俄罗斯玩偶风险模型

我们将使用上标O和C（未调整的开盘价和收盘价）以及AO和AC（开盘价和收盘价因拆分和股息而完全调整），因此，例如，PCisis是未调整的收盘价。Visis指未经调整的日交易量（以股份计）。此外，我们将隔夜收益定义为接近下一个开放收益：Ris≡ 自然对数PAOis/PACi，s+1（68）请注意，本定义中的两个价格均已完全调整。订单在开盘时以开盘价POI确定，并在当天收盘时以收盘价PCis结算，无交易成本或延误——我们的目标不是制定交易策略，而是检查我们的俄罗斯娃娃因子模型是否增值。每种股票的损益为∏is=His皮斯波伊斯- 1.（69）本节剩余部分与（Kakushadze，2015）第7节重叠，因为回溯测试模型类似（尽管不完全相同）。这就是所谓的“延迟-0”a lpha——在阿尔法中使用泊松，并作为确定的填充价格。他希望持有的美元在哪里。每天每只股票的买入加卖出（即建立和清算交易的合并）股份通过Qis=2 | His |/POI计算。4.1.2宇宙选择在我们运行模拟之前，我们需要选择我们的宇宙。我们希望这里的讨论尽可能简单，所以我们根据定义的平均每日美元交易量（ADDV）来选择我们的宇宙≡ddXr=1Vi，s+rPCi，s+r（70）我们将d=21（即一个月），然后通过ADDV将我们的宇宙列为2000强。然而，为了确保我们不会无意中引入单一选择偏差，我们不会每天重新平衡宇宙。相反，我们每月重新平衡，准确地说，每21个交易日一次。

也就是说，我们将5年的回溯测试周期（见下文）分成21天的间隔，我们使用ADDV计算宇宙（反过来，ADDV是根据紧接着该间隔的21天周期计算的），并在整个间隔期间使用该宇宙。然而，我们确实存在的偏见是生存偏见。我们采用截至2014年6月9日的Tickers数据，这些数据包含http://finance上的历史定价数据。雅虎。2008年8月1日至2014年9月5日期间的com（于2014年9月6日访问）。我们限制thisuniverse仅包括在美国上市的普通股和类别股（无OTC、优先股、e tc）自2014年9月6日起，完成BICS行业、行业和子行业任务。然而，存活率偏差似乎不是主要影响因素——详情见（Kakushadze，2015）第7节。此外，基于ADDV的universeselection绝对不是最优选择，这里选择它是为了简单。在实际应用中，流动性股票的交易范围是根据市值、流动性（ADDV）、价格和其他（专有）标准精心选择的。4.1.3回溯测试我们在5年内运行模拟。更准确地说，M=252×5，ands=0是2014年9月5日（见上文）。年化资本回报率（ROC）的计算方法为每日平均损益除以（日内–见下文）投资水平I（无杠杆），再乘以252。年化夏普比率（SR）计算为每日夏普比率乘以√每股252美分（CPS）的计算方法为总损益除以总交易股份。如上所述，我们假设没有交易成本。这是因为交易成本只需将优化和加权回归α的ROC降低相同的数量，而这两种策略的设计交易量完全相同。

因此，包括交易成本在内，不会影响在竞争中的实际表现。由于赛马的目的仅仅是检查两个Alpha的相对性能（而不是建立一个现实的交易策略），包括交易成本只会使事情复杂化，而不会带来任何实际好处。4.1.4加权回归α我们的投资组合中对所需美元持有量的限制如下：美元中立性：NXi=1His=0（71）行业中立性：NXi=1bOhmiαHis=0（72）行业中立性：NXi=1eOhmiaHis=0（73）子行业中立性：NXi=1OhmiAHis=0（74）注意，部门、行业和子行业的中立性自动意味着美元中立性asPLα=1bOhmiα≡ 1，PFa=1eOhmia≡ 1和pka=1Ohm内华达州≡ 1，即截距（即单位N向量）包含在载荷矩阵B中Ohmiα，eOhmiaandOhmIava通过其列的线性组合。接下来，对于标有s的每个日期，我们在相应的载荷矩阵上进行回归的横截面回归，称之为Y（指数被抑制），它有4种不同的体现：i）对于美元中性，Y是一个N×1单位的矩阵（即整数）；ii）对于扇区中性，Y是N×L mat r ixbOhmiα；iii）行业中立性Y是N×F矩阵Ohmia；对于子行业，中性度yy是N×K mat r ixOhm伊莉亚。不是说在情况i）中，回归只是在截距之上，而在情况ii）-iv）中，截距自动包括在内。回归权重由zi给出≡ CI1/I。更准确地说，对于每个日期s，样本方差Ciis根据样本计算如下：≡ 变量Ri，（s+1），Ri，（s+2），里（s+d）（75）也就是说，对于每个数据，我们计算前d个交易日的隔夜收益率，并根据相应的d日时间序列计算方差CIIS。Wetake d=21（即一个月）。

