一个完全一致、最小的非线性市场影响模型

（1-a，b）是指尽管ρa和ρBis的动力学因反应项（需要控制波动，见[22]）而变得不重要，但组合φ（x，t）：=ρb（x，t）- ρA（x，t）根据与κ无关的线性方程演化：~n（x，t）t=-及物动词~n（x，t）x+D~n（x，t）十、- νν（x，t）+λ符号（pt）- x） ，（2）式中，Pti为φ（pt，t）=0的解。如果该解决方案在t=0时是唯一的，则该解决方案在所有t>0时都是唯一的（另请参见[21]）。注意，方程式（2）没有漂移扩散项，最近在[23]中作为泊松有序本动力学的流体动力学极限得到。通过引入bpt=Rtds Vs，可以在潜在订单booky=x的参考框架内重写上述方程- BPTA：ν（y，t）t=Dν（y，t）Y- νν（y，t）+λ符号（pt）- bpt- y） 。（3） 从对称的初始条件开始φ（y，t=0）=-φ(-y、 t=0）因此pt=0=bpt=0=0，通过对称性可以清楚地看出，等式pt=bpt始终是一个解，因为上述方程中的所有项都是奇数→ -y、 对于更一般的初始条件，当t→ ∞ 式（3）的固定溶液读数为，在极限u内→ ∞:~nst.（y）≤ 0) =λν[1 - eγy]；~nst.（y）≥ 0) = -~nst(-y） （4）κ的消失可以追溯到#A的保守性- #B对于每个反应A+B→ .当Vs是维纳噪声时，应小心使用“Ito”术语，它会增加对D的贡献，参见附录a和等式（31），其中γ=ν/D。这正是在[3]中获得的解，其行为与交易价格线性接近。但正如[3]和附录B中所强调的，这种线性行为实际上适用于非常广泛的模型——例如，如果新订单的出现只发生在某个任意边界y=±L，如[17]中所述，或者如果系数D，ν是到价格| y |距离的非平凡（但非常规则）函数，等等。

局部线性订单（LLOB）中的价格动态因此，在下文中，我们将通过形式极限γ“放大”到通用线性区域→ 0，固定电流j=D|y|st.| y=0≡ λ/γ. （5） 该电流可以解释为在固定状态下单位时间内的交易量，即单位时间内执行的买入（或卖出）订单的总数量。作为旁注，重要的是要认识到，如果漂移VT包含维纳噪声分量或跳跃，那么这种漂移实际上会导致J，而不仅仅是在没有任何交易的情况下移动最近的订单簿（见附录a）。在极限ν，λ内→ 0且λ/γ=J固定时，固定溶液νst.（y）变得完全线性：νst.（y）=-Jy/D.（6）这是我们将在本论文中探讨的制度，尽管我们将在下文中对非零值ν，λ引起的预期修正进行评论。注意L=J/D≡ λpD/ν可以解释为市场的潜在流动性，当潜在订单的沉积量很大（λ大）和/或潜在订单的寿命较长（ν小）时，市场的潜在流动性很大。数量L-1在LLOB中，它与Kyle的“lambda”类似，是一个fl at order book。就数量级而言，可以合理地预期潜在订单簿具有记忆时间ν-1从几个小时到几天[3]——请记住，我们在这里谈论的是缓慢的参与者，而不是对揭示的订单簿的高频动态做出贡献的做市商。假设D是价格波动的顺序，线性区域的宽度γ-1的价格约为价格的1%（见等式（4））。因此，我们预计将分析限制在订单簿的线性区域将适用于持续数小时的元订单，并且对价格的影响不到0.1%。

