订单簿动力学的流体力学极限

因此，为了证明（3.4），必须展示≤T≤T新界北-pnA（0）n=> 0，作为n→ ∞.如果有的话 > 0，我们有sup0≤T≤T新界北-pnA（0）n> ≤ Psup0≤T≤TpnA（新界）- pnA（0）>n+ PpnA（0）- inf0≤T≤TpnA（nt）>n. （6.2）我们接下来证明，对于任何小δ>0，都存在Nδ，当N>Nδ时，Psup0≤T≤TpnA（新界）- pnA（0）>n≤ δ. （6.3）由于pnA（·）定义为n+1的上界，我们推断如果pnA（0）≥ n+1- N,然后（6.3）简单地跟着。因此下面我们假设pnA（0）<n+1- N, 或者相当于pnA（0）+bnC≤ n、 对于固定的n和给定的pnA（0），我们首先定义从zn到Z的映射g:g（x）=pnA（0）+bncXi=pnA（0）x+i.（6.4）我们使用map g进一步引入一个辅助过程，以跟踪从pnA（0）到pnA（0）+bn的价格水平上的selllimit订单数量c、 也就是说，对于每个t≥ 0，锌（t）= g（Xn（nt））=pnA（0）+bncXi=pnA（0）[Xni（nt）]+。（6.5）写入σnZn= inf{t≥ 0:Zn（t）=0}。（6.6）那么σnz是Zn从Zn（0）>0开始第一次达到0，其中Zn（0）>0来自于pnA（0）的事实≤ n、 因此，为了显示（6.3），必须证明（σnZn≤ （T）≤ δ、 当n>nδ时。（6.7）证明（6.7）的关键思想是构造一个n-维CTMC{Wn（t）：t≥ zn上由{Xn（t）：t支配的0}≥ 在eachn的强随机序意义下。就是呃(Wn(t))≤ zn和allt上所有实值增函数r的Er（Xn（t））≥ 要继续，我们设置Wn（0）=Xn（0）。为了方便起见，我们定义了两个常数：“∧”= 2·[（最大值）∈[0,1]λA（x））∨ （maxx）∈[0,1]λB（x））]∞, (6.8)Θ= （maxx）∈[0,1]ΘA（x））∨ （maxx）∈[0,1]ΘB（x））>0。

（6.9）我们通过修改CTMC Xnas的转换参数来构造WNN，如下所示：（a）将限价销售订单到达率设置为零；（b） 将限额买入订单取消率和市场卖出订单到达率设置为零；（c） 将每个价格水平的限制购买订单到达率设置为（6.8）中给出的∧，将消费2.2中给出的市场购买订单到达率设置为nκΥ，并将每吨订单的限制销售订单取消率设置为Θ。接下来，我们将讨论WNI随机地由Xn控制。我们应用[26]的结果。回忆一套 如果x∈ Γ意味着{y∈ Zn:y≤ x} Γ.从Wn的构造中，我们知道Wn中没有限价卖出订单到达和限价买入订单移除（由于取消或与市场卖出订单匹配）。这意味着，如果Wn从一个状态转变为w∈ 去另一个州∈ 先是锌，然后是钨≤ 关于偏序≤ 在锌上。因此，我们从[26，定理5.3]中推导出，对于所有递减集Γ，它都是有效的 ZN使w/∈ ΓXz∈ΓqWn（w，z）≥Xz∈ΓqXn（x，z）表示所有w≤ x、 （6.10）其中，QWn和QxNar是Wn和Xn的过渡速率。从Wn的构造以及Wn和Xn都具有只有一个组件可以在每次转换时改变其值的特性，可以很容易地验证（6.10）。鉴于Wn由Xn随机支配，我们准备构造一个过程zn，该过程由（6.5）中给出的zn随机支配。我们只是设定为t≥ 0~Zn（t）= g（Wn（nt））=pnA（0）+bncXi=pnA（0）[Wni（nt）]+≥ 0.（6.11）那么Zn以强随机顺序支配Zn，因为g in（6.4）是Zn的增函数。然后我们推导出p（σnZn）≤ （T）≤ P（σn~Zn）≤ T），其中σnZn是Zn从Zn（0）=Zn（0）开始第一次达到零，即σnZn= inf{t≥ 0:Zn（t）=0}。（6.12）因此，为了证明（6.7）有必要证明，给定任何δ>0，存在Nδ，使得p（σNZn≤ （T）≤ δ、 当n>nδ时。

