分数阶Heston模型的渐近性态

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英文标题：
《Asymptotic behaviour of the fractional Heston model》
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作者：
Hamza Guennoun, Antoine Jacquier, Patrick Roome, Fangwei Shi
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider the fractional Heston model originally proposed by Comte, Coutin and Renault. Inspired by recent ground-breaking work on rough volatility, which showed that models with volatility driven by fractional Brownian motion with short memory allows for better calibration of the volatility surface and more robust estimation of time series of historical volatility, we provide a characterisation of the short- and long-maturity asymptotics of the implied volatility smile. Our analysis reveals that the short-memory property precisely provides a jump-type behaviour of the smile for short maturities, thereby fixing the well-known standard inability of classical stochastic volatility models to fit the short-end of the volatility smile.
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中文摘要：
我们考虑孔德、库廷和雷诺最初提出的分数赫斯顿模型。受最近关于粗糙波动率的开创性研究的启发，我们提供了隐含波动率微笑的短期和长期成熟度渐近特性的描述。粗糙波动率的开创性研究表明，由分数布朗运动驱动的波动率模型具有短记忆，可以更好地校准波动率表面，并对历史波动率的时间序列进行更稳健的估计。我们的分析表明，短期记忆特性精确地为短期到期提供了微笑的跳跃式行为，从而修正了经典随机波动率模型无法拟合波动率微笑短端的众所周知的标准缺陷。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Est sto Mathematical Quantitative mathematica

分数阶HESTON模型的渐近行为Hamza GUENNOUN，ANTOINE JACQUIER，PATRICK Room和FANGWEI SHIAbstract。我们考虑孔德、库廷和雷诺最初提出的分数赫斯顿模型[12]。受最近关于粗糙波动率的开创性研究[2,6,24,26]的启发，我们提供了隐含波动率微笑的短期和长期渐近特征，该研究表明，由分数布朗运动驱动的具有短记忆的波动率模型可以更好地校准波动率表面，并对历史波动率的时间序列进行更稳健的估计。我们的分析表明，短期记忆属性准确地为短期到期提供了微笑的跳跃式行为，从而证明了经典随机波动率模型无法满足波动率微笑的短端。1.引言自从Black-Scholes模型在40年前被引入以来，从业者和学者一直在提出该模型的要求，以考虑市场数据的特定行为。特别是，将收益率的Black-Scholes瞬时波动率转化为随机过程的随机波动率模型得到了广泛的研究和应用。[23,25,29,30,40,47]等专著是关于这一大类模型的重要信息来源，无论是从理论角度（这些过程的存在性和唯一性，渐近行为），还是从从业者的见解（这些模型实际表现如何，与市场数据相比应该表现如何）来看。尽管这些模型取得了成功，但现在人们普遍认为，对于短期到期，对观察到的隐含波动率面进行校准是失败的，观察到的微笑比连续路径的差异产生的微笑更陡峭。

为了解决这个问题，几位作者建议增加跳跃，或者以独立的L’evy过程[5]的形式，或者在更一般的有效过程框架内[33,39]。（股价动态中的）跳跃意味着短期内隐含波动率的爆炸性行为（关于这种现象的回顾，请参见[51]），但能够捕捉到隐含波动率的陡峭程度。这可能是模特故事的结局；然而，这种方法也有（现在仍然有）争议，因为过程中的跳跃部分是众所周知的难以回避的，这使得其实际实施成为一个相当微妙（有时是哲学上的）问题。从时间序列建模的角度来看，由布朗运动驱动的经典随机波动率模型因没有考虑观察到的收益波动率的长记忆而受到批评。日期：2017年8月10日2010年数学科目分类。60F10，91G99，91B25。关键词和短语。随机波动率，隐含波动率，渐近性，分数布朗运动，赫斯顿模型。作者要感谢Jim Gathereal的有益讨论，感谢Mathieu Rosenbaum的鼓励。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。财政司司长由伦敦帝国理工学院数学系的迷你DTC奖学金资助。2 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK ROOME和FANGWEI SHIIn ARCH和GARCH模型，记忆（通过自相关函数量化）以指数速度衰减，而对于这些模型的集成版本，它根本不会衰减。在离散时间环境中，这导致了分数积分模型的引入，如ARFIMA[27]和FIGARCH[3]。

