订单簿动力学的流体力学极限

目前，我们使用M（[0，1]）来表示这个productspace，它配备了一个适当的度量，使得M（[0，1]）是完整的和可分离的。第5.2节给出了空间M（[0,1]）的精确定义。我们对马尔可夫过程（ζn，+，ζn，-) 作为n→ ∞.这与限制机制相对应，即价格刻度大小1/n接近零，订单到达率变为零，相对订单大小（与限制订单队列大小相比）变为零。这可以从假设2.1–2.2以及（3.1）–（3.2）中时间被加速n的事实中很容易看出。值得注意的是，ζnis也是一个马尔可夫过程，它包含与（ζn，+，ζn，-). 然而，对于固定t，ζNTI是存在于空间M（[0，1]）中的一个有符号度量，它不适合研究弱收敛，因为弱拓扑通常不可度量（参见，例如[30]）。因此，我们转而研究非负测度值过程对序列{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1}.现在我们陈述本文的主要定理。第6节给出了证据。重新计算假设2.1和2.2中给出的百分比p、λA、λB、ΘA和ΘB。定理3.1。假设假设假设2.1和2.2成立。然后作为n→ ∞,（a） 我们有SUP0≤T≤T新界北- P=> 0，（3.4）sup0≤T≤T新界北- P=> 我们有（ζn，+，ζn，-) => （ζ+，ζ-) 在D（[0，T]，M（[0，1]）中，其中（ζ+，ζ-) 是一对确定性测度值过程。

此外，对于任何t∈ [0，T]，非负测度ζ+tandζ-皮重相对于勒贝格测度是绝对连续的，并且具有密度函数φ+=max{φ，0}和φ-=麦克斯{-η，0}使得ζ+t（dx）=+（x，t）dx和ζ-t（dx）=~n-（x，t）x的dx∈ [0, 1].函数φ由以下方程组唯一确定：对于x∈ [0,1]~n（x,0）=%（x），（3.6）t~n（x，t）=∧A（x）- p）- ΘA（x）- p） ·Д（x，t），x>p，（3.7）t~n（x，t）=-∧B（p- 十）- ΘB（p- x） o（x，t），x<p。（3.8）ψ（p，t）=0，t∈ [0，T]。（3.9）定理3.1提供了订单簿动力学的流体近似值。请注意，在高频交易中，订单簿事件的到达时间通常非常短（以毫秒为单位）。因此，结果表明，在“低频”时间尺度上（以几分钟为顺序），标度的最佳出价和最佳要价是一个常数p，订单簿卖方和买方的密度曲线由骃+（x，t）和骃给出-（x，t）的特征是线性常微分方程，其系数由订单到达率和取消率决定。正如导言中所讨论的，这个确定性极限可能不现实，但它可能对研究其他问题有潜在的帮助。根据定理3.1和（2.7），我们可以很容易地验证∈ [0，T]，ν+（x，T）=e-ΘA（x）-p） t·%（x）+∧A（x）- p） ΘA（x）- p）·1.- E-ΘA（x）-p） t对于p<x≤ 1, (3.10)φ-（x，t）=e-ΘB（p-x） t·%（x）-+∧B（p- x） ΘB（p- x）·1.- E-ΘB（p-x） t为了0≤ x<p.（3.11）当n较大时，我们从定理3.1中获得了订单簿形状的瞬态行为的以下近似值：对于区间I [0,1]和t∈ [0，T]ζn，+T（I）=nXi>pnB（nt），在∈伊克斯尼（新界）≈ ζ+t（I）=ZI~n+（x，t）dx≈nXin∈I~n+（in，t），（3.12）ζn，-t（I）=nXi<pnA（nt），单位为∈我-新界北≈ ζ-t（I）=ZI~n-（x，t）dx≈nXin∈I^1-（in，t），（3.13），其中第（3.10）和第（3.11）条给出了φ+和φ+。