（6.13）我们现在专注于证明（6.13）。我们可以验证（6.11）中定义的过程是一个吸收势垒为零的纯死亡过程，并且当它处于k状态时，死亡率为∈ {1, 2, . . .} 是拜恩给的·k·Θn+nκ·Υ. （6.14）我们也可以从假设2.1、（6.11）和（6.1）中检查thatlimn→∞~Zn（0）n=limn→∞npnA（0）+bncXi=pnA（0）[Xni（0）]+=Zp+p%（x）dx>0。（6.15）由于Zn是一个吸收态为零的纯死亡过程，我们得到σnZn=Zn（0）Xk=1Dk，（6.16），其中dk表示Zn从状态k开始并达到k的第一次通过时间-1，soDkis是一个指数随机变量，其速率k·′Θ+n1+κΥ在（6.14）中给出。此外，所有Dk都是相互独立的。因此，我们有[σnZn]=EhZn（0）Xk=1Dki=~Zn（0）Xk=1k·Θ+n1+κ·Υ，var（σnZn）=~Zn（0）Xk=1var（Dk）=~Zn（0）Xk=1（k·Θ+n1+κ·Υ）。由于κ<1，我们从（6.15）推导出存在独立于n的C，因此limn→∞ln-nE[σnZn]=1- κ′Θ>0和supnV-ar（σnZn）≤ C.（6.17）因此对于所有足够大的n，我们得到E[σnZn]>T。下面是v ar（σnZn）≥ 嗯E[σnZn]- σn~Zn: σn~Zn≤ 钛≥ 嗯E[σnZn]- T: σn~Zn≤ 钛=E[σnZn]- T· P（σn~Zn）≤ T）。因此我们推断，当n较大时，P（σnZn）≤ （T）≤E[σnZn]- TV ar（σn~Zn）。这在施用（6.17）后产生（6.13）。因此，我们完成了（6.3）的证明。下一个结果是，对于n大，PpnA（0）- inf0≤T≤TpnA（nt）>n≤ δ. （6.18）注意pnB（·）每次都小于pnA（·），我们有pnA（0）- inf0≤T≤TpnA（新界）≤ pnA（0）- inf0≤T≤TpnB（nt）=pnB（0）- inf0≤T≤TpnB（nt）+pnA（0）- pnB（0）。现在（6.1）意味着对于n大，PpnA（0）- pnB（0）>n≤δ.因此，有必要证明，对于n大pnB（0）- inf0≤T≤TpnB（nt）>n≤δ.这源于（6.3）的类似论点。因此我们有（6.18）。结合（6.2）、（6.3）和（6.18），我们得到（3.4）。

因此，证据是完整的。6.2定理3.1第（b）部分的证明在本节中，我们证明定理3.1第（b）部分。我们根据第5节中的结果对极限点（ζ+，ζ）进行了表征-) 在（5.7）中。证据假设（ζ+，ζ-) 是一个极限点，如命题5.2所示。鉴于命题5.2，toshowζ+t（分别为ζ-t） 绝对连续，密度分别为φ+（·，t）-（·，t）），必须证明对于任何f∈ C（[0,1]）和t∈ [0，T]，我们有hζ+T，fi=Zf（x）~n+（x，T）dx，（6.19）hζ-t、 fi=Zf（x）~n-（x，t）dx，（6.20）式中，φ+=最大{φ，0}，φ-= 麦克斯{-由（3.6）-（3.9）唯一地确定。为此，我们首先注意到hζnk，+t，fi=> hζ+t，fi为nk→ ∞ 固定时间t∈ [0，T]。这是真的，因为hζnk，+，fi=> （5.9）中的hζ+，fi，以及极限点hζ+，fi的几乎每一条路径，都是连续的。类似地，我们从（5.10）推导出hζnkt，fγi=>hζt，fγi表示fγ∈ （5.1）中引入的C[0,1]和t∈ [0，T]。由于ζ是由命题5.2确定的，我们得到hζnkt，fγi概率收敛于hζt，fγi。因此，对于固定的γ>0，hζnk，+t，fi- hζnkt，fγi=> hζ+t，fi- hζt，fγi为nk→ ∞.利用文献[4]中的定理3.4，我们从引理5.1中得到，存在一个常数C>0，这样对于每个γ∈ （0，p）和t∈ [0，T]Ehζ+t，fi- hζt，fγi≤ 林英芬→∞Ehζnk，+t，fi- hζnkt，fγi≤ 林英芬→∞（~ank+Cγ）=Cγ。（6.21）此外，由于ζ是命题5.2和{fγ：γ的有界密度函数的确定性有符号测度∈ （0，p）}在[0，1]上一致有界，根据支配收敛定理和（5.2）thatlimγ可以推断→0+hζt，fγi=hζt，limγ→0+fγi=Zpf（x）~n（x，t）dx。（6.22）由于а满足（3.6）-（3.9）和ρ满足（2.7），我们推断а在[p，1]上为非负，在[0，p]上为非正。这意味着zpf（x）~n（x，t）dx=Zf（x）~n+（x，t）dx。