对于更大的影响和/或更长的执行时间，可能需要更详细（可能不太通用）的描述。现在，我们在框架内引入“元订单”，并详细计算其对价格的影响。在上述未生效价格bptde的参考框架内，我们将元订单建模为正好落在交易价格pt上的额外购买（或销售）订单。介绍yt≡ pt- bpt，最近的订单簿对应的方程式是，在一个LLOB内，当ν，λ→ 0:ν（y，t）t=Dν（y，t）y+mtδ（y）- yt）~n（y）→ ±∞, （t）y=-五十、 （7）其中MTT是t时的（签署的）交易强度；mt>0对应于购买元订单。请注意，元顺序将被假定为足够小，不会改变市场其他部分的行为（即参数SD、ν和λ），因此L是上述等式中的固定参数。当然，当元订单超出规模时，这种假设可能会被打破，导致取消率ν突然增加，流动性L相应下降，这可能反过来导致崩溃（见结论中的讨论）。现在我们将考虑一个元顺序，它在我们选择的t=0的随机时间开始，没有关于潜在订单簿状态的信息。这意味着，在t=0时，订单的状态没有条件，可以通过其静止形状来描述，即φst.（y）=-Jy/D。对于t>0，潜在订单簿由以下精确公式给出：（y，t）=-Ly+Ztds msp4πD（t-s） e-（y）-ys）4D（t-s） ，（8）其中，时间s的交易价格（在本书的参考框架中），定义为（ys，s）≡ 0.这导致时间t>0时价格的自洽积分方程：yt=LZtds msp4πD（t-s） e-（yt）-ys）4D（t-s） 。

（9） 这是本文的中心方程，我们将在接下来的章节中更详细地研究它。首先，让我们注意到，提供的影响很小t、 s，|ys- 年初至今| D（t）- s） ，则上述公式精确地归结为[7,18]（另见[24]）中提出的线性传播子模型，其影响的平方根衰减为：yt=LZtds msp4πD（t-s） 。（10） 因此，这种线性近似对于非常小的交易率ms是有效的，但对于更激进的执行，则会出现故障，需要进行更精确的分析。Gatheral[24]提出了传播子模型的特殊非线性推广，但很难从理论上证明（并导致在连续时间限制[25]内出现高度奇异的最优交易计划）。我们相信上面的公式（9）是推广传播者模型的正确方法，这样所有已知的经验结果都可以定性地解释。请注意，事实上，对于给定的数量q，可以定义一个依赖于数量的“出价”（或“询问”）价格y±t（q），作为：Zyty的解-t（q）dy~n（y，t）=-Zy+t（q）ytdy~n（y，t）=q.（11）显然，在平衡状态下，对于足够小的q，y±t（q）=yt±p2q/L。然而，在购买元订单后，我们会发现，可能会出现强不对称。10.1 1100 1000I（Q）（DQ/J）-1/2m0/J0。11101000.1100 1000I（Q）（DT）-1/2m0/JA（m0/J）-1/2√2（m0/J）1/2Ap2m0/Jm0/JFIG。2：左：比率A/pm/J与交易率参数m/J的依赖关系（如果σ与D和V与J一致，则该比率与经验使用的Y比率一致）。该曲线在小交易率下观察到的apm/J依赖性和渐近恒定状态之间插值≈√2对于较大的m/J。这与在CFM经验数据中观察到的Y对交易率的弱依赖性一致。右图：固定执行时间T的影响I（Q）对Q的依赖性，即。

a变量m=Q/T。注意小Q的线性行为和大Q的asquare根行为之间的交叉。当Ms具有非平凡的时间依赖性时，上述方程可能不容易在数值上处理。对等式（7）进行数值迭代并求出φ（yt，t）=0的解可能更方便。V.元顺序的平方根影响可能进行完全非线性分析的最简单情况是，在常数m=Q/T下，对T执行大小为Q的元顺序∈ [0，T]。在这种情况下，可以直接检查ys=A√Ds是eq的精确解。（9） ，其中常数A是下列方程的解：A=mJZdup4π（1- u） e-A（1）-√u） 4（1）+√u） 。（12） 在两个极限m中，A的渐近性很容易计算出来 J和m J.在第一种情况下，我们发现≈ m/J√π、 而在第二种情况下≈p2m/J.尺寸Q的元级的影响I定义为：I（Q）=hε·（pt+T- pt）| Qi，（13）其中h|Qi表示符号ε和体积Q的所有元顺序的平均值，在时间间隔[t，t+t]内执行。我们现在假设元序是未知的，在以下意义上：hε·（^pt+T）- ^pt）|Qi=0，（14），因此唯一的贡献是对yt动力学的“机械”影响。知情元指令的情况将在第节中处理。九、 然后，元阶结束时的机械冲击由yT=A给出√DT，即：i（Q）=A√mpDQ≈rmJπ×rQL（m） J） )；I（Q）≈rQL（m） J） ，（15）也就是说，精确地说是平方根碰撞定律。事实上，经验结果通常被写成I（Q）=YσpQ/V，其中σ是每日波动率，V≡ JTd=DLTD每日交易量（Td≡ 1天），Y是一个统一的常数。假设σ∝ DTd（如果D=0，则为这种情况，见附录A），我们可以看到。