在下一节中，我们将测试数据的近似值（3.12）和（3.13）。4实证分析在本节中，我们进行样本分析，以说明定理3.1中流体近似的潜在相关性。我们的实证分析基于纽约证券交易所Arca（简称Arca）2010年8月的一个月消息级订单数据。截至2009年，纳斯达克上市证券约20%的市场份额和纽约证券交易所上市证券的10%在Arca上交易。使用了两个数据集。第一个数据集包括Arca上的所有限额订单活动，包括限额订单提交、修改和删除。对于数据中的每一条消息，它都包含一个时间戳（精确到毫秒）、价格和订单大小、买入或卖出指示器、股票符号、交易所和一个ID（标识符）。该数据集使我们能够在任何给定时间为在Arca上交易的股票创建限额订单簿。我们的第二个数据集记录了所有交易。每条消息都包含一个时间戳（精确到秒）、交易价格和订单大小、买入或卖出指标、交易发生时这两个价格上的最佳买入/卖出价格和长期限制订单数量、股票符号和ID（标识符）。结合第一个数据集，我们可以分析详细的订单流量属性，如限价订单到达率、市场订单到达率和限价订单取消率。4.1实证分析本节的目的是说明，我们的理论模型可以潜在地用于在满足我们的模型假设的以分钟为单位的库存和时段的时间尺度上近似订单形状的演变。我们的方法是实证检验（3.12）和（3.13）中的近似值。

为了方便起见，我们将这些近似方程的两边乘以n，也就是说，我们测试了以下近似，并证明它们相当好：Xi>pnB（nt），in∈伊克斯尼（新界）≈ nXin∈I~n+（in，t），（4.1）Xi<pnA（nt），in∈我-新界北≈ nXin∈I^1-（in，t）。（4.2）（4.1）（分别为（4.2））的左侧代表价格区间I中的限价卖出（分别为买入）订单总数 [0，1]。随着价格水平的适当变化，这些数量可以直接从数据中获得，因为我们在每个时刻都有完整的经验主义者书籍信息。另一方面，右侧的量涉及函数φ+和φ的值-在离散价格水平i/n.Wenext讨论如何计算这些值。首先，我们筛选数据，以确定满足假设2的股票和时段。1和2.2。我们发现，美国银行（BAC）、通用电气（GE）、福特汽车（F）和戴尔（Dell Inc.）等流动交易股票通常有大量的限价指令，处于或接近最佳报价，等待市场交易。这与假设2.1一致。一旦选择了一只股票，我们会扫描首日订单数据，寻找价格波动性较低的时间范围（例如几分钟），这样假设2.2也可以满足。为了便于说明，我们以2010年8月5日下午12:45-13:05的股票BAC为例。在这20分钟的时间内，美国银行的最佳买入价和卖出价几乎没有变化。第二，我们估计并输入所需的参数，以计算魟+和魟-如（3.10）和（3.11）所示。这些参数包括初始订单数量百分比、数量p、时间长度nt、限制订单到达率和限制订单取消率。我们按照下面描述的四个步骤来选择和计算这些参数。1.

将日历时间从下午12:45标准化为零。下午12:45后，通过订单簿的第一张快照提供初始订单簿。因此，我们在每个Discrete价格水平上获得%的收益。2.将p设置为在下午12:45计算魟+时的最佳出价，以及在计算魟时的最佳询问-. 下午12:45的最佳买入价和卖出价分别为13.99美元和14美元。3.每五分钟拍摄一次订单的快照，直到下午13:05。更准确地说，我们分别在下午12:50、12:55、13和13:05之后记录订单簿的第一个快照。我们这样做是因为我们对以分钟为单位的“大”时间尺度上的形状动力学感兴趣。4.对于以下四个时间间隔中的每一个：12:45pm-12:50pm、12:45pm-12:55pm、12:45pm13:00pm和12:45pm-13:05pm，估算订单流量强度[9]。最后，我们通过插入modelparameters来计算（4.1）和（4.2）的右侧。我们将（4.1）和（4.2）中的区间I作为3美分的价格箱，例如，[$0.5，$0.53]。结果表明，改变垃圾箱大小会产生类似的结果，所以我们不需要进一步的细节。现在，我们展示了（4.1）和（4.2）中关于近似值的样本内测试的主要经验发现。我们使用图1进行说明。有关买方和卖方形状的详细统计数据和结果，请参阅作者网站上的互联网补充资料http://www1.se.cuhk.edu.hk/~xfgao/lobSupplement。图1显示了在四个不同的时间点应用我们的模型得到的BAC股票的经验卖出侧形状和理论卖出侧形状的比较。为了演示的清晰性，我们将重点放在比最佳要价高出10个百分点的价格水平上。这将转换为图1中的七个“连续”3美分价格箱。为了方便起见，每个价格箱中的合计订单量按363股进行缩放，这是BAC在下午12:45-13:05期间的平均限价卖出订单量。

