分数阶Heston模型的渐近性态

在第二种情况下，我们首先证明存在t>0，使得f（t）>φ-（t） ：如果所有这些都是φ-很明确，我们有f（t）≤ φ-（t） ，然后ψ-（t）≤ B（t）=f（t）+β+βtα≤ φ-（t） 这意味着A+Jacount，a+Jacount，a+Jacount~ -βtα与B的阳性相矛盾（见（5.6）和（5.8））。因此存在>0，使得f（t）>φ-（t） 。因此，既然*,φ-（t） =-βαtα-1.-βαt2α-1+βα(1 - α） ξt2-αβt2α+ξκξ- 2βαtα-1.-1/2<0，比较原理意味着φ-（t）≤ f（t）≤ φ+（t）对于所有t>t，因此f在（t）上不递减，∞); 在φ+的约束下，它收敛到一个常数，且极限为零↑∞T-αB（t）=β。我们现在证明，当t趋于完整时，有效域dt收敛到[0,1]。对于任何你∈ R\\[0,1]，B（t）=-ξB（t）+2κB（t）ξ+u（1）- u） 2Γ（1+d）td=-ξB（t）+κξ+κ2ξ+u（1）- u） 2Γ（1+d）td。因此，B（t）≤κ2ξ+u（1）-u） 2Γ（1+d）td，因此B（t）≤ κt/2ξ+u（1-u） 2Γ（d+2）t1+d，因此limt↑+∞T-d/2B（t）=-∞.自A（t）=-κθRtB（s）ds，因为[0，1]总是在Dt中，对于任何t≥ 0（因为过程是一个鞅），命题的（i）部分来自定理2.1。现在我们进入命题的第（二）部分，当d∈ (-1/2, 0). 首先，让我们证明这一点↑∞B（t）=0。考虑函数ψ-, ψ+如（5.5）所定义。当t趋于零时，ψ+发散到+∞ 和ψ-到-∞, 如此有限↓0ψ-（t） <B（0）<limt↓0ψ+（t），因此，从（5.8）开始，在原点附近为正。此外，对于所有的t>0，等式（5.7）意味着ψ+（t）<0<ψ-（t） 。设t:=sup{t>0:ψ-（s） <B（s）<ψ+（s），对于所有0<s<t}。如果是有限的，那么B（t）≥ ψ+（t）因为ψ-（t） <0和B在（0，t）中为正且递增。因此，B（t）=ψ+（t）和B（t）≥ ψ+（t）对于所有的t>t，根据比较原理，因此B在（t）上递减+∞).

因为它被限制在极限之下↑∞ψ+（t）=0，它收敛于某个常数C≥ 0.根据Riccati方程（2.4），b然后收敛到-κC-ξC，C=0。如果是有限的，那么B是递增的，并由ψ+从上方限定，在有限时趋于0；这个矛盾因为B在增加，所以limt↑∞B（t）=0。最后，因为S是鞅，动量母函数是凸的，[0，1] 对于所有的t>0，因此[0，1] D∞.5.3. 定理3.6（i）的证明。在本节和下一节中，流程（XBSt）t≥0表示从原点到Black-Scholes随机微分方程dXBSt=-∑dt＋∑dBt，对于某些给定的∑>0，对于t>0。在这个模型中，一个到期日为t，行使价为x的欧式看涨期权的价格∈ R） 由cbs（x，t，∑）=N给出-x∑√t+∑√T- exN-x∑√T-Σ√T,其中N表示高斯累积分布函数。简单的计算得到对数E尤克斯布斯特=u（u）- 1） ∑t，对于所有的u∈ R

