超越平方根：市场对数依赖性的证据

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英文标题：
《Beyond the square root: Evidence for logarithmic dependence of market
  impact on size and participation rate》
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作者：
Elia Zarinelli, Michele Treccani, J. Doyne Farmer, Fabrizio Lillo
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We make an extensive empirical study of the market impact of large orders (metaorders) executed in the U.S. equity market between 2007 and 2009. We show that the square root market impact formula, which is widely used in the industry and supported by previous published research, provides a good fit only across about two orders of magnitude in order size. A logarithmic functional form fits the data better, providing a good fit across almost five orders of magnitude. We introduce the concept of an \"impact surface\" to model the impact as a function of both the duration and the participation rate of the metaorder, finding again a logarithmic dependence. We show that during the execution the price trajectory deviates from the market impact, a clear indication of non-VWAP executions. Surprisingly, we find that sometimes the price starts reverting well before the end of the execution. Finally we show that, although on average the impact relaxes to approximately 2/3 of the peak impact, the precise asymptotic value of the price depends on the participation rate and on the duration of the metaorder. We present evidence that this might be due to a herding phenomenon among metaorders.
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中文摘要：
我们对2007年至2009年间美国股市执行的大订单（元订单）的市场影响进行了广泛的实证研究。我们表明，平方根市场影响公式在行业中得到广泛应用，并得到了之前发表的研究的支持，它仅在订单规模的两个数量级上提供了良好的拟合。对数函数形式更适合数据，在几乎五个数量级上提供了良好的拟合。我们引入“影响面”的概念，将影响建模为元序的持续时间和参与率的函数，再次发现对数相关性。我们表明，在执行期间，价格轨迹偏离了市场影响，这是非VWAP执行的明确迹象。令人惊讶的是，我们发现有时价格在执行结束之前就开始回升。最后，我们表明，虽然平均而言，影响放松到峰值影响的约2/3，但价格的精确渐近值取决于参与率和元序的持续时间。我们提出的证据表明，这可能是由于元目之间的羊群现象。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Beyond_the_square_root:_Evidence_for_logarithmic_dependence_of_market_impact_on_.pdf (4.5 MB)

2022-5-7 05:43:02 上传

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关键词：平方根 依赖性 Quantitative logarithmic Approximate

超越平方根：市场影响对规模和参与率的对数依赖性证据埃利亚·扎里内利、米歇尔·特雷卡尼2,3、J.多因·法默尔4,6和法布里齐奥·利洛3,5,6上市公司，途经卡杜奇20号、的里雅斯特、I-34127号、伊塔莱米迪奥班卡S.p.A、皮亚泽塔E.Cuccia 1号、20121米兰、意大利昆特拉布、途经皮特拉桑蒂纳123号、56122号比萨、，伊塔利新经济思想研究所，牛津马丁学院和数学研究所，牛津大学沃顿韦尔路鹰屋，牛津大学牛津分校，金多姆斯库拉师范高等联合会，卡瓦列里广场7号，56126比萨，伊塔利桑塔Fe研究所，1399海德公园路，圣达菲，新墨西哥州87501，12月9日，2014年摘要我们对2007年至2009年间美国股市执行的大订单（元订单）的市场影响进行了广泛的实证研究。我们发现，在行业中广泛使用的平方根市场影响公式（square rootmarket impact formula）得到了之前发表的研究的支持，它仅在订单规模的两个数量级上提供了一个很好的结果。对数函数形式能更好地拟合数据，在几乎五个数量级上提供良好的拟合。我们引入了“影响面”的概念，将影响建模为元序的持续时间和参与率的函数，发现存在对数依赖关系。我们表明，在执行期间，价格轨迹偏离了市场影响，这是非VWAP执行的明确迹象。令人惊讶的是，我们发现，有时价格在执行结束之前就开始回升。最后，我们表明，虽然平均而言，影响放松到峰值影响的约2/3，但价格的精确渐近值取决于参与率和元顺序的持续时间。我们提出的证据表明，这可能是由于元目之间的羊群现象。内容1引言32定义和数据62.1定义。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2元订单执行数据。72.3市场价格数据。92.4元顺序统计。93市场影响的启发式模型123.1阿尔姆格伦-克里斯模型。123.2传播者模型。134市场影响的测量164.1市场影响曲线：检验平方根公式。164.1.1根据市场影响推断潜在订单。194.2市场影响面：超出平方根公式。214.3元订单执行期间的市场影响。254.4冲击衰减和永久冲击。274.4.1元序自相关的作用。315基本模型的含义325.1 Toth等人的潜在订单法。335.2 Farmer等人的公平定价方法。335.3其他理论。345.4一些注意事项。346结论351介绍交易的市场影响，即。