然而，为了避免权重zi出现不必要的变化（因为这种变化可能导致不必要的过度交易），就像交易世界一样，我们不每天计算zi，而是每月计算一次，准确地说，每21个交易日计算一次。也就是说，我们将5年的回溯测试周期划分为21天的间隔，我们计算该间隔前21天的方差CiiB，并使用这些方差通过zi=1/CiiD计算整个该间隔的权重。在上述4种情况i）-iv）中，我们计算加权回归的残差εisof，然后通过（我们使用矩阵表示法和抑制指数）计算所需的残差εisof：ε=R- Y Q-1YTZ R（76）Z≡ diag（zi）（77）Q≡ YTZ Y（78）eR≡ Zε（79）His≡ -eRisIPNj=1埃尔斯（80）其中Q-1是矩阵Q的倒数（在情况i中，它是一个1×1矩阵），我们有：NXi=1 | His |=i（81）NXi=1His=0（82），其中i是日内美元总投资水平（多头加短头），这与所有数据相同。等式（82）意味着投资组合是美元中性的。这是因为“回归收益”的横截面平均值为0，这是因为截距要么包含在（案例i）中，要么包含在荷载矩阵Y（案例ii-iv）中。表1给出了结果，图1中绘制了4种情况（i）-iv）的P&L。在表2中，为了进行比较，我们还给出了回归权重设置为1时相同4种情况下的结果。我们通过eεis表示相应的回归方程，我们也将在下面使用。

使用反向方差作为回归权重显然会增加价值，这并不奇怪，因为这相当于通过样本方差抑制波动性较高的股票对投资组合的贡献——如上所述，加权回归与通过Sharpe rat io最大化进行的优化相同，其对角线样本协方差矩阵受相应的线性齐次约束。4.1.5优化的alpha接下来，我们转到优化的alpha。在最大化夏普比时，我们使用Θij给出的近似协方差矩阵≡pCiipCjjh1.- ζG（i）- ηeG（i）- σbG（i）- 十、δij++ζG（i）δG（i），G（j）+ηeG（i）δeG（i），eG（j）+σbG（i）δbG（i），bG（j）+Xi（83）更准确地说，它以降低ROC为代价来提高SR和CPS——基于回归的投资组合更接近最大夏普比率。其中，样本方差CIIAR的计算方法与加权回归a lpha s的计算方法相同（基于21天的间隔），如上所述，为了简单起见，我们将ξi=ζa=ηa=σα=X=1/5。对于每个日期（我们省略了指数s），我们都在最大限度地提高夏普比率，以满足美元中性约束：s≡PNi=1HiEiqPNi，j=1ΘijHiHj→ 最大（84）NXi=1Hi=0（85），其中Ei≡ eεi指的是预期收益（eεi指隔夜收益的单位权重回归残差）OhmiA（子行业）-见上文。解由hi=γ“NXj=1Θ给出-1ijEj-NXj=1Θ-1Ijpink，l=1Θ-1klepnk，l=1Θ-1公斤（86）在哪里-1是Θ的倒数，通过nxi=1 | Hi |=I（87）的要求固定整体归一化常数γ。注意，（86）满足美元中性约束（85）。下面一行的表1给出了模拟结果。图1中包含了该优化alpha的损益图。

