一个完全一致、最小的非线性市场影响模型

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英文标题：
《A fully consistent, minimal model for non-linear market impact》
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作者：
Jonathan Donier and Julius Bonart and Iacopo Mastromatteo and
  Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a minimal theory of non-linear price impact based on a linear (latent) order book approximation, inspired by diffusion-reaction models and general arguments. Our framework allows one to compute the average price trajectory in the presence of a meta-order, that consistently generalizes previously proposed propagator models. We account for the universally observed square-root impact law, and predict non-trivial trajectories when trading is interrupted or reversed. We prove that our framework is free of price manipulation, and that prices can be made diffusive (albeit with a generic short-term mean-reverting contribution). Our model suggests that prices can be decomposed into a transient \"mechanical\" impact component and a permanent \"informational\" component.
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中文摘要：
受扩散反应模型和一般论点的启发，我们提出了一种基于线性（潜在）订单簿近似的非线性价格影响最小理论。我们的框架允许我们计算存在元订单时的平均价格轨迹，这一致地概括了先前提出的传播子模型。我们解释了普遍观察到的平方根影响定律，并预测了交易中断或反转时的非平凡轨迹。我们证明了我们的框架不存在价格操纵，价格可以扩散（尽管有一个通用的短期均值回复贡献）。我们的模型表明，价格可以分解为瞬时的“机械”影响成分和永久的“信息”成分。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> A_fully_consistent,_minimal_model_for_non-linear_market_impact.pdf (627.71 KB)

2022-5-7 04:48:25 上传

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关键词：非线性 Quantitative manipulation Contribution agent-based

非线性市场影响的完全一致的最小模型J。多尼尔，1，2J。博纳特，1，3岁。Mastromatteo和J.-P.Bouchaud1，3资本基金管理公司，法国巴黎大学路23-25号，75007。皮埃尔和玛丽·居里大学（巴黎6号）概率与现代饮食实验室。CFM帝国定量金融研究所，帝国理工学院数学系，伦敦皇后门180号，SW7 2RHCentre de Math“ematiques Applique”ees，CNRS，UMR7641，法国帕莱索91128，巴黎理工学院。（日期：2015年3月3日）根据（潜在）订单是局部线性的事实，我们提出了非线性价格影响的最小理论，如扩散反应模型和一般论点所示。我们的框架允许我们在存在元订单的情况下计算平均价格轨迹，这一致地概括了之前提出的传播子模型。我们解释了普遍观测的平方根冲击定律，并预测了交易中断或反转时的非平凡轨迹。我们证明了我们的框架不存在价格操纵，价格可以被区分（尽管有一个通用的短期均值回复贡献）。我们的模型表明，价格可以分解为短暂的“机械”影响成分和永久的“信息”成分。I.导言市场影响（即交易影响金融市场价格的方式）的研究可以说是理论金融领域当前最引人关注的主题之一，有许多直接的应用，从交易成本建模到重要的监管问题。如果购买（或出售）的事实本身会对价格产生实质性影响，那么市场价格的含义是什么？上述问题本身就足以证明一项强有力的研究活动的合理性，该研究活动可以追溯到1985年凯尔的经典论文[1]。

但是，在科学领域，一个真正令人惊讶的结果的实证发现解释了最近关于这一主题的大量活动（参见[2-6]和其中的参考文献）。与凯尔模型的预测形成强烈对比的是，市场影响似乎既不是线性的（交易量Q），也不是永久性的，即与时间无关[7]。正如许多独立的实证研究所证实的那样，由总量Q（我们称之为元顺序）的顺序执行引起的平均价格变化似乎遵循一个次线性近似值√Q定律[2,3,5,8-13]。在元订单结束时，进一步观察到对未受影响价格的影响（部分或全部）[11–14]。非常引人注目的是，平方根定律似乎具有普遍性，因为它在很大程度上独立于交易的合同类型（期货、股票、期权、比特币[14]…）等细节，市场地点的地理位置（美国、欧洲、亚洲），时间段（1995年）→ 2014年），市场的成熟度（如比特币对标准普尔500指数）等。虽然单一订单的影响是非普遍性的，对市场微观结构高度敏感，但元订单的影响对微观结构的变化非常强劲。例如，高频交易（HFT）在过去十年的兴起似乎对其有效性没有影响（对比参考文献[2,8]使用2004年前的数据和[3,5,11]使用2007年后的数据）。这种普遍性强烈表明，简单的“粗粒度”模型应该能够重现平方根冲击定律和其他缓慢的市场现象，同时从许多控制高频订单流动和价格形成的微观细节中提取出来。