价格的变化取决于签署的交易规模，是表征市场流动性的关键属性，对理解价格动态非常重要[1]。正如凯尔（Kyle）的开创性研究[2]从理论上所示，对于拥有资产未来价格私人信息的投资者来说，最佳策略是通过时间进行增量交易。该策略允许以更好的价格提前执行，并将执行成本降至最低。正如在最近的论文中所做的那样，我们将调用完整订单元订单和用于完成执行子订单的单个交易。在这里，我们研究了元订单的市场影响及其对其他属性的依赖性，如参与率和执行时间。凯尔最初的模型[2]预测，市场影响应该是超订单规模的线性函数，但这需要各种理想化的假设，在现实市场中可能会违反这些假设。实证研究一直表明，元订单的市场影响是其规模的非线性凹函数。市场影响的凹性是稳健的，在市场、时代和执行方式方面，可以观察到多个异构数据集[3]。大多数早期研究都得出结论，元指令的市场影响可以用市场影响的“平方根定律”来很好地描述[4,5,6,3,7,8,9]。平方根定律将市场影响I定义为一个规模的元顺序开始和结束之间的预期平均价格回报（或差异），表示I（Q）=±YσDQVDδ（1）式中，σd是资产的日波动率，vd是日交易量，对于买入（卖出）交易，元指令的符号为正（负）。数值常数Y是有序的，指数δ在0.4到0.7之间，但通常非常接近1/2，即平方根。请注意，唯一的调节变量是总体积Q。

这是令人惊讶的，因为这意味着完成元订单所需的时间和参与率对于解释市场影响并不重要——总订单规模Q才是最重要的。大多数关于市场影响的实证研究都使用基金或经纪公司的专有数据，因为对元指令影响的实证分析不能用公共数据进行。因此，绝大多数研究都依赖于对市场的局部看法。例外情况是参考文献。[10,11]其中考虑了整个市场，并根据经纪数据从统计学上重建了元订单。在本文中，我们对元指令的市场影响进行了广泛的实证研究，数据集包括在美国股市对大型、中型和小型资本化股票执行的数百万元指令。数据集是异构的，包含许多金融机构出于不同目的交易的元订单，数据集跨越数年（在本分析中，我们考虑的是2007-2009年）。本文的主要优点是元序的大量存在及其起源的异质性。市场影响非常嘈杂，数据集更大，也就是所谓的价格影响作者#of metaorders InstitutionAlmgren等人。[5]70万花旗集团Engle等人。[6]23万摩根斯坦利特等人。[3]50万CFMMastromatteo等人。[7]100万CFMBrokmann等人。[8]160万CFMMoro等人。[10]15万推断贝索瓦等人。[13]30万AllianceBernstein LPWaelbroeck等人。[12]13万variousBacry等人。

[9] 400000单经纪人表1：先前研究中考虑的元订单的大致数量，以及订单产生的相应交易机构。能够显著帮助减少统计不确定性；我们的数据集有近700万个超订单，比以往任何一项研究都要大四倍多。此外，该数据集中机构和经纪人的异质性保证了我们的结果不是单一执行策略的具体结果。为了在表1中进行比较，我们报告了之前文献中调查的金属订单的大致数量。很明显，我们的样本比迄今为止调查的典型尺寸大一个数量级以上。此外，与其他研究不同的是，基金和经纪人的组合规模庞大，且各不相同。数据集的主要缺点是，我们对执行的条件和特征知之甚少，也无法控制。我们不知道元订单是出于现金原因执行的，还是被告知的交易（如[12]）。同样，我们不知道经纪人使用的执行算法（即使如下图所示，我们可以从元订单执行期间的价格动态中推断出一些信息）。最后，我们不知道交易规模是否取决于元订单执行期间的价格变动，以及每日元订单是否是多天内较长执行的一部分。

所有这些影响都可能使样品产生偏差，并在观察到的冲击特性中发挥一定作用。在本文中，我们做了几件事，研究影响对订单大小和数量的比率以及其他条件变量的依赖性，影响随时间的变化，以及订单完成后价格的放松，详情如下。首先，我们测试平方根影响定律的有效性极限，方法是将其限制在变量上，例如股票的市值、参与率和执行期限。因为我们能够跨越方程1中Q/Vd比的五个数量级以上，所以我们能够比之前的研究更彻底地研究平方根定律的偏差。事实上，我们观察到Q/VD的大小值存在一致的偏差，这表明等式1的幂律关系仅近似有效。相反，我们发现对数函数（更凹）更适合数据。其次，正如一类一般的市场影响模型所建议的，我们研究了市场影响如何共同取决于元指令的持续时间F和参与率η。以交易量为单位测量时间，并假设VP是元订单执行期间整个市场的交易量，持续时间是分数量F=VP/VD，参与率是订单规模Q与执行时的市场量之比，即η=Q/VD。这意味着方程1中的条件变量Q/vd可以写成π≡QVD=qvpvd=F·η（2），因此等式1的平方根定律隐含地假设，影响仅取决于F和η乘积的平方根。我们将证明，这个假设只是近似的，更复杂的函数形状更好地描述了数据。

