预备役自首

我们研究的两个例子是：ν（t）=h（t，Vν（t））=ψexp{θ（G（t）- Vν（t））}，（4）ν（t）=h（t，Vν（t））=θ1（G（t）-Vν（t）>0，（5）其中ψ，θ>0是常数。对于方程（4），ψ表示总体屈服趋势，而θ表示稳定性如何导致偏离这种趋势。对于方程（5），θ控制这两个参数。在这两种情况下，我们都说θ是理性参数。可以使用其他强度函数，并且应选择与数据匹配的函数形式。唯一的数学要求是，函数h必须使使用定理3.1成为可能。我们的模型的一个直接缺点是，我们通常没有微分方程（3）的显式解。这意味着我们没有一个明确的储备表达式。然而，对于普通微分方程的数值解，我们没有可用的算法。4依赖储备的投保人行为通过依赖储备的强度对行为进行建模的想法也可用于其他应用。在人寿保险中，投保人选择转换为免费保单（已付保单）与投保人的选择有些相似。因此，我们可能会发现，扩展我们的模型是合理的，并有可能以类似于软投降的方式转变为自由政策。图3显示了一个简单的模型，其中νaf表示转换为自由策略的强度，νas表示活动时的投降强度，而νfsa表示转换为自由策略后的投降强度。在这里，当投保人支付保费时，使用“有效”一词。自由政策？HHHHHHJ*图3：自由政策和投降模型。如果所有的跃迁强度都是明确已知的，那么[9]中对该模型进行了研究。

当投保人将保单转换为免费保单时，付款将随着转换时间的延长而减少。假设bfd（t，u）表示时间t的死亡金额（如果在时间u转换为自由保单），bf（n，u）表示时间n的终止付款（如果在时间u转换为自由保单），letGf（t，u）表示时间t的退保价值（当在时间u转换为自由保单时）。对于储备金，如果保单持有人是活跃的，我们假设Va（t）表示时间t的储备金，如果保单持有人处于自由保单状态，并且在时间u转换为自由保单，那么Vf（t，u）表示时间t的准备金。现在，我们假设强度依赖于储备，并以形式给出，νas（t）=has（t，Va（t）），νaf（t）=haf（t，Va（t）），νfs（t，u）=hfs（t，u，Vf（t，u））。然后根据以下微分方程得出储量：ddtVa（t）=r（t）Va（t）+π（t）- u（t）（坏（t）- Va（t））-has（t，Va（t））（G（t）- Va（t））- haf（t，Va（t））（Vf（t，t）- Va（t）），Va（n）-) = ba（n），tVf（t，u）=r（t）Vf（t，u）- u（t）（b）*fd（t，u）- Vf（t，u））-hfs（t，u，Vf（t，u））（Gf（t，u）- Vf（t，u）），Vf（n-, u） =bf（n，u）。唯一的要求是微分方程组有唯一的解。然而，上面的微分方程很难处理，因为我们需要为Vf（t，t）的每个值解一个新的微分方程。在对自由政策选项进行建模时，通常通过引入一个比例函数f来克服这个问题，该函数描述了转换为自由政策后工资的减少。因此，bfd（t，u）=f（u）bad（t），bfd（n，u）=f（u）ba（n）和Gf（t，u）=f（u）Gf（t）。假设过渡强度νfsf不取决于过渡到自由政策的时间。

