一个完全一致、最小的非线性市场影响模型

顺便说一句，我们注意到，这一证明扩展到了一个更大的马尔可夫订单动态类别，其中潜在订单的保留价格根据一个L’evy过程（不一定是一种差异，如之前所假设的——见附录a）演化。九、 机械影响与信息影响我们现在设想，执行他/她的元订单的代理拥有一些关于未来价格的信息，即执行流程与潜在订单簿VTT>t的未来运动相关。元订单的明显影响现在将包含两个贡献，在我们的框架内，这两个贡献是相加的。同样地，假设mt=m，我们发现平均价格差异可以写成：hε·（pt- p） |Qi=hε·（bpt）- bp）|Qi+hε·（yt）- y） |Qi，（23）其中第一项为非零。更明确地说，这会导致：hpt- pi=mZtdsZsdsC（s- s） +A（米）√Dt，（t≤ T）（24）其中C（s）- （s）∝ hVsmsi是元顺序和未来集体晚顺序移动之间时间相关性的度量。让我们坚持在这里不假设任何因果关系：C（s）- s） 可以解释为预测未来价格变动的订单信息内容（即所谓的“阿尔法”），也可以解释为市场对订单流动的集合反应，即代理人可能会因交易本身而改变其估值的事实（关于这种二元性的讨论见[7，30]）。等式（24）右侧的第二项对应于上述碰撞的“机械”部件，对应于平方根碰撞。另一方面，第一项作为T的函数可能表现得非常不同。例如，如果C（s- s） 其范围比T小得多，第一项预计会像Q一样增长，而不是√Q.当t>t时，即。

在元序结束后，信息贡献增加了上述计算的影响衰减，并能显著改变hpt的表观演变- 圆周率。为了确定想法，让我们假设C（s- s） =Γζe-ζ（s）-s） （其他函数形式不会改变以下定性结论）。t>t的“总”影响行为由以下公式给出：Itot。（Q，t>t）=I（Q，t>t）+ΓQ-mΓζ（1）- E-ζT）e-ζ（t）-（T）-→T→∞ΓQ，（25）这表明，除了放松的机械影响（第一项），交易的信息内容（或者市场对该交易的集体反应）在很大程度上饱和到与Q成比例的确定值，贡献越来越大——见图7。这相当于影响的“永久”部分。冲击的永久分量在Q中应该是线性的，这很好地符合[1,2]的假设。然而，我们的计算表明，影响的机械成分的经验确定应仔细考虑所分析交易的任何可能信息内容，以及交易的可能自相关性。这与[11,13]中的讨论类似，在[11,13]中，人们试图测量股市中机械影响I（Q，t>t）的衰减，得出的结论是，影响的机械成分在很大程度上似乎确实放松到零。通过将集体漂移与元秩序的流动相关联而产生永久影响的可能性，对于使我们的模型在内部保持一致非常重要。如果没有永久性影响因素，元订单的随机流动将对价格产生强烈的均值回复贡献（在随机波动贡献bpt=Rtds Vs的基础上），因此可能会产生有利的均值回复/做市策略。

然而，通过增加永久性影响成分（即上述Γ因子），这一比例可以降至零，这对做市商来说是一种逆向选择偏差。关于这一点，请参见[31]中的讨论。X.可能的扩展和开放性问题上述LLOB框架令人惊讶地丰富，并解释了许多实证观察结果，但它只能是更复杂现实的第一个近似值。首先，我们忽略了原则上包含在等式中的影响。（1-a，b）但它消失在慢潜序的极限里 1（这样，存储时间1/ν比元顺序长得多）和大流动性L，这样元顺序只探测书籍的线性区域。令人不安地重新整合这些影响并不困难；例如，我们发现，以恒定速率执行的大小为Q的ameta订单的影响I（Q）降低了一个与νT成比例的量，当νT 1.在相反极限下 1，人们期望I（Q）在Q中变为线性，因为冲击必须在该极限下变为加法（见[3]）。该模型的任何其他大规模规范化都将导致相同的结论。人们还预计，当交易逆转时，新订单在移动价格之后的沉积（速率λ）应减少影响的不对称性。我们将这些影响的更详细计算留给以后的调查。另一个重要的研究方向是理解由两种类型的波动引起的LLOB修正：首先，如第二节所述，本文提出的理论仅涉及平均订单簿（x，t），根据该理论，使用定义（pt，t）=0推导出价格PTI，这允许我们计算元订单的平均影响。