在[21]中，作者证明了过程（XBSt）≥0满足速度t的大偏差原则-1和良好的速率函数x7→ x/（2∑），这意味着以下限制成立：limt↓0t对数E前任- eXBSt+= -x的x2∑≤ 0和limt↓0t对数EeXBSt- 前任+= -x的x2∑≥ 0.17d时分数HESTON模型的渐近行为∈ （0，1/2），从定理3.1（i）中，我们可以模拟这个证明来获得极限↓0t对数E前任- 提取+= -λ*+（x） ，为x≤ 0和limt↓0t对数E提取- 前任+= -λ*+（x） ，为x≥ 0，其中λ*±定义在（3.1）中，因此对于任何实数x，∑（x，t）收敛到√η随着t趋于零。同样，在d的情况下∈ (-1/2，0），从定理3.1（i）中我们得到↓0t1+dlog E前任- 提取+= -λ*-（x） ，为x≤ 0和limt↓0t1+dlog E提取- 前任+= -λ*-（x） ，为x≥ 0.考虑ansatz∑t（x）=σtd/2，对于某些σ>0；Black-Scholes看涨期权价格读取SCB（x，t，∑t（x））=Nσt1/2+d/2-xσt1/2+d/2- exN-σt1/2+d/2-xσt1/2+d/2.因为N（z）=e-z/2Z-2z+o（z-3)由于z趋于负值，经过简化后，我们得到CBS（x，t，∑t（x））=exp-xσt1+d- x+σt1+dσt3/2+3d/22x+ot3/2+3d/2.因此，取σ=x√2λ*-（x） =qvΓ（2+d），我们得到limt↓0t日志E（eXBSt- ex）+=-λ*+（x） ，对于所有x>0。同样，limt↓0吨原木E（ex- eXBSt）+=-λ*+（x） ，对于所有x<0.5.4。定理3.6（ii）的证明。考虑Black-Scholes模型中的一个看涨期权，其对数冲击xt1+d/2和时间相关的隐含波动率eσ（x，t）≡√2td/4p∧*+（x） +p∧*+（十）- 十、. 然后cbs（x，t，eσ（x，t））=eeXBSt- ext1+d/2+= N-xt1+d/2eσ（x，t）√t+eσ（x，t）√T- ext1+d/2N-xt1+d/2eσ（x，t）√T-eσ（x，t）√T= Nt1/2+d/4q2（λ）*+（十）- 十）- ext1+d/2N-t1/2+d/4q2∧*+（十）,在这里我们使用了identityp∧*+（x） +p∧*+（十）- x+x√Λ*+（十）+√Λ*+（十）-x=2p∧*+（x） 在第二行。

SinceN（y）=1- E-y/2Y-1+o（y）-1)对于大y，我们得到1- CBS（x，eσ（x，t））=exp（十）- Λ*+（x） ）t1+d/2√2t1/2+d/4p∧*+（x） +p∧*+（十）- x+o（1）！，因此限制↑∞T-（1+d/2）对数1.- CBS（x，t，eσ（x，t））= 十、- Λ*+（x） 。现在让我们按照[33，定理13]的思路回到定理的证明上来。设f是一个函数，它在无穷远处发散到无穷远处，使得点态极限∧（u）：=limt↑∞f（t）-1日志E尤克斯存在于所有你∈ D∧ R.由于股票价格是一个真正的正鞅，我们可以通过deP/dP定义一个新的概率度量ePFt=St.UndereP，（Xt/t）t的极限累积量生成函数≥0读数∧（u）：=limt↑∞f（t）-1洛奇尤克斯, 对于所有的u，clearley∧（u）=∧（u+1）∈ De∧=v∈ R:1+v∈ D∧}。注意，0∈ Doe∧当且仅当1∈ DoΛ. 该身份还表明，芬切尔-勒让德变换与18 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI SHIe∧有关*（x） =λ*（十）- x、 为了所有的x∈ R.现在，如果家族（Xt/f（t））t≥1在速度f（t）和良好的速率函数∧下满足P和P下的大偏差原则*安第斯∧*, 然后，以下行为成立：（看跌期权）limt↑∞f（t）-1日志Eexf（t）- 提取+=（十）- Λ*（x） 如果x≤ 十、*,如果x>x*,（看涨期权）限制↑∞f（t）-1日志E提取- exf（t）+=(-e∧*（x） 如果x≥ 前任*,如果x<ex，则为0*,（有担保看涨期权）有限期↑∞f（t）-1日志1.- E提取- exf（t）+=如果x>ex，则为0*,十、- Λ*（x） 如果x∈ [x]*, 前任*] ,如果x<x*,（5.10）其中x*还有前任*函数在哪里∧*安第斯∧*达到它们的最小值，并满足x*= Λ+(0) ≤ Λ-（1） =前*.此外，（i）-（iii）中的收敛性在R的紧子集上在x中是一致的。我们首先在d的情况下证明了该定理∈ (0, 1/2].

