预备役自首

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英文标题：
《Reserve-Dependent Surrender》
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作者：
Kamille Sofie T{\\aa}gholt Gad, Jeppe Juhl, Mogens Steffensen
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study the modelling and valuation of surrender and other behavioural options in life insurance and pension. We place ourselves in between the two extremes of completely arbitrary intervention and optimal intervention by the policyholder. We present a method that is based on differential equations and that can be used to approximate contract values when policyholders exhibit optimal behaviour. This presentation includes a specification of sufficient conditions for both consistency of the model and convergence of the contract values. When not going to the limit in the approximation we obtain a technique for balancing off arbitrary and optimal behaviour in a simple, intuitive way. This leads to our suggestions for intervention models where one single parameter reflects the extent of rationality among policyholders. In a series of numerical examples we illustrate the impact of the rationality parameter on the contract values.
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中文摘要：
我们研究了人寿保险和养老金中退保和其他行为选择的建模和评估。我们将自己置于完全任意干预和投保人最佳干预两个极端之间。我们提出了一种基于微分方程的方法，当投保人表现出最优行为时，该方法可用于近似合同价值。本演示包括模型一致性和合同价值收敛性的充分条件说明。当在近似中没有达到极限时，我们可以通过一种简单、直观的方式来平衡任意和最优行为。这就引出了我们对干预模型的建议，其中一个参数反映了投保人的理性程度。在一系列数值例子中，我们说明了合理性参数对合同价值的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Reserve-Dependent_Surrender.pdf (1.42 MB)

2022-5-7 05:35:52 上传

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关键词：预备役 intervention Mathematical Quantitative Differential

依赖储备的退保者卡米尔·阿格霍尔特·加德（1）、杰佩·朱尔（2）、莫根斯·斯特芬森（1）（（1）哥本哈根大学，（2）埃德伦德A/S）摘要我们研究了人寿保险和养老金中退保和其他行为选择的建模和评估。我们将自己置于完全任意干预和投保人最佳干预两个极端之间。我们提出了一种基于微分方程的方法，当投保人表现出最佳行为时，该方法可用于近似合同价值。本演示包括对模型一致性和合同价值收敛性的充分条件的说明。当近似值没有达到极限时，我们可以用一种简单直观的方法来平衡任意和最优行为。这就引出了我们对干预模型的建议，其中一个参数反映了投保人之间的理性程度。在一系列数值例子中，我们说明了合理性参数对合同价值的影响。关键词：行为期权、普通微分方程、惩罚方法、最优停止、偿付能力II简介现代偿付能力和会计规则（偿付能力II和IFRS）要求考虑预期投保人行为。这包括预期退保和预期转帐到免费保单（已付保单）。预期应同时考虑行为发生的经济条件以及干预对投保人的好处。随着时间的推移，经济状况以及投保人进行干预的好处可能会发生变化。因此，在精算估值公式中对这些影响进行形式化时，应该恰当地谈论动态行为模型。不断变化的经济状况可能导致。

一个想法是让干预的强度或概率取决于当前（可能是随机的）利率水平。通过干预的收益，可以正式确定行动的益处。确定收益可能是一个微妙的问题，因为无论是干预还是不干预opensup，未来都必须考虑新的干预选项。例如，不投降通常会为以后的投降打开大门，而自由政策的转录会改变投降选项的效果。这个挑战需要一个递归的解决方案，以便收益总是正确地衡量未来干预的趋势。我们通过假设确定性利率来忽略经济状况，并将重点放在后一个递归公式的概念上，以处理干预的好处。这种关注的一个动机可能是，外部经济条件应该与内部效益接近。存在一系列行为风险建模方法。一个极端是说干预是以完全任意的方式发生的，就像保险风险一样。在此，我们的意思是，我们将该行为建模为独立于我们模型中的所有其他内容，而不是投保人的状态和通过日历时间、投保人的年龄、自投保之日起的时间或（确定的）退休时间测量的时间。具体而言，行为既不取决于投保人持有的合同，也不取决于利率。有了这种方法，除了在生存模型中加入投降之外，还可以研究各个方面。Buchardt等人。