很明显，我们在这里使用的（原始和特别的）俄罗斯玩偶模型增加了价值——即使我们没有计算因子协方差矩阵或特定风险，只是做了一些启发式近似。表1 bot t t om行中的优化模型的ROC、SR和CPS略好于基于子行业的回归模型——就所有实际目的而言，它们的性能都相当。然而，不同之处在于，俄罗斯dollmodel（尽管这个特定版本很粗糙，这是一种外行的构建方式）是一个预测对角相关性的全风险模型，而回归中使用的只是载荷矩阵和回归权重，并不预测对角相关性。通过使用适当的算法来计算因子协方差矩阵和特定风险，我们可以比我们在这里使用的原始俄罗斯玩偶模型做得更好，尽管这种算法会带来成本。然而，由于明显的原因，此类算法不在本说明的范围内。同样重要的是要注意，在上面的示例中，我们有意不包括任何风格因素——如果我们包括风格因素，我们必须计算风格因素的因素协方差矩阵，再加上上述构造中的“市场”因素，这将需要使用专有算法。在这篇文章中，上述例子显然被淡化了，仅用于说明目的。在下一节中，我们将对此进行进一步阐述。5结论性意见总结而言，俄罗斯玩偶风险模型构建背后的基本理念和动机是，在某些情况下，基于（或更普遍地使用）历史时间序列数据计算因子协方差矩阵可能是不可取和/或不可取的。

在这种情况下，可以使用俄罗斯玩偶结构将因子协方差矩阵建模为fa cto r模型，从而减少必须计算因子协方差矩阵的f因素的数量。如果需要，可以连续应用此（近似）过程，以显著减少必须计算f因子协方差矩阵的剩余风险因子的数量，或完全消除它们。在本说明中，我们讨论了如何在（二元）基于行业分类的风险因素以及（非二元）类型因素存在的情况下应用该结构。在实际应用中，当需要因子模型来估计/预测对角相关性时，俄罗斯玩偶模型构建是一个强大的工具，但全边缘因子模型并不可用或不可行。在这方面，让我们回到我们在第4节中使用的原始结构。我们可以将这种结构推广到任意风险模型，而不必涉及俄罗斯玩偶结构。假设我们确定事实上的r载荷矩阵OhmiA，可能包含基于行业分类的因素、风格因素、基于主成分的因素等——p ri o ri可以是任意的。俄罗斯玩偶近似的粗略版本是因子协方差矩阵ΦABis对角线：ΦAB≈ ζAδAB。然而，与之前一样，即使采用这种近似方法，也不能保证所有ξi>0，其中ξi为特定风险。如第4节所述，我们可以通过因子模型（Cij）来模拟相关矩阵ψij，而不是通过因子模型（Cij）来模拟共变矩阵Cij=√CiipCjjψij）：ψij≈ Γij≡ ξiδij+KXA=1ζAOhm内华达州Ohm二元情况下的jA（88）OhmiA=δG（i），Awe有条件ξi+ζG（i）=1（89），因此，如上所述，我们可以应用一个简单的Ansatz，例如ξi=ζa=1/2。

然而，fornon二进制OhmiAa simple Ansatz不存在，需要上述专有算法。当我们有（少量）风格因素和二元行业因素的组合时，情况也是如此。致谢这项工作大部分是在我访问香港科技大学高级研究所期间完成的。我要感谢泰亚斯及其主任亨利·泰伊教授的盛情款待。我还要感谢Jean-Philippe Bouchaud和R\'emy Chichepatiche，感谢他们使用嵌套因子模型来建模股票收益的非线性依赖关系。参考Sang，A.，Hodrick，R.，Xing，Y.和Zhang，X.（200 6）波动率和预期收益的横截面。金融杂志61（1）：259-299。安森，M.（20 13/14）私募股权的业绩衡量：另一个滞后的贝塔效应。《私募股权杂志》17（1）：29-44。Asness，C.S.（1995）过去股票收益率解释未来股票收益率的能力。高盛资产管理公司。工作文件。Asness，C.和Stevens，R.（1995）预期股票回报率交叉部分的行业内和行业间变化。高盛资产管理公司。工作爸爸。Asness，C.，Krail，R.J.和Liew，J.M.（2001）对冲基金对冲吗？《投资组合》杂志（19-6）：管理。Bansal，R.和Viswanathan，S.（1993）无套利和套利定价：新方法。金融期刊48（4）：1231-1262。Banz，R.（1981）公共股票回报与市场价值之间的关系。金融经济学杂志9（1）：3-18。Basu，S.（1977）普通股的投资业绩与其市盈率的关系：对有效市场假说的检验。金融日记32（3）：663-682。Black，F.（1972）限制借贷的资本市场均衡。