从图1中，我们观察到，根据我们的模型（定理3.1）计算的理论形状与Arca上BAC股票的经验形状之间有很好的一致性。因此，尽管存在简化的假设，但有积极的证据表明，我们的极限模型可以潜在地解释订单账簿形状在一个时间范围内的演变，这个时间范围比订单账簿事件之间的时间长度要大。最后，我们指出，我们实证分析的主要目的是说明流体近似的潜在相关性，而不是预测未来的顺序——书本形状，因此这里没有报告样本外预测结果。事实上，我们试图进行分析，发现该模型在预测方面效果不佳。一个可能的原因是，我们流体模型中的参数（顺序流体强度）是常数，而实际上它们随时间变化，在几分钟的时间尺度上是随机的。这就需要对订单流动强度和订单书形状的预测模型进行进一步研究，这超出了本文的范围。图1:2010年8月5日forBAC的经验卖方形状和理论卖方形状的比较。每个蓝条对应于每个3美分价格箱中的限价销售订单总数，它是从数据中获得的。每个品红条对应于每个价格箱中的限价销售订单总数，它是从我们的模型中获得的。在下午12:50、12:55、13:00和13:05的四个时间点，最好的要价是相同的（14美元）。

每个时间点（例如，12:50 pm）表示第一次订单预订事件在该时间点之后发生的时间。12:50pm时经验和理论形状的比较限额订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0912:50 Arca12:50 TH在12:55pm时经验和理论形状的比较极限订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0912:55 Arca12:55 TH 13:00pm时经验和理论形状的比较极限订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0913:00 Arca13:00 THM 13:05时经验和理论形状的比较极限订单数量200 400 600 800 1000$14-$14.03$14.01-$14.04$14.02-$14.05$14.03-$14.06$14.04-$14.07$14.05-$14.08$14.06-$14.0913:05 Arca13:05 Thm5初步本节介绍证明主要结果（定理3.1）的初步内容。5.1技术引理本节我们介绍一个技术引理。它连接过程（ζn，+，ζn，-) 在定理3.1的证明中起基础作用的ζn过程。请注意，对于固定f∈ C[0,1]，可以构造一个函数族fγ∈ C[0，1]被γ索引∈ （0，p）使得{fγ}一致有界且fγ（x）=f（x）如果p≤ 十、≤ 1,0如果0≤ 十、≤ P- γ、 如果p- γ<x<p.（5.1）很明显Limγ→0+fγ（x）=f（x）·每x 1[p，1]（x）∈ [0，1]。（5.2）下面的引理表示hζn，+t，fi“接近”hζnt，fγi和hζn，-t、 fi与hζnτ，fγ“接近”- 当n大，γ小时。证明见附录A引理5.1。修正函数f∈ C[0,1]。

存在一个正常数C依赖于onT和两个非负序列{an}，{an}都依赖于T，都接近0as n→ ∞, 这样对于每个γ∈ （0，p）n大，我们有≤T≤Thζn，+t，fi- hζnt，fγi我≤ ~an+Cγ，（5.3）Ehsup0≤T≤Thζn，-t、 菲- hζnt，fγ- f i我≤ ^an+Cγ。（5.4）5.2{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} 在本节中，我们定义了波兰空间D（[0，T]，M（[0，1]），在该空间上，一对被测量值过程{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} 生活并讨论这个序列的紧密性。回想一下[0,1]上的有限非负测度空间，用M+（[0,1]）表示，是以下度量d+下的波兰空间：d+（γα，γβ）=∞Xk=1k | h|α，φki- h|β，φki | 1+|h|α，φki- hνβ，φki |（5.5），其中Γα，Γβ∈ M+（[0,1]），{φk:k≥ 1} 被选为C（[0,1]）的一个稠密子集，具有均匀拓扑，hа，φki≡Rφk（x）Γ（dx）对于测量值Γ，参见[17，第4.1节]。根据度量d+，我们可以在乘积空间M+（[0,1]）×M+（[0,1]）上定义度量d，这样d（γ+α，γ-α), (υ+β, υ-β)=qd+（γ+α，γ+β）+d+（γ）-α, υ-β） ，（5.6）式中（γ+α，γ）-α), (υ+β, υ-β) ∈ M+（[0,1]）×M+（[0,1]）。产品空间M+（[0,1]）×M+（[0,1]）配备了（5.6）中定义的度量d，用M（[0,1]）表示。有人已经证实M（[0，1]）是一个波兰空间（参见，例如[19]）。因此，Skorohod间隔（[0，T]，M（[0，1]），其中（ζn，+，ζn，-) 生活也是一个波兰空间，有目的论。有关拓扑的更多详细信息，请参见[4]。我们现在陈述本节的主要结果。附录B给出了证明。如果随机元素的Recala序列是紧的，并且序列的所有极限点都集中在连续路径上，则称其为C-紧。参见，例如[16，定义VI.3.25]。提议5.1。修正函数f∈ C[0,1]。