这种函数形式由animpact surface描述，它考虑了市场影响随参与率和执行时间的变化，或者三个变量π、η和F中的任意两个。我们表明，与幂律相比，对数更好地描述了影响对这些个体变量的依赖性。第三，我们考虑在执行元订单期间价格如何变化。最近的研究[10,13,12]发现，影响是时间的凹函数，即对于给定的执行规模，元订单的早期交易比后期交易更能改变价格。通过使用更大的数据集，我们证实了这一观察结果，但我们发现执行期间价格遵循的模式并没有反映出元顺序对大小的依赖。更明确地说，考虑两个参与率相同的元序，一个是另一个的两倍。当较大的元顺序执行到一半时，此时的影响是否与刚刚完成的较小元顺序相同？一般的答案是否定的：在那个时间点，较大的元序的影响将大于较小的元序的影响。有趣的是，在某些情况下，我们发现价格甚至在金属订单结束之前就开始恢复。我们讨论了这些发现的一些可能解释。最后，第四个问题涉及元订单结束后的价格动态。这个话题（凯尔[2]的原始论文中没有涉及）最近受到越来越多的关注[10,14,13,12,8]。几项研究表明，一旦执行了元秩序，市场影响就会从峰值放松，并收敛到一个平台[10,13,12]。回归表明并非所有的影响都是永久性的。

更重要的是，最近的一项研究表明，如果市场影响与后续元订单的影响和价格动量的影响进行适当的卷积，那么影响将降至零[8]。由于两个原因，难以衡量长期市场影响。首先，元订单结束后的价格非常嘈杂，仔细确定平均价格动态需要大量元订单样本。第二，如果连续的元指令（无论是由相同或不同的交易者）在符号上相互关联，可能很难分离出单个元指令的永久影响[8]。考虑到不同的参与率和持续时间，通过使用我们的大样本和异质样本，我们仔细测量了元序的永久影响。对于典型的元订单持续时间和参与率，我们发现，元订单结束后，价格下降到平均约为峰值影响的2/3，如[14]所示，并由[13]经验发现。然而，我们表明，测量的价格衰减取决于参与率和元订单的持续时间。基于经验证据，我们假设这种依赖性可以部分解释为羊群现象，因为在同一时间段执行的元指令往往具有类似的符号（买入或卖出）。因此，附近元序符号之间的关系可能是永久性撞击达到的板块水平的部分原因。论文的结构如下。在第2节中，我们介绍了变量的定义和平均程序。我们还讨论了数据集和一些描述性统计。第3节介绍了元订单执行过程中价格动态的一些模型，稍后用于理解经验发现。

在第4节中，我们展示了我们的实证结果，在第5节中，我们讨论了我们的实证结果对市场影响基本模型的影响。最后，在第6节中，我们得出一些结论。2定义和数据在本节中，我们定义了我们用来描述元订单执行的参数，以及我们用来量化市场影响的相对度量。在第二部分中，我们描述了我们的分析所依赖的数据库，并给出了一些元序的汇总统计数据。2.1定义日内财务数据的一个众所周知的事实是存在非常强的周期性。特别是，已知交易活动水平在交易日的不同时段之间存在显著且一致的变化，这种日内变化会影响交易量和价格差异。因此，就音量而言，开场一分钟与中午一分钟是完全不同的。为了考虑日内模式，在本文中，我们在体积时间内执行所有计算。这包括根据市场交易量向前移动时间。对于一个交易日，让V（t）为市场从开盘到（实际）时间t的总交易量。我们通过V=V（t）：=V（t）/V（tc）测量交易量时间，其中tc是每日收盘时间，V（tc）是当天交易量。物理时间t和体积时间v之间的关系与每日总体积无关。特别是，开盘时v=0，收盘时v=1。我们引入三个非本地参数来描述元订单买卖的执行( = ±1）物理时间间隔[ts，te]中的Q份额。参与率η定义为执行间隔η=QV（te）期间，元指令交易量Q与整个市场交易量之间的比率- V（ts）。