订单簿动力学的流体力学极限

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英文标题：
《Hydrodynamic limit of order book dynamics》
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作者：
Xuefeng Gao and S.J. Deng
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we establish a fluid limit for a two--sided Markov order book model. Our main result states that in a certain asymptotic regime, a pair of measure-valued processes representing the \"sell-side shape\" and \"buy-side shape\" of an order book converges to a pair of deterministic measure-valued processes in a certain sense. We also test our fluid approximation on data. The empirical results suggest that the approximation is reasonably good for liquidly--traded stocks in certain time periods.
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中文摘要：
本文建立了一个双边马尔可夫订货本模型的流体极限。我们的主要结果表明，在一定的渐近区域内，代表订单的“卖方形状”和“买方形状”的一对测度值过程在一定意义上收敛于一对确定性测度值过程。我们还在数据上测试我们的流体近似。实证结果表明，对于特定时间段内流动交易的股票，这种近似是合理的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Hydrodynamic_limit_of_order_book_dynamics.pdf (556.08 KB)

2022-5-7 04:23:27 上传

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关键词：流体力学 动力学 Quantitative agent-based QUANTITATIV

订单动态的流体力学极限高雪峰*, 邓世杰**第一个版本：2014年11月27日该版本：2016年2月25日摘要本文建立了一个双边马尔可夫订货簿模型的流体极限。我们的主要结果表明，在一定的渐近状态下，一对度量值过程代表订单的“卖方形状”和“买方形状”，在一定意义上收敛于一对确定性度量值过程。我们还要测试数据的流体近似值。实证结果表明，在一定的时间段内，这种近似对于流动交易的股票是相当好的。1简介作为一种交易机制，在过去20年里，限价指令簿在股票和衍生品市场上越来越受欢迎。如今，世界上大多数金融市场，如美国的电子通信网络、香港股票交易所和多伦多证券交易所，都以电子限额订单的形式组织起来，以匹配买家和卖家。这激发了对limitorder图书的大量研究活动。参见，例如[12,27]了解评论。在本文中，我们的主要目标是发展极限订单簿形状在一个时间范围内的演变的近似值，这个时间范围比订单簿事件之间的时间长度要大。为此，我们对一个极限订单簿模型进行渐近分析，从而将极限订单簿在两个不同时间尺度上的动力学联系起来。人们越来越有兴趣研究订单簿动态的这种规模限制，主要是为了更好地理解价格形成过程，以及描述高频订单流动的点过程的参数与描述更大时间尺度的价格和订单簿形状动态的模型参数之间的关系。

参见，例如[1,5,7,8,15,18,23,24]。我们通过在以下渐近状态下建立双边马尔科夫订货簿模型的流体极限，为这一系列文献做出了贡献：（a）刻度大小为零；（b） 订单到达率达到单位；（c） 相对订单大小（与限制订单队列大小相比）变为零。这种制度适用于交易量较小（美国为1便士）的流动股的高频交易，订单的到达时间也很短*香港新界沙田香港中文大学系统工程与工程管理系；xfgao@se.cuhk.edu.hk**H.米尔顿·斯图尔特工业与系统工程学院，佐治亚理工学院，亚特兰大，佐治亚州30332；deng@isye.gatech.eduvery短线（以毫秒为单位），大量限价订单位于市场价格附近，等待交易。除了确定缩放限制外，我们还对来自美国纽交所Arca的历史订单数据进行了流体近似测试。我们的样本内分析表明，我们的理论可能有助于在价格波动性较低的时间段内，近似计算流动性股票的限价指令簿的演变。我们的渐近分析基于[9]中的订单簿模型，其中订单簿事件的高频动态由连续时间马尔可夫链（CTMC）描述。在他们的离散订单簿模型中，有一定数量的安全价格水平，订单簿的状态由每个价格的订单数量来描述。

通过建立一类大数定律极限定理，我们发展了这个高维CTMC的流体近似。我们的主要结果（定理3.1）表明，当刻度大小1/n接近零时*, （a） 最佳买入价和最佳卖出价的顺序在概率上收敛为常数；（b）测度值过程对的序列{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} ，表示订单簿的“卖方形状”和“买方形状”，在某种意义上收敛到一对确定性度量值过程。此外，限制过程的密度特性可以用普通微分方程（ODE）来描述，系数由顺序流强度决定。我们在建立流体极限方面的主要创新是用一对非负测度值过程表示双边极限序本，并用鞅方法研究这类过程的弱收敛性。这种订单簿的度量值过程表示和相关证明技术可能有助于为更一般的双边订单簿模型（如多尺度模型）建立规模限制，因为高频和低频交易者共存。参见，例如[6]。现在我们将我们的工作与一些密切相关的替代方案进行比较，这些替代方案也研究了在某些渐近区域中极限序簿形状的标度极限。这些包括[3,14,15,20,21,23,24]。其中，只有三项研究[3,14,15]涉及订单取消**. 在[15]中，作者证明了limitorder book动力学的一个大数定律结果。在它们的极限下，最佳出价和最佳出价的价格动态可以用两个耦合的常微分方程来描述，而相对的买卖形状函数可以用两个线性一阶偏微分方程来描述。