[3] 研究了保险风险和行为风险的半马尔可夫模型之间的形式化相互作用，包括残疾状态下死亡率和报酬的持续时间依赖性，以及认识到免费保单报酬的持续时间依赖性。Buchardt和Moller[2]中有一个更简单的解释。Henriksen等人[9]还结合了退保和免费保单选项，研究了保险风险和行为风险之间依赖性的不同简化假设对准备金的影响。另一个极端是说干预是以一种完全理性、最优的方式进行的。我们的意思是，投保人被认为拥有与保险公司相同的信息，根据一种使保险合同价值最大化的策略进行干预。斯特芬森[13]采用了这种方法，他推导了一般变量不等式，在保险风险的多状态马尔科夫模型和行为风险的多状态模型的情况下，刻画了准备金的特征。在退保案例中，这被称为美国退保风险期权定价。其他基于这种放弃风险方法的早期参考文献包括阿雷格罗森、约根森[8]和巴西内洛[1]。在这两个极端之间，存在着各种不同的模型，其中干预是由强度模拟的，但强度不仅取决于时间，还取决于一些随机因素。对利率的依赖似乎很明显，德乔瓦尼[7]对此进行了彻底的研究，他通过数值求解偏微分方程来计算储量。

有大量文献对相关解释变量进行了研究，但由于这些研究似乎对我们的方法有些边缘化，我们参考了埃林和基森鲍尔[4]以及其中的参考文献，以获得全面的文献综述。与其让强度取决于外部因素，不如让强度取决于与特定政策相关的内部因素。例如，这可能是将退保价值和（某些概念的）准备金之间的差异作为干预措施的效益衡量。如果准备金与退保价值的比较未考虑未来干预选项，则计算可分为两个标准练习：首先，在不干预的情况下计算准备金，然后将该准备金插入包括退保在内的计算强度中。在一般情况下，储备与非干预性的方程式相比，通常是线性的。非线性项来自与退保事件相关的风险溢价，该退保事件包含准备金本身的非线性函数。

本文的基本原理是深入研究这一非线性微分方程，以便对其进行激发、解释、推广和数值求解。最后但并非最不重要的一点是，我们提供了一个概率证明，并澄清了收敛结果的有效性条件，这种收敛结果可能直观地清晰可见：如果干预收益为负时，干预倾向于零，而干预收益为正时，干预倾向于一致，那么我们将在完全理性的行为基础上达到储备的极限。我们建立了强度的充分收敛性，以得出这样的结论。因此，我们的干预期权定价方法有两个目的：首先，它本身代表了介于两个极端之间的一种相关方法，当然，它考虑了干预对投保人的好处程度。其次，对于强度的简单参数形式，我们的计算近似于最大可能的责任。因此，它可以用作最坏情况或屈服风险的压力计算。通过微分方程的一系列解来逼近最大值的思想被称为惩罚法。在计算金融中，它被用作美国期权定价的近似方法。在Forsyth和Vetzal[5]中，将惩罚法与美式看跌期权定价的替代技术进行了比较。在Gadand Pedersen[6]中，非理性期权持有人行为的建模方法与本文的研究方法类似。本文的贡献有三个方面：首先，据作者所知，我们首次介绍了保险干预期权定价中的惩罚方法。其次，我们证明了收敛性成立的充分条件。

第三，我们不仅认为强度模型是一种近似最大价值的方法，而且认为它是一种与一般干预期权定价高度相关的方法，在会计和偿付能力方面很有用。该方法以简单的形式平衡了稀缺性和效益，在一些例子中，我们在一个参数中捕捉到了合理性的概念。2.标准设置考虑一个模型，其中投保人要么活着（活跃），要么死了。我们假设投保人的状态受具有确定性、连续死亡强度u（t）的状态过程控制，见图1。让我来表示投保人是否还活着，让N来计算投保人的死亡人数。投保人是激活的adu（t）图1：标准生存模型。假设有以下简单的合同。她以持续的强度π（t）支付决定论溢价，直到终点时间n，只要他活着。如果她在时间n时还活着，她会得到一个确定的养老金sumba（n），如果她在死亡之前去世，她会得到一个确定的死亡总数bad（t）。因此，时间间隔[0，t]内的累计支付由以下累计支付过程给出：B（t）=B（0）-Ztπ（u）I（u）du+Ztbad（u）dN（u）+I（n）ba（n）1（t≥n） ，给t∈ [0，n]。我们假设市场提供了一个确定性的、连续的利率r（t）。我们引入与活跃保单持有人对应的准备金，作为未来支付的条件预期现值，V（t）=E锌矿-Rutr（τ）dτdB（u）I（t）=1.然后我们知道，例如，从[11]中，储备V在[0，n]上是连续可微的，它是蒂尔微分方程V（t）=r（t）V（t）+π（t）的解- u（t）（坏（t）- V（t）），（1）与V（n）-) = 文学士（n）。我们现在在模型中增加了投保人投降的可能性。

