基于状态转换的储气库价值评估

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英文标题：
《Gas Storage valuation with regime switching》
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作者：
Nicole B\\\"auerle and Viola Riess
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we treat a gas storage valuation problem as a Markov Decision Process. As opposed to existing literature we model the gas price process as a regime-switching model. Such a model has shown to fit market data quite well in Chen and Forsyth (2010). Before we apply a numerical algorithm to solve the problem, we first identify the structure of the optimal injection and withdraw policy. This part extends results in Secomandi (2010). Knowing the structure reduces the complexity of the involved recursion in the algorithms by one variable. We explain the usage and implementation of two algorithms: A Multinomial-Tree Algorithm and a Least-Square Monte Carlo Algorithm. Both algorithms are shown to work for the regime-switching extension. In a numerical study we compare these two algorithms.
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中文摘要：
在本文中，我们将储气库估价问题视为一个马尔可夫决策过程。与现有文献不同，我们将天然气价格过程建模为一个制度转换模型。陈和福赛斯（2010）的研究表明，这样的模型非常适合市场数据。在我们应用数值算法来解决这个问题之前，我们首先确定最优注入和退出策略的结构。本部分扩展了Secomandi（2010）中的结果。了解结构可以将算法中涉及的递归的复杂性降低一个变量。我们解释了两种算法的使用和实现：多项式树算法和最小二乘蒙特卡罗算法。这两种算法都适用于区域切换扩展。在数值研究中，我们比较了这两种算法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：价值评估 Quantitative Monte Carlo QUANTITATIV Multinomial

采用制度转换的天然气储量评估Nicole B¨AUERLE*还有维奥拉·里斯*摘要在本文中，我们将储气库估价问题视为一个马尔可夫决策过程。与现有文献不同，我们将天然气价格过程建模为一个制度转换模型。在[10]中，这样一个模型已经很好地验证了市场数据。在应用数值算法解决问题之前，我们首先确定最优注入和退出策略的结构。这一部分扩展了[28]中的结果。了解结构可以将算法中涉及的递归的复杂性降低一个变量。我们解释了两种算法的使用和实现：多项式树算法和最小二乘蒙特卡罗算法。这两种算法都适用于区域切换扩展。在数值研究中，我们比较了这两种算法。关键词：储气库估价、制度转换、马尔可夫决策过程、最小二乘算法、多项式树算法。1.简介在欧盟，天然气仍然是最终能源消耗中使用的第二种燃料，占22%，领先于电力，占20%，落后于石油产品（cp[12]）。影响天然气价格的因素有很多，如天气条件、经济增长、石油、煤炭、碳等其他燃料的价格、可再生能源份额的增长以及非常规天然气资源的新生产技术。为了应对由此产生的天然气价格波动，天然气储存容量不断增加。2013年，欧盟的储存设施数量为142个，最大工作容积为965.97亿立方米（cp[12]）。这种存储一方面可以用来平衡供需，另一方面也可以通过按市值计价的主动存储管理创造效益。天然气储存合同实质上代表了天然气价格的中心选择权。

我们参考[15]了解存储估值问题的介绍。为了评估天然气储存设施的合同，我们需要一个天然气价格过程的随机模型，以及一个找到最佳动态注入和退出政策的工具。后一个问题导致了一个随机控制问题，文献中有相当多的论文讨论了这个问题。大多数情况下，天然气价格模型是连续的，在某种程度上与利率模型相关。因此，我们得到了一个连续的随机控制问题，该问题可以通过Hamilton-Jacobi-Bellman方程求解。然而，这个方程必须通过数值求解（参见[9,29,10]）。另一种方法是首先将天然气价格过程离散化，然后将由此产生的离散时间问题视为马尔可夫决策过程（参见[5,28,19,6,14]）。[7]中考虑了一个中间模型，其中基础过程是连续的，但操作策略仅限于存储级别在满和空之间切换的切换策略。然后，任务可以简化为寻找操作模式切换的最佳停止时间的离散问题。令人惊讶的是，只有[28]的一篇论文论述了最优政策的分析结构。这一点很重要，但在其他论文中也很重要，除了储存的天然上下限容量外，还对从储存中释放气体的最大速率和向储存中注入气体的最大速率进行了限制。*卡尔斯鲁厄理工学院数学系，德国卡尔斯鲁厄D-76128。通讯作者：妮可。baeuerle@kit.edu，电话：+49-721-608-48152，传真：+49-721-608-46066。C0000（版权所有人）2 N.B–AUERLE和V。

