分数阶Heston模型的渐近性态

同样，函数λ*+λ*-在整条实线上都是严格凸的。定理3.1。（i） 当t趋于零时，（a）如果d∈ （0，1/2），然后（Xt）t≥0满足具有良好速率函数λ的LDP*+还有速度t-1.（b） 如果d∈ (-1/2，0），然后（Xt）t≥0满足具有良好速率函数λ的LDP*-还有速度t-（1+d）；（ii）当t趋于完整时，（a）如果d∈ （0，1/2），然后T-（1+d/2）Xtt> 0满足具有良好速率函数∧的LDP*+还有速度t-（1+d/2）；（b） 如果d∈ (-1/2，0），然后T-1Xtt> 0满足（λ）上的部分LDP-（u）-), Λ-速率函数∧的（u+）*-还有速度t-1.你在哪里-, u+在提案3.3中定义。在实践中，情况（ii）（b）中的部分LDP在这里就足够了，因为罢工的形式是ext，用于大到期日和固定x；此外，0∈ (Λ-（u）-), Λ-（u+），因此对于固定的小x和足够大的t，甚至可以计算大的罢工，详情见定理3.6（ii）（b）。对于第2.2节中定义的DTM（·t）的有效域，让D∞:= ∩t> 0∪s≤tDt=∪t> 0∩s≤tDt和D（δ）点态极限u7的有效域→ m（t）-δu，t）随着t趋于零（δ>0）。定理3.1的证明依赖于对8 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI Shi累积量生成函数的极限行为的研究，这些函数是过程（Xt）t的（一个重标版本）≥0，我们在以下两个命题中陈述（并将其证明推迟到第5.1节和第5.2节）：命题3.2。当t趋于零时，以下保持不变：（i）如果d∈ （0，1/2），设δ=1，然后D（δ）=R和limt↓0tmut，t= ηu，代表u∈ D（δ）；（ii）如果d∈ [-1/2，0），设δ=1+d，然后d（δ）=R和limt↓0t1+dmut1+d，t=vu2Γ（2+d），代表美国∈ D（δ）。提议3.3。

当t趋于完整时，累积量生成函数有以下行为：（i）如果d∈ （0，1/2），然后是D∞= [0,1]和limt↑∞T-（1+d/2）m（u，t）=∧+（u），表示u∈ D∞;（ii）如果d∈ (-1/2，0），那么就存在u-≤ 0，u+≥ 1.限制↑∞T-1m（u，t）=∧-（u） ，给你∈ D∞= [u]-, u+]。备注3.4。上述限值在原点d中不是连续的。在d=0（标准赫斯顿）的情况下，重标累积量生成函数的逐点极限在[21]中进行了计算，其极限为：↑∞T-1m（u，t）是某个区间[u]上的光滑凸函数-, u+] [0，1]。在命题3.3中，极限域D的特征∞这并不是完全明确的。然而，使用theODEs（2.4）和标准（不相关）Heston模型中相应的比较原则，很容易看出区间[u-, [uH+]中含有铀-, uH+]，这是不相关Heston模型中重标力矩生成函数的极限域（有关uH±的详细信息和显式表达式，请参见[21]）。定理3.1的证明。从命题3.2来看，（i）（a）-（b）中所述的大偏差原理源自G¨artner-Ellis定理（定理a.3）的直接应用。现在考虑大时间行为，从案例（ii）（a）开始，即d∈ (0, 1/2). 从命题3.3来看，函数∧+在D上本质上是光滑的∞, 但起源不在D的内部∞, 因此，盖特纳-埃利斯定理并不直接适用。然而，在一维情况下，可以使用[45]中的重新定义版本，这放松了这一假设。案例（ii）（b）是G–artner-Ellis定理在有效域[u]上的直接应用-, u+]。备注3.5。