这条推理路线与物理学中的许多情况非常相似，在这些情况下，普遍的大尺度/低频定律适用于微观行为非常不同的系统。一个广为人知的例子是弱相互作用分子的行为，它在较大的长度尺度上可以用Navier-Stokes方程精确描述，只有一个“涌现”参数（粘度）编码系统的微观特性。纳维-斯托克斯方程实际上可以从分子动力学的统计描述，通过适当的粗粒化过程，或者从基于对称性、守恒定律和量纲参数的一般考虑中推导出来。在这条道路上，最近出现了两个关键的想法。一个是潜在订单簿[3]的概念，其中包含低频参与者在任何时刻的意图，这些意图可能在可观察订单簿中实现，也可能不实现。事实上，由于平方根影响是一种累积的低频现象，因此需要考虑的相关对象不能是“揭示的”订单簿，它反映了高频做市商的活动。简单的大额订单确认潜在流动性远高于揭示的流动性：虽然一只典型股票的每日总交易量约为其市值的1/200，但在任何时刻出现在订单簿上的交易量都比这小1000倍。做市商只是在潜在订单簿中出现的更大的交易量失衡之间充当小中介，而这种失衡只能在大时间尺度上得到解决。第二个想法是，潜在订单簿的动态可以通过所谓的“反应扩散”模型忠实地建模，至少在接近当前价格的区域，这种动态变得普遍，即。

独立于模型的详细设置——因此，如上所述，独立于市场的详细微观结构及其高频活动。一维反应扩散模型假设两种类型的粒子（称为B和A），在金融环境中代表购买（出价）和出售（要求）的预期订单，它们在一条线上使用，并在满足A+B时消失→  – 与交易相对应。因此，富B区和富A区之间的边界对应于价格pt。这种高度程式化的订单簿模型是在90年代末由Bak等人[15,16]提出的，但从未引起人们的注意，因为由此产生的价格动态在所有时间尺度上都是强烈的均值回复，与市场价格不一致，在短时间内，市场价格表现非常像随机游动。然而，我们中的一些人（以及B.T\'oth[17]）最近意识到，市场影响的模拟可以在这个框架内定义和计算，并且被发现完全遵守平方根定律。这为我们在本文中提出的金融市场非线性影响的完全一致的理论模型打开了大门。我们展示了如何将前面讨论的所有成分纳入潜在订单动态的粗粒度模型中，该模型与价格差异一致，具有一个单一的紧急参数——市场流动性L，定义如下。当忽略波动时（在某种意义上，将在下文中具体说明），可以精确计算元顺序的影响，并发现其表现出两种状态：当执行速度非常慢时，模型与[7,18]中提出的线性传播子框架相同，裸传播子衰减为时间的平方根反比。

当执行速度加快时，碰撞将变得完全非线性，并遵循一个非平凡的、封闭形式的积分方程。在这两种制度中，阿梅塔秩序的影响随着交易量的平方根而增长，但有一个前置因子，它取决于流动制度中的执行率，但在快速制度中变得独立——正如经验数据所表明的那样。当交易被中断或逆转时，该模型预测了有趣的价格轨迹，从而产生了经验观察到但无法在线性传播模型中解释的影响。我们证明，我们的模型中的价格是不可操纵的，从这个意义上说，以市场上的零头寸开始和结束的任何买卖订单序列都会导致非正平均利润。这是我们的建模策略的一个重要特性，这使其符合实际应用的条件。最后，我们讨论了我们的框架如何明确区分“机械”价格变动（即随机交易的影响引起的价格变动）和“信息”价格变动（即改变潜在供需的任何公共信息的影响）。这是一个关键点，使我们能够在同一个模型中一致地处理不同的价格和订单簿的内存，否则会导致Stronglyman恢复价格（见[3,5,19]中的讨论）。在结论中，我们讨论了建模策略留下的许多有趣问题中的一些——也许最重要的是，如何始终如一地解释订单波动，这些波动可能是流动性危机和市场崩溃的核心。二、在我们的书[21]中，史密夫等[21]是以“潜在的动态”为出发点[20]的。

我们假设市场参与者的每一个交易（买入/卖出）意图都以一个保留价格和一个交易量为特征。随着时间的推移，意向的动态基本上可以分为四种类型：a）重新评估预订价格，无论是上调还是下调；b） 部分或全部取消买卖意向；c） 新意向的出现，之前未表达，最终d）相等数量的购买/出售意向的匹配，导致以限定购买/出售区域的价格进行交易，并从潜在订单簿中删除这些意向。很明显，如果满足非常弱的假设：i）预订价格的变化表现良好（即有一个确定的第一和第二时刻），且在时间上短范围相关；ii）成交量有一个确定的第一时刻，人们可以在大规模、低频率、“流体动力学”极限下，建立以下一组偏微分方程，用于价格水平x下平均买入（或卖出）成交量密度ρB（x，t）（或ρa（x，t））的动态：ρB（x，t）t=-及物动词ρB（x，t）x+DρB（x，t）十、- νρB（x，t）+λΘ（pt）- 十）- κRAB（x，t）；（1-a）ρA（x，t）t=-及物动词ρA（x，t）x+DρA（x，t）x |{z}a-漂移扩散-νρA（x，t）|{z}b-取消λΘ（x）- pt）{z}c-沉积-κRAB（x，t）|{z}d-反应；（b）每一个参与者在完整的时间曲线中的需求量和供应量可能会有所不同。其中，右侧的不同术语对应于四种机制a-d，我们将在下文详细阐述，而PTI是价格的粗粒度位置（即高频噪声的平均值），由条件ρa（pt，t）确定- ρB（pt，t）=0。

