基于状态转换的储气库价值评估

，Vn+1（x，pMn+1，rMn+1）。因此，在时间步长n和体积级别x时，我们需要最小化Vn+1x、 pn+1，rn+1...Vn+1x、 pfMn+1，rfMn+1-φpn··· ~nmpn......φpfMn··· ~nmpfMn·β...βm（4.2）14 N.B–AUERLE和V.RIESSto获得β，β-mandVn+1x、 pfM+1n+1，rfM+1n+1...Vn+1x、 pMn+1，rMn+1-φpfM+1n··· ~nmpfM+1n......φ中性粒细胞··· ~nm中性粒细胞·β...βm（4.3）为了得到β，βm，其中k·k表示欧几里德范数。在该算法中，我们通过^Un（x，pjn，rjn）=mXi=1βrjni~n（pmn）估计条件期望。（4.4）备注4.6（其他价格模型）。该方法适用于任何带有区域切换的价格模型，可以进行模拟。备注4.7（最小二乘算法的收敛性）。当模拟路径数SM和所选基函数数m收敛到整数时，最小二乘算法收敛到真值。对于generalLeast Square算法，该结果已在[11]中显示。4.5. 在存储域中构建网格的一种方法。4.5.1. 动机在storagedomain中选择网格最常见、最直观的方法是等距网格，即将间隔[bmin，bmax]划分为固定数量的相同长度的部分。但是当我们看到最优策略的结构时，我们认识到很多时候最优策略是a=imaxor a=imin。这意味着，从状态x，我们通常会得到状态x+imax（x）或x+imin（x）。这些状态不一定是等距栅格的栅格点，尤其是当Imax和iminare不是常数时。因此，我们在计算中会产生误差，尤其是当等距网格不是那么细时。图6显示了使用多元树算法和最小二乘算法的策略边界，该算法具有530个网格点的等距网格。计算基于第5节中介绍的示例。

正如我们所看到的，策略边界在大多数情况下等于bmaxor bmnmost，这使得决策成为imaxor imin。这强调了不选择等距网格的想法，而是使用函数imax和imin，而是包括像x+imax（x）和x+imin（x）这样的点。图6。政策边界bn（p，r）（浅蓝色，黄色）和bn（p，r）（深蓝色，橙色），使用多项式树算法（左）和最小二乘算法（右），采用等距离网格气体存储估值，制度转换154.5.2。结构和示例。显然，我们现在构建的网格应该包括点sbmax，bmin，x。从bmax开始，我们计算bmax+imin（bmax），bmax+imin（bmax）+imin（bmax+imin（bmax））。直到bminis到达。以同样的方式，我们从bminbmin+imax（bmin）、bmin+imax（bmin）+imax（bmin+imax（bmin））开始计算。直到bmaxis到达。只要x不等于bmax或bminw，我们就从x开始计算网格点x+imin（x），x+imin（x）+imin（x+imin（x））。x+imax（x），x+imax（x）+imax（x+imax（x））。直到分别达到最小和最大容积水平。为了了解网格的外观，图7和图8显示了我们在第5章中使用的示例中最小长度为100、500、1500的网格，即bmin=500000mBtu，bmax=2000000mBtu，x=1000000mBtu，imin（x）=-70.71√x、 imax（x）=-0.032x+68170.500000 1000000 1500000 2000000 1000000 1500000 2000000 2000000图7。最小长度为100,500,1500，实际长度为137,530,15065000000 1000000 1500000 200000000 5 10 15 20500000 1000000 1500000 200000000 10 20 30 40 50 60500000 1000000 2000000 20000000 20 40 60 80 100的网格点图8。