即使在陡峭条件不满足的情况下，也可以通过引入精心选择的与时间相关的度量变化来证明整个实线的下限，如[8]或[34]；然而，这需要了解累积量生成函数的高阶渐近行为。我们把这个留给未来的研究。3.2. 隐含波动渐近性。现在，我们将上述大偏差原理转化为隐含波动率的渐近性。对于任何（x，t）∈ R×R+，设∑（x，t）表示与到期日为t且执行日为ex的欧式期权价格相对应的隐含波动率。以下定理在第5.3节（小时间）和第5.4节（大时间）中得到了证明。定理3.6。（i） 当t趋于零时，（i）如果d∈ （0，1/2），则对于任何x 6=0，∑（x，t）收敛于η；分数HESTON模型的渐近行为9图3。我们计算了Xt（蓝色）的重标cgf，并将其与命题3.2中给出的小时间限制（红色）进行了比较。时间参数在左列为t=1/10，t=10-3.在右边。第一行是粗略情况，其中d=-0.3，对于光滑的情况，底部的d=0.2。（κ，θ，ξ，v，η）=（2.1,0.06,0.2,0.03,0.03）。（ii）如果d∈ [-1/2，0），那么对于任何x6=0，t-d∑（x，t）收敛到v/Γ（d+2）；（ii）由于t趋于一致，隐含波动率表现如下：（a）如果d∈ （0，1/2），然后限制↑∞T-d/2∑（xt1+d/2）=22Λ*+（十）- x+q∧*+（十）Λ*+（十）- 十、, 为了所有的x∈ R（b） 如果d∈ (-1/2，0），然后是D∞ [0,1]和limt↑∞∑（xt，t）=η，对于所有x∈ (Λ-（u）-), Λ-（u+）；对于大型到期日，随着d从上方接近零，我们恢复了[21]中得出的标准赫斯顿隐含波动性符号；在长记忆情况下（d>0），由于td/2因素，对于非常大的到期日，隐含波动率的陡度比标准赫斯顿模型更为显著。小型成熟酶尤其有趣。

在长记忆（d>0）的情况下，隐含波动率以与Black-Scholes相同的速度收敛到一个常数（或与任何具有连续路径的扩散一样）。在短期记忆记录中，隐含波动率以td/2的速度增长。文献[4]充分证明，经典的随机波动率模型（由标准布朗运动驱动）无法捕捉观察到的隐含波动率的陡度。几位作者[43,51]建议增加跳跃以适应这种陡度。假设鞅股价由S=eX给出，其中X是一个L’evy过程，L’evy测度在整条实线上得到支持。随着成熟度t趋于零，相应的隐含可用性表现为limt↓02t对数（t）∑（x，t）=-x、 对于所有x 6=0。然后将发散速度t log（t）与td（d）进行比较∈ (-1/2，0）在上面的分数框架中：显然，对于足够小的t，theL’evy隐含波动率的爆发速度要快得多。进一步注意，在到期日趋于零的限额内，后者确实取决于执行，但分数隐含波动率则不取决于执行。因此，我们的结果表明，分数布朗运动（驱动瞬时波动率）是跳跃的替代方法，并提供了10 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI SHIsmiles比标准随机波动率陡峭，但比L’evy模型不那么陡峭。此外，它们还有绕过跳跃模型中的对冲问题的优势。我们还应该将这种爆炸率与标准赫斯顿模型中的隐含波动率进行比较，在标准赫斯顿模型中，瞬时方差是从初始分布开始的。在[34]中，作者选择了一个非中心卡方初始分布，并表明，在一些适当的重标度下，隐含波动率以t的速度增长-1/2.

Jacquier和Shi[35]也受到了[42]的启发，他们通过研究随机初始数据对微笑短时爆发的影响，进一步推动了这一分析。4.数值在本节中，我们提供了描述模型行为的数值示例，参数（κ，θ，ξ）=（2.1,0.06,0.2）。在图4中，我们提供了由标准Heston模型生成的挥发性表面的比较。我们观察到，在Hurst参数小于（d<0）的情况下，较大的Vpush值会使小时间波动率微笑，与定理3.6中的小时间分析产生共鸣。还请注意，对于类似的参数选择，在分馏阶段，货币隐含波动率更高。图5进一步证实了这一点，图5代表了货币总方差的期限结构。图4。挥发性表面的比较。第一行代表分数情况，其中（v，η，d）=（0.03,0.02，-0.3）和（v，η，d）=（0.02,0.02，-0.3）在右边。下图为标准赫斯顿案例（d=0），v=0.06。分数HESTON模型的渐近行为11图5。货币总方差的期限结构分数（蓝色，（v，η，d）=（0.03,0.02，-0.3）和标准赫斯顿（青色，v=0.06）。图6。（2.2）中预期年化方差（蓝色）的期限结构，其中（v，η，d）=（0.03,0.02，-0.3). 青色虚线表示其小时间近似值vTdΓ（d+2）+η.5.校样。1.命题3.2的证明。我们在证明中将κ=0和κ>0分开。5.1.1. κ=0例。可以使用注释2.3中矩母函数的明确知识来计算其极限行为。然而，我们在这里遵循不同的路线，我们可以在以后适应κ>0的情况。函数B是ODE（5.1）B（t）的解-ξB（t）+u（1）- u） 2Γ（d+1）td，边界条件B（0）=0。