然而，人们更应该计算价格指数瞬时定义的影响。t（考虑订单的影响），然后取平均值，得出toI（Q）。然而，在[17]中显示的数值模拟表明，这里使用的近似值对于长元级相当准确，这确实是预期的差异| pinst。T- pt |与I（Q）相比变小。第二，我们假设市场的其他部分处于静止状态，不参与元秩序的sourceterm建模。人们更应该假设，元顺序的流动有一个随机的成分，它增加了人们特别感兴趣的特定元顺序。同样，基于平均订单簿的计算是不充分的，因为与其他不相关的元订单的交互作用会随之消失。在[22]之后，我们发现msdo中的随机波动有助于价格轨迹变异函数的强均值回复，应以一致的方式予以考虑。有趣的是，这种通用的均值回复成分会导致金融市场中常见的过度短期波动；因此，在这方面进行更多量化工作是值得的。最后，其他扩展/修改在实践中可能很重要：如上所述，取消率ν预计会随着元指令的强度而增加。此外，潜在订单的流入λ和/或00。20.40.60.8101 2 3 4 5I（Q，t）（DT）-1/2A-1吨/吨。111100t/TFIG。7：该图说明了机械和信息影响在确定元订单执行期间和之后的价格轨迹方面的相对作用。我们特别选择了一组参数D=J=ζ=m=T=1和Γ=0.1。

该图表明，在小时间内，冲击的机械部分是主要影响。如插图所示，只有在机械部件缓慢衰减后，冲击的永久性信息部件才会变得相关。从理论角度来看，永久性成分很重要，因为它平衡了潜在订单对价格的影响所产生的潜在造市/均值回归收益。订单1/ν的寿命可以预期是距离价格|x的函数-pt |，即更好的价格应该吸引更多、更耐心的买家（或卖家），从而使潜在的订单簿在大距离上变得更具吸引力。这很自然地解释了为什么我们已知的所有影响数据的增长速度似乎比预期的还要慢√Q大Q（[32,33]和CFM，未公布的数据）。另一个有趣的途径是允许等式（1-a，b）中的“漂移”项变为非高斯项，从而研究平方根定律的累积量展开。xi结论在本文中，受扩散反应模型和一般论点的启发，我们提出了一种基于线性（潜在）订单近似的非线性价格影响最小理论。正如[3,5,17]所强调的，我们的建模策略并不依赖于任何均衡或公平的定价条件，而是依赖于纯粹的统计考虑。平方根影响法的普遍性有力地支持了我们的方法，尤其是在比特币市场上——正如最近在[14]中所记录的那样——在比特币市场上，公平定价的论点显然是没有根据的，因为影响比交易费小得多。我们的框架允许我们计算存在元订单时的平均价格轨迹，这一致地概括了先前提出的传播子模型。我们的中心结果是动力学方程。

（9） 它不仅产生了普遍观察到的平方根碰撞定律，而且还预测了交易中断或逆转时的非平凡轨迹。非常令人惊讶的是，我们发现冲击自由衰减的短期行为与传播模型预测的相同，而反向贸易的影响则更为强烈。后一个结果与经验观察结果在定性上一致[26]。我们已经证明，我们的模型没有价格操纵，这使它成为第一个一致、非线性和时间依赖的影响理论。我们的设置还表明，价格如何自然地分解为一个短暂的“机械冲击”成分和一个重要的“信息”成分，正如Almgren等人最初提出的[2]，最近在[11,13]中得到了利用——见第九节。让我们再次坚持，这种分解使我们能够构建不同的价格（尽管有一个通用的短期均值回复贡献）。尽管我们的计算是基于几种近似值（仅限于局部线性订单和忽略波动），但我们相信，它为进一步扩展提供了一个良好的起点，在这种扩展中，可以逐步重新安装忽略的影响。特别重要的是，价格变动、订单流量和潜在订单和披露订单的形状之间的潜在反馈回路。特别是，我们假设，随着与价格的距离变小，延迟订单会在实际订单簿中瞬间实现：然而，任何有限的转换时间都可能导致流动性短缺，尤其是当价格加速时，导致不稳定的反馈环。正如[3,35,36]中所强调的，这可能是由价格附近流动性极小而引发的异常流动性波动所触发的。

