空间中径向对称边值之间的最优鞅输运

最后，如果u在任何点上都不指定正度量，我们将说u是连续的：对于每x，u（{x}）=0∈ R.当成本为欧几里德距离c（x，y）=| x时，一维情况下的以下定理如[20,6]所示- y |。通过严格遵循[6]中给出的思想，我们在下一节将其推广到成本类别（1.6）中，以应用于主要定理。提议3.1。假设∧ ν=0且u是连续的。设π为问题（1.3）的胺化子，d=1，代价为（1.6）。然后，存在一个单调集Γ，使得π（Γ）=1，并且对于每个x∈ XΓ，我们有ΓX|=2。因此，如果我们定义两个函数S:XΓ→ R和T:XΓ→ 由Γx={S（x），T（x）}和S（x）<x<T（x），则π集中在图（S）上∪图（T）。特别是，最小值是唯一的。证据设Γ为π的任何单调集，π（Γ）=1，并假设（x，y）-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ和y-< y′<y+。那我们就说Nethery-< x′<x≤ 也不是≤ x<x′<y+是可能的。应该是为了证明这一说法-< x′<x≤ y′并设0<t<1为ty-+ (1 - t） y+=y′。现在考虑函数g（z）=tc（z，y-) + (1 - t） c（z，y+）- c（z，y′）。如果-< z<y′，这变成（回忆c（x，y）=f（|x）- y |）G（z）=tf（z- Y-) + (1 - t） f（y）+- z）- f（y′）- z） 。通过求导，我们得到g′（z）=tf′（z）- Y-) - (1 - t） f′（y）+- z） +f′（y′）- z） =t[f′（z）- Y-) + f′（y）+- z） ]+[f′（y′）- z）- f′（y）+- z） ]。径向对称边缘8之间的Tongseok Lim/鞅我们观察到f′（y′）- z）- f′（y）+- z）≥ 0和f′（z）- Y-) + f′（y）+- z） >0，因此G′（z）>0。因此对于y来说-< x′<x≤ 我们有G（x′）<G（x），这是c（x′，y）-) + (1 - t） c（x′，y+）+c（x，y′）<tc（x，y-) + (1 - t） c（x，y+）+c（x′，y′）。这意味着，如果我们通过σ=tδ（x，y）定义测量σ-)+(1-t） δ（x，y+）+δ（x′，y′），那么通过定义ρ=tδ（x′，y），我们就有了一个成本高效的竞争对手ρ-)+ (1 -t） δ（x′，y+）+δ（x，y′）。

注意，ρ满足了σ竞争对手的假设。因此由引理2。2，（x，y）-), （x，y+，（x′，y′）∈ Γ与y-< y′<y+andy-< x′<x≤ y’不可能发生。案例y\'≤ x<x′<y+不能通过相似的推理发生。现在我们遵循[6]中的参数：假设集合A:={x∈ R:|Γx |≥3} 是数不清的。（|x |是集合Γx的基数）那么我们就有（x，y）-), （x，y+）（x，y）∈ Γ和y-< x<y<y+或y-< y<x<y+（重新命名）∩  = , 哪里 := {（x，x）|x∈ Rd}，因为∧ ν = 0). 假设第一种情况。[6]中的引理3.2表明，对于任何给定的ε>0，我们有（x′，y′）∈ Γ与x- ε<x′<x和| y′- y |<ε由A的不可数性得出。对于小ε，我们有第一个禁止情况，同样如果y-< y<x<y+那么我们有（x′，y′）∈ 带有x<x′<x+ε和y′的- y |<ε，第二个禁止案例，一个矛盾。因此A必须是可数的，因此通过u的连续性，A可以忽略不计。唯一性遵循通常的论点，即，如果π和π分别是由（S，T）和（S，T）实现的最优解，那么平均π+π也是最优的，因此它也必须由两个函数（S，T）实现。这意味着S（x）=S（x）和T（x）=T（x）对于ua.e.x，产生唯一性。实际上，我们可以更多地讨论最优鞅耦合的结构。我们注意到，本节的其余部分主要受[20]的推动。而[20]给出了一个非常详细的研究，例如鞅耦合的构造和代价c（x，y）=|x的对偶结果- y |，我们将在这里简单介绍，并在下一节中重点讨论主要定理（1.6）的代价类（1.3）的解的唯一性。请注意，在本节的其余部分中，我们不假设u的连续性。引理3.2。设我是一个有界区间I={a，b}并假设ν（I）=0。设π是问题（1.3）相对于代价（1.6）的极小值。