设ζ：=u（1）-u） 2Γ（d+2），考虑ansatz B（t）=Pi≥1αiζitid+2i-1，对于某些实数序列（α）i≥1.因此B（t）+ξB（t）-u（1）- u） 2Γ（d+1）td=Xi≥1αiζi（id+2i）- 1） tid+2i-2+ξXi，j≥1αiαjζi+jt（i+j）d+2（i+j）-2.-u（1）- u） 2Γ（d+1）td=α（1+d）ζ-u（1）- u） 2Γ（d+1）td+Xi≥2“αi（id+2i- 1） +ξi-1Xk=1αkαi-k#ζitid+2i-2.当且仅当α=1和αi=-ξ2（i（d+2）- 1） 我-1Xk=1αkαi-k、 因为≥ 2.我们现在对上述推导进行严格的推导。以f:R地图为例+→ f（t）定义的R:=12哈姆扎·格农、安托万·贾奎尔、帕特里克·鲁姆和方伟-1Pi≥1αiζtd+2i、 对于t≥ 0.因为我足够大，ξ2（i（d+2）-1)< 因此|αi |<|γi |，其中序列（γ）i≥1定义为γ=1和γi=Pi-1k=1γkγi-k、 因为我≥ 2.繁琐而直接的计算表明幂级数m（x）≡圆周率≥1γixih是收敛半径的1/4，m（x）=Pi≥1γiixi-1对于allx∈ (-1/4, 1/4). 因此，幂级数g（x）≡圆周率≥1αixih是大于1/4的收敛半径，g（x）=Pi≥1αiixi-1对于所有x∈ (-1/4, 1/4). 对于足够小的ζxd+2，ddxXi≥1αiζxd+2i=（d+2）ζxd+1Xi≥1αii（ζxd+2）i-1，所以f（x）=Pi≥1αiζi（id+2i）- 1） tid+2i-此外，利用托内利定理，对于足够小的ζtd+2，Xi≥j，1≥1 |αi | |αj |ζi+jt（i+j）d+2（i+j）-2=xi≥1 |αi | |ζ| itid+2i-1.现在是最后一天。然后直接应用富比尼定理得到f（t）=Pi，j≥1αiαjζi+jt（i+j）d+2（i+j）-2，因此f是小|ζtd+2 |的5.1的解。我们首先在案例d中证明这个命题∈ (0, 1/2).

函数B，解决方案（5.1），满足条件：t1-分贝ut，t= T-dXi≥1αiutd+12Γ（2+d）-utd2Γ（2+d）i=t-dXi≥1αitidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i=Xi≥1αit（i-1） dut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i=ut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）+Xi≥1αi+1tidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i+1。而且，对于一个不够小的，xi≥1αi+1tidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i+1≤ td/2ut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）xi≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-utd/22Γ（2+d）我.因为他不够小，ut1+d/22Γ（2+d）-utd/22Γ（2+d）<, thenPi≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-utd/22Γ（2+d）定义明确。左手边≥1αi+1tidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）当t趋于零时，i+1趋于零，t也趋于零-dB（u/t，t）至-u2Γ（2+d）。在案例d中∈ [-1/2,0），函数B，（5.1）的解，满足1+dB（u/t1+d，t）=tdXi≥1αiut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）i=ut1+d2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）+tdXi≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）i+1=ut1+d2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）+ut1+d2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）xi≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）分数HESTON模型13的iSymptotic行为此外，对于足够小的t，圆周率≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）我≤ T-d/2圆周率≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-美国犹他州-d/22Γ（2+d）我. 从那以后≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-美国犹他州-d/22Γ（2+d）I的定义足够小，Pi≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）当t趋于零时，它趋于零，t1+dB（u/t1+d，t）也趋于零-u2Γ（2+d），这证明了这个命题。5.1.2. κ>0病例。与κ=0的情况类似，插入ansatz B（t）：=Xi，j≥1βi，jtid+jinto（2.4）产量β1,1（d+1）+u（u- 1） 2Γ（d+1）td+ξXi，j≥1βi，jtid+j+ κXi，j≥1βi，jtid+j+X（i，j）6=（1,1）βi，j（id+j）tid+j-1.≡ 0.以下陈述成立，并与上述情况κ=0有关：（1）βi，对于任何i，j=0≥ 2和1≤ J≤ 2i- 2.（2） βi，2i-1=αiζi对于任何i≥ 1.将相同阶数的项组合得到β1,1=αζ。