该流体极限结果后来在[14]中进行了推广，以允许订单流量取决于订单簿的状态，包括价格和数量，并在[3]中建立了订单簿动力学的函数中心极限定理。我们注意到，尽管我们依靠一个略有不同的离散随机订货本模型来进行渐近分析，但从这三项研究来看，我们的理论结果并不完全是新的。然而，我们强调*刻度大小、订单到达率和相对订单大小均按大参数n的幂进行缩放。有关更多详细信息，请参见第2节。**订单取消建模很重要：例如，Nasdaqa超过95%的限价订单在未执行的情况下取消，见[13]。确定标度极限的证明技术是新颖的，与他们的方法非常不同。此外，与上述研究不同，我们在实际数据上对流体近似进行了实证检验，并说明了近似的潜在相关性。这是本文的两个主要贡献。最后，我们指出，我们必须关注一些特性，以保持模型和渐近分析的可处理性，这必然会导致一些不理想的后果。我们简要地讨论了主要的局限性。首先，限价是确定的，限价是一个常数。这是不现实的。然而，这样一个确定性模型可能是有用的。例如，在[25]中，使用了一个类似的流动指令簿模型，其中最佳买入价和卖出价也是常数，来分析限制和市场指令安排的问题，以便在固定的时间范围内以几分钟的时间最优地购买一批股票。

第二，为了保持数学分析的可操作性，在我们的渐近分析中必须忽略一些现实特征，例如非平稳性、时间聚类性和顺序流的相互依赖性。有关这一领域的最新发展，请参见[1]。本文概述。第2节回顾了[9]中马尔可夫订单簿模型的一个变体，并说明了订单流量和初始条件的假设。第3节总结了我们的主要结果。第四节讨论了实证分析。第5节介绍了证明主要结果的概要。第6节专门讨论主要结果的证明。附录中提供了辅助结果及其证明。符号所有随机元素都定义在公共概率空间上(Ohm, F、 P）除非另有规定，否则x∈ R、 我们设置x+=max{x，0}和x-= 麦克斯{-x、 0}。对于不小于x的最小整数，我们写dxe；对于不大于x的最大整数，我们写bxc。在[0,1]上的连续函数集用C（[0,1]）表示。给定一个公共空间E，右连续函数的空间f:[0，T]→ 带左极限的E由D（[0，T]，E）表示。假设空间D（[0，T]，E）具有目的论。对于随机元素序列{Xn:n≥ 1} 取度量空间中的值，我们写Xn=> X表示Xnto X在分布中的收敛性。每一个样本路径为D（[0，T]，E）的随机过程被认为是一个D（[0，T]，E）值的随机元素。对于Borel测度ν和函数f，当积分存在时，我们设置hν，fi=Rf（u）ν（du）。

符号δu表示位置u处的狄拉克度量∈ R、 也就是说，对于Borel集U，δU（U）=（1，如果U∈ U、 如果你/∈ U.[0,1]上的有限非负测度空间用M+（[0,1]）表示，[0,1]上的有限有符号测度空间用M（[0,1]）表示。2模型和假设在本节中，我们描述了[9]中引入的订单簿模型的一个变体，并陈述了假设。在本文的整个过程中，我们确定时间T>0。修理≥ 1.在不丧失一般性的情况下，我们假设投资者可以在价格范围（0，1）内向n个离散的等距价格水平{n，n，····，nn}提交他们的限制订单。因此，参数n也表示刻度大小的倒数。时间t的限制订单簿的状态由向量Xn（t）给出≡ （Xn（t），Xnn（t））∈ 锌，我在哪里∈ {1，…，n}，|Xni（t）|表示在时间t时以i/n价格未完成的限价订单数量。如果Xni（t）>0，则有Xni（t）以i/n价格出售订单，如果Xni（t）<0，则有-Xni（t）以i/n价格购买订单。为了确定最佳要价（限价销售订单中的最低价格）和最佳出价（限价购买订单中的最高价格），我们定义了两个映射PnA和PnB，对于给定状态x=（x，…，xn）∈ ZnPnA（x）≡ inf{i∈ {1，…，n}：xi>0}∧ {n+1}，（2.1）PnB（x）≡ sup{i∈ {1，…，n}:xi<0}∨ 0，（2.2）其中 = ∞ 喝一杯 = -∞ 按照惯例。对于t≥ 0，我们写了PnA（t）=PnA（Xn（t）），（2.3）pnB（t）=PnA（Xn（t））。（2.4）因此，对于时间t时的订单Xn（·），最好的要价是pnA（t）/n，最好的出价是ispnB（t）/n，其中1/n是刻度大小。我们会对n→ ∞, i、 例如，刻度大小接近于零。

