俄罗斯玩偶风险模型

，F，我们假设<< K.利用如上所述的因子协方差矩阵ΦAb，我们得到了以下股票的因子模型协方差矩阵：Γij=ξiδij+KXA=1ζAOhm内华达州OhmjA+FXa，b=1eOhmiaψabeOhmjb（9）式中（用矩阵表示法）eOhm ≡ Ohm ∧（10）注意，（9）中r.h.s.的第一项和第三项只包括一个F因子模型。然而，正是第二个术语的存在造成了差异。除了F风险因素（第（9）条中r.h.s.的第三项），它还通过因子载荷对Γij中的F对角项进行建模OhmIa和因子fA的特定风险ζa。如果计算得当（见下文），特定风险——就像总风险一样——在样本外比样本相关性更稳定。这是因为——就像总风险一样——特定风险对应于方差（与样本协方差矩阵中的有效对角线元素相反）。这使得嵌套的“俄罗斯玩偶”（“matryoshka”）风险模型构建（9）在样本外比直接构建（1）更稳定，但它捕捉到了F因子模型所能解释的对Ijyond的影响。事实上，（9）是一种特殊形式的（K+F）因子模型。实际上，我们可以将（9）改写如下：Γ=Ξ+ωφωT（11），其中ω是一个N×（K+F）因子，对于mωiA=OhmiA（12）ωiA=eOhmia（13）如何为定制建筑构建风险模型（有时选择主成分）。除了φAB=15的对角线形式之外，φAB.AB几乎是φa的对角线形式。事实并非如此。还有工作要做。尤其是，并不总是很明显的风险因素应该是什么。幸运的是，在某些情况下（大部分）所需的工作已经完成。

二元产业分类就是这样一种情况。首先，我们保持讨论的一般性，然后应用二进制属性。具体而言，我们将使用BICS术语来表示行业分类的级别，尽管这在这里并不重要。此外，BICS有三个级别的“扇区”→工业→ 子行业”（其中“子行业”是最详细的级别）。为了明确起见，我们将在这里假设三个级别，尽管对更多级别的概括是向前推进的。所以，我们有：N个股票，以i=1标记，NK子行业A=1，KF标记为a=1的行业，F和L扇形，用α=1，L.然后构建一个嵌套的俄罗斯玩偶风险模型，如下所示：Γij=ξiδij+KXA，B=1OhmiAΦABOhmjB（17）ΦAB=ζAδAB+FXa，b=1∧AaψAB∧Bb（18）ψAB=ηAδAB+LXα，β=1aαΘαβbβ（19）Γij=ξiδij+KXA=1ζAOhm内华达州OhmjA+FXa=1ηaeOhm依斯克拉汽车电器公司Ohmja+LXα，β=1bOhmiαΘαβbOhmjβ（20）式中Ohm ≡ Ohm ∧（21）bOhm ≡EOhm  （22）这里η是与行业相关的风险因素的特定风险，Θαβ是行业的因子协方差矩阵，以及aα是相应的因子载荷矩阵。其他符号如上所述，不言自明。请注意，这是r.h.s.上的第二项和第三项。

在（32）个因素中（以样本外稳定的方式），该结构不同于作为风险因素的行业对应的L因子模型。在这里，我们也可以将（32）视为特殊形式的更大的（K+F+L）因子模型：Γ=Ξ+ωφωT（23），其中ω是形式为ωiA=OhmiA（24）ωiA=eOhmia（25）ωiα=bOhmiα（26）和φ是一个（K+F+L）×（K+F+L）因子协方差矩阵，形式为φAB=ζaδAB（27）φAB=ηaδAB（28）φαβ=Θαβ（29）φAa=φAa=φaα=φαa=φaα=φaα=0（30），因此φ几乎是对角的——除了αβ中的对角元素。3.2“单因子”俄罗斯娃娃风险模型我们可以进一步将上述构造简化为“单因子”模型通过单因素风险模型对αβ进行建模。因子载荷矩阵∏α只是一列，一个（L×1）矩阵，可以选择为简单的截距∏α≡ 1.相应的因子协方差矩阵X只是一个正数（1×1矩阵），因此我们有Θαβ=σαΔαβ+X（31）和Γij=ξiδij+KXA=1ζaOhm内华达州OhmjA+FXa=1ηaeOhm依斯克拉汽车电器公司Ohmja+LXα=1σαbOhmiαbOhmjα+XOhm我Ohmj（32）在哪里Ohm我≡LXα=1bOhmiα∏α=LXα=1bOhmiα（33）这个“单因子”模型实际上是一个（K+F+L+1）因子模型，其因子载荷矩阵由ω=(Ohm,EOhm,BOhm,Ohm) 以及由φ=diag（ζaδAB，ηaδAB，σαδαβ，X）给出的对角因子协方差矩阵X。此外，请注意，如果我们设置X=0，我们会得到一个“零因子”俄罗斯玩偶模型，其中所有的斜元素都是通过（32）的r.h.s.的第二、第三和第四项建模的，这实际上是一个带有对角因子协方差矩阵的（K+F+L）因子模型。3.3二元属性二元属性意味着每只股票属于一个且仅属于一个子行业、行业和部门。

