期权。当假设s=15000时，他们也会等待指数达到Sb，但随后会利用由于市场下跌期间隐含的杠杆效应而在他们的模型中实现的从σ到σ的制度变化：他们要么在1/λ的进一步等待时间后出售/行使看跌期权，要么在指数达到b时出售/行使看跌期权，1/λ等于1/2周，这非常短。因此，V（·，1，1）看起来非常类似于到期前不久出售的美国国债的价值函数，这就解释了为什么V（·，1，1）与收益函数如此接近。备注3.1。（i） 根据我们对价值函数的定义，所有策略都指行使期权。

然而，由于尚未到期的期权价格总是高于其行使价值，出售期权不会造成任何不利影响。（ii）如上文所述，选择一个带有K点的看跌期权，使交易的水平低于B点，然后应用定理1.6，使用较小的u值，也就是说，根据预期的市场下跌使用u值，得出一个最佳策略，交易员不会从隐含的杠杆效应中受益。因此，交易者希望选择K，以便他们心目中的水平高于b。（iii）在（ii）之后，对于图1所示标记区域中的至少所有（u，s），所使用的策略将是上述关于s=15000（情况（iii）（b））的策略。请注意，该区域的u值高达13.7%，远高于道琼斯指数10年（2004-2013年）6.05%的平均回报率。因此，定理1.6案例（iii）（b）中给出的策略在一定意义上是稳健的，即当模型将根据交易者的偏好预测市场下跌时，它适用于μ的小值，但当模型将预测标准回报而不是市场下跌时，它也适用于μ的“中性”值。由于备注3.1（ii），我们将讨论的剩余部分限制在s>b的情况下。通过备注3.1（iii），我们知道，案例（iii）（b）中给出的策略对于μ的较小且“中性”值是稳健的。接下来，我们讨论当交易者对未来的偏好“完全”错误时，定理1.6所提供的策略类型，也就是说，当u显著大于13.7%，并且（u，s）属于图1中标记区域右侧的象限时。为了演示，我们选择u=30%。图3显示了图1中标记区域右侧的象限部分，该区域表示10%≤ u≤ 100%.

蓝色的上凹曲线是b（u）的曲线图，下面的绿色凹曲线（在u=13.7%时与上凹曲线相交）是我们称之为smax=smax（u）的函数图。这个函数给出方程v（s，1，1）=（K）的根- b）某人γ-, sunknown，这是定理1.6的情况（iii）（a）和情况（iv）之间发生切换的sat值。红色水平线再次标记b=14658的水平，黑色垂直粗线条标记μ=30%时smax=15742波段之间的S值。图3图4水平线和曲线smax（u）之间的任何点（u，s）与定理1.6的情况（iv）相关，而两条曲线smax（u）和b（u）之间的任何点与情况（iii）（a）相关。在情况（iv）中，存在对应的b*= B*（微秒）∈ （s，b）。对于固定u=30%，我们写b*（s） 为了b*（0.3，s），图4显示了b的图形*（s）- 对于图3中垂直脂肪条标记的S值。请注意，进一步研究引理2.3 revealslims的证明↑smaxb*（s） =b。下面的图5显示了对应于点（0.315000）的值函数，该点是图3中垂直脂肪条上的一个点。为了更好地说明该值函数组件的典型形状，我们以非线性方式缩放轴，这就是为什么与其他图形相比，没有为轴指定数值的原因。图5图6绿色反对角线是增益函数（K）的一部分- ·)+, 红色的凸曲线是V（·，1，1）的图形，它合并到左上角的增益函数上。