设dπ（x，y）=dπx（y）du（x），如果x∈ 一、 然后表示π+xa是πxon[b]的限制，∞) π-xasπxon的限制(-∞, a] 。然后x，x′∈ I和x<x′意味着sup（supp（π+x′）≤ inf（supp（π+x））和sup（supp（π-x′）≤ inf（supp（π）-x） ）。换句话说，集值函数x7→ supp（π+x）和x7→ supp（π）-x） 减少I.证明。设Γ是π的单调集，π（Γ）=1，YΓ∩ 我=. 如果x，x′∈我∩ XΓ和X<X′，那么我们声称sup（Γ+X′）≤ inf（Γ+x），其中Γ+x:=Tongseok Lim/径向对称边缘9Γx之间的鞅∩ [b]，∞). 如果没有，那么我们可以找到y′>y≥ b使得（x，y），（x′，y′）∈ Γ.由于π是鞅，我们也可以找到y′≤ a带（x′，y′）∈ Γ. 然后是con配置（x，y），（x′，y′，（x′，y′）∈ Γ被理论证明所禁止。1.矛盾。πx（Γx）=1∈ XΓ，π+X是Γ+X上的全部质量，因此sup（supp（π+X′）≤ inf（supp（π+x））。另一种情况是sup（supp（π-x′）≤inf（supp（π）-x） ）同样可以证明。我们可以将上述结果称为“局部递减性质”，即函数X 7→ supp（π+x）和x7→ supp（π）-x） 局部减小，即在任意间隔i上，其中ν（i）=0。因此，如果我们做以下假设，对于任何最优鞅输运，我们将具有全局递减性质。这个假设也是在[20]中提出的。分散假设。存在一个间隔I，使得u（I）=1和ν（I）=0。例如，两个凸阶高斯测度u，ν在u之后将满足该假设∧ 从每一个边缘中减去ν。现在我们观察到，在不假设μ的连续性的情况下，全局递减性质也会产生最优解的唯一性。提议3.3。假设分散假设。然后在MT（u，ν）中存在一个单质元素，它在引理3的意义上减少。2.类似地，MT（u，ν）中存在一个独特的递增元素。

特别是，在分散假设下，成本（1.6）是问题（1.3）的唯一解决方案。证据我们只需要证明递减性质唯一地决定了鞅π∈ MT（u，ν），因为增加的情况将类似。设我是一个有界区间I={a，b}让p:R→ Rbe投影到第二个坐标。为了x∈ R和π∈ MT（u，ν），定义ν-π、 x=p#（π）(-∞,x] ×(-∞,a] ），ν+π，x=p#（π）(-∞,x] ×[b，∞)).设νπ，x=ν-π、 x+ν+π，x注意到π，~π∈ MT（u，ν），π=~π<=> νπ，x=νπ，x每x∈ R.现在假设π、~π是问题（1.3）和fix的最优解∈ R.我们声称，νπ，x=νπ，x.要看到这一点，请观察引理3。2显然意味着-π、 x，ν+π，x必须集中在右边；也就是说，ν-π、 x，ν+π，x的形式必须是ν-π、 x=ν（s，a]+c-ν（{s}）δs，ν+π，x=ν（t），∞)+ 对于一些s，t，c+ν（{t}）δt（3.1）∈ R和0<c+，c-≤ 1.从那时起((- ∞, x] ）=| 124;ν-π、 x | |+|ν+π，x | |=| |ν-~π，x | | |+| |ν+|π，x | |，正确的浓度特性（3.1）意味着-π、 x≥ ν-~π，x和ν+π，x≤ ν+π，x或ν-π、 x≤ ν-~π，x和ν+π，x≥ 在径向对称边缘10之间，让我们假设第一种情况。现在π是鞅测度的事实，特别适用于zy du(-∞,x] （y）=Zy d（νπ，x），当然还有du(-∞,x] （y）=Ry d（νπ，x）也是。HenceZy d（νπ，x）- ν∧π，x）（y）=Zy du(-∞,x] （y）-Zy du(-∞,x] （y）=0=>Zy d（ν）-π、 x- ν-~π，x）（y）=zyd（ν+~π，x）- （x，π）。但正如我们假设的第一种情况，两个-π、 x- ν-~π，x，ν+~π，x- ν+π，xare集中在不相交区间上的非负测度(-∞, a] ，[b，∞) 分别地因此，最后一个恒等式意味着两个度量都必须为零，即ν-π、 x=ν-■π，x和ν+■π，x=ν+π，x。证明了这个主张，从而提出了这个命题。特别是假设u，ν相对于原点的对称性：推论3.4。