（1） oa-漂移差异：前两个术语模拟了这样一个事实：由于许多外部影响（新闻、订单流和价格变化本身、其他技术信号等），每个代理重新评估其预订价格x。因此，人们可以预期，价格重新评估既包括（随机的）导致差异系数的特定代理部分，也包括改变整个潜在订单的共同部分。这种转变是由于集体价格重新评估，例如，由于一些公开的信息（这可能有利于过去的交易本身）。漂移分量在这个阶段非常普遍；下面我们将采用的一种可能性是将VT视为白噪声，这样价格PTI就是一种不同的随机游走。由于前两个术语的推导和所做的假设有些微妙，我们将进行更详细的讨论和替代模型；具体见等式（30）。ob-取消：第三项对应于潜在订单的部分或完全取消，adecay时间ν-1独立于价格水平x（但参见之前的脚注）。与公共信息的理念一致，取消可能与不同的代理相关。然而，这并不影响平均密度ρB，a（x，t）的演变，但它可能对theorder book的预测，尤其是解释流动性危机起到关键作用c-沉积：第四个术语对应于新的买入/卖出意图的出现，由任意递增函数Θ（u）调制的“雨强度”λ建模，表示买入订单大多出现在当前价格pt以下，卖出订单大多出现在pt以上。

Θ（u）的详细形状实际上在很大程度上与本文的目的无关（详情见附录B）；为了简单起见，我们将在下面选择一个阶跃函数，Θ（u>0）=1和Θ（u<0）=0d反应：最后一项对应两个订单与“反应速率”κ相遇时的交易；RAB（x，t）的数量形式上是A粒子密度和B粒子密度乘积的平均值，即RAB（x，t）≈ ρA（x，t）ρB（x，t）+函数。然而，RAB（x，t）的详细知识不会影响下面的讨论。我们将在下文中考虑极限κ→ ∞, 这与接近交易价格的潜在限价指令都会变成即时可见的限价指令的情况相对应，这些限价指令是根据传入的市场指令正式执行的。让我们坚持Eqs。（1-a，b）仅描述潜在订单簿的平均形状，即在本阶段忽略来自订单离散性质的影响：参见图1以获取说明。特别是价格的即时定位。t——买入/卖出订单密度消失的地方——即使在极限κ内，也有一个内在的非零宽度→ ∞ [22]，对应于平均距离a-b在最高买入订单x=b和最低卖出订单x=a之间。然后，瞬时价格可以按照惯例定义为pinst。t=（a+b）/2，但通常不会与通过HEQ确定的潜在订单平均形状确定的粗粒度价格p一致。(1). 事实上，如[22]所示，扩散宽度（即pinst.和pt之间的典型距离）也是非零的，实际上比固有宽度大，但仅通过对数因子。在下文中，我们将忽略内在宽度和差异宽度，如果我们关注的是比这些宽度大得多的价格变化，这是合理的。

这是大范围的低频区域，我们的粗颗粒方程。（1-a，b）是有保证的。正式地说，Eqs。（1-a，b）在市场潜在流动性L（定义见下文）趋于一致时生效，因为内在宽度和扩散宽度都随着L而消失-1/2[22].一般来说，扩散常数D可能取决于距离|x- pt |至交易价格。在当前版本的模型中，我们忽略了这种可能性，原因将在稍后明确：见附录B。类似的注释也适用于取消率ν。我们确实假设，当接近pinst时，潜在订单会立即可见。t、 以这样一种方式，潜在订单簿和可观察订单簿在最佳限度内变得相同。这当然是识别pinst所需要的。两倍于“真正的”中间价。如果潜在订单和实际订单之间的转换速度不是很快，或者市场订单与当前流动性相比变得过大，那么会发生什么，这是一个非常有趣的问题。正如我们在结论中所讨论的，这是一种潜在的崩溃机制，这里讨论的简单粗粒度框架必须进行调整，以应对这些情况。潜在的bid颗粒密度ρB（x，t）潜在的ask颗粒密度ρA（x，t）x<pt，bid水平x>pt，ask le velsPrice p潜在的密度平均密度图。1：在元订单存在的情况下，潜在订单的快照，出价订单（蓝色框）和要价订单（红色框）位于价格线的两侧，并受到随机演变的影响。虚线显示了平均值，即由等式控制的有序密度ρA，B（x，t）。(1).三、 潜在订单的固定形状是等式的一个显著特征。