Ries这些速率取决于存储级别，通常呈下降趋势，并分别呈凸面或凹面。在[28]中，这些速率被假定为常数。因此，在任何情况下，最佳行动不仅取决于天然气价格，还取决于储存水平。最佳政策的特点是三个区域取决于天然气价格p：当当前天然气储存水平低于某个界限b（p）时，最好是注入天然气，或者尽可能多地注入天然气，或者注入到最先发生的b（p）以下。如果当前的气体储存水平高于某个界限b（p），则尽可能多地或首先降低至界限b（p）是最佳的。如果水平介于两者之间，最好什么都不做。在本文中，我们将[28]的结果推广到对最大注入和提取率的更一般限制，以及更一般的天然气价格过程。此外，我们利用最优策略的结构来实现求解储气问题的高效数值算法。更准确地说，我们使用的是一个政权转换模型，因此是一个非马尔可夫天然气价格模型。该模型基于[27]的均值回复模型。在我们的环境中，有两种情况会导致不同的时间依赖性、季节性平均回归系数。[27,17,10]中指出，单因素均值回复模型无法捕捉典型天然气正演曲线的动态。因此，一方面，可以使用多因素模型，如[8,6,19,22]中所述，或引入体制转换，例如[10]。[10]指出，体制转换模型能够很好地根据市场数据进行校准，并且比多因素模型更不复杂。有关天然气价格模型的进一步讨论，请参见[13]。

我们的天然气价格过程没有跳跃（跳跃模型见[9,10]），但这些可以很容易地包括在内。如前所述，我们使用最优策略的结构来实现解决储气问题的有效数值算法。算法的基本结构由马尔可夫决策过程理论中常用的反向归纳算法给出。该算法克服了维度诅咒。然而，当以巧妙的方式实施时，这种影响可以减轻（参见[24]了解近似的动态编程）。我们将看到，最优策略结构的使用减少了必须由一个变量求解的优化问题的数量。我们比较的两种算法在计算递归中的期望的方式上有所不同。在第一种算法中，我们使用[23]中提出的方法，通过重组树近似连续天然气价格过程。这种方法的优点是树的值不受仅影响转移概率的制度的影响。[17,14,1]中解释了构建树的其他方法。然而，这些方法不容易扩展到政权转换模型。在第二种算法中，我们使用最小二乘蒙特卡罗算法通过对多个基函数进行回归来逼近期望值。该算法在[20]中为美式期权估值所熟知，并在[5]中首次用于储气库估值。在[6]中，作者将最小二乘蒙特卡罗算法用于多因素天然气价格模型，并讨论了基函数选择的影响。在这里，我们证明了这种方法也可以应用于政权转换模型。我们的论文组织如下：在下一节中，我们将制度转换天然气价格的天然气储存估价问题描述为一个马尔可夫决策过程。

然后，我们证明了第3类最优策略的结构，并考虑了一些特殊情况。接下来在第4节中，我们将详细介绍我们的天然气价格模型，并解释多项式树算法和最小二乘蒙特卡罗算法。天然气价格模型的参数取自[3]。在本节中，我们还将讨论储气库的有效离散化。关于这两种算法的数值分析，请参见第5节，我们将使用一个具体的例子。我们讨论了储气库的网格点数量的选择、最小二乘蒙特卡罗算法所需的模拟数量以及多项式树算法中树的节点数量。转换天然气存储模式32。储气库估价问题是一个带有状态切换的马尔可夫决策过程我们将储气库估价问题描述为一个带有状态切换的马尔可夫决策过程（MDP）。对于马尔可夫决策过程的理论，我们参考[2,4,16,25]。设（Pn）为可测空间（P，B（P））上定义的随机天然气价格过程，其中P R+。这种价格过程受到马尔可夫链（Rn）的影响，因此（Pn，Rn）是马尔可夫过程。我们进一步假设（Rn）具有有限状态空间sr和转移矩阵（qjk）j，k∈SR.另外假设Pn+1和Rn+1在Rn和Pn下是条件独立的，并且L（Rn+1 | Pn，Rn）=L（Rn+1 | Rn），其中L表示相应的随机变量的规律。利用这些假设，我们得到了j，k∈ 高级，p∈ P、 B∈ B（P）P（Pn+1）∈ B、 Rn+1=k | Rn=j，Pn=p=p（Pn+1∈ B | Rn=j，Pn=p）p（Rn+1=k | Rn=j，Pn=p）=p（Pn+1∈ B | Rn=j，Pn=p）p（Rn+1=k | Rn=j）=:Qn，j（B | p）·qjk。让N∈ N为明确的规划范围，分别用BMI和BMAX表示储气设施的最小和最大容量。