对于f（t）≡ t1+d/2，方程（5.10）简化↑∞T-（1+d/2）日志Eext1+d/2- 提取+= x、 为了所有的x∈ R、 极限↑∞T-（1+d/2）日志E提取- ext1+d/2+= 0代表所有x∈ R、 极限↑∞T-（1+d/2）对数1.- E提取- ext1+d/2+= 十、- Λ*（x） ，为了所有的x∈ R.因此，隐含波动率满足极限↑∞T-d/4∑（xt1+d/2）=√p∧*+（x） +p∧*+（十）- 十、对于R中的所有x。d情况下定理的证明∈ (-1/2，0）与[33]中的类似，因此省略。附录A.加特纳-埃利斯定理我们在此简要回顾了大偏差和加特纳-埃利斯定理。有关这些的详细说明，感兴趣的读者应参考[13]。让（Xn）n∈Nbe R中的一系列随机变量，具有μ律和累积量生成函数∧n（u）≡ 日志E（euXn）。对于实线的Borel子集a，我们将分别用AO和“a”来表示其内部和闭包（在R中）。定义A.1。序列Xnis表示满足大偏差原则，对于R中的每个Borel可测量集E，速度n和速率函数Iif，- infx∈EoI（x）≤ 林恩芬↑∞nlog P（Xn）∈ （E）≤ 林尚↑∞nlog P（Xn）∈ （E）≤ - infx∈\'EI（x）。此外，如果速率函数在整条实线上严格凸，则称其为良好的。在说明主要定理之前，我们还需要一个概念：定义A.2。设∧：R→ (-∞, +∞] 是凸函数，D∧：={u∈ R:λ（u）<∞} 它的作用域。如果内部Do∧为非空，则函数∧称为基本光滑在整个Do∧中∧是可微的；分数HESTON模型19oλ的渐近行为是陡峭的：limn↑∞|∧（un）|=∞ 对于任意序列（un）n≥1in Do∧收敛到Do∧的边界点。现在假设极限累积量生成函数∧（u）：=limn↑∞N-1∧n（nu）作为所有u的扩展实数存在∈ R、 让D∧表示其有效域。

让∧*: R→ R+表示其（对偶）芬切勒让德变换，通过变分公式∧*（x） ：=supλ∈D∧{λx- Λ(λ)}. 然后，以下是成立的：定理A.3（G–artner-Ellis定理）。如果0∈ Do∧，是下半连续的，本质上是光滑的，那么序列（Xn）是一个带有速率函数∧的大偏差原理*.当满足G–artner-Ellis定理的部分条件时，可能无法使用完全大偏差原则，但可以定义部分原则，如下所示：定义a.4。我们可以说，序列（Xn）满足速度为n的偏大偏差原理-1在某区间i上，速率函数∧*如果定义A.1适用于所有子集A I.很明显，如果0∈ Do∧和∧在某些区间I上是下半连续且严格凸的 R、 然后（Xn）满足了I=I，速率函数为∧的偏大偏差原理*（x） ：=supu∈我{ux- ∧（u）}。参考文献[1]E.Al`os，J.Gathereal和R.Radoiˇci`c.随机波动下条件预期的指数化。ssrn:29831802017。[2] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007。[3] R.T.贝利、T.博勒斯列夫和H.O.米克尔森。分数积分广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，74:3-302996。[4] G.Bakshi、C.Cao和Z.Chen。另类期权定价模型的实证表现。《金融杂志》，52（5）：2003-20491997。[5] D.S.贝茨。跳跃和随机波动：德国马克期权隐含的汇率过程。《金融研究回顾》，1996年9:69-107。[6] C.拜耳、P.K.弗里兹和J.加泰尔。剧烈波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887-9042016。[7] C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。

在粗略的分数波动模型中，货币附近的短时间是倾斜的。arXiv:1703.05132，2017年。[8] B.Bercu和A.Rouault对Ornstein-Uhlenbeck过程的偏差较大。《暹罗概率论及其应用》，46:1-192002。[9] T.比约克和H.霍尔特。关于Wick积和分数Black-Scholes模型的注记。鳍斯托克。，9: 197-209, 2005.[10] 切里迪托。分数布朗运动模型中的套利。《金融与随机》，7:533-5532003。[11] F.孔德和E.雷诺。连续时间随机波动模型中的长记忆。数学金融，8（4）：291-3231998。[12] F.孔德、L.库廷和E.雷诺。一个有效的分数随机波动率模型。《金融年鉴》2012年第338期。[13] A.Dembo和O.Zeitouni。大偏差技术和应用。琼斯和巴特莱出版社，波士顿，1993年。[14] J.D.Deuschel和D.Stroock。大偏差。美国数学学会，第342卷，2001年。[15] D.杜菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984-1053，2003年。[16] O.El Euch和M.Rosenbaum。在粗糙的赫斯顿模型中完美的对冲。arXiv:1703.05049，2017年。[17] O.El Euch和M.Rosenbaum。粗糙Heston模型的特征函数。arXiv:1609.021082016。[18] O.El Euch、M.Fukasawa和M.Rosenbaum。杠杆效应和粗波动的微观结构基础。arXiv:1609.05177，2016.20 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK ROOME和FANGWEI SHI[19]R.Elliott和J.van der Hoek。一般分数白噪声理论及其在金融中的应用。《数学金融》，13:301-330，2003年。[20] M.福特和A.杰奎尔。赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性。IJTAF，12（6）：861-8762009。[21]M.Forde和A.Jacquier。海斯顿模型的成熟微笑。

