空间中径向对称边值之间的最优鞅输运

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英文标题：
《Optimal martingale transport between radially symmetric marginals in
  general dimensions》
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作者：
Tongseok Lim
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We determine the optimal structure of couplings for the \\emph{Martingale transport problem} between radially symmetric initial and terminal laws $\\mu, \\nu$ on $\\R^d$ and show the uniqueness of optimizer. Here optimality means that such solutions will minimize the functional $\\E |X-Y|^p$ where $0<p \\leq 1$, and the dimension $d$ is arbitrary.
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中文摘要：
我们确定了径向对称初末律$\\mu，$\\R^d$上的$\\nu$之间的{emph{鞅输运问题}的最佳耦合结构，并证明了优化器的唯一性。这里的最优性意味着这样的解决方案将最小化函数$\\E | X-Y | ^p$，其中$0<p\\leq 1$，维度$d$是任意的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_martingale_transport_between_radially_symmetric_marginals_in_general_dim.pdf (253.09 KB)

2022-5-7 06:02:12 上传

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关键词：Martingale Functional Optimality Dimensions Transport

一般维Stongseok-Lim中径向对称边值之间的最优鞅输运*数学随机，图维耶纳1040维也纳，澳大利亚邮政：dongseok0213@gmail.comAbstract：我们确定了Rd上径向对称的初始和终端之间的鞅输运问题的最优耦合结构，并证明了优化器的唯一性。这里的优化意味着这样的解决方案将使函数Ef（| | X）最小化-Y | |），其中f是凹的且严格递增，且维数d是任意的。2010年理学硕士学科分类：初级60G40、60G42；第二个49K30。关键词和短语：最优运输，鞅，单调性，径向对称性。1.最优运输问题及其方差1。1.最优运输问题本文主要研究解决某些优化问题的概率测度的结构。原型是最优质量运输问题：对于给定的成本函数c:Rd×Rd→ R和Rd上的两个Borel概率测度u，ν，我们考虑：在所有π上，最小化成本[π]=ZRd×Rdc（x，y）dπ（x，y）（1.1）∈ π（u，ν），其中∏（u，ν）是一组质量运输计划或耦合，即Rd×Rd上的概率π的集合，带有边缘u和νonRd。我们对运输计划π的解释如下：对于A，B Rd，π（A×B）是计划π从资源域A传输到目标范围B的质量量。

一个等价的概率公式是考虑以下问题：最小化EPc（X，Y）（1.2）*作者感谢不列颠哥伦比亚大学博士研究生奖学金以及奥地利科学基金会（FWF）通过Y782提供的支持。C2016年作者。所有联合随机变量（X，Y）上径向对称边缘2之间的Tongseok Lim/鞅：Ohm → 给定规律下的Rd×rdx~ μ和Y~ 分别是。1781年，Gaspard Monge[24]提出了与他在工程领域的工作相关的以下问题：给定两组体积相等的U，V，在它们之间找到最佳体积保持图，其中最佳体积是根据将粒子x传输到y的成本函数c（x，y）来衡量的。然后，最佳图应该最小化通过V重新分配U质量的总成本。很久以后，坎托洛维奇推广了孟格问题，并提出了上述公式。在Monge的原始问题[24]中，代价只是欧几里德距离c（x，y）=|x-y |。即使是这个看似简单的案例，苏达科夫[27]、埃文斯[12]、甘博·麦卡恩[14]、安布罗西奥·基尔赫海姆·普拉泰利[1,2]、卡夫阿雷利·费尔德曼·麦卡恩[10]、比安基尼·卡瓦莱蒂[9]、马·特鲁丁格旺[23,28,29]和其他人也花了两个世纪才严格证明存在最佳交通地图。有关该理论的一般说明，请参见Villani[30,31]。最近，一个新的方向出现了，交通计划被假定为鞅。在续集中，我们将描述这个问题，它的动机，以及我们的贡献。1.2.