f因子载荷矩阵OhmiA∧Aaandaα由下式给出：OhmiA=δG（i），A（34）∧Aa=δS（A），A（35）aα=δT（a），α（36），其中G是股票和子行业之间的映射，S是子行业和行业之间的映射，T是行业和部门之间的映射：G:{1，…，N}7→ {1，…，K}（37）S:{1，…，K}7→ {1，…，F}（38）T:{1，…，F}7→ {1，…，L}（39）这意味着Ohmia=δeG（i），a（40）bOhmiα=δbG（i），α（41），其中≡ SG是股票和行业之间的地图，BG≡ TeG=T SG是股票和行业之间的地图。公式（20）则简化如下：Γij=ξiδij+ζG（i）δG（i），G（j）+ηeG（i）δeG（i），eG（j）+ΘbG（i），bG（j）（42）二元行业分类的关键简化特征是，一旦行业分类树被指定，风险因子fA，gaa和hα（其中hα是ψab的因子模型（19）的风险因子）就被明确知道：与子行业风险相对应，Ga对应行业风险，hα对应行业风险。因此，构建俄罗斯玩偶风险模型可归结为计算行业风险因素hα的Θαβ因子协方差矩阵，并确定特定风险ξi、ζa和ηa（见下文）。3.4非二元概括处理二元分类的美妙之处在于风险因素的层次结构（即fA← ga← hα）由分类层级（即“部门”）确定→见下文脚注11。在这里，人们还可以使用“非二元”行业分类，即每个股票市场属于（比如）多个子行业，例如，在企业集团的情况下。然而，通常情况下，此类股票的数量相对较少，而aticker所属的子行业的数量通常只有几个到几个。在这里，我们将坚持基本行业分类，而不是混淆视听。

我们将处理非二进制类型的风险因素。工业→ 子行业），后者很容易获得——行业分类提供商已经完成了所有艰苦的工作，分析公司的产品和/或服务、收入来源等，这些决定了公司的分类和行业分类。对于非行业风险因素，确定风险因素的嵌套层次并不总是那么简单。例如，对于基于主要成分的风险因素，没有明显的指导原则。然而，并不是所有的东西都失去了。在实践中，最流行的多因素风险模型结合了非二元式风险因素和二元行业风险因素。风格因素的数量通常比行业因素的数量小得多，尤其是（超）短期模型。例如，最近在（Kakushadze，2014年）中，有人认为隔夜收益基本上有4个相关的风格风险因素。我们希望在这里解决的问题是，我们是否可以从少数类型的风险因素加上更多基于行业的风险因素开始（通常，~ 100或更多），并建立一个俄罗斯玩偶风险模型。正是因为我们只有少数几种风格的风险因素，所以我们可以建立一个俄罗斯玩偶模型——这是因为不需要减少风格风险因素的数量，只需要减少基于行业的风险因素的数量。所以，这里的想法很简单。我们将使用中希腊符号u，ν。为了标记样式风险因素，我们使用上面的i，A，A，α标签。莱塔≡ （A，u），ea≡ （a，u）和α≡ (α, u). 让U成为风格风险因素的数量。莱特克≡ K+U，eF≡ F+UandeL≡ L+U。