《金融与随机》，15（4）：755-7802011。[22]M.福德和H.张。粗糙随机波动率模型的渐近性。暹罗财经杂志。数学8: 114-145, 2017.[23]J.P.Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动。2011年世界杯。[24]M.Fukasawa。随机波动率的渐近分析：鞅展开。《金融与随机》，15:635-6542011。[25]J.Gathereal。《波动表面：从业者指南》。威利，2006年。[26]J.Gatheral、T.Jaisson和M.Rosenbaum。波动很剧烈。预印本，arXiv:1410.33942014。[27]C.W.J.Granger和R.Joyeux。长记忆时间序列模型和分数差分介绍。时间序列分析杂志，1:15-391980。[28]P.Guasoni。交易成本下的无套利，分数布朗运动及其他。数学鳍16: 569-582, 2006.[29]A.Gulisashvili。分析可处理的随机股票价格模型。Springer Finance，2012年。[30]P.亨利劳累了。金融学中的分析、几何和建模：期权定价的高级方法。CRC，2008年。[31]S.赫斯顿。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6:327-3421993。[32]Y.Hu和B.Oksendal。分数白噪声演算及其在金融中的应用。有限维分析，量子概率和相关主题，6:1-322003。[33]A.Jacquier，M.Keller Rescel和A.Mijatovi\'c.大偏差和带跳跃的随机波动性：有效模型的渐近隐含可用性。《随机统计》，85（2）：321-345，2013年。[34]A.Jacquier和P.Room。小海斯顿向前微笑。暹罗财经杂志。数学4(1): 831-856, 2013.[35]A.Jacquier和F.Shi。随机赫斯顿模型。arXiv:1608.071582017。[36]M.Jeanblanc、M.Yor和M。

切斯尼。金融市场的数学方法。斯普林格，2009年。[37]I.Karatzas和S.E.Shreve。布朗运动与随机微积分。斯普林格·维拉格，1997年。[38]S.卡林和H.泰勒。随机过程的第二门课程。学术出版社，1981年。[39]M.凯勒·雷塞尔。一个有效随机波动率模型的瞬间爆炸和长期行为。《数学金融》，21（1），73-982011年。[40]A.刘易斯。随机波动下的期权估值。金融出版社，2000年。[41]V.马里克。规则变化和微分方程。数学课堂讲稿1726，柏林，斯普林格·维拉格，2010年。[42]S.梅奇科夫。赫斯顿模型的热启动初始化。风险，2016年11月。[43]A.Mijatovi\'c和P.Tankov对跳跃资产价格模型中的短期隐含波动性进行了新的研究。《数学金融》，26（1）：149-1832016年。[44]Y.Mishura。分数布朗运动和相关过程的随机演算。斯普林格，2008年。[45]G.L.O\'Brien和J.Sun。线性空间上的大偏差。《概率与数学与统计学》，16（2）：261-273，1996年。[46]A.D.波利亚宁和V.F.扎伊采夫。普通微分方程精确解手册，第二版，Chapmanand Hall/CRC，Boca Raton，2003年。[47]R.北约。波动性和相关性：完美的对冲工具和狐狸。约翰·威利父子公司；第二版，2004年。[48]L.C.G.罗杰斯。分数布朗运动套利。《数学金融》，7:95-1051997。[49]S.G.桑科、A.A.基尔巴斯和O.I.马里切夫。分数积分和导数。理论与应用。戈登和科学出版社，1993年。[50]A.Shiryaev。分形模型的套利和复制。研究报告20，丹麦奥胡斯大学数学科学系MaPhySto，1998年。[51]P.坦科夫。指数L’evy模型中的定价和套期保值：近期结果综述。

巴黎普林斯顿数学金融课堂讲稿，斯普林格，2010年。分数HESTON模型21[52]的渐近行为R.Villela Mendes，M.J.Oliveira和A.M.Rodrigues。分数波动率模型：无套利、杠杆和完整性。Physica A：统计力学及其应用，419（1）：470-4782015。Soci’et’e G’en’erale，全球市场定量研究电子邮件地址：guennoun。hamza@sgcib.comDepartment帝国理工学院数学系LondonE邮件地址：a。jacquier@imperial.ac.ukJP摩根的电子邮件地址：帕特里克。roome@gmail.comDepartment帝国理工学院数学系LondonE邮箱：方伟。shi12@imperial.ac.uk