最小长度为100、500、1500和实际长度为137、530、1506的网格的历史图将等距网格与“新”网格进行比较，我们可以在图9中看到，在这两种算法中，多项式树算法和最小二乘蒙特卡罗算法中，我们使用“新网格”获得更快的收敛速度。该图显示了使用等距网格（星点）的天然气储存价值，以及使用不同的“新”网格（点）的天然气储存价值t和第5.5章示例中的不同模拟数M。以储气设施为例对这两种算法进行数值分析5。1.气体储存设施的示例。首先，我们回顾一下定价过程的参数在示例4.3中给出。此处的报价单位为便士/热，其中1便士/热=1英镑/毫米Btu，这将是我们在以下计算中使用的单位。作为初始价格和制度，我们选择p=0.1·eu（0）lb/MMBtu≈ 1.855℃/MMBtu和r=1.16 N.B–AUERLE和V.RIESS200 400 600 800 10001500000 1550000 1600000 16500000网格点数量t=1t=12t=13t=14t=15t=1t=12t=13t=14t=1 5200 400 600 800 100001500000 1550000 1600000 16500000网格点数量SM=200M=400M=600M=800M=1000M=200M=400M=600M=800M=1000M图9。等距网格（星形）和新网格（点）的比较：使用多项式树算法（左）和最小二乘算法（右）的天然气储量值“询问”和“出价”价格k和e由k（p）=（1+w）+z=1.01p+0.02和k（p）=（1）给出- w）- z=0.995p- 0.02. 在[28]中，参数zand zare被解释为因泵或其他技术设备磨损而产生的额外成本。他们提到[21]，他说这些成本通常不会超过MMBtu的2%。另一方面，zand zcan可以被解释为市场上的买卖价差。

假设汽油价格为0.02英镑。参数wand W的选择可以解释为泵的气体损失，通常不超过1%，参见[21]。详情见[28]。另一种可能的解释是包括交易成本。以德克萨斯州斯特拉顿岭盐穴为基础的天然气储存合同的一个现实例子见[29]。对于盐穴，我们选择最小值=500000 MMBtu，最大值=2000000 MMBtu，x=1000000 MMBtu。我们选择进一步的imin（x）=-70.71√x、 imax（x）=-0.032x+68170。因此，“清空”存储大约需要20天，而“填充”存储大约需要78天。我们选择的期限为1年，相当于从2月开始的N=250个交易日，因为价格是从该时间开始确定的。终端奖励函数由byhN（x，p）给出=e（p）（x）- x） ，如果x>x，0，如果x=x，k（p）（x）- x） 如果x<x.5.2。两种算法的进一步计算和比较。在进行进一步计算之前，我们先研究算法的一些参数的影响。图10显示了使用多项式树算法（左）和最小平方算法（右）以及不同的分别为t和M，并具有不同数量的网格点。我们在网格中大约530个网格点的所有计算中都看到了一个小问题。这是我们在下文中用于网格大小的数字。接下来我们想更仔细地看看多项式树算法，看看它是如何实现的锡会影响储气库的价值。表1显示了使用不同树木（cp图5）计算的天然气储量值，其中t=1,1/2,1/3,1/4,1/5。

因为t=1/4和t=1/5相当小，我们选择了t=1/4。采用制度转换的天然气储量估值17200 400 600 800 10001620000 163000 1640000 1650000 1660000 1670000网格点数量t=1t=12t=13t=14t=1 5200 400 600 800 10001620000 1630000 1640000 1650000 1660000 16700000网格点数量SM=200M=400M=600M=800M=1000图10。使用多项式树算法计算不同数量网格点的储气量值（左，不同t） 以及最小二乘算法（右图，M不同）t 1/2 1/3 1/4 1/5储气量值（英寸）1669631 1655893 1651499 1648229 1647823表1。使用多项式树算法和不同的t、 在最小二乘算法的情况下，我们需要决定要模拟多少条路径。图11显示了5项模拟研究中气体储存量与M的函数关系。作为基函数，我们取1，x，x，x。值的方差在=1000时似乎仍然很高，这是由于最低模拟中出现峰值。因此，我们进一步查看图12和图13中的更多模拟，其中显示了100个模拟的直方图和箱线图，每个模拟使用M=1000和M=2000。在直方图中，我们还绘制了平均值，即M=1000的平均值为1644828，M=2000的平均值为1645134。这些平均值在箱线图中也表示为星点以及标准偏差，分别为9109和6516。我们可以看到，平均值的差异并不高，正如我们预期的那样，方差从M=1000衰减到M=2000的幅度更大。500 1000 1500 20001630000 1640000 1650000 1660000 1670000 1680000 1690000模拟路径的数量如图11所示。储气量的数值取决于使用最小二乘算法18 N.B–AUERLE和V的数值模拟。