此外，对于任何（i，j）∈ N*+×N*+\\ {1},βi，j（id+j）+κβi，j-1+ξi-1Xp=1j-2Xq=1βp，qβi-p、 j-1.-Qtid+j-1.≡ 0.然后可以通过归纳法轻松验证上述两种说法，其中B（t）=Xi≥1Xj≥2i-1βi，jtid+j，带（5.2）βi，j=”-κi，j-1.-ξi-1Xp=1j-2i+2pXq=2p-1βp，qβi-p、 j-1.-q#我们证明了级数是绝对收敛的。请注意（5.3）Xi≥1Xj≥2i-1 |βi，j | tid+j=Xi≥1tid+2i-1.Xj≥2i-1 |βi，j | tj-2i+1=xi≥1 |βi，2i-1 | tid+2i-1.1 +∞Xj=2iβi，jβi，2i-1.tj-2i+1.遵循引理5.1，1+P∞j=2iβi，jβi，2i-1.tj-2i+1<2i-1eiκtholds适用于任何i≥ 1和（5.3）则为（5.4）Xi≥1Xj≥2i-1 |βi，j | tid+j<t-1Xi≥1i-1 |αi||ζ| td+2eκti、 我们已经证明了|αi |<γ如果i足够大，那么序列（Pi≥1i-1 |αi | xi）的收敛半径不小于1/8。因为（d+2）是严格正的，所以（5.4）意味着级数B（t）=Pi≥1Pj≥2i-1βi，jtid+jis绝对收敛于小t，使得|ζ| td+2eκt<1/8成立。因此，前面的ansatz B（t）是小t的Riccati方程的解。其余的证明基本上与κ=0的情况相同，因此我们省略了细节。引理5.1。无论如何，我≥ 1，以下（5.2）中定义的βi，jd的估计适用于任何j≥ 2i:|βi，j |<i-1（iκ）j-2i+1（j）- 2i+1）|βi，2i-1 | 14 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI SHIProof。我们用归纳法证明。在i=1的情况下，直接计算产生β1，jβ1,1=Γ（d+2）Γ（d+1+j）κj-1.≤κj-1（j）- 1)!, 对于任何j≥ 1.假设|βp的上界成立，q |适用于任何p≤ 我- 1.

然后我们有|βp，q |≤P-1（pκ）q-2p+1 |βp，2p-1 |（q）- 2p+1）|βi-p、 j-1.-q|≤我-P-1（（i）- p） κ）j-Q-2i+2p |βi-p、 2（i）-p）-1 |（j）- Q- 2i+2p）！。因此，对于任何固定的1≤ P≤ 我-j，1-2i+2pXq=2p-1 |βp，qβi- p、 j- 1.-q|≤J-2i+2pXq=2p-1i-2（pκ）q-2p+1（（i）- p） κ）j-Q-2i+2p |βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1 |（q）- 2p+1）！（j）- Q-2i+2p）=我-2 |βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1 |（j）- 2i+1）！J-2i+2pXq=2p-1（j）- 2i+1）！（pκ）q-2p+1（（i）- p） κ）j-Q-2i+2p（q- 2p+1）！（j）- Q-2i+2p）=我-2（iκ）j-2i+1（j）- 2i+1）|βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1|.将其插入（5.2），注意|βi，2i-1 |=ξ2（id+2i）-1） 圆周率-1k=1 |βk，2k-1βi-k、 2（i）-（k）-1 |这是因为所有的项βk，2k-1βi-k、 2（i）-（k）-1任何k都有相同的符号，然后|βi，j |≤κ|βi，j-1 | id+j+ξ2（id+j）i-1Xp=1j-2i+2pXq=2p-1 |βp，qβi-p、 j-1.-q|≤κ|βi，j-1 | id+j+ξ（id+2i）- 1） 2i-2（iκ）j-2i+12（id+j）（id+2i）-1） （j）- 2i+1）！我-1Xp=1 |βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1|≤κ|βi，j-1 | id+j+i-2（iκ）j-2i+1（id+2i）- 1） （j）- 2i+1）！（id+j）|βi，2i-1|.迭代上述不等式，我们最终得到|βi，j |≤κj-2i+1 |βi，2i-1 | Qjk=2i（id+k）+2i-2κj-2i+1 |βi，2i-1 | jXk=2ik-2i+1（id+2i）- 1） （k）- 2i+1）！Qjm=k（id+m）≤我-2κj-2i+1 |βi，2i-1 |（j）- 2i+1）！jXk=2i-1ik-2i+1=i-2κj-2i+1 |βi，2i-1 |（ij）-2i+2- 1） （j）- 2i+1）！（一）- 1） <i-2（iκ）j-2i+1 |βi，2i-1 | i（j）- 2i+1）！（一）- 1)≤我-1（iκ）j-2i+1（j）- 2i+1）|βi，2i-1|.备注5.2。在d=0、η=0和κ=0的情况下，cgf m（u，t）对应于标准赫斯顿模型，ρ=0，平均回复速度κ=0。这里大家都知道，limt↓0tm（u/t，t）=vu/（ξcot（ξu/2））。使用上述（5.1）的系列扩展解决方案，我们发现该限制↓0tm（u/t，t）=vPi≥1(-1） i+1αi（u/2）i.显式计算我们发现的前几个项≥1(-1） i+1αi（u/2）i=u/2+ξu/24+ξu/240+O（ξu），这与u/（ξcot（ξu/2））对小ξu的泰勒展开完全一致。命题3.3的证明。我们从案例d开始∈ (0, 1/2).