如果u，ν相对于原点对称，则在定理3的假设下。1或3.3，最优鞅耦合是唯一的，且相对于原点对称。证据我们可以直接证明它，或者让η成为定理3中的最佳耦合。1或3.3，设ζ=（η+η′）是η的对称化，其中η′是η相对于原点的反射。那么ζ也是最优的，所以通过唯一性，η=ζ。高维最优鞅输运的结构我们研究了使ef（|X）最小的一维鞅输运的结构- Y |），尤其是当μ是连续的或分离假设成立时，其唯一性。在这一节中，我们将介绍运输计划对称化的概念，然后提出一种变分法，将径向对称边界下的高维问题简化为一维问题。4.1. 运输计划的对称化和R-等价在这一节中，我们介绍了Rd上概率测度空间上的R-等价的概念和运输计划的对称化的概念（即Rd×Rd上的概率测度）。这些想法将对理论的提出起到至关重要的作用。2.首先，我们在Rd上的概率测度空间上引入了R-等价的概念。设m（x）=| x |是Rd.Tongseok Lim/鞅上径向对称边缘之间的模映射11定义4.1。RDM上的概率测度σ和ρ称为R当量ifm#（σ）=m#（ρ），即σ和ρ在任何环空上包含相同的质量。也就是说，对于任何B R+和任意AB:={x∈ Rd | | x |∈ B} 我们有σ（AB）=ρ（AB）。在这种情况下，我们写σ~=Rρ。

我们将Rσ定义为满足Rσ的唯一径向对称性概率测度~=Rσ。由于径向对称测度与R+上的测度之间存在一对一的对应关系（即，任何径向对称测度σ都以m#（σ）为特征），因此Rσ的定义是正确的。设O（d）为维度d中的正交群，定义了Haar测度。考虑到我∈ O（d）和一个传输计划π，我们将推进M#π定义如下：对于Borel集C R2d，我们定义#π（C）=π（M）-1（C））式中（x，y）∈ M-1（C）<=> （男x，我的）∈ C代表所有x，y∈ Rd.特别是，M#π（A×B）=π（M-1（A）×M-1（B））对于所有A、B 注意，如果π∈ π（u，ν），然后是M#π∈ π（M#u，M#ν）。现在我们介绍了作用于交通规划空间的对称化算子。定义4.2。我们将传输计划π上的对称化算子S定义为：对于每个Borel子集D R2d，Sπ（D）=ZM∈O（d）M#π（d）dH（M）。定义4.3。设0 6=x∈ 设lx为x所跨越的一维子空间。设Ox（d）：={M∈ O（d）| mx=x}。我们说Rdis Lx上的概率测度σ对于每个a是对称的 RDM和M∈ 我们有σ（A）=σ（M（A））。下面的引理解释了为什么我们要考虑算子S引理4.4。S具有以下特性：1。如果π∈ π（u，ν），然后是Sπ∈ π（Ru，Rν）。特别是如果π有径向对称的边缘，那么Sπ和π有相同的边缘。让π∈ 设dSπ（x，y）=dSπx（y）dRu（x）。然后Sπxis lx对称。此外，（Sπx）xis是旋转全等的；每x，y∈RDM和M∈ O（d）使得Mx=y，我们有M#Sπx=Sπy。如果π∈ MT（u，ν），然后是Sπ∈ MT（Ru，Rν）。如果代价函数是旋转不变的，也就是说，对于任意M，c（x，y）=c（mx，my）∈ O（d），那么一个计划的成本π等于Sπ的成本。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅12证明。1.让我们 RDN∈ O（d）。