马尔可夫决策过程的状态空间由E=[bmin，bmax]×P×sr给出，我们用（x，P，r）表示E的元素∈ E其中xis为当前存储级别，p为当前价格，r为当前背景状态。actionspace由A=[bmin]给出-bmax，bmax-bmin]，其中a是气体量的变化。Hencea<0表示提取| a |的量，a>0表示注射|a |。由于我们假设行动受到最大变化率Iminn和Imaxn的额外限制，这取决于储存中当前的气体量，因此允许的行动被限制为设置Dn（x）={a∈ A |最大体重（bmin）- x、 伊曼（x））≤ A.≤ 最小值（b最大值）- x、 imaxn（x））}。我们假设Imax和Iminn是存储x中气体量的递减函数。此外，Imax在区间[bmin，bmax]中应该是凹的和非负的，Iminn应该是凸的和非正的。图1显示了一组可接受的动作。时间n的决策规则是一个可测量的映射fn:E→ dn和a策略π=（f，…，fN-1） 由一系列决策规则定义。bminBmax bminBmax mininMaxNaxd配置图1。一组可接受的措施Dn为了包括交易成本、泵处的天然气损失和/或市场上的买卖价差，我们引入了一个数量天然气的“要价”k和“出价”e。特别地，我们假设k（p）=（1+w）p+zand e（p）=（1- w） p-z、 其中w，w，z，z∈ R+使得k（p）≥ e（p）≥ 每p 0∈ P.因此，我们有固定且成比例的交易成本。4 N.B–AUERLE和V.Riess马尔可夫决策过程的一级奖励函数h由h（p，a）给出=-k（p）·a，a>0,0，a=0-e（p）·a，a<0。让Hn表示终端奖励函数，它取决于存储x中当前的气体量和当前的价格p。

我们假设Hn是x的凹函数。例2.1（一些可能的终端奖励函数）。一个可能的终端奖励函数可能是hN（x，p）=e（p）（x）-bmin）。在这里，终端奖励对应于在时间N出售储存中的可用气体。终端奖励函数的另一种选择，包括当存储中的气体量低于某个量xendishN（x，p）=（e（p）（x）时的惩罚- x），x≥ 森德，-k（p）（xend）- x） ，x≤ 森德。为了避免储存的气体量高于xend水平，我们可以替换e（p）（x）- x）乘以0表示x≥ 森德。另一种修改是让“惩罚”以指数形式增长到至强的距离，而不是成比例增长。马尔可夫决策过程的转移核由等式Qn（d（x，p，j）|x，p，r，a）=Qn，r（dp | p）qrj给出 δx+a（dx）。（2.1）通过定义转移核，我们得到了任意可测函数v和容许（x，p，r，a）的zv（x，p，j）eQn（d（x，p，j）|x，p，r，a）=Xj∈SRqrjZv（x+a，p，j）Qn，r（dp | p）。（2.2）引入所有必要的定义后，目标是找到一个最优策略π，随着时间的推移使预期总回报最大化。因此，我们将价值函数定义为从时间n到时间n的最大预期累积报酬，即（x，p，r）∈ EVn（x，p，r）=supπ∈πEπn，x，p，rhN-1Xk=nβkh（Pk，fk（Xk，Pk，Rk））+βNhN（XN，PN）i（2.3），其中∏表示所有允许的策略和β∈ （0，1）是一个贴现因子。En，x，p，r[…]表示给定Xn=x，Pn=p，Rn=r的条件期望。