鞅最优运输问题现在我们考虑以下问题：π上的最小费用[π]=ZRd×Rdc（x，y）dπ（x，y）∈ MT（u，ν）（1.3），其中MT（u，ν）（鞅运输计划）是Rd×Rd上的联合概率集，以u和ν作为其边缘，例如π∈ MT（u，ν），它的分解πx是它在x上的重心。换句话说，对于Rd上的任何凸函数ξ，关于u的分解测度（πx）x必须满足ξ（x）≤μ的Zξ（y）dπx（y）- a、 e.x.（1.4）我们将崩解解释为条件概率dπx（y）=P（y=y | x=x）。问题的概率描述如下：我们研究了概率空间上所有鞅（X，Y）上的EPc（X，Y）（1.5）的最小化(Ohm, F、 P）转化为具有规定定律X的Rd×Rd（即[Y | X]=X）~ μ和Y~ ν.文献[26]表明，MT（u，ν）是非空的当且仅当u和ν是非凸序的。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅3定义1.1。度量u和ν称为凸序if1。它们具有有限的质量和有限的初始时刻，2。对于定义在Rd上的凸函数ξ，Rξdu≤Rξdν。在这种情况下，我们将写≤cν。注意，当且仅当ifR（x）时，具有相同有限质量和相同初始力矩的度量u，ν为凸序- k） +du（x）≤R（x）- k） +dν（x）表示所有实k。还请注意，使用这种表示法，（1.4）可以写成δx≤cπx.随着D.Hobson对Skorokhod嵌入技术在“无模型”融资和资产定价方法中的重要性的开创性观察[19]，在Skorokhodembedding和鞅最优运输的背景下进行了许多相关研究；例如

Beiglb¨ock Henry LaboranderePenkner[4]、Beiglb¨ock Henry Laborandere Touzi[5]、Beiglb¨ock Juillet[6]、Beiglb¨ock Nutz Touzi[8]、Hobson Klimmek[20]、Hobson Neuberger[21]用于离散时间情况，Beiglb¨ock Cox Huesmann[7]、Dolinsky Soner[11]、GalichonHenry Laborandere Touzi[13]、郭Tan Touzi[16]用于连续时间情况。当然，这张榜单完全代表了这个迅速发展的主题。关于MOT、SEP和无模型融资方法之间的联系，我们参考了Henry Laborder[17]，Hobson[18]，Ob l\'oj[25]的读者。我们注意到，上述引用的论文都与维度1有关。在本文中，我们证明了最优鞅问题有一个唯一的解，在任意维的边缘u，ν是径向对称的情况下，这是由重要的分布如高斯分布所满足的。据作者所知，这是第一个在任意高维度上建立的此类结果，以及一篇涉及一般边缘案例的配套论文[15]。鉴于高维最优运输理论（1.1）对数学、物理和经济学的许多领域产生了深远的影响，我们希望高维鞅最优运输理论也能找到许多重要的应用。在本文中，我们将重点讨论成本函数（注x，y）∈ Rd）c（x，y）=f（|x）- y |），其中f（0）=0，f′>0，f′≤ R+上为0。（1.6）也就是说，f:R+→ R+严格地是递增的和凹的。功率成本c（x，y）=x- y | p，0<p≤ 1是一个特别的例子。我们注意到，由于我们的代价函数是下半连续且非负的，所以存在（1.3）的解；参见，例如[4，定理1]（我们注意到[4，定理1]是在一维边缘的情况下陈述的。但是（1.3）的解的存在性来自标准参数，即。

从MT（u，ν）的紧性和非空性出发，给出了它的代价泛函的下半连续性。对于这一点，[4，命题2.4]中的证明同样适用于d维设置）。现在我们介绍主要定理。定理1.2。假设u，ν是RDN上的径向对称概率测度，它们是凸序和（u）-u∧ ν)({0}) = 0. 假设径向对称边缘4之间的uTongseok Lim/鞅是绝对连续的，或者存在一个球Br（中心为0，半径为R，开放或闭合），使得u- u∧ν集中在Br上，而ν- u ∧ν集中在Rd\\Br上。然后问题（1.3）有一个关于代价（1.6）的唯一极小值π，对于几乎每xμ，分解πxis集中在一维子空间Lx={a x | a上∈ R} 。此外，如果μ相对于勒贝格测度和μ是绝对连续的∧ ν=0，则πxis在Lx上的两点处受支撑。我们注意到[15]也研究了一般维数下的最优鞅输运问题，并且他们猜想了极小化子的下列极值性质。猜想：考虑成本函数c（x，y）=x- y |并假设μ对于Rd上的勒贝格测度是绝对连续的，并且∧ν = 0.如果π是一个最小化（1.3）的鞅输运，那么对于μ几乎每x，分解支持支持支持支持支持支持支持支持支持支持πx的k+1点，这些点构成k维多面体的顶点，其中k:=k（x）是支持πx的线性范围的维数。最后，最小化解是唯一的。因此，理论1。当边缘u和ν在Rd上径向对称时，2可以被视为上述猜想的有效答案，在这种情况下，k（x）≡ 1.