然后{（hζn，+，fi，hζn，-, fi）：n≥ 1} 在D（[0，T]，R）和{（ζn，+，ζn）中是C-紧的，-) : N≥ 1} 在D（[0，T]，M（[0，1]）中是C-紧的。命题5.1和普罗霍洛夫定理暗示序列{（ζn，+，ζn，-) :N≥ 1} 它相对紧凑。我们的下一步是描述这个相对紧凑序列的极限点。假设（ζ+，ζ-) 是一个极限点，即有一个子序列{（ζnk，+，ζnk，-) : k=1，2…}使得（ζnk，+，ζnk，-) => （ζ+，ζ-) 在D（[0，T]）中，M（[0，1]）作为nk→ ∞. （5.7）表征该对（ζ+，ζ-), 我们依靠ζt定义的辅助过程= ζ+t- ζ-t每个t∈ [0，T]，（5.8）5.3过程ζ的表征在本节中，我们对（5.8）中定义的过程ζ进行了表征。对于f，很容易验证这一点∈ C[0,1]，来自（π+，π）的函数-) ∈D（[0，T]，M（[0，1]）到（hπ+，fi，hπ）-, fi）∈ D（[0，T]，R）对于Skorohodj拓扑是连续的（使用[29]中的（5.5）-（5.6）和引理A.24）。现在（5.7）和连续映射定理表明，对于任意固定函数f∈ C（[0，1]）我们有asnk→ ∞,hζnk，+，fi，hζnk，-, 菲=>hζ+，fi，hζ-, 菲在D（[0，T]，R）中。（5.9）因此我们推断出hζnk，fi=> hζ，fi in D（[0，T]，R），（5.10），其中ζnis在（3.3）中给出，ζ在（5.8）中给出。下一步，固定n≥ 1，如果我们在RnbyF（x，…，xn）=nnXk=1f上定义函数F千牛xk，（5.11）我们从（3.3）和t的Xnthat的Markov性质中得到∈ [0，T]，hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f在里面= F（Xn（nt））=hζn，fi+ZntLnF（Xn（s））ds+Mnt。（5.12）这里的Lnis算子在（2.5）中给出，MNI是（局部）鞅。鞅表示（5.12）和（5.10）中的收敛性是刻画ζ的关键。为了说明本节的主要结果，我们回顾了假设2.2中给出的函数∧A、∧B、ΘA和ΘB，以及假设2.1中给出的p。

为了便于注释，weletν∧是一个符号测度，它对于Lebesgue测度是绝对连续的，例如对于x∈ [0,1]ν（dx）dx=∧A（x）- p） ·1x>p- ∧B（p- x） ·1x<p.（5.13）此外，我们假设AΘ是线性算子，因此对于f∈ C（[0,1]），AΘf（x）=f（x）·ΘA（x）- p） ·1x>p+B（p- x） ·1x<p. （5.14）我们现在陈述本节给出ζ特征的主要结果。提议5.2。Let（ζ+，ζ）-) 在（5.7）中为极限点，并在（5.8）中定义ζ。然后ζ满足以下方程组：对于任何f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，hζT，fi=hζ，fi+hν，fi·T-Zthζs，AΘfids，（5.15），其中（5.13）和（5.14）中给出了ν和AΘ。此外，hζ，fi具有连续轨迹，并且存在唯一的确定性度量值过程求解方程（5.15）。最后，对于固定的t∈ [0，T]，ζ是一个关于ebesgue测度绝对连续的有限测度，其有界密度函数由（3.6）-（3.9）确定。命题5.2证明的主要技术部分包括证明in（5.12）为n→ ∞, 鞅项消失，涉及生成元的项迅速收敛。我们把证明的细节留给附录C.6定理3.1的证明。在本节中，我们证明了定理3.1的主要结果。定理3.1第（b）部分的证明依赖于第5节的结果，而第（a）部分的证明不依赖于第5节的结果。6.1定理3.1第（a）部分的证明。我们用随机比较方法证明了（3.4）。（3.5）中的收敛性源自一个类似的论点，因此被省略。我们首先注意到Limn→∞pnA（0）n=limn→∞pnB（0）n=p.（6.1）这很容易从最佳出价和最佳要价的定义以及假设2.1中%的规则条件（b）得出。