然后我们可以将第3.1小节的方法应用于i，eA，eA，eα：Γij=ξiδij+eKXeA，eB=1OhmieAΦeAeBOhmjeB（43）ΦeAeB=ζeAδeAeB+eFXea，eb=1∧eaeaeaψeAeB∧eBeb（44）ψeAeB=ηeAδeAeB+eLXeα，eβ=1eaeαΘeαeβebeβ（45），所以我们有Γij=ξiδij+eKXeA=1ζeAOhm国际能源署OhmjeA+eFXea=1ηeaeOhmieaeOhmjea+eLXeα，eβ=1bOhmieαΘeαeβbOhmjeβ（46）虽然有几种商业上可用的行业分类，它们有自己的专有方法，但性能最好的分类相对相似。在这里，我们不建议使用任何特定的行业分类——这是一个偏好和访问的问题。一些模型使用准二元行业风险因素，并在几个不同的行业中分配了分数权重——如上所述，为了简单起见，这里我们坚持使用二元行业风险因素。在哪里Ohmiea=eKXeA=1OhmieA∧eAea（47）bOhmieα=eFXea=1eOhm国际能源署eaeα（48），我们进一步得到了∧eAea=diag（λAa，Δμν）（49）eaeα=diag(aα，Δuν（50）ζu=0（51）ηu=0（52）Φuν=ψuν=53）Φau=FXa=1∧Aaψau（54）ψau=LXα=1aαΘαu（55）因此，在最后，一切都是通过因子协方差矩阵Θeαeβ和特定风险ξi、ζa和ηa确定的。与之前一样，因子载荷矩阵OhmiA∧Aaandα是二进制的。3.5固定因子协方差矩阵和特定风险有人可能会问，这都很好，但我如何计算剩余因子协方差矩阵Θ和特定风险ξI、ζa和ηa？一个简单的答案是，如果一个人知道如何计算usualfactor模型（1）的因子协方差矩阵和特定风险，那么同样的方法可以应用于俄罗斯玩偶因子模型，并进行一些简单的调整。然而，计算因子协方差和特定风险的方法通常被认为是适当的，因此，远远超出了本说明的范围。

尽管如此，在这里，我们将讨论如何计算因子协方差矩阵和特定风险的常见误解，并指出其失败的地方和原因。这种误解很可能源于（3）和线性（横截面）回归Ris=is+KXA=1βiAsfAs（56）之间的形式相似性，作者和QuantigicSolutions LLC也是如此。其中s标记时间序列，Risare股票收益率（例如，基本接近收盘收益率，在这种情况下s标记交易日期），是回归残差（对于每个日期），βiAsare因子β，和fAsare因子回报（注意我们有K个因子）。如果在一段时间内，βiAs独立于s，则βiAs≡ βiA（例如，我们每月计算一次），然后我们可以用OhmiA，对于每个日期s，Risis与Υi、isis与χi、Fas与fA识别。然后，我们很容易错误地得出结论，即fa-cto r共变矩阵Φabi仅由HFA、fBi给出，而具体方差ξiis由hi、ii给出，其中协方差h*, *iis在时间序列上计算（我们已经抑制了指数s）。然而，阿奎克计算揭示了这种方法的谬误。事实上，从线性回归（无截距和单位权重）的定义来看，我们有（矩阵表示法）f=OhmTOhm-1.OhmTR（57）=[1- Q] R（58），其中（注意Q=qt是一个投影算子：Q=Q）Q≡ OhmOhmTOhm-1.OhmT（59）因此，我们有：，T= [1 - Q] C[1- Q] （60）Ohmf、 英尺OhmT=Q C Q（61），其中Cij≡ hRi，Rji是样本协方差矩阵。现在我们可以立即看到将ΦAb与hfA、fBi和ξi与hi、hii识别的问题。

根据因子模型，总方差Γii由Γii=ξi+KXA，B=1给出OhmiAΦABOhmiB（62）在上述（错误）识别的情况下，因子模型总方差Γii与样本内总方差Cii不一致——并且因子模型更好地产生样本内总方差（同时尝试尽可能精确地预测样本外总方差）。还要注意的是，如果我们将ΦAb的上述标识与hfA、fBi保持一致，并简单地定义ξi≡ Cii-PKA，B=1OhmiAΦABOhmiB，通常我们会（不可接受地）有一些负面的ξi.4一个错误的例子。虽然计算因子协方差矩阵和特定风险是非常规的（和专有主题），但俄罗斯玩偶风险建模允许通过使用简单的启发式绕过此类复杂情况。我们强调，使用全边缘风险，只有轨迹重合：Tr，T+ Ohmf、 英尺OhmT= Tr（C）。通过仔细计算因子协方差矩阵和特定风险进行建模通常会产生更好的结果。然而，如果后一种方法不可行，我们在本节中阐述的启发式方法提供了一种近似方法，用于将对角相关关系合并到协方差矩阵中。这里的想法很简单。避免第3小节中讨论的头痛问题。5.让我们简单地避免计算任何因子协方差矩阵。然后，我们考虑了“单因子”俄罗斯玩偶因子模型（32），其中唯一的“因子方差矩阵”是1×1矩阵X，它实际上是单因子的方差，反过来可以解释为整体“市场”风险敞口。不要让我们的讨论过于复杂，让我们继续讨论二进制情况。