（15） 准确地再现了经验结果，对于小交易强度，Y比例为pm/J，对于大交易强度，Y比例为pm/J，并且变得独立于mf——见图2。CFM的经验数据确实表明，Y对交易强度的依赖性非常弱，这在目前的框架中得到了很好的解释。六、 影响衰减：在传播模型之外，下一个有趣的问题是影响松弛：在执行元顺序后，即当t>t时，价格如何表现。从数学上讲，冲击衰减由以下方程的解给出：yt=DmJZTdsp4πD（t-s） e-（yt）-A.√Ds）4D（t-s） ，（t>t）（16）在较小的m/J极限下，线性传播模型是合适的，并预测以下冲击弛豫：I（Q，t>t）I（Q）=√T-√T- T√T、 （17）表现为1-p（t）- T）/T在元顺序结束后很快，而aspT/T/2在很长时间内。方程式（16）在大m/J下的分析更为微妙，尤其是在短时间内。附录C中给出了完整的分析，并揭示了碰撞的重新缩放初始衰减仍然完全由EQ给出，这是出人意料的。（17） ，独立于m/J。对于大部分时间，yt→ 0，这意味着渐近| yt- A.√Ds|√Dt，请注意，I（Q）是对符号的轻微滥用，因为影响实际上通常取决于整个轨迹ms。这两个极限的结果（高达预因子）是[17]中在明确的反应差异设置下获得的结果。请注意，与我们对潜在订单簿的解释一致，数量JT必须被解释为在时间T内执行的“慢”订单量，去除所有平均化的快速日内活动，因此无法承受（临时除外）传入的元订单。00.20.40.60.810 1234 5I（Q，t）（DT）-1/2A-1吨/吨。11110100t/Tm0/J=0.1m0/J=1m0/J=10（t/t）-1/2FIG。

3：影响I（Q，t）作为各种交易率参数m/J的重新调整时间的函数。影响的初始增长完全遵循平方根定律，然后在元顺序结束后突然发生制度转变。当fort=T+时，冲击函数的斜率变得有限，在很大程度上观察到平方反比松弛~pT/t与m/J相关的预因子。请注意，m/J=0.1和m/J=1的曲线几乎无法区分。i、 e.式（16）中的指数项近似等于1，导致渐近重标度冲击衰减aspmT/2πJt/4。我们在图3中绘制了“中间价”pt的不同m/J值的标准化自由衰减影响，在图4中绘制了给定卷q的有效“买卖”p±t（q）的相应演变，说明了潜在订单簿如何随着m/J的增加变得越来越不对称。上述分析可以扩展到时间T后交易恢复的情况，即mt=mfor T∈ [0，T]和mt=-mfor t∈ [T，2T]。这个案例特别有趣，因为它强调了流动性的缺乏，而这正是高执行率的代价。在线性传播子近似下，很容易证明价格恢复到初始值所需的时间（在继续被销售元订单压低之前）由T/4给出。在非线性状态下 J、 价格下降得更快，在JT/2m给出的时间后达到其初始值 T/4–见图。5, 6. 从经验上来看，这种不对称确实存在[26]，这意味着这种简单的往返是必要的，而且成本高昂，因为平均售价低于平均买入价。我们将在下文中看到，这一属性（在[27,28]中被称为不存在价格操纵）在我们的框架内具有完全的普遍性。七、大交易强度下的价格轨迹我们的一般价格方程。