另一方面，[15]表明，在可数集上支持ν的额外假设下，该猜想是正确的。然而，作者[22]最近的一项工作给出了一个反例（见[22，示例2.9]），表明该假设是正确的<< 光靠激光是不够的。我们认为找到u，ν上的一些充分条件是一个有趣的问题，它们保证了猜想。或者，正如在[22]中所评论的，对于以下（较弱的）存在性猜想，我不知道一个反例：猜想2：考虑代价函数c（x，y）=x- y |并假设μ对于Rd上的勒贝格测度是绝对连续的，并且μ∧ ν = 0. 然后存在一个到（1.3）的鞅最优输运，它是上述猜想中描述的多面体类型。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了单音性原理，该原理最初在[6]中介绍，随后在[32,3]和[8]中推广。然后，我们建立了公共边际函数的稳定性∧ 在（1.3）的每一个极小值下。在第三节中，我们进一步应用单调性来确定一维极小元的结构。最后，在第4节中，我们建立了变形引理和处理任意维数的主要定理。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅52。单调性原理与稳定性∧ v在everyminimizerAn下，最优运输的一个重要基本工具是c-循环单调性的概念。[6]中给出了一个平行陈述，然后在[32]，[3]中进行了推广。定义2.1。设σ为有限集H上支持的有限测度 Rd×Rd。设xh是H在第一坐标空间Rd上的正交投影。然后我们说，如果ρ的边缘与σ相同，那么ρ是σ的竞争对手∈ XH，RRdy dσ（x，y）=RRdy dρ（x，y）。引理2.2（单调性原理[6,32,3,8]）。

假设u，ν是凸序的概率测度，并且c:Rd×Rd→ R是一个Borel可测量的成本函数。假设π∈ MT（u，ν）是一个最优鞅运输计划，它会导致有限的成本。然后存在一个Borel集Γ Rd×Rdwithπ（Γ）=1，使得以下单调性原理成立：如果σ是有限集H上的有限测度 那么对于σ的每个竞争对手ρ，我们有zc dσ≤Zc dρ。单调性原理的含义很清楚：supp（σ） Γ意味着σ是完整运输计划π的“子计划”，竞争对手的定义是，如果我们将子计划σ更改为ρ，则π的鞅结构不会被破坏。现在，如果我们有Rc dσ>Rc dρ，那么我们可以修改π，将ρ作为其子计划，以实现更低的成本，因此当前的计划π不是amimizer。有关更多细节和证明，请参见[6，引理1.11]或[32，定理3.6]。[6]中介绍了以下符号，我们在本文中使用它们：对于集合Γ Rd×Rd，我们写XΓ：=projXΓ，YΓ：=projYΓ，即XΓ是Γ在第一坐标空间Rd上的投影，YΓ在第二坐标空间上的投影。每个人∈ Rd，我们让Γx={y∈ Rd |（x，y）∈ Γ}和Γx={y∈ Rd |（y，x）∈ Γ}分别是Γ的垂直和水平切片。以下定义在本文中也很有用。定义2.3。设π为Rd×Rd上的一个量度，u，ν为其边缘。我们写dπ（x，y）=dπx（y）du（x）和dπ（x，y）=dπy（x）dν（y）if（πx）x∈Rdand（πy）y∈Rd分别是π相对于u和ν的分解。现在作为单调性原理的一个应用，我们证明了μ的稳定性∧ 在每个最优鞅输运下。[6] 利用欧几里德距离代价讨论了一维系统中的下列定理。我们用一类代价函数（1.6）证明了它在一般维数下的存在性。

