预备役自首

依赖于收益的美国看跌期权练习，预印本，可在arxiv获得。org/abs/1410.1287[7]De Giovanni D（2010）。失效率建模：一种理性预期方法。斯堪的纳维亚保险精算师杂志2010（1）：56–67[8]格罗森A，约根森PL（2000）。人寿保险负债的公平估值：利率担保、退保期权和奖金政策的影响。保险数学经济学26（1）：37–57[9]亨利克森LFB，尼尔森JW，斯特芬森M，斯文森C（2014）。人寿保险和养老金中投保人行为的马尔科夫链模型。欧元精算师J 4（1）：1-29。doi:10.1007/s13385-014-0091-2[10]Kyprianou A.E.（2006）关于Levy过程波动和应用的介绍性讲座。Springer[11]Moller T，Ste ffeensen M（2007）寿险和养老保险中的市场估值方法。剑桥[12]Shiryayev AN（1978）最优停车规则。Springer Verlag[13]Ste ffeensen M.（2002）人寿保险中的干预选项。Insure MathEcon 31:71–85A定理5.1的证明分为两部分。与基于νθ的停车时间在最佳时间u之前放弃的风险相关的一部分*另一部分与最佳时间u后基于νθ的停止时间放弃的风险有关*. 因此，我们定义了一个中间储量Wθ。与Wθ相关的投降策略类似于与Vθ相关的投降策略。唯一的区别是，与Wθ相关的策略不会在最佳时间之前屈服。从数学上讲，我们做出以下定义。设^τθ，t为保单持有人在时间u以强度νθ（u）1（u）退保的停止时间≥U*（t） ）。我们可以通过引入停止时间^τiθ，t（由^τθ，t递归给出）以一种方便的方式写出这个停止时间≡ 0和^τiθ，t对于i∈ N以强度νθ（u）1（u）投降≥^τi-1θ，t）。

通过这些定义，我们得到：（I，^τθ，t）d=（I，∞Xi=1^τiθ，t（^τi）-1θ，t<u*（t）≤^τiθ，t））。这个恒等式来自更新理论和指数分布的无记忆性。它说，无论我们是否在最佳时间之前将“退保强度”设置为零，或者我们是否让投保人每次在最佳时间之前即将退保时都后悔自己的决定，这都无关紧要。我们指的是s∈ [t，n]通过Wθ（t，s）时的储备与投降策略^τθ，t有关。然后，从上面的恒等式我们发现Wθ（t，s）=V（s）+∞Xi=1EsE-R^τiθsr（u）+u（u）du（G（^τiθ）- V（^τiθ））1（^τi-1θ≤U*（t） <^τiθ）.第一部分：首先，我们展示了每个t∈ [0，n]：lim-infθ→∞Vθ（t）≤ lim-infθ→∞Wθ（t，t）。为了证明这一点，我们使用∈ [0，n]和ε>0，以下关于浇头时间的符号，τ：{τgood}={G（τ）- Vθ（τ）≥ 0}，{τok}={G（τ）- Vθ（τ）∈ [-ε、 0）}，{τbad}={G（τ）- Vθ（τ）<-ε}.因此，当保单持有人在相应时间可以退保时，停止时间τ被称为良好，当保单持有人在退保时损失超过ε时，停止时间τ被称为不良。下面，让我们来看看*≡ U*（t） 让^τiθ≡ ^τiθ，t。通过归纳，我们可以证明每m∈ N:Vθ（t）=V（t）+EtE-R^τθtr（u）+u（u）du（G（^τθ）- V（^τθ）≥ V（t）+mXi=1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（G（^τiθ）- V（^τiθ））1（^τi-1θ≤U*<^τiθ，^τθ，。。。，^τi-1θ（正常或良好）+EtE-R^τm+1θtr（u）+u（u）du（G（^τm+1θ）- V（τm+1θ））1（τmθ≤U*,^τθ,...,^τmθ正常或良好）+mXi=1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（G（^τiθ）- V（τiθ））1（τiθ≤U*,^τθ,...,^τi-1θok或good，^τiθbad）-εmXi=1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（^τiθ）≤U*,^τθ,...,^τi-1θok或良好，^τiθok）（9） 这个想法是，储备Vθ对应于技术储备V，加上投降的预期收益。我们调查如果执政者后悔投降会发生什么。

如果保单持有人在观察到的停止时间（^τθ）后悔退保，其影响取决于该停止时间是好是坏。如果停止时间合适，那么我们知道投降收益的价值至少与等待下一次投降的价值一样高，如果停止时间合适，那么我们知道投降收益的价值最多比等待下一次投降的价值低ε。在上述表达式中，我们在最佳时间之前对最多m个放弃可能性做出了这些判断。第一行中的总和对应于FIRSTM停止时间之一超过最佳时间u的情况*. 第二行的术语对应于所有第一个m停止时间都在最佳时间u之前的情况*, 他们都很好。在这种情况下，在第一次停车时放弃的收益值不高于等待第m+1次停车的收益值。第三行中的总和对应于第一次停车时间之一为BAD且在最佳时间u之前的情况*. 第四行的总和是对正常停车时间的ε-小损失的修正。如果我们显示相对于Wθ的界，而不是相对于技术储备V，那么我们得到以下表达式：Vθ（t）≥ Wθ（t，t）-∞Xi=1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（G（^τiθ）- V（^τiθ））1（^τi-1θ≤U*<^τiθ，J∈{1，…，我-1} ：^τjθ坏）-∞Xi=m+1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（G（^τiθ）- V（^τiθ））1（^τi-1θ≤U*<^τiθ，^τθ，。。。，^τi-1θ（正常或良好）+EtE-R^τm+1θtr（u）+u（u）du（G（^τm+1θ）- V（τm+1θ））1（τmθ≤U*,^τθ,...,^τmθ正常或良好）+mXi=1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（G（^τiθ）- V（τiθ））1（τiθ≤U*,^τθ,...,^τi-1θok或good，^τiθbad）-εmXi=1EtE-R^τiθtr（u）+u（u）du（^τiθ）≤U*,^τθ,...,^τi-1θok或良好，^τiθok）.在θ、ε和m的极限下，Wθ是唯一不收敛于0的项。