（6.23）因此，我们从（6.21）中发现：hζ+t，fi-Zf（x）~n+（x，t）dx≤ Ehζ+t，fi- hζt，fγi+ |hζt，fγi-Zf（x）~n+（x，t）dx|≤ Cγ+| hζt，fγi-Zf（x）|+（x，t）dx |。（6.24）让γ→ 在不平等（6.24）中，我们从（6.22）和（6.23）中得出结论hζ+t，fi-Zf（x）~n+（x，t）dx= 因此（6.19）的概率为1。一个类似的论点得出（6.20）。因此，证据是完整的。感谢Jim Dai、Ton Dieker、Rama Cont和Yu Gu的讨论。高雪峰感谢ECS拨款2191081，以及中大直接拨款4055035和4055054的支持。邓世杰部分得到了PSERC的资助。引理5.1的证明在本节中，我们在第5.1节中证明引理5.1。为此，我们首先引入一个结果，将（按比例）的限价订单总数限定在订单簿的特定价格范围内。证明推迟到本附录末尾。引理A.1。修正T>0。存在一个正常数C，它依赖于T，但与n无关，因此对于任何固定区间[a，b] [0,1]，我们有很多建议→∞Esup0≤T≤TnXi：在∈[a，b]| Xni（新界）|≤ C（b）- a） ，（a.1）和Lim supn→∞Esup0≤T≤TnXi：在∈[a，b]| Xni（新界）|≤ C（b）- a） 。（A.2）除任何σ∈ [0，T]我们有很多建议→∞E“sup0≤s≤T-σZs+σsnnXk=1 | Xnk（nu）| du#≤ Cσ。（A.3）我们现在证明引理5.1。引理5.1的证明。我们专注于证明（5.3）。（5.4）的证明如下，因此省略。

在整个证明过程中，我们使用了一个通用常数C，该常数可能取决于onT，并且可能因行而异，但C与n无关。根据ζn、+、ζ和fγ的定义（见（3.1）、（3.3）和（5.1）），我们推导出∈[0，T]hζn，+t，fi- hζnt，fγii=nE监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-nXi=1Xni（nt）fγ（in）=氖监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）-xi∈（np）-nγ，np）Xni（nt）fγ（in）≤氖监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）+氖监督∈[0，T]xi∈（np）-nγ，np）Xni（nt）fγ（in）. （A.4）我们现在在不平等符号（A.4）之后约束这两个术语。我们首先界定第二项，即（A.4）中的最后一项。因为函数族fγ的构造使得fγ对于所有γ一致有界于[0,1]上的某个常数C∈ （0，p），（A.4）中的第二项在byCn·E之上监督∈[0，T]Xi∈（np）-nγ，np）|Xni（nt）|,对于较大的n（A.2），其上进一步以Cγ为界。接下来，我们对第一个术语进行了界定，我们用an表示。很明显≥ 所以我们只需要证明limn→∞~an=0。我们把它分成两部分，分别研究。修正一些δ>0。因为f是连续的，所以它在[0,1]上有一个常数C的界。我们再推断一下监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）; 监督∈[0，T]新界北- P≥ δ≤ 2C·E“sup0≤s≤TnXi=1n | Xni（ns）|；监督∈[0，T]新界北- P≥ δ#= bn，δ。（A.5）现在引理A.1中的（A.1）意味着序列{sup0≤s≤TPnk=1n | Xnk（ns）|：n≥1} 在L中一致有界，因此{sup0≤s≤TPnk=1n | Xnk（ns）|：n≥ 1} 是统一整数的。因此，我们从定理3.1和（a.5）的（a）部分得到，对于任何δ>0，limn→∞bn，δ=0。（A.6）我们下一步前往邦德内监督∈[0，T]Xi>pnB（nt）Xni（nt）f（in）-xi≥npXni（nt）f（in）; 监督∈[0，T]新界北- P< δ.我们可以选择小δ>0，这样（p-δ、 p+δ） (0, 1).