设B为常微分方程（2.4）的解，α：=d/2，β：=ξqu（1）-u） Γ（d+1），β=-κξ. 函数f（t）≡ B（t）- βtα- β满意度f（t）=-ξf（t）- ξβtαf（t）+κ2ξ- βαtα-1，对于t>0。现在定义ψ-, ψ+：R+→ R乘以（5.5）ψ±（t）≡ -κξ±ξsκξ+u（1- u） tdΓ（d+1）。我们现在宣称，对于任何t>0，下列不等式成立：（5.6）ψ-（t）≤ B（t）≤ ψ+（t）。注意，（5.7）ψ±（t）=±αβt2α-1pβ+βt2α，这意味着ψ-（t）≤ 0≤ ψ+（t），对于所有t>0和limt↓0ψ-（t） =-∞, B（0）=0，极限↓0ψ+（t）=+∞,ψ-(0) = -2κ/ξ≤ B（0）≤ ψ+(0) = 0.此外，请注意（5.8）B（t）=-ξ（B（t）- ψ+（t））（B（t）- ψ-（t） ）。如果τ：=sup{t>0:ψ-（s）≤ 乙(s)≤ ψ+（s），对于所有0≤ s≤ t} 是有限的，那么从B在[0，τ]上的单调性和连续性，我们得到了B（τ）=ψ+（τ）和B（τ）=0。因此，B（τ）=ξ（ψ+（τ）- ψ-（τ） ψ+（τ）/2>0，表示存在τ*> τ使得t的B（t）>B（τ）=0∈ (τ, τ*], 因此B（t）∈ (ψ-（t） ，ψ+（t））fort∈ (τ, τ*], 与τ的完整性相矛盾，因此τ=∞. 我们现在证明limt↑∞T-αB（t）=β。定义函数φ+，φ-: （t）*, +∞) → R乘以φ±（t）=-βtα±βt2α+ξκξ- 2βαtα-1.1/2，其中t*≥ 0足够大，因此φ±（t）作为实数（α）存在- 1<0）表示t>t*. 对于大t，我们有（5.9）φ+（t）=κ2ξβt-α+O（t）-3α）和φ-（t） =-2βtα+O（t-α).对于大t，φ+（t）<0和φ-（t） <0。自f（t）=-ξ（f（t）-φ+（t））（f（t）-φ-（t） ），可能出现两种情况：o存在t>0，使得φ+（t）≤ f（t）；o尽管如此，t>t*, φ+（t）>f（t）；在第一种情况下，比较原则意味着对于所有t>t，φ+（t）≤ f（t）（类似于（5.6）的证明）。因此（5.6）和f的定义产生βtα+β+φ+（t）≤ B（t）≤ ψ+（t），这证明了结果。