RIESSM=1000储气库价值1630000 1640000 1650000 16600000 2 4 6 8 10 12 M=2000储气库价值1630000 1640000 1650000 16600000 2 4 6 10 12图12。使用最小二乘算法的储气量历史图hmm=1000 M=20001630000 1640000 1650000 1660000图13。使用最小二乘法计算储气量的箱线图备注5.1（算法比较）。正如我们所见，这两种算法返回的值约为164万英镑。虽然多项式树算法只需要运行一次，因为我们最终要计算网格上的“精确”值，但蒙特卡罗算法需要运行几次，以获得更好的估计效果。这一事实使得多项式树算法在运行时比最小二乘算法更有趣。虽然多项式树算法在实现中可能更复杂，尤其是在t甚至小于1/5，一旦实现，它比最小二乘算法运行得更快，例如，因为网格点更少。最小平方算法的优点显然是适用于更广泛的价格模型。为了对最优政策的结构有一个印象，我们现在更仔细地研究一下政策界限。图14和图15显示了由多项式树算法计算的策略边界，其中t=1/4和M=1000的最小二乘算法。下界bn（p，1）和bn（p，2）标记为浅蓝色和黄色，其中上界bn（p，1）和bn（p，2）标记为蓝色和橙色。图中显示了所有边界的三张图片，我们“放大”到边界不等于bmi或bmax的部分。右边的图片只显示了区域2的边界，以便更清楚地看到它们与区域1的结构相同。

回想一下，最佳策略是，如果当前气体量低于b，则注入气体可能达到b，如果当前气体量高于b，则在可能达到b的情况下提取气体，并且在两者之间不做任何操作。从图中我们可以看到，随着价格的上涨，边界在下降，这是根据直觉决定的，即如果价格高，出售天然气，如果价格低，购买天然气。此外，在许多情况下，边界等于bminor bmax，分别对应于提取所有可能气体和注入所有可能气体的决策。在价格模型的时间相关平均值周围只有一个小范围，这些范围不等于那些具体情况。这种差距，即“什么都不做”是最优的，是由k（p）和e（p）不相等这一事实造成的，因为这两个函数在优化问题上存在差异，需要解决这些问题才能得到策略边界。时间范围结束时的策略边界高度依赖于终端奖励函数，因此与之前的策略边界结构不同。图14。使用树算法的策略边界图15。政策界限使用最小二乘算法我们可以从政策界限的图表中猜测，在许多情况下，最佳政策是“砰砰”式的，即注入尽可能多的天然气、尽可能多地提取天然气或什么都不做是最佳的。这是一项相当直观的政策。我们通过将算法中的决策限制为最优策略，来比较我们计算的最佳bang-bang策略。查看表2，我们可以看到使用最佳的“bang-bang”类型策略πo导致比使用最优策略π？的值更低？，但差别相当小。