这种机制可以解释回报的普遍权力分布，这些回报似乎与外生新闻无关，而是与不可避免的、自我诱发的流动性上升无关。感谢M.Abeille、R.Benichou、X.Brokmann、J.de Latailade、C.Deremble、J.D.Farmer、J.Gatheral、J.Kockelkoren、C.A.Lehalle、Y.Lemp\'eri\'ere、F.Lillo、E.S\'eri\'E，特别是M.Potters和B.T\'oth，感谢他们就这些问题进行了多次讨论和合作。我们也感谢P.布兰克、N.科曼、T.贾松、M.罗森鲍姆和安达。蒂洛伊对手稿发表了有用的评论。我们中的一位（IM）受益于“路易斯·巴塞利尔金融与可持续增长”实验室支持下的“转型期椅子市场”，该实验室是“理工学院、大学、埃弗里·瓦尔·德松和法国银行联合发起的。附录A：漂移/扩散终点的推导，以使方程中漂移/扩散方程的微观假设更加清晰。（1a，b），让我们首先假设每个代理人对潜在订单簿的贡献微不足道，这可能是深流动性市场的一个很好的近似值。下面讨论了一个瘦市场模型，其中一些参与者贡献了流动性的实质部分，但得出了非常相似的最终结果。在t和t+δt之间，每个代理i修改其保留价格pito pi+βiξt+ηi，t，其中ξ是所有呈现一些公共信息（新闻，但也包括价格变化本身或订单流等）的i所共有的，βi>0是代理i对新闻的敏感性，我们认为这是代理之间的随机变量，pdf∏（β）平均值归一化为[βi]i=1。

[[...]Ire代表了代理人的横截面平均值。]有些药剂反应过度，有些药剂反应不足；实际上，βimight本身是时间依赖的，但我们假设β的分布是平稳的。完全特异性贡献ηi是一个独立的随机变量，分布R（η）的均值为零，均方根∑分布在不同的试剂和初始时间。我们假设在每个价格区间x内，x+dx存在大量代理商的最新订单。因此，潜在阶数ρ（x，t）的密度根据以下主方程演化：ρ（x，t+δt）=Z∞dβ∏（β）Z∞-∞dηR（η）Zdyρ（y，t）δ（x）- Y- βξt- η） ，（26）或：ρ（x，t+δt）=Z∞dβ∏（β）Z∞-∞dηR（η）ρ（x）- βξt- η、 t）。（27）假设在小时间间隔δt上的价格修正βξt+η足够小，上述方程的二阶展开式kramers-Moyal得出（关于该过程的深入讨论，参见[37]：ρ（x，t+δt）-ρ（x，t）=-ξtρ（x，t）+[β] ξt+∑ρ（x，t）+。（28）如[34]所倡导的，如果想要推广影响折扣市场会计规则的理念，平方根影响法的明确理论解释也很重要。在这个阶段，我们可以假设形式上ξt=Vtδt，∑=2Dδt，在这种情况下，连续时间限制为：ρ（x，t）t=-及物动词ρ（x，t）x+Dρ（x，t）x（29）或ξt=Vt√δt，其中vt现在是方差σ的高斯白噪声，∑=2Dδt，在这种情况下，连续时间限制应写为：dρ（x，t）=-dWtρ（x，t）x+滴滴涕ρ（x，t）带dWta维纳噪声和D的x（30）≡ D+[β]σ/2，也就是说，扩散常数既涉及特殊成分，也涉及反应对随机信息的分散。这是我们在本文中主要遵循的解释。仔细推导价格bpt=RtdWs参考框架中的相应方程式，最终得出方程式的差异部分。