也就是说，我们增加了投保人终止合同并收到确定的连续退保值G（t）的可能性。例如，可以通过假设投保人随时以某种确定的、连续的强度v（t）投降，将其添加到模型中，见图2。当政策生效时，我们使用“主动”一词。投降ν（t）ActiveDeadu（t）图2：标准投降模型。从数学上讲，在这个模型中，投降状态与死亡状态没有区别，只是相关的支付是不同的。Thereserve，Vν，是连续可微的，并解出以下Thiele’s微分方程，参见例[11]，Vν（t）=r（t）Vν（t）+π（t）- u（t）坏（t）- Vν（t）- ν（t）（G（t）- Vν（t）），（2）与Vν（n）-) = 文学士（n）。为了使vv连续可微，我们通常需要如上所述，vv是连续的。然而，真正需要的是ν（t）（G（t）- Vν（t））是连续的，即使在G（t）=Vν（t）的点处，V是不连续的，并且正确定义时，也可以得到。投降值G可以是任何外来的东西。在实践中，它通常是基于利率和强度的技术性消费的同一支付流的技术价值，我们用（r）表示*, u*). 在这种情况下，退保价值为技术储备V*用（r，u）代替（1）得到*, u*).3依赖准备金的退保即将出台的Solvency II法规要求重新审视退保的传统模型。《偿付能力II指令》第79条规定，“保险和再保险企业就投保人行使合同的可能性做出的任何假设，包括失效和退保，都应是现实的，并基于当前可靠的信息。

这些假设应明确或隐含地考虑财务和非财务条件的未来变化可能对这些期权的行使产生的影响”。因此，我们需要调查和建模投保人选择退保的影响，我们需要能够在更先进的模型中计算准备金。在本节中，我们建议一种方法，并讨论我们的方法。在一个更现实的投降模型中，我们希望能够表达投降可能受到支持程度的影响，但它仍然是随机的。一方面，我们希望退保受其有利程度的影响，因为退保是投保人做出的决定。另一方面，我们也有很多理由认为投降是随机的。随机性是很自然的，因为投保人很可能缺乏信息来决定什么是有利的。即使她拥有养老基金拥有的所有信息，并且能够使用这些信息，但由于投保人的个人偏好和经济状况，她的偏好似乎与养老基金建立的模型存在随机差异。她可能会换工作，从一个新的养老基金中获得福利，或者她可能需要现金离婚。我们可以通过强度来模拟投降，从而在我们的模型中获得随机性。此外，我们还通过让退保强度取决于投保人退保的有利程度，建立了投保人的决策取决于退保的有利程度的模型。如果她放弃SAT时间t，她获得G（t），但她失去了合同的其余部分，包括她以后行使的权利。因此，她失去了Vν（t）。因此，我们用G（t）表示- Vν（t）她在时间t投降的优势。我们希望在这个优势中，退伍军人的强度是非负的，并且不断增加。

首先，这种建模似乎存在一个问题，即对曲线强度的定义是圆形的。然而，下面的定理3.1给出了这个循环定义不成问题的充分条件。定理3.1对于一些给定的非负函数h，考虑函数U中的下列微分方程：U（t）=r（t）U（t）+π（t）- u（t）（坏（t）- U（t））- h（t，U（t））（G（t）- U（t）），（3）与U（n）-) = B（n）。假设（3）有一个唯一的解U，并且由ν（t）确定≡ h（t，U（t））。然后，当政策持有者选择在时间t以强度ν（t）投降时，U是储备。证据：该模型中可能存在的问题是对回旋强度的循环定义。然而，（2）和（3）的解的存在性和唯一性确保了这不会成为问题。由ν（t）定义的过程≡ h（t，U（t））由（3）唯一确定，然后储备由（2）唯一确定。从U的定义可以得出U解（2），然后从解的唯一性到（2），可以得出U给出的保留。一旦我们确定了一个具有特定保单和函数h的投保人，从而也确定了ν，那么对于这个单一投保人，我们的模型与经典模型（2）中具有确定性时间依赖投降强度的模型没有区别。然而，当我们使用该模型为一组保单持有人的保险合同组合定价时，该模型会为每个保单持有人分配不同的退保强度。因此，与我们对整个投资组合使用恒定的退保强度或特定的时间依赖的退保强度相比，储备通常会变得更高。投降强度和支持度之间的关系可能有许多不同的选择方式。