证据是完整的。B命题5.1的证明本附录的目标是确定{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} ，即托普洛夫提案5.1。我们的方法是首先显示{ζn，+：n的紧密性≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 然后通过证明{ζn，+：n的极限点来获得接头紧密度≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 集中在连续路径集上。在本节的整个证明过程中，我们使用了一个通用常数C，它可能因行而异，但C独立于n。我们从几个辅助引理开始。下一个引理说，为了确定{ζn，+：n的紧密性≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 必须证明，对于每一个f∈C[0,1]，实值过程序列{hζn，+，fi:n≥ 1} 和{hζn，-, 菲：n≥ 1} 在D（[0，T]；R）中都很紧。这个引理可以在[17，第4章，命题1.7]中找到。引理B.1。一类非负测度值过程{νn:n≥ 1} 是紧inD（[0，T]，M+[0，1]），如果{hνn，fi:n≥ 1} 在D（[0，T]；R）中对于每一个f都是紧的∈ C[0,1]。下一个引理是[16]中的命题VI.3.26。引理B.2。对于固定T>0，让{Xn:n≥ 1} 是一系列的过程，这些过程在D（[0，T]，Rd）中具有价值，并配备了Skorokhod Jtopology。每n≥ 1、{Xn}适用于过滤（Fnt）t∈[0，T]。然后{Xn:n≥ 1} C-紧于D（[0，T]，Rd）当且仅当下列两个条件成立：（a）对于任何T∈ [0，T]和 > 存在一个紧集K（t，)  rdinfNP（Xnt∈ K（t，)) > 1.- . （B.1）（B）每 > 0，limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Xnt- Xns |>!= 0.（B.2）对于引理B.2及其在本文中的应用，我们总是采用过滤（Fnt）t∈[0，T]作为{Xn（nt）：T产生的自然过滤∈ [0，T]}用于固定n≥ 1.也就是说，Fnt= σ（Xn（ns），s）≤ t） 。（B.3）下一个引理是[16]中的推论VI.3.33。引理B.3。

让{Xn:n≥ 1} 和{Yn:n≥ 1} be two C–过程的紧序列inD（[0，T]，Rd）。然后{Xn+Yn:n≥ 1} 在D（[0，T]，Rd）和{（Xn，Yn）：n中是C-紧的吗≥ 1} 是C–D中的紧度（[0，T]，R2d）。下一个引理表示实值过程序列{hζn，fi:n的C-紧性≥ 1} 每f∈ C（[0,1]）。证据很长，所以我们将其推迟到本附录末尾。回想一下（3.3），我们为每个n≥ 1和t∈ [0，T]，hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f（in）。引理B.4。修正任何f∈ C（[0,1]）。实值随机过程序列{hζn，fi:n≥ 1} 是C–在D（[0，T]，R）中紧。利用引理B.1–B.4，我们已经准备好证明命题5.1。命题5.1的证明。我们应用引理B.2来建立{hζn，+，fi:n的C-紧性≥ 1} 在D（[0，T]，R）中表示固定的f∈ C（[0,1]），其中hζn，+t，fi=nnXi=1hXni（nt）i+·f（in）。（B.4）{hζn的C-紧密性，-, 菲：n≥ 1} 下面使用类似的论点。{（hζn，+，fi，hζn，-, fi）：n≥ 1} 在应用引理B.3后立即跟进。我们首先证明{hζn，+，fi:n≥ 1} 引理B.2的（a）部分。我们依赖于函数fγ族∈ （5.1）中引入的C[0,1]。请注意，对于固定t∈ [0，T]，supnP（|hζn，+T，fi |>L）≤ supnP（|hζn，+t，fi）- hζnt，fγi |>L）+supnP（|hζnt，fγi |>L）≤Lsupn（~an+Cγ）+supnP（|hζnt，fγi |>L），其中我们在最后一个不等式中使用了马尔可夫不等式和（5.3）。因为{an}是一个有界序列，我们可以选择L large，使得lsupn（~an+Cγ）任意小。此外，对于固定的γ和t，{hζnt，fγi:n≥ 1} 是引理B.4给出的紧序列。因此，我们可以选择大的，使得supnP（|hζn，+t，fi |>L）也任意小。这两个事实意味着{hζn，+t，fi:n≥ 1} 是固定t的一个紧密序列∈ [0，T]。接下来我们验证{hζn，+，fi:n≥ 1} 也满足引理b.2的（b）部分。