在连续时间内，这种长记忆行为通过分数布朗运动[11,12]进行建模，赫斯特指数严格大于1/2。分数布朗运动也有它的缺陷，因为它不是半鞅，并产生套利机会[48,50]。使用重型机械可以避免这种情况【10、19、28、32】，但由于aby产品引入了不理想的经济特性【9】。如[52]所述，当分数布朗运动驱动瞬时波动而非股价本身时，这些问题并不相关。然而，这些分数随机波动率模型在计量经济学和统计学界颇受欢迎，却很少受到更经典的数学金融和随机分析团体的关注。Gatheral、Jaisson和Rosenbaum[26]最近建议考虑赫斯特指数，它不是波动性历史记忆的指标，而是要在波动性表面上校准的额外参数。他们的研究表明H∈ （0，1/2），这似乎表明对波动性的记忆不足，从而与数十年的时间序列分析相矛盾。通过考虑直接受Heston模型分数版本启发的特定分数挥发性模型[12,31]，我们为这一结果提供了理论上的证明。我们特别表明，当H∈ （0，1/2），该模型中的隐含波动率在跳跃意义上爆炸。从概率上讲，这意味着重新调整（按时间）的对数股价过程收敛较弱，但过程本身并不收敛，这让人想起跳跃差异情况下发生的情况。在H的情况下∈ （1/2，1），启发性地，长记忆没有时间影响过程的动力学，隐含的波动率收敛到一个严格的正常数。

对于大到期日，这种现象是相反的，即短记忆以某种方式被平均化，隐含波动性的行为类似于标准布朗驱动的扩散情况，而长记忆产生不同的渐近行为。最后，我们评论说，最近[16,17,18]中提出并分析了另一个Heston模型的分数版本，作者通过分数积分定义了方差过程的不同结构。特别是，El-Euch、Fukasawa和Rosenbaum[18]提出了一个微观价格模型，并表明它在长期内收敛到一个粗糙的Heston环境，从而在市场微观结构和粗糙波动性之间架起了桥梁。我们还请感兴趣的读者参考[1,6,7,22]，了解分数波动率建模的最新进展。本文的结构如下：第二部分介绍了该模型并研究了其主要性质。Wein特别指出，股票价格的特征函数是封闭形式的。在第3节中，我们验证了本文的主要、概率性和财务性结果，即对数股价过程重标度的大偏差原则和隐含波动率的渐近行为，无论是短期还是长期。在第4节中，我们提供了几个数值例子。第5节包含了主要结果的证明，我们在附录中增加了一个关于大偏差的简短提示。分数HESTON模型32的渐近性质。模型及其性质2。1.分数赫斯顿模型。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个给定的过滤概率空间，支持两个独立的标准布朗运动B和W。

我们用（St）t表示≥0股票价格过程，且假设xt:=log（St）是随机微分方程（2.1）dXt=-Vdtdt+qVdtdBt，X=0，dVt=κ（θ）- Vt）dt+ξpVtdWt，V=V>0，Vdt=η+Id0+Vt，其中d∈ (-1/2，1/2），系数满足κ，θ，ξ>0。算子Id0+是d阶的经典左分式Liemann-Liouville积分：Id0+φ（t）：=Zt（t- s） d-1Γ（d）φ（s）ds，用于d∈0,,ddtId+10+φ（t），用于d∈-, 0,对任何函数都有效∈ L（[0，t]），其中Γ是标准伽马函数。关于这些积分的更多细节，我们请感兴趣的读者参阅专著[49，第1章，第2节]，关于离散化方案的应用，我们请参阅[12，第5节]。这对夫妇（X，V）对应于标准的赫斯顿-托卡斯蒂克波动率模型[31]，该模型允许山田渡边条件[37，命题2.13，第291页]给出一个独特的强解。附加参数η≥ 如[12]所述，0允许放松Vt均值和方差之间的紧密联系。过程V可以用积分形式写成Vt=ve-κt+θ（1）- E-κt）+ξRte-κ（t-（s）√VsdWs，因此它^o等距意味着协方差结构读取，对于任何t，u>0，hVu，Vti=ξθ2κe-κt-u |+ξκ（v）- θ） e-κ（t∧u）-ξ2κ（2v）- θ） e-κ（t+u）。Feller条件[38，第15章]，2κθ≥ ξ、 确保来源是不可实现的（否则它是有规则的，因此是可实现的，并且具有强烈的反思性）；在这种情况下，由于Riemann-Liouville算子保持正性，Vdt≥ η几乎可以肯定≥ 0.现在，对于任何t≥ 0，我们有E（Vdt）=η+Id0+（ve-κt+θ（1）- E-κt），对于任何t，h≥ 0，hVdt+h，Vdti=Zt+hZt（t+h- s） d-1（t）- u） d-1Γ（d）hVs，Vuiduds。这种分数波动率模型的动机来自孔德和雷诺[11]关于奥恩斯坦-乌伦贝克过程的开创性工作。