（9） 可以在大交易强度限制下进行精确处理 J、 前提是MTM不会改变符号，并且是时间的一个有规律的函数。在这种情况下，价格的变化较大，因此需要对等式（9）中的积分进行鞍点估计。这导致了下面的00。5101234M0/J=1t/T00。51m0/J=1000.51m0/J=100价格变动I（Q，t）（DT）-1/2A-1bidaskpricebidaskpricefig。4：投标时间的演变p-t（q）（蓝线）和ask p+t（q）（红线），同时以m/J的速率执行元订单∈ {1, 10, 100}. 还显示了价格pt（绿线）以供比较。这三条曲线对应于恒定体积Q=mT的执行，而阈值Q由Q=10设定-第三季度。该图说明了大执行率M/J如何导致围绕价格的局部不对称流动性，另见图5。渐近运动方程：Lyt |˙yt |≈ mt1+D¨yt˙yt- 2˙mtmt˙yt+ O吉咪; （18） 有关推导的详细信息，以及J/m阶的下一阶项，请参见附录D。当Mt保持恒定符号（如正值）时，上述展开式的前导项因此产生以下平均撞击轨迹：yt≈sLZtds ms，（19）即价格影响，仅取决于总交易量，而不取决于执行时间表。这是一个比上述结果更强烈的结果，在上述结果中，发现影响与统一执行计划的交易强度无关。这种路径独立性与CFM获得的实证结果在定性上是一致的。UsingEq。（18） ，可以计算出上述轨迹的系统修正（见附录D）。也许令人惊讶的是，一个给定数量Q的执行成本被发现与交易计划无关，即使是以J/m为单位的第一个订单——参见附录D以获取证据。

在完全非线性价格方程EQ中探索最优执行计划。（9） ，并将结果与参考文献[25]中获得的结果进行比较，留待将来研究。-0.4-0.200.20.40.60.81-1.-0.5 0.5 1D~n/Jxm0/J=1-4.-20246-4.-2x24xm0/J=10t=0.01t=0.1t=1t=0.01t=0.1t=0.1t=1FIG。5：在小交易率m/J=1（左图）和大交易率m/J=10（右图）下执行元订单期间，订单簿形状的演变。实线表示在t=0.01（绿线）、t=0.1（红线）和t=1（蓝线）处的书籍属性。虽然中间价格的位移遵循平方根定律，但函数d k（x，t）/J+x满足由参数m/J确定的比例关系——另见附录C和图8。八、没有价格操纵我们现在转向一个非常重要的问题，那就是价格操纵。虽然在现实中并没有被证明是不可能的，但一个人能够建造一台“机械地”将资金从市场中抽出来的货币机器，这看起来非常难以置信。因此，任何可行的价格影响模型都应该是这样的：在没有关于未来价格的信息的情况下，机械性的价格操纵是不可能的，在封闭的交易循环后导致正面收益[27]。在这里，我们证明了等式（9）定义的非线性价格影响模型不存在价格操纵，推广了[28]对于线性传播模型的结果，另见[29]。首先，我们注意到封闭区域的平均成本由以下公式给出：C=ZTds-msys，其中ZTds-ms=0（20），YS由公式（9）给出。上述公式简单地表示，时间s和s+Dss之间的执行数量msds为价格ys。由于初始和最终仓位均假定为零，因此不存在额外的市场边界条件。使用Eq。

（9） ，不难证明C可以同样地重写为二次型：C=ZTDSDSSM（s，s）ms，（21）注意，属性对于实际目的也非常重要，因为在动态投资组合算法中使用具有可操作的封闭交易部门的影响模型会导致不稳定性。警惕的读者可能会想知道，MSI是否真的是执行数量，而不是提交数量，正如MSA a flux of buy/sell orders的定义所示。然而，在目前的框架内，MSI以中间价格pt准确存放，可以在极限κ中检查→ ∞, 如果潜在流动性和实际流动性与pt相同，则相反的限额指令会立即适应，以准确吸收即将到来的元指令。-1.-0.500.5100.511.52i（Q，T）（DT）-1/2A-1t/Tm0/J=0m0/J=1m0/J=10m0/J=100000/J=∞图6：元订单符号突然切换前后的平均价格轨迹。我们考虑了t<t和mt=-m为t>t，并绘制了不同m值的预期价格变化随时间的函数。最后m的曲线（实线）也与理论基准m=0进行了比较，对应于传播模型（虚线），并与m=∞ 限制（点虚线）。我们发现，大区域中的非线性效应使传播者近似无效，并大大增加了反向交易的影响。其中M（s，s）是一个非负运算符，因为它可以写成“平方”之和KK+，或者更精确地说：M（s，s）=DLZ∞-∞dz zZ+∞-∞杜克孜（s，u）K*z（s，u），Kz（s，u）≡ Θ（s）- u） e-Dz（s）-u） +izys。（22）因此，这证明C≥ 0表示任何执行计划，即LLOB中不可能存在价格操纵（有关松散相关的想法，请参见[6]）。