（3） 在正文中：ρ（y，t）t=Dρ（y，t）YD≡ D+σZdβ∏（β）（β）- 1); （31）即仅反应β的分散- 正如预期的那样，1可以促进分化。对最后一个方程的另一种解释是，假设t和t+dt之间有一个分数φ∈ [0,1]（可能取决于时间）的代理人集体改变其价格估计，改变的金额为dWt，没有其他特质成分。这导致：dρ（x，t）=φ[ρ（x- 载重吨（吨）- ρ（x，t）]=-φdWtρ（x，t）+φσdtρ（x，t），（32），基本上对应于∏（β）=（1）的上述情况- φ)δ(β) + φδ(β - 1). 在价格参考框架BPT=RtφdWs中，我们可以用D找到等式（31）≡ φ(1 - φ)σ/2. 请注意，很明显，只要0<φ<1，这些集体价格修订本身就必须引发交易。如果价格修正不能被认为是小的，那么ρ（x，t）的最终演变应该包括连续时间限制的跳跃，即人们会发现一个积分微分方程，而不是ρ（x，t）的部分微分方程。然而，如果跳跃过程在空间中是齐次的，我们可以对进化算子inFourier空间进行对角化。这让我们可以证明，在这种情况下，价格操纵也是不可能的。附录B：一般线性潜在订单手册，我们考虑沉积流不是恒定的情况。这将导致潜在订单簿的静态状态的以下等式：Dst.（y）Y- Θst.（y）+λ（Θ（y）-Θ(-y） ）=0，（33）带а街（y）=-~nst(-y） （尤其是市场清算条件st.（y=0）=0）。让我们假设Θ（y）-Θ(-y） 行为举止，比如→ ∞, 作为一个常数，我们可以团结起来。然后，对于大的y，解аst.（y）收敛到λ/ν，因此我们设置：аst.（y）=λν+ψ（y），（34），其中ψ（y）=1- Θ（y）+Θ(-y） 带ψ（y）→ ∞) → 0和：Dψ（y）Y- νψ（y）=λΞ（y），（35）式中Ξ（y）→ ∞) → 0

ψ（y）上的边界条件在大y时意味着我们可以看到形式为：ψ（y）=ψ（y）e的解-√ν/D y，（36），因此：Dψ（y）- 2.√νDψ（y）=λΞ（y）e√ν/D y.（37）最后，一个结果是：νst.（y）=λνh1- E-√ν/D yi+λDe-√ν/D yZydye√ν/D yZ∞伊迪-√ν/D yΞ（y）。（38）正文中给出的解对应于Ξ≡ 0，因此只有第一项存活下来。从上面的明确形式中，我们可以看到∞染料-√ν/DyΞ（y）是有限的，在y=0附近，νst（y）的行为总是线性的。沉积速率只有一个高度奇异值，当y时，其发散速度大于1/y→ 0将危及潜在订单簿的局部线性（另见[38]，其中首次讨论了该属性）。附录C：在恒定利率执行和初始放松影响期间，订单簿的形状当交易率为常数（等于m）时，可以展示形式为μ（x，t）=mpt/D F（x）的时间相关订单簿的精确缩放解√Dt），其中F是：2F（u）+uF（u）的解- F（u）=-2δ（u）- A） 。（39）如下所示，该方程可以求解，并给出t=t时账簿的精确形状，从中可以推断初始松弛（交易停止后）。在上述方程中写入F=uG，可以找到一个一阶线性方程，即H=G:H（u）+u+uH（u）=uδ（u- A） （40）很容易解为：H（u）=色调-u/4（u<A）；H（u）=H- AeA/4ue-u/4（u>A）。（41）有两个有用的边界条件。一个是价格位置的定义，x=A√Dt orA=u，其中φ（x，t）=x或F（A）=AJ/m。第二点是，当u=0时，可以计算积分定义F，导致toF（0）=A√πeA/4Z∞A/4dvv3/2e-v、 （42）这允许一个函数乘以G（u）=F（0）/u- F（0）/u≈ -F（0）/uwhen u→ 0，与H（u）进行比较≈H/U处于相同的极限。