考虑随机微分方程dx（t）=-κX（t）dt+σdWd（t）从零开始，带d∈ （0,1/2）、κ、σ>0和Wda分数布朗运动；其分数阶导数X-dde通过标识Xt=I1+d0+X定义-d（t），对于所有的t≥ 0，奥克斯-d（t）=滴滴涕Zt（t- （s）-dΓ（1）- d） Xsds=Zt（t- （s）-dΓ（1）- d） dXs4 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI Shisaties将SDE dX-d（t）=-κX-d（t）dt+σdB（t），X-d（0）=0，其中B是标准布朗运动。相反，如果X（t）满足Ornstein-Uhlenbeck SDE dX（t）=-κX（t）dt+σdW（t），X（0）=0，则dI1+d0+X（t）=-κI1+d0+X（t）dt+σdWd（t），其中I1+d0+X（0）=0。最后，请注意，持续监控的、到期日为T readsTEZTVdtdt的方差互换的公平执行=TZTη+Id0+ve-κt+θ（1）- E-κt）dt=η+vTdΓ（d+2）+κ（θ）- v） e-κTTΓ（d+2）ZTtd+1eκtdt。（2.2）特别注意，当η=d=0时，该表示与[25，第11章]中提供的标准赫斯顿情况下的预期方差公式一致。此外，对于小T>0，等式（2.2）readsTEZTVdtdt=vTdΓ（d+2）+η+O（Td+1），因此在粗糙的赫斯顿情况下，当d<0且利率为Td时，方差交换率爆炸。图1。我们生成五个平滑（d=0.4，以上）和粗糙（d=-0.3，底部）股票价格（左）及其波动性运动路径（右）。方差过程的其他参数为（κ，θ，ξ，v，η）=（2.1,0.05,2,0,0.03）。分数HESTON模型的渐近行为52.2。累积量生成函数。设m（u，w，t）≡ 日志E（euXt+wVdt），对于任何t≥ 0和（u，w）∈eDt，表示耦合（X，Vd）的累积量生成函数，其中eDt：=（u，w）∈ R:|m（u，w，t）|∞是m的有效域。以下定理为其提供了一个封闭形式的表达式：定理2.1。

无论如何≥ 0，（2.3）对数EeuXt+wVdt= wη+u（u- 1） ηt- B（t）v+A（t），适用于所有（u，w）∈其中函数A和B满足普通微分方程（2.4）A（s）+κθB（s）=0，B（s）+κB（s）+ξB（s）+u（u- 1） 2Γ（d+1）sd+wΓ（d）sd-1=0，代表0≤ s≤ t、 初始条件A（0）=B（0）=0，其中Γ是通常的伽马函数。有趣的是，这对夫妇（X，Vd）仍然是[15]意义上的一对夫妇。如备注2.2所述，相关性将破坏过程的马尔可夫特性及其有效特性。当η=d=w=0时，Riccati方程（2.4）与标准（不相关）Heston模型中的方程相同。这特别说明，当相关性为空时，我们的模型（2.1）和赫斯顿模型具有相同的边缘。下面对隐含波动率的渐近行为的分析只需要了解在w=0时计算的函数m，我们将用有效域Dt写出m（u，w，t）=m（u，t）。证据地图（南、美）→ 11{0≤s≤u} （s）-u） d-1Γ（d）vu在[0，t]×[0，t]a.s.上是非负的，因此，根据托内利定理，Zt（Vds- η） ds=ZtZs（s）- u） d-1Γ（d）Vududs=zt{0≤U≤s} （s）- u） d-1Γ（d）Vudsdu=Zt（t- u） dΓ（d+1）Vudu。由于集成CIR的时刻已经存在，直到爆炸[36，第一部分，第6.3章]，Novikov条件将为任何∈ Dt，通过氡Nikodym导数（2.5）deppp测量英尺：=expuZtqVdsdBs-uZtVdsds.然后，力矩生成函数可以写成heuxt+wVdti=ewηeE经验u（u）- 1） ZtVdsds+wZt（t- s） d-1Γ（d）VSD= 经验wη+u（u- 1） ηteE经验ZTVu（u）- 1） 2Γ（d+1）（t）- s） d+w（t）- s） d-1Γ（d）ds.此外，在EP下，过程V满足（2.6）dVt=κ（θ- Vt）dt+ξpVtdWt。现在设置ψ（z，s）：=eEhexpnRtsVru（u）-1） 2Γ（d+1）（t）- r） d+w（t）-r） d-1Γ（d）德罗Vs=zi。