然后是前景保护区，V*f（t），从基于支付的自由政策状态出发，bad（t）和ba（n）也不依赖于这个过渡时间，我们得到Vf（t，u）=f（u）V*f（t）带DDTV*f（t）=r（t）V*f（t）- u（t）（坏（t）- 五、*f（t））-νfs（t）（Gf（t）- 五、*f（t）），V*f（n）-) = 文学士（n）。这使得Vf（t，u）更容易计算。有关确定参考付款和比例函数的更多信息，请参见[9]。但是请注意，如果νfst不能依赖于向自由政策过渡的时间u，那么它就不能依赖于Gf（t，u）- Vf（t，u）也是，这是一个很大的缺点。为了得到与收益相关的选择，我们可以使用νas（t）=has（t，Va（t））=ψaseθas（G（t）-Va（t）），νaf（t）=haf（t，Va（t））=ψafeθap（Vf（t，t）-Va（t）），νfs（t，u）=hfs（t，u，Vf（t，u））=ψfseθfs（Gf（t，u）-Vf（t，u））.5最坏情况储备的近似值在前面两节中，我们与储备相关者surrender讨论了我们的模型，我们发现它是预测投降动态的合理模型。然而，在下一节中，我们将讨论当投降强度的真实动态未知时，该模型如何也可用于确定最坏情况下的储量。这是因为我们的模型是文献中所说的惩罚方法的一个版本，而一个较大的合理性参数为我们提供了最坏情况的储备。通常情况下，技术储备在移交时支付（可能减去费用）。在这种情况下，如果我们取最大的技术储备和在不投降假设下计算的市场储备，那么我们得到的最坏情况储备要么立即投降，要么永不投降。然而，介于两个极端之间的投降策略可能会导致更高的市场储备。为了确定最坏的储备，我们考虑了所有可能的投降策略。为此，我们构建了一个更通用的模型。

我们假设从主动到退保的过渡受随机停止时间τ的控制，与投保人的状态有关，随机停止时间定义如[12]所示。也就是说，投降的时间可能取决于一切，但未来的死亡时间和未来的利率除外。如果投保人从未终止其合同，我们将τ=n。模型如图4所示。在时间t时，可容许放弃策略的类别是[t，n]中的变量，这些变量是关于从I生成的过滤的随机停止时间。我们用Tt来表示这一类别。投降τActiveDeadu（t）图4：最优投降模型。我们在此不考虑投保人未来死亡时间的信息可能比保险公司更多。尽管这些知识可能会影响投保人的决策，我们还是这样做了。如果投保人根据随机停止时间τ退保，则Vτ表示预期准备金。假设G（n）=0，假设-) ≤ V（n）-) 假设G在[0，n]上是连续的，那么从[11]可以得出，Vτ由以下公式给出：Vτ（t）=EZτte-Rutr（x）dxdB（u）+e-Rτtr（x）dxG（τ）I（τ）I（t）=1= V（t）+EE-Rτtr（x）dxG（τ）I（τ）-Znτe-Rutr（x）dxdB（u）I（t）=1= V（t）+Ehe-Rτtr（x）dxI（τ）G（τ）I（t）=1i-EE-Rτtr（x）dxI（τ）EZnτe-Ruτr（x）dxdB（u）τ、 I（τ）=1I（t）=1= V（t）+Ehe-Rτtr（x）dxI（τ）（G（τ）- V（τ））I（t）=1i。考虑养老基金的最坏情况，投保人选择退保策略作为使Vτ最大化的停止时间τ。这是一个最优停止问题。由I生成的过滤产生的任何经典停止时间必须为某个确定的t填充τI（τ）=tI（t）∈ [t，∞].