要看到这一点，请注意存在一些K>0，对于allu∈ [t，n]：G（u）- V（u），∈ [-K、 K]和G（u）- Vθ（u）∈ [-K、 K]。也就是说，对于任何停止时间，调整G- V以K为界。因此，我们可以通过用-K乘以相应事件概率的上限：Vθ（t）≥ Wθ（t，t）- KPt(J∈ N：^τjθ坏，^τjθ≤ U*) - K∞Xi=m+1Pt（^τi）-1θ≤ U*< ^τiθ）-KPt（τmθ）≤ U*, ^τθ, . . . , ^τmθ正常或良好）- KPt(J∈ N，τ：差≤ U*)-εmXi=1Pt（^τiθ）≤ U*, ^τiθok）≥ Wθ（t，t）- K（1）- e（n）-t） \'hθ(-ε)) - K∞Xi=m+1Pt（^τi）-1θ≤ U*< ^τiθ）-KPt（τmθ）≤ U*) - K（1）- e（n）-t） \'hθ(-ε)) - εn.给定θ和ε，那么这对每n都成立。因此，第二个和可以非常小，Pt（^τnθ）也可以非常小≤ U*), 后者是因为给定θ，那么屈服强度有界于[0，n]，因此u之前的^τiθ的数量分布*以泊松分布为界。因此：lim-infθ→∞Vθ（t）≥ lim-infθ→∞Wθ（t，t）。我们从上面的计算中发现，下限成立，因为Wθ和Vθ的放弃策略只受Wθ策略的影响，在最佳时间之前后悔每一次放弃。这种差异的影响是有限的，因为以下主要原因：由于（6）的原因，不良停车时间的概率在极限范围内收敛为零。在最佳时间确定之前，正常或良好停止时间的数量。后悔停车时间过得好会降低价值。正常停车时间的遗憾影响范围为ε。最后，通过技术计算证明，ε的收敛并不能抵消（6）收敛的影响。第2部分：考虑一些任意的t∈ [0，n]。

我们希望证明：Wθ（t，t）→ W（t），θ→ .让你*≡ U*（t） ^τθ=^τθ，t，注意，由于投保人与Wθ相关，W和Vθ在时间u之前表现类似*, 那么t时刻的收敛对应于u时刻的收敛*. 这是从：W（t）- Wθ（t，t）=EtE-汝*tr（u）+u（u）du（G（u）*) - V（u）*))-E-R^τθtr（u）+u（u）du（G（^τθ）- V（τθ）i=e-汝*tr（u）+u（u）du（W（u）*) - Wθ（u）*, U*))= E-汝*tr（u）+u（u）du（W（u）*) - Vθ（u）*)).因此，证明Vθ（u*) → W（u）*) 当θ→ ∞. 或者存在一些ε>0和一些序列（θi）i∈为了实现统一，我∈ N:Vθi（u）*) < W（u）*) - 2ε. 因此Vθi（u*) <G（u）*) - 2ε.只要Vθi<G，Vθi的导数在i上一致有界。因此，存在一些δ，使得Vθi（u）≤ G（u）- ε代表u∈ [u]*, U*+ δ].在这个时间间隔内，投降比等待的增益至少为ε，因此，在这个时间间隔内，投降的强度至少为θi（ε）。当V是连续的，那么，对于每一个ε>0，存在一些δ，使得（G（u*) - V（u）*)) - E-远程终端*r（u）+u（u）du（G（t）- V（t））≤ ε表示t∈ [u]*, U*+ δ].也就是说，如果放弃发生在最佳时间的时间δ内，则延迟损失最大为ε。现在，让δ=δ∧ δ. 然后，根据^τθiinstof，在最佳时间的放弃损失按以下方式有界：W（u*) - Vθi（u）*)= E（G（u）*) - V（u）*)) - （G（^τθi）- V（^τθi））e-R^τθiu*r（x）+u（x）dx^τθi≤ δP（^τθi）≤ δ） +E（G（u）*) - V（u）*)) - （G（^τθi）- V（^τθi））e-R^τθiu*r（x）+u（x）dx（^τθi）≤ δ） cP（（^τθi）≤ δ） c）≤ ε+E（G（u）*) - V（u）*)) - （G（^τθi）- V（^τθi））e-R^τθiu*r（x）+u（x）dx（^τθi）≤ δ） cE-εh（θi）≤ ε+2Ke-δhθi（ε）。因此Vθi（u*) → W（u）*) asθ→ ∞, 结果如下。