ThenSπ（N（A）×Rd）=ZM∈O（d）M#π（N（A）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）π（M）-1N（A）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）π（M）-1（A）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）M#π（A×Rd）dH（M）=Sπ（A×Rd），表明Sπ的边缘是径向对称的。现在让B Rd可以是一个环空集，也就是任意M的B=M（B）∈ O（d）。那么u（B）=π（B×Rd）=π（M）-1（B）×Rd）=ZM∈O（d）π（M）-1（B）×Rd）dH（M）=ZM∈O（d）M#π（B×Rd）dH（M）=Sπ（B×Rd）表明Sπ∈ π（Ru，Rν）。让我们 Rd，Bx，rbe以x为中心，半径r和N的空位球∈牛（d）。ThenSπ（Bx，r×N）-1（A））=ZM∈O（d）M#π（Bx，r×N）-1（A）dH（M）=ZM∈O（d）π（M）-1N-1（Bx，r）×M-1N-1（A）dH（M）=ZM∈O（d）M#π（Bx，r×A）dH（M）=Sπ（Bx，r×A）。除以u（Bx，r）和r→ 当Sπx（A）是RadonNikodym导数π（x，A）du（x）时，我们得到Sπx（A）=Sπx（N-1（A）），即Sπxis Lx对称。现在让x，y∈ RDM和M∈ 当我们观察到Sπ（Bx，r×A）=Sπ（By，r×M（A））时，崩解的旋转同余是明确的 第3条。让h:Rd→ Rd可以是有界可测函数。然后是Zr2DH（x）·（y）- x） dSπ（x，y）=ZO（d）ZR2dh（x）·y- x） dM#π（x，y）dH（M）=0径向对称边缘之间的通塞克Lim/鞅，因为M#π显然是鞅度量。这证明了Sπ是鞅测度。4.因为π的成本与任何M的M#π的成本相同∈ O（d），从Sπ的定义可以清楚地看出。算子Sπ的意义是，Sπ的分解是由所有正交矩阵移动的π的分解叠加而成的。让我们举个例子。例4.5。设d=2，u=δ（0,1）+δ（1,0），π是一个具有第一个边缘u的运输计划，且分解π（0,1）=δ（0,2），π（1,0）=δ（1,1）相对于u。换句话说，π从（0,1）到（0,2）传输3/5质量，从（1,0）到（1,1）传输2/5质量。

Sπ的第一个边缘和解体是什么？由于u的总质量在单位圆上，Sπ的第一个边缘是单位圆上的均匀概率测量值，即Ru。接下来，让我们（通过旋转）叠加π发生的两个输运，在单位圆上有相同的（但任何）起点，假设我们选择起点为（0，1），因此产生的叠加平面像之前一样从（0，1）到（0，2）传输3/5质量，从（0，1）到（2），从（0，1）传输2/5质量(-1, 1). 让我们把它写成∧π（0,1）=δ（0,2）+δ(-1,1). 下一步，我们将∧π（0,1）相对于其“轴”（0,1）对称化，从而得到的输运变成（Sπ）（0,1）=δ（0,2）+δ(-1,1)+δ(1,1). 这是Sπ在点（0,1）处的分解，而单位圆的其他点的分解就是（Sπ）（0,1）的旋转。例如，（Sπ）（1,0）=δ（2,0）+δ（1,1）+δ（1，-1).4.2. 变形引理和主要理论在这一节中，我们将提出一个变形引理，它将使径向边界下的鞅输运问题简化为一维子空间上的问题，我们可以应用上一节中的结果。对于函数f和度量u，我们将fu表示为由fu（a）=RAf（x）du（x）定义的度量。我们用这个符号表示函数w±和一个测度σ*在下一个引理的（4.3）中。引理4.6。考虑c（x，y）=h（|x）形式的成本函数- y |）设lx为x所跨越的一维子空间，x6=0。设σ是Rd上的对称概率测度，重心在x。定义连续函数f+x，f-x:Rd→ RDF-x=-f+x和f+x（y）=| y | x | x如果y/∈ Lx，f+x（y）=否则为y。（4.1）假设R7→ 当r>0时，h′（r）/r严格递减。如果σ（Lx）<1，则存在一个重心在x的概率测度ρ，ρ（Lx）=1和ρ~=Rσ，例如，Zrdh（|x- y |）dσ（y）>ZRdh（| x- y |）dρ（y）。