商业日志45（3）：444-455。Black，F.，Jensen，M.和Scholes，M.（1972）资本资产定价模型：一些实证检验。年：Jensen，M.（编辑）《资本市场理论研究》。纽约：Praeger出版社，第79-121页。Blume，O.和Friend，L.（1973）资本资产定价模型的新视角。《金融杂志》28（1）：19-33。勃兰特，M.W.，布拉夫，A.，格雷厄姆，J.R。和库马尔，A.（2010）。特质波动之谜：时间趋势还是投机事件？财务研究回顾23（2）：863-899。Burmeister，E.和Wall，K.D.（1986）套利定价理论和宏观经济因素度量。财务回顾21（1）：1-20。Campbell，J.（1987）股票回报和期限结构。金融经济学杂志18（2）：373-399。坎贝尔，J.Y.，莱塔大学，M.，马尔基尔，B.G.和徐，Y.（2001）个人股票是否变得更不稳定？对特质风险的实证探索。金融杂志56（1）：1-43。Campbell，J.和Shiller，R.（1988）股息价格比率以及未来股息和贴现因子的预期。财务研究综述1（3）：195227。Carhart，M.M.（1997）共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52（1）：57-82。Chen，N.，Grundy，B.和Stambaugh，R.F.（19-90）变化风险、变化风险溢价和股息收益率影响。《商业杂志》63（1）：51-70。Chen，N.，Roll，R.和Ross，S.（1986）经济力量和股票市场。商业杂志59（3）：383-403。Chicheport iche，R.和Bouchaud，J.-P.（2014）股票收益率非线性相关性的嵌套因子模型。定量财务（即将出版），内政部：10.1080/14697688.2014.994668。Cochrane，J.H.（2001）资产定价。普林斯顿大学出版社。康纳，G。和Korajczyk，R.（1988）n平衡APT中的风险和回报：新测试方法的应用。金融经济杂志21（2）：255-289。康纳，G。

Korajczyk，R.（1989）提出了跨期贝塔定价模型。金融研究综述2（3）：373-392。DeBondt，W.and Thaler，R.（1985）股市是否反应过度？金融日记40（3）：739-805。Dhrymes，P.J.，Friend，I.和Gultekin，N.B.（19 84）对套利定价理论经验证据的批判性重新审视。《金融杂志》39（2）：323-346。Fama，E.和French，K.（1992）预期股票收益的横截面。《金融杂志》47（2）：427-465。Fama，E.F.和French，K.R.（1993）股票和债券收益中的常见风险因素。J.Financ。经济部。33(1): 3-56.Fama，E.和French，K.（1996）资产优先权的多因素解释。金融杂志51（1）：55-94。Fama，E.和French，K.（2015）五因素资产定价模型。《金融经济学杂志》（即将出版），内政部：10.1016/j.j。2014.10.010.法玛，E.F.a和麦克白，J.D.（1973）风险，回报和均衡：经验测试。《政治经济杂志》81（3）：607-636。Ferson，W.和Harvey，C.（1991）经济风险溢价的变化。政治经济杂志99（2）：385-415。Ferson，W.和Harvey，C.（1999）条件变量和股票回报的横截面。《金融杂志》54（4）：1325-1360。Hall，A.D.，Hwang，S.和Satchell，S.E.（2002）使用贝叶斯变量选择方法选择全球股票回报模型中的风格因素。银行和财务杂志26（12）：2301-2325。Haugen，R.A.（1995）新金融：针对有效市场的案例。新泽西州上鞍河：普伦蒂斯大厅。Jagannathan，R.和Wang，Z.（1996）条件资本资产定价模型和预期收益的横截面。《金融杂志》51（1）：3-53。Jegadeesh，N.和Titman，S.（1993）买入赢家和卖出输家的回报：对股市效率的影响。金融杂志48（1）：6591。卡库沙泽，Z。