然后，使用与上述相同的符号，我们有：Γij=ζiδij+ζG（i）δG（i），G（j）+ηeG（i）δeG（i），eG（j）+σbG（i）δbG（i），bG（j）+X（63），因此，总方差由Γii=ξi+ζG（i）+ηeG（i）+σbG（i）+X（64）给出。如上所述，我们希望用样本总方差Cii识别Γii。这给出了关于N+K+F+L+1未知数ξi、ζA、ηA、σα和X的usN方程。然后，与之前一样，这里的主要问题是，一般来说，一些ξi、ζA、ηA、α和/或X将（不可接受地）为负值。因此，如果我们要求所有ζi，ζA，ηA，σα和X都是非负的，那么我们得到ζA≤ min（Cii），ηa≤ min（Cii），σα≤ min（Cii）和X≤ min（Cii），并且由于方差Cii有一个偏斜（理论上为lo g-normal）分布，这意味着ζa、ηa、σα和X将对大多数具有较大Cii的股票，包括相应的对角元素i，产生较小的影响。E涉及此类股票的相关性将很小。这里我们讨论一个简单的启发式“fix”（或“hack”）。这里的关键观察结果是，如果cii更均匀，那么要求所有ξi、ζA、ηA、σα和X一般为非负，不会产生小的相关性。因此，让我们考虑相关矩阵ψij而不是Cij:Cij，来考虑ciib中的不均匀性≡pCiipCjjψij（65），其中ψii=1。因此，特别地，代替Cij，我们现在通过一个俄罗斯dollfactor模型对ψij进行建模，也就是说，我们将Γii与ψii区分开来，因此我们有Γii=1和ξi+ζG（i）+ηeG（i）+σbG（i）+X=1（66），我们只剩下K+F+L+1个未知数ζa、ηa、σα和X。为了取得进展，让我们观察到这里没有唯一的解决方案或神奇处方。考虑到这一点，让我们考虑以下简单的假设：ξi=ζA=ηA=σα=X=1/5（67）。这里，“市场”回报定义为宇宙中所有股票回报的加权平均值，用i标记∈ {1 , . . .

，N}。即使是在afo转售专利算法中，也必须做出某些（复杂的）选择。也就是说，假设“市场”、部门、行业和子行业在总方差中的权重相等，与股票特定（特质）风险相同。同样，这是一个简化的假设，但出于说明目的，它将起作用。4.1赛马下一步，我们想看看上述简化的俄罗斯玩偶模型是否增加了价值。测试这一点的一种方法是，在给定交易范围和相应的预期回报（见下文）的情况下，进行一场市场竞争。一方面，为了获得所需的持有量，我们可以使用俄罗斯玩偶模型，在满足玩偶中立性约束的情况下，通过夏普比率最大化进行优化。另一方面，我们可以使用诊断样本协方差矩阵diag（Cii）进行同样的优化，受美元中性约束，甚至行业、行业和子行业中性约束。事实上，使用对角协方差矩阵r ix并受线性同质约束的优化相当于加权横截面回归，载荷矩阵ix的列（在该列上，r eturns被回归）与约束系数向量和用逆变量1/Cii识别的回归权重相同——详情见（Kakushadze，2015）。因此，为了术语上的方便，我们将赛马称为优化（使用俄罗斯玩偶模型）和加权积分（使用各种约束）。4.1.1注释请让我们设置我们的注释。π，i=1，N是由i标记的股票的股价。事实上，每只股票的价格是一个时间序列：Pis，s=0，1，M、 其中，指数s标记交易日期，s=0对应于时间序列中的最新日期。