低于1%。储气价值储气价值使用最佳π？用最佳砰砰πo在原多项式树算法1648229 1637366 0.660中，最小二乘算法1653958 1653361 0.036表2。采用最佳bang-bang型策略的储气量πo最优策略π？。因此，我们看看有多少次我们实际上决定不注入/取出所有可能的气体。表3显示了三个样本路径中的绝对值，见图16和17。这里，最佳20 N.B–AUERLE和V.RIESSdecision bn（p，r）或bn（p，r）意味着决定在下一步达到这些界限，并且不注入或提取所有可能的气体。我们可以看到，我们很少使用这些动作。因此，最后，如果我们使用的是一种相当直观的“砰砰-砰砰”式政策，错误并没有那么大，尽管我们需要意识到存在差异。最优决策方法路径bn（p，r）bn（p，r）imaximin多项式树算法1 3 139 48 59绿色0 14 131 43 62蓝色1 3 149 30 61最小平方算法0 94 20 136绿色1 5 120 49 75蓝色1 3 120 49 77表3。三个样本路径中所用政策的绝对值最终图16和17显示了三个模拟的天然气价格路径以及相应的基本马尔可夫链。另一方面，图表显示了使用多项式树和蒙特卡罗算法分别计算的最优策略所产生的随时间变化的音量水平。总的来说，我们可以看到，对于天然气储存，没有“夏季充装，冬季空置”的一般规则，因为最终它很大程度上取决于当前的价格。回想一下，时间0对应于2月初。例如，我们在图16中看到，在大约180的时间点，我们使用绿色曲线中的高峰值清空存储，然后再次填满存储。

或者，在蓝色曲线中，我们在开始时使用较低的价格，在清空存储之前填满存储空间。在图17中，我们看到，我们使用红色曲线中较高的价格快速清空存储空间，随后较低的价格导致从时间点90.6开始相当快地填满存储空间。结论正如我们所看到的，[28]关于最优策略结构的结果可以推广到具有机制转换和依赖于存储的注射和提取率的价格过程。这两种算法，即多项式树算法和最小二乘算法，都能很好地适用于具有制度转换的价格模型。给出了如何选择算法关键参数的提示。特别是气体储存水平网格的巧妙选择已被证明是重要的。另一方面，我们也得出结论，不是最大化所有可行的政策，而是最大化所有的政策几乎是最优的。为了将所提出的算法扩展到具有跳跃的价格模型，还需要做进一步的研究。虽然在最小二乘算法中加入跳跃不应该是一个问题，因为最终只需要对过程进行模拟，但有趣的是，如果有一种方法可以用类似的方式通过重组树来近似价格模型。[6]和[5]进一步对最小二乘算法中基函数的选择进行了一些模拟研究。他们的结果是，基函数的选择对算法的值没有太大影响，需要在带区域切换的最小二乘算法中进行验证。

在这里，研究（p，r）中的回归与每个制度中的单独回归相比，在多大程度上对存储值有影响也是有趣的。带状态切换的储气库估值210 50 100 150 200 2500.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0随时间变化的模拟路径0 50 100 150 200 250 500000 1000000 2000000随时间变化的储气库容积水平图16。使用多项式树算法中的最优策略7模拟三条路径和相应的音量水平。感谢作者感谢阿尔弗雷德·穆勒对中提琴·里斯的HD论文提出了有益的意见和建议，该论文也收录在论文中。参考文献[1]Olivier Bardou和Sandrine Bouthemy及Gilles Pages，《摇摆期权定价的最佳量化》，应用数学金融，16，183–217，（2009）[2]Nicole B–auerle和Ulrich Rieder，《马尔可夫决策过程与金融应用》，第388页。柏林海德堡斯普林格（2011）[3]弗雷德·埃斯彭·本思和朱拉特·萨尔泰特·本思和斯特恩·科克巴克尔，《电力和相关市场的随机建模》，第337页。世界科学，新加坡（2008）[4]Dimitri P.Bertsekas，动态规划与最优控制。第二卷，第303页。AthenaScienti Fic，Belmont（2001）[5]Alexander Boogert and Cyriel de Jong，《利用蒙特卡罗方法进行天然气储量估价》，《衍生工具杂志》，2008年第15期，第81-98页[6]Alexander Boogert and Cyriel de Jong，《利用多因素价格过程进行天然气储量估价》，《能源市场杂志》，2011年第4期，第29-52页[7]Rene Carmona and Michael Ludkovski，《储能估值：最佳转换方法》，定量金融，10359–374，（2010）[8]阿尔瓦罗·卡塔和托马斯·威廉姆斯，英国天然气市场：风险的市场价格和对多重可中断供应合同的应用，能源经济学，30829–846，（2008）22 N.B–AUERLE和V。