（4.2）径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅14A这种ρ的具体选择如下：写出σ=σ*+σ，其中σ=σ（0）δ。设w+（y）=+x | x |·y | y |，w-（y）=-x | x | y | y |表示y6=0。那么ρ=Lx（σ）：=σ+f+x#（w+σ）*) + F-x#（w）-σ*). （4.3）备注4.7。As（h′（r）r′=rh′（r）-h′（r）r，成本（1.6）满足引理的假设。另一个例子是h（r）=rp，0<p<2，或h（r）=-rp，p>2。证据我们将首先在简单的情况下证明引理，其中d=2和σ在两点上得到支持。现在我们将解释如何变形σ以获得ρ。为此，我们将考虑在R中的四个点zn（t）、zn（t）、zs（t）、zs（t）上支持的概率度量ρ（t）族（我们将在下文中定义），其中0≤ T≤ 1是一个参数。我们将根据δxtoρ（t）的运输计划确定测量值ρ（t），并且我们将观察到运输成本ρ（t）随着t的增加而严格降低。这将是理想的变形过程，在引理中ρ（1）=ρ，而ρ（0）=σ。首先，在不损失一般性的情况下，让重心x是R中的一个点，x=（0，b），b6=0。让z，z∈ R、 |z |=|z |=R>0，设z=（a，z），z=(-a、 z）。现在是0≤ T≤ 1，设zn（t）=z+t（r- z） ，zs（t）=z- t（r+z）和letzn（t）=公共关系- （zn（t）），zn（t）, 锌（t）=-公共关系- （zn（t）），zn（t）,zs（t）=公共关系- （zs（t）），zs（t）, zs（t）=-公共关系- （zs（t）），zs（t）.因此，四个点zn（t）、zn（t）、zs（t）、zs（t）位于圆心0和半径r的圆上，并且它们相对于Lx对称地定位。现在，从δxtoρ（t）ρ（t）=r+z4rδzn（t）+r+z4rδzn（t）+r定义概率测度ρ（t）和运输成本- z4rδzs（t）+r- z4rδzs（t），C（t）=r+z2rh（| zn（t）- x |）+r- z2rh（| zs（t）- x |）。注意ρ（0）=δ(-a、 z）+δ（a，z）=σ和ρ（1）=r+z2rδ（0，r）+r-z2rδ（0，-r） =ρ，所以ρ（t）是沿半径r的圆从σ到ρ的连续变形。

重点是，对于所有0≤ T≤ 1，ρ（t）的重心固定在（0，z），它们显然是R等价的。现在我们将显示，当r>0时，如果h′（r）/r严格减小，则C′（t）<0。为了看到这一点，我们计算了‘（t）=r+z2rh′（| zn（t）- x |）、zn（t）- x|锌（t）- x、 滴滴涕锌（t）+R- z2rh′（| zs（t）- x |）| zs（t）- x|zs（t）- x、 滴滴涕zs（t）哪里,是内积。笔记锌（t），滴滴涕锌（t）=zs（t），滴滴涕zs（t）= 0，以及x、 滴滴涕锌（t）= b（r）- z） ,，x、 滴滴涕zs（t）= -b（r+z），henceTongseok Lim/径向对称边值15C′（t）之间的鞅=b（r+z）（r）- z） 2rh′（| zs（t）- x |）| zs（t）- x|-h′（| zn（t）- x |）、zn（t）- x|.现在我们计算| zn（t）- x |=r+b- 2b zn（t）=r+b- 2b（z+t（r）- z） ）| zs（t）- x |=r+b- 2b zs（t）=r+b- 2b（z）- t（r+z）| zn（t）- x|- |zs（t）- x |=-4brt。因此，我们看到| zn（t）- x |<| zs（t）- x |如果b>0 | zn（t）- x |>zs（t）- x |如果b<0。因此，在任何情况下，C′（t）<0。因此，C（0）>C（1），并观察到ρ在直线Lx上得到支持，实际上ρ（1）=Lx（ρ（0））如（4.3）所定义。现在我们转向一般情况，但通过σ的Lx对称性，我们将观察到上述情况已经足够普遍。关键是对于任何z∈ Rd相对于Lx存在一个唯一的反射点z，且σ在z和z周围分配相同的质量，即对于a Rd及其反射系数A（z）∈ A.<=> ~z∈~A）我们有σ（A）=σ（~A）。