我们希望ψ（v，0）和ψ使用费曼-卡克公式求解以下偏微分方程：sψ（z，s）+κ（θ）- z）zψ（z，s）+zξzψ（z，s）+u（u）- 1） 2Γ（d+1）（t）- s） d+wΓ（d）（t）- s） d-1.zψ（z，s）=0,6哈姆扎·格农、安托万·贾奎尔、帕特里克·鲁姆和方伟·希弗0≤ s≤ t、 终端条件ψ（z，t）=1表示z≥ 0.变量的变化φ（z，s）≡ ψ（z，t）-s） 屈服-s~n（z，s）+κ（θ）- z）z~n（z，s）+zξz~n（z，s）+u（u）- 1） 2Γ（d+1）sd+wΓ（d）sd-1.z~n（z，s）=0，代表0≤ s≤ t且初始条件为φ（z，0）=1时，所有z≥ 0.使用ansatz~n（z，s）=eA（s；u，t）-B（s；u，t）z，我们发现A（·；u，t），B（·；u，t）解（2.4）中的里卡蒂常微分方程。备注2.2。对于非零相关性，（2.6）中EP下的方差动态变化为vt=κ（θ- Vt）dt+ρξuqVtVdtdt+ξpVtdWt，这是非马尔可夫的，因此不适用于费曼-卡茨技术，留待未来研究。备注2.3。在κ=0的情况下，常微分方程（2.4）可以显式求解[46]，m（u，t）=u（u- 1） ηt-2vξtlog√t“CJd+2ξd+2su（u- 1） Γ（d+1）td/2+1！+CYd+2ξd+2su（u- 1） Γ（d+1）td/2+1！#！，其中J和Y分别是第一类和第二类贝塞尔函数，C是由边界条件确定的关心常数。使用J1/2（x）=p2/（πx）sin x和Y1/2（x）=-p2/（πx）cos x当d=0和η=0时，我们恢复了Heston mgf[20]（κ=0），即m（u，t）=vξpu（u- 1） 棕褐色ξtpu（u- 1)/2.图2。我们用t=1数值计算了定理2.1中常微分方程的mgf。在左边（κ，θ，ξ，v，η，d）=（2.1,0.05,0.2,0.03,0.03，-0.3). 作为右侧的合理性检查，我们将d=0、v=0.06、η=0的数值解mgf与[25，第2章]中提供的Heston设置（圆圈）中mgf的显式表示进行比较。大偏差和隐含波动性渐近3。1.原木股票价格过程存在较大偏差。

本节收集了本文的主要结果，即（2.1）中定义的对数股价过程X的重新缩放版本的大偏差原则，无论何时变大或变小。我们请读者参考附录A，以了解分数HESTON模型7到[13,14]的大偏差和症状行为，以便进行彻底治疗。在陈述（和证明）本文的主要结果之前，先介绍函数λ*±, Λ*±：R→ R+，λ+：[0,1]→ R和∧-: R→ R:（3.1）∧+（u）≡ -κθξ（1+d/2）su（1）- u） Γ（1+d），λ-（u）≡u（u）- 1)η,Λ*+（十）≡ U*（x） x+κθξ（1+d/2）su*（x） （1）- U*（x） Γ（1+d），λ*-（x） :=（x+η/2）2η，如果x∈ [Λ-（u）-), Λ-（u+），u+x- Λ-（u+，如果x>∧-（u+），u-十、- Λ-（u）-), 如果x<∧-（u）-),λ*+（十）≡x2η，λ*-（十）≡Γ（2+d）x2v。真正的数字在哪里-, u+在定理3.3和u中定义*（十）≡1+sgn（x）VUUT1-1+xξpΓ（1+d）κθ！-1.,有sgn（x）：=11{x≥0}- 11{x<0}。表达式∧-（u）-) 和∧-（u+）分别是Limu的简写符号↓U-Λ-（u） 利木呢↑u+λ-（u） 。简单的计算表明，函数u*在R上是光滑的*,R上的减凹*-在R上增加和凹*+, 和你*（0）=1/2和极限↑0u*（n） （x）=-利克斯↓0u*（n） （x），如果n是奇数；利克斯↑0u*（n） （x）=limx↓0u*（n） （x）=0，如果n是偶数。所以∧*+是严格凸且光滑的，并将R映射到R+。简单的计算也可以得到∧函数*-在实线上是平滑的。注意∧*-和∧*+就是∧的芬切尔勒让德变换形式-和∧+。