很明显，从（B.4）我们已经确定了≥ 1.过程hζn，+，fi适用于（B.3）中给出的过滤Fn。给定一个实数c>0，我们从（5.3）中得出，对于n个较大的psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζn，+T，fi- hζn，+s，fi |>c！≤ 2·Psup0≤T≤T | hζn，+T，fi- hζnt，fγi |>c！+Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζnt，fγi- hζns，fγi |>c！≤ 2·c（~an+cγ）+Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζnt，fγi- hζns，fγi |>c！。（B.5）由于对于固定的γ>0，过程hζn，fγi适用于Fn，因此我们从引理B.4推断limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζnt，fγi- hζns，fγi |>c！=0.结合（B.5），这意味着固定γ∈ （0，p）和c>0，limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζn，+T，fi- hζn，+s，fi |>c！≤6Cγc.Letγ→ 0+，我们得到limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | hζn，+T，fi- hζn，+s，fi |>c！=0.给定{hζn，+，fi:n的C-紧性≥ 1} 和{hζn，-, 菲：n≥ 1} 对于任何已执行的功能f∈ C[0,1]，我们首先从引理B.1推导出{ζn，+：n≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 在D（[0，T]，M+[0，1]）中是紧的。接下来我们讨论{ζn，+：n的极限点≥ 1} 和{ζn，-: N≥ 1} 具有连续的采样路径。假设ζ+是{ζn，+：n的极限点≥ 1} 然后，我们很容易从连续映射定理中证明hζ+，fi是{hζn，+fi:n的极限点≥ 1} 对于任何函数f∈ C[0,1]。由于C-紧序列{hζn，+，fi:n的所有极限点≥ 1} 集中在一组连续路径上，我们推断，对于几乎所有ω，我们都有：对于固定t∈ [0，T]，lims→td+ζ+s（ω），ζ+t（ω）= 林斯→T∞Xk=1k | hζ+s（ω），φki- hζ+t（ω），φki | 1+|hζ+s（ω），φki- hζ+t（ω），φki |=0，（B.6），其中（φk）是C[0,1]的稠密子集，距离测度d+在（5.5）中给出。因此，极限点ζ+具有连续的采样路径。类似地，{ζn的每个极限点的几乎所有路径，-: N≥ 1} 是连续的。

现在是{（ζn，+，ζn，-) : N≥ 1} inD（[0，T]，M（[0，1]）源自[2]中的引理3.5和推论3.6。引理B.4的证明。我们验证引理b.2中的条件（a）和（b）是满足的。为了便于标记，我们为固定函数f编写了代码∈ C[0,1]和t≥ 0Ynt= hζnt，fi=nnXi=1Xni（nt）·f（in）。（B.7）我们首先从引理B.2证明了YNSTATIES条件（a）。自从supx∈[0,1]| f（x）|≤对于某些常数C，通过f的连续性，我们从（B.7）推导出| Ynt |≤nnXi=1 | Xni（nt）| | f（in）|≤CnnXi=1 | Xni（nt）|。我们现在从引理A.1推导出≤T≤T | Ynt | i≤ C.（B.8）马尔可夫不等式的应用立即产生YNTSTATIS FIES（B.1）。接下来，我们在引理b.2中证明了Yn也满足条件（b）。请注意，ynt=F（Xn（nt））=Yn+ZntLnF（Xn（s））ds+Mnt，（B.9），其中ln是（2.5）中给出的运算符，mn是（局部）鞅，函数F在（5.11）中定义。鉴于 > 0，σ>0，我们从（B.9）推断出PSUP | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T|Ynt- Yns |>!≤ Psup0≤T-s≤σ,0≤s、 t≤TZntnsLnF（Xn（u））du>!+ Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Mnt- Mns |>!. （B.10）我们的策略是，对于大n，存在一个独立于n的常数C，使得E“sup0”≤T-s≤σ,0≤s、 t≤TZntnsLnF（Xn（u））du#≤ |C.sup-t|≤σ,0≤s、 t≤T | Mnt- Mns|#≤CTn。（B.12）利用马尔可夫不等式和切比雪夫不等式，以及（B.10），我们得到了limσ→0lim supn→∞Psup | s-t|≤σ,0≤s、 t≤T|Ynt- Yns |>!= 0.其余的证据集中在确定（B.11）和（B.12）。我们从证明开始（B.11）。对于固定n，我们从（5.11）和（2.5）推导出lnf（Xn（u））=Xk<pnA（u）nf（kn）ΘnB（pnA（u）- k） | Xnk（u）|-nf（kn）∧nB（pnA（u）- （k）+Xk>pnB（u）nf（kn）∧nA（k）- pnB（美国））-nf（kn）ΘnA（k）- pnB（u）| Xnk（u）|+Nf（pnB（u）n）ΥnA- f（pnA（u）n）ΥnB.（B.13）由于f在[0,1]上有界，我们从假设2.2中推断| LnF（Xn（u））|≤CnnXk=1 | Xnk（u）|+Cn。