然后通过以下公式得出储备：Vτ（t）=V（t）+Ehe-Rτtr（x）dxI（τ）（G（τ）- V（τ））I（t）=1i=V（t）+e-Rttr（x）+u（x）dx（G（t）- V（t））。因此，对于经典的最优停止问题，在不允许随机化的情况下，从集合中任意时间选择TA都是最优的：At≡ arg maxu∈[t，n]E-Rutr（x）+u（x）dx（G（u）- V（u））.因为内部部分在[0，n]和G（n）上是连续的-) - V（n）-) <G（n）- V（n），那么At必须有一个最大的元素。用u表示这个元素*, i、 让我们*（t）≡ 麦克斯在，这样你*（t） 是最新的最佳出发时间。让τ*= U*（t） I（u）*（t） ）+n（1- I（u）*（t） ））。我们通过：W（t）=supτ来确定最坏的储量W∈TtVτ（t）=Vτ*（t） 。通过类似于[10]第9章验证定理的证明，可以看出τ*即使我们允许随机投降策略，也是最优的。现在，假设一个函数族hθ是隐含的。设τθ表示在时间u投降的投降策略，强度为νθ（u）=hθ（G（u）-Vνθ（u））并设Vθ=Vνθ，其中Vνθ在第节中定义。3.设hθ（x）≡ supy≤xhθ（y）和hθ（x）≡ 英菲≥xhθ（y）。现在，定理5.1假设每个θ≥ 0我们已经定义了hθ，因此我们可以使用定理3.1，并假设放弃值G在[0，n]上与G（n）连续-) ≤ V（n）-) G（n）=0。也假设x<0:hθ（x）→ 0, θ → ∞, （6） 对于x>0:hθ（x）→ ∞, θ → ∞. （7） 然后，对于每一个t∈ [0，n]：Vθ（t）→ W（t），θ→ ∞.有关证据，请参见附录。备注5.1证据中的一些细节已被省略，但[6]中可能会找到一个完整的详细证据，该证据遵循与美国看跌期权结果密切相关的相同推理。惩罚方法提供收敛性和收敛速度这一事实并不新鲜。然而，我们发现我们的文章和[6]有趣的证据。

这是因为他们将误差项视为投保人的经济损失选择的概率乘以投保人面临的损失。6数字示例在本节中，我们展示了四个例子，说明在四种不同的利率情况下，各种退保模型如何影响准备金的开发。在每一个例子中，我们考虑一个保费强度为π=7000，死亡金额为bad=10000000，养老金金额为2000000的合同。所有测量值均以丹麦克朗为单位。选择这些数字是因为它们具有丹麦养老金政策的现实水平。对于相当现实的数字，我们除以10。假设投保人在时间0时为35岁，退休时间为65岁。时间以年为单位，假设她的死亡强度为：u（t）=0.0005+105.728-10+0.038*（t+35）。这是丹麦生命表G82中女性的死亡强度。如果保单持有人放弃合同，她将收到技术储备给出的放弃价值。技术储备基于与合同相同的付款，以及^r=0.05的技术利率强度。选择高利率是为了更好地形象化选择屈服强度的影响。我们不承担投降时的额外费用。因此，屈服值由微分方程给出：G（t）=^rG（t）+π- u（t）（坏的- G（t）），（8）与G（n）-) = 2, 000, 000.

我们考虑了以下五种投降模型：模型a：νa（t）=0.05·exp{0.000003（G（t）- Vθ，ψ（t））}模型b:νb（t）=0.05·1（G（t）-Vθ（t））模型c:V c（t）=0.05模型d:V d（t）=0模型e:V e（t）=5·1（G（t）-Vθ（t））。前三个模型基于约5%的投降强度。最后一个模型是一个理性参数θ=5的模型，我们发现它足够高，可以近似最坏情况下的储量。此外，我们还考虑了用于市场储备定价的利率r的四种不同发展。对于两种第一种利率情况，我们比较了五种不同的退保模型的退保价值和准备金。对于最后两种利率情况，我们比较了退保模型d和模型e的退保价值和准备金。示例1：市场利率高于技术利率假设r=0.12。保护区开发情况如图5所示。在这种情况下，对于投保人来说，在任何时间点都是最优的。最坏情况准备金对应于退保价值。最低储备是基于不退保的市场储备，d型。有退保机会的d型之间有储备。由于不存在过早投降的风险，因此模式b和传统模式c没有区别。对于模型a，我们得到的储量略高于模型B和模型c，因为在所有时间点，基本强度0.05都会随着强度的指数因子而略有增加。例2：假设r=0.02，市场利率低于技术利率。保护区开发情况如图6所示。在这种情况下，投保人放弃保单永远不是最佳选择。