对于每一个固定n，如[9]中所述，我们假设（a）极限买入（分别卖出）订单在独立的、指数分布的时间以∧nB（i）（分别∧nA（i））的速率到达与相反的最佳报价相距i个刻度，（b）市场买入（分别卖出）订单以ΥnB（分别ΥnA）的速率到达独立的、指数分布的时间，（c） 在距离对方最佳报价i个刻度处的每个限价买入（分别卖出）订单，在按指数分布的时间后，以费率ΘnB（i）（分别ΘnA（i））独立取消。（d） 上述所有事件都是相互独立的。（e） 所有订单都是单位大小的，与n无关。与[9]中的模型相比，额外的特点是我们允许订单流量强度是侧相关的（购买订单或销售订单）。这一点已经在经验上得到了观察，这一特征将有助于我们在第4节中的实证分析。鉴于这些假设，状态过程Xn（·）是一个n-具有状态空间Zn的二维CTMC。定义运算符如下：对于任何函数H:Zn→ R和每个x∈ ZnLnH（x）=Xk<PnA（x）hH（xk+）- H（x）· ΘnB（PnA（x）- k） ·| xk | i+xk<PnA（x）hH（xk）-) - H（x）· ∧nB（PnA（x）- k） i+Xk>PnB（x）hH（xk+）- H（x）· ∧nA（k）- PnB（x））i+Xk>PnB（x）hH（xk）-) - H（x）· ΘnA（k）- PnB（x））·xk | i+H（xPnB（x）+）- H（x）· ΥnA+H（xPnA（x）-) - H（x）· ΥnB，（2.5），其中（2.1）和（2.2）中给出了pna和PnBare映射，对于k∈ {1，…，n}（xk+=（x，…，xk-1，xk+1，xk+1，xn），xk-= （x，…，xk）-1，xk- 1，xk+1，xn）和x0+=x（n+1）-= x、 在EdzNesimal空间中，从EdzNesimal到EdzNesimal的函数的顺序是从EdzNesimal到EdzNesimal。首先，价格范围（0，1）在我们的渐近分析中不是必要的。我们也可以对一些独立于n的整数c使用（c，c），这不会影响我们的结果。

其次，上述模型的状态空间是-维整数格，它的维数为n→ ∞. 因此，马尔可夫链上的标准极限定理（参见，例如[22]）不适用于我们的渐近分析。第三，在我们的分析中，可以允许具有有限秒矩的随机订单大小。为了简化演示，我们在本文中使用了单位订单大小。在本文中，我们做出以下假设。假设2.1。存在一个从[0,1]到R的函数%，因此对于固定的n≥ 1，初始订单簿Xn（0）由Xni（0）给出≡ n·%（in）代表i∈ {1,2，…，n}。（2.6）部分p∈ （0,1），%（p）=0和sup{x∈ [0,1]：%（x）<0}=inf{x∈ [0,1]：%（x）>0}=p；（2.7）（b）函数|%|在（p- , p） 和（p，p+) 对于一些小的 > 0;（c） 函数%是连续的，在[0，p）和（p，1]上有界。假设2.2.对于每个市场侧j∈ {A，B}，在[0,1]上存在正连续函数∧j（x）和非负连续函数Θj（x），常数κ<1和Υ≥ 0这样对于每个n和i∈ {1,2，…，n}，∧nj（i）=∧j（in），Θnj（i）=nΘj（in）和Υnj≤ nκ·Υ。（2.8）这两种假设都是基于我们的数据分析。首先，根据经验，我们发现，对于某些流动性交易的股票，如美国银行、福特汽车公司和戴尔公司，有大量的限价指令处于或接近最佳报价，等待执行。这为（2.6）提供了实证支持。为了技术方便，我们还对初始比例的规律性做了三个假设。在这里，p可以被视为一只股票在时间零点的“市场价格”。其次，从我们的数据中，我们还发现，对于上述流动性股票，在最佳报价附近，通常限制订单到达率和取消率的比率∧nj（i）Θnj（i）为n=100。

此外，我们观察到，与市场价格附近的限价订单数量相比，市场订单到达率（例如，每秒交易量）的幅度不是很高，尤其是在低价格波动期间。这两个事实激励（2.8）。关于函数∧j，Θjan连续性的假设和∧jare technicalan的正性，它们有助于我们的数学分析。3.主要结果在这一部分我们陈述了本文的主要结果。我们首先定义了三个测量值过程序列（参见[10]了解测量值过程的背景）。固定的≥ 1和t∈ [0，T]，我们设置ζn，+T=nnXi=1（Xni（nt））+·δin=nXi>pnB（nt）Xni（nt）·δin，（3.1）ζn，-t=nnXi=1（Xni（nt））-· δin=nXi<pnA（nt）-Xni（nt）·δin，（3.2）ζnt=ζn，+t- ζn，-t=nnXi=1Xni（nt）·δin，（3.3），其中Xnis为n-带状态空间ZN的维CTMC，它描述了（2.3）和（2.4）中给出的极限指令簿、pnA和Pnbar的演变，以及δu是以u为中心的狄拉克度量。空间缩放的选择取决于以下事实，即总价格水平存在，每个价格水平上的极限指令数量为n级（假设2.1和2.2）。对于固定的t，一对（ζn，+t，ζn，-t） 表示订单簿在某个大时间nt的“卖方形状”和“买方形状”，度量ζntr表示订单簿在大时间nt的整个形状。注意对（ζn，+t，ζn，-t） 生活在产品空间M+（[0,1]）×M+（[0,1]）。