请注意，未假定u，ν的半径对称性。径向对称边缘之间的Tongseok Lim/鞅6Theorem 2.4。设π为问题（1.3）的最小值，代价为（1.6）。然后是普通质量∧ ν在π下是稳定的，在这个意义上，如果我们定义：Rd→ Rd×Rdby D（x）=（x，x），然后是u的前推度量∧ v被映射D支配，即D#（u）∧ ν) ≤ π.证据假设这个定理是假的，所以存在一个极小值π，使得D#（u）∧ ν)  π. 让π是π对对角线的限制 ={（x，x）|x∈ Rd}。然后从D#（μ）∧ ν)  π、 测量D#（u）∧ ν) - π有一个非零的正部分，我们让η是这个正部分的向前推的测度，通过映射（x，x）7→ x、 设dπ（x，y）=dπx（y）du（x）和dπ（x，y）=dπy（x）dν（y）。然后通过η的定义，我们看到πx6=δx，πx6=δx，η- a、 e.x.（2.1）设Γ为π（Γ）=1的单调集，如引理2中所示。2.选择崩解（πx）x的一个版本∈A其中u（A）=1，并将Γ替换为Γ∩（A×Rd），我们可以假设δx≤cπx和πx（Γx）=1每x∈ XΓ。这意味着，每当πx6=δx时，我们可以在Γx\\{x}中找到许多点，这样x就可以写成它们的凸组合，即x=nXi=1piyiwhere yi∈ Γx\\{x}，pi>0，nXi=1pi=1。（2.2）现在（2.1），（2.2）清楚地暗示，对于η-a.e.x，我们可以找到一个概率度量ρx，比如δx≤cρx，supp（ρx）是Γx\\{x}的有限子集，此外还有z∈ Rd，z6=x使得（z，x）∈ Γ.让我们解释一下，这是如何与Γ的单调性产生矛盾的。在（1.6）中，由于f是增加的和凹的，所以我们有f（| x）- y |）+f（| z）- x |）≥f（| y）- 事实上，这个不等式是严格的，除非z，x，y按这个顺序在一条线上。

因此，每当z 6=x，ρx6=δx和δx≤cρx，我们有zf（|x）- y |）dρx（y）+f（| z）- x |）>Zf（| y）- z |）dρx（y）。这可以被重新表述如下：“发送质量δztoρx和δxtoδx”的成本比“发送δztoδx和δxtoρx”的成本更低（回忆f（0）=0）。As（z，x）∈ Γ和supp（ρx）是Γ的有限子集，这与Γ是单调的事实相矛盾。备注2.5。从证明中可以清楚地看出，定理2.4成立，只要z 6=x，ρx6=δx和δx，其代价为c ifZc（x，y）dρx（y）+c（z，x）>Zc（y，z）dρx（y）≤cρx。特别是，当c（x，y）=| | x时，定理2.4成立- y | |，其中|·| |是Rd上的严格凸范数。（如果单位球是严格凸的，则范数是严格凸的，即单位球边界的每一点都是一个极值点。例如，欧几里德范数是严格凸的，因为其单位球是“完全圆的”。）另一方面，定理2.4不适用于一般范数代价；例如，letd=2，| |（x，y）| |=|x |+| y |，让u=（δ（0,0）+δ（0,1）），ν=（δ（0,0）+δ(-1,0)+δ(1,0)+ δ(0,2)). 很容易检查u，ν之间的每个鞅传输是否产生相同的代价。根据理论2。4.我们可以将问题的边缘（1.3）减少到不一致边缘¨u：=u- u ∧ ν和ν：=ν- u ∧ ν. 因此，从现在起，我们将始终假定：∧ 因此，对于任何极小值π∈ MT（u，ν），我们有一个单调集Γ使得π（Γ）=1和Γ∩  = , 哪里 :={（x，x）|x∈ 第3条。一维最优鞅输运的结构在本节中，我们研究一维问题（1.3），即在实线R上定义边缘u，ν。我们将考虑成本函数（1.6），并将确定最优耦合的结构。在本节中，我们不假设边缘u，ν相对于原点的对称性。回想一下，我们可以假设：∧ ν = 0.