最坏情况下的储备相当于没有退保的市场储备。在模式b和模式e中，投保人不会在不可盈利的情况下错误地续保，因此，这具有同等高的准备金。退保价值为最低值，a型和传统c型储量介于两者之间。模型a比模型C具有更高的储备，因为基本强度0.05在所有时间点都会随着强度的指数因子而略微增加-200.00002000.000400.000600.000800.0001.000.0001.200.0001.400.0001.600.0001.800.0002.000.0000,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 VABC图5：示例1。技术利率为^r=0.05。市场利率r=0.12。立即投降总是最好的。例3：假设r（t）=0.10·（t），市场利率正在下降≤20） +0.04·1（t>20）。我们捕捉到的定性特征是利率向下穿过担保利率。保护区开发情况如图7所示。在这种情况下，如果退保价值高于模型d中没有退保的市场储备，则最好退保。因此，在时间t=20后，由于技术利率高于市场利率，最好保持合同。就在时间t=20之前，市场利率高于技术利率，但这只是很短的一段时间，因此为了从技术利率中获益，保持政策仍然是最佳选择。在时间t=20之前的某个点，模型d的退保价值和市场储备相交。

在这段时间之前，最好是延期，因为在时间t=20之前，高市场利率带来的收益高于低市场利率带来的未来损失。总的来说，最坏情况准备金是放弃价值和不放弃的市场准备金的最大值。例4：假设r（t）=0.01·（t），市场利率正在上升≤20） +0.065·1（t>20）。我们捕捉到的定性特征是利率高于担保利率。自然保护区开发4200。000400.000600.000800.0001.000.0001.200.0001.400.0001.600.0001.800.0002.000.0000,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 VABC缺陷图6：示例2。技术利率为^r=0.05。市场利率r=0.02。投降从来都不是最佳选择。如图8所示。在这种情况下，在时间t=20之后，投降是非常及时的。在时间t=20之前，最好计划在时间t=20时投降。通过这种策略，当市场利率较低时，投保人可以从t=20之后的高市场利率和t=20之前的技术利率中获益。因此，与前三个例子不同，最坏情况准备金不再是退保价值和不退保的市场准备金的上限。在t=20之前，最坏情况准备金高于其他两种准备金，因为存在一种退保策略，它比立即退保和不退保更适合保单持有人。我们记得，当合理性参数收敛到单位时，模型a和模型b的储量收敛到最坏储量。

因此，如果合理性参数非常高，且利率的未来增长非常高，则模型a和模型B的储量将高于模型d的退保价值和市场储量的最大值，且不退保。0200.000400.000600.000800.0001.000.0001.200.0001.400.0001.600.0001.800.0002.000.0000,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00V图7：示例3。技术利率为^r=0.05。市场利率r（t）=0.10·1（t≤20） +0.04·1（t>20）。如果退保价值高于没有退保的市场储备，则退保是最优的。参考文献[1]Bacinello AR（2003）担保人寿保险参与合同嵌入退保期权的公平估值。J风险保险70（3）：461-487。内政部：10.1111/1539-6975。t01-1-00060[2]Buchardt K，Moller T（2013）寿险现金流与保单持有人行为，预印本（已提交），可在http://www.math.ku.dk/buchardt/[3] Buchardt K，Moller T，Schmidt KB（2013）半马尔可夫人寿保险体系中的现金流和保单持有人行为。《斯堪的纳维亚精算师杂志》6:765-[4]埃林·M，基森鲍尔D（2014）哪些保单特征决定了人寿保险失效？对德国市场的分析。J风险保险81（2）：241-269。内政部：10.1111/j.1539-6975.2012.01504。x[5]Forsyth PA，Vetzal KR（2002）使用惩罚方法评估美式期权的二次收敛性。暹罗科学计算杂志23（6）：2095–2122。doi:10.1137/S106482750382240200.000400.000600.000800.0001.000.0001.200.0001.400.0001.600.0001.800.0002.000.0000,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 V图8：示例4。技术利率为^r=0.05。市场利率r（t）=0.01·1（t≤20） +0.065·1（t>20）。在时间t=20之后，投降的时机已经到了。在t=20之前，明智的做法是计划在t=20时投降。[6] Gad KST，Pedersen JL（2014）。