使用我们知道的Bellman方程，我们可以解决VbyVN（x，p，r）=hN（x，p）（2.4）Vn（x，p，r）=supa的问题∈Dn（x）{h（p，a）+βEn，x，p，r[Vn+1（x+a，Pn+1，Rn+1）]}=supa∈Dn（x）nh（p，a）+βXj∈SRqrjZVn+1（x+a，p，j）Qn，r（dp | p）o（2.5）我们为一些可测函数v（Lnv）（x，p，r，a）=h（p，a）+βXj引入以下算子∈SRqrjZv（x+a，p，j）Qn，r（dp | p），（2.6）（Tnv）（x，p，r）=supa∈Dn（x）（Lnv）（x，p，r，a），（2.7），使得方程（2.5）可以写成Vn（x，p，r）=（TnVn+1）（x，p，r）。备注2.2。可以证明，如果存在c，c，c∈ R+，使得o| hN（x，p，R）|≤ c（k（p）+c），带制度转换的储气库估值5oEn，p，r[k（Pn+1）+c]≤ c（k（p）+c），存在上述定义的预期值。因此，价值函数得到了很好的定义。下面我们用s+s表示：={v:E→ R:v+（x，p，R）≤ c（k（p）+c）对任意c，c∈ R+}。有关详细信息，请参见[2]中的边界函数概念。最优储气策略的性质和价值函数在本节中，我们确定最优储气策略的结构是明确可行的。它基本上遵循了归纳法所示的值函数的一些性质。3.1. 一般模型的最优策略结构。提议3.1。让v∈ S+S.如果x 7→ v（x，p，r）是凹的，那么x7→ 对于每个固定的p，Tnv（x，p，r）在r+上是凹的∈ P和r∈ 高级证据。设x，xbe可容许且x=αx+（1）-α） x，α∈ [0，1]。设ε>0。然后就有了∈ Dn（x）和a∈ Dn（x）使得lnv（x，p，r，a）≥ Tnv（x，p，r）- ε、 Lnv（x，p，r，a）≥ Tnv（x，p，r）- ε.此外，我们显然有αa+（1- α） a∈ Dn（x）=Dn（αx+（1- α） x）通过检查这些限制。

ThusTnv（x，p，r）=Tnv（αx+（1- α） x，p，r）=supa∈Dn（αx+（1-α） x）Lv（αx+（1）- α） x，p，r，a）≥ Lv（αx+（1）- α） x，p，r，αa+（1）- α） a）=h（p，αa+（1- α） a）+βXj∈SRqrjZv（αx+（1- α） x+αa+（1）- α） a，p，j）Qn，r（dp | p）≥ αh（p，a）+（1）- α） h（p，a）+βXj∈SRqrjZαv（x+a，p，j）+（1）- α） v（x+a，p，j）Qn，r（dp | p）=αLv（x，p，r，a）+（1）- α） Lv（x，p，r，a）≥ α（Tnv（x，p，r）- ε) + (1 - α） （Tnv（x，p，r）- ε） =αTnv（x，p，r）+（1）- α） Tnv（x，p，r）- ε、 其中，第二个不等式由以下假设和事实得出：→ h（p，a）是凹的。评估之后取ε&0。为了简单起见，我们现在引入所谓的“连续值”，即un（x，p，r）=0Un（x，p，r）=βXj∈SRqrjZVn+1（x，p，j）Qn，r（dp | p）。从命题3.1和VN（·，p，r）=hN（·，p）是凹的且非（·，p，r）是恒量的事实，可以立即推导出下一个推论。推论3.2。函数Vn（·，p，r）和Un（·，p，r）对于所有p都是凹的∈ P、 r∈ SRandn=1，N.6 N.B–奥尔和V.里斯定理3.3（最优策略的结构）。每n∈ {0，…，N-1} 存在bn（p，r）和bn（p，r），其中bn（p，r）≤ bn（p，r），使得最优策略π=（f？，…，f？N）-1） 是吉文比吗？n（x，p，r）=最小值（bn（p，r）- x、 imaxn（x）），bmin≤ x<bn（p，r），0，bn（p，r）≤ 十、≤ bn（p，r），max（bn（p，r）- x、 iminn（x）），bn（p，r）<x≤ B最大。（3.1）证据。该证明类似于[28]中定理1的证明。让n∈ {0，…，N- 1} 执行但不随意。首先，我们在时间n上放松了优化问题的限制，并使整个z=a+x最大化∈bmin，bmax. 因此，我们考虑以下问题Maxz∈[bmin，bmax]hn（z）- x、 p，r）+Un（z，p，r），其中p∈ P和r∈ SR.将优化问题分解为案例z≥ x和casez≤ 产量最大马克斯∈[x，bmax]Un（z，p，r）- k（p）z+k（p）x，maxz∈[bmin，x]Un（z，p，r）- e（p）z+e（p）x.