高效的XVA管理：使用

贸易敏感性贡献正是他们的CVA敏感性分配。CVA的二阶灵敏度及其精确分配与CVA的一阶灵敏度一样有效。2.7预期缺口计算、敏感性和精确分配该示例表明，我们的贸易水平回归、A/AD和全球条件调整组合可以应用于预期缺口。预期短缺是基于条件预期的风险度量，即高于给定百分比的平均值。通常情况下，ES（97.5%）会引起关注，因此在2500种情况下，平均值将超过显示最大损失的2.5%，即62种最严重损失情况下的平均值。由于篇幅的原因，我们考虑了五种情况下的ES（60%），因此我们对最坏两种情况下的损失进行了平均。由于ES是基于条件期望的，所以我们可以将类似的逻辑应用于它的计算和精确分配，如图4所示。有两点我们使用多项式作为基函数，从技术上讲，实数上的多项式形成一个交换环。这个环在微分作用下闭合。10.2-0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0贸易#2-0.186-0.368-0.277贸易#3-0.314-0.632 ES-0.473总计-0.593-1.184-0.8885-0.8885冲击情景（x的绝对变化）值差异图4：使用全局条件和回归的预期短缺的精确分配。一旦我们从投资组合计算中知道哪些冲击情景会导致ES（对于ES（60%），这里的冲击情景2和3），我们只需要计算这些情景的交易值，我们可以使用回归轻松地计算它们。

请注意，尽管所有交易在两个使用场景中都有损失，但一般情况下可能不会发生这种情况。注意：首先，贸易水平分配是准确的；第二，我们只计算出口商品所需的贸易价值。一般来说，这将导致ES的贸易水平分配速度提高约40倍（97.5%）。此处应用于ES的逻辑也适用于VaR，被视为具有上限和下限的ES。ES的一阶和二阶灵敏度可以用与CVA相同的方法计算，即贡献将是相加和精确的。这适用于所有敏感度等级。2.8寿命预期短缺计算、灵敏度和精确分配我们应用于CVA和ES的逻辑可以结合起来，快速计算寿命ES、其灵敏度和精确分配。不同的冲击可能发生在不同的情况下，当冲击因市场水平与原始冲击产生的差异或其他原因而正常化时（Kenyon和Green 2014b）。通过平均每个生存期场景中的交易水平ES分配，我们获得了生存期ES的交易水平分配。因为我们是平均值，所以我们假设每个场景都有适当的贴现值或其他调整值（例如，通过生存概率）。与之前的案例一样，我们可以使用贸易水平回归计算寿命周期的一阶和二阶灵敏度。我们在每个生命周期场景中使用投资组合ES计算得出的ES相关场景。因为我们是在全球条件下，我们再次具有贸易水平敏感性贡献的可加性。因此，分配和重新分配都是微不足道的。

因此，例如，我们可以提供基于ES（或VaR）类型计算的MVA敏感性的交易级分配。3方法学在给出了一组激励性的例子之后，我们现在发展出一般理论。我们首先正式介绍三个关键技术要素：贸易水平回归、分析敏感性计算和全球条件。然后，我们将这三者结合起来进行XVA管理。贸易水平回归我们用一组基函数表示整个投资组合中的每笔贸易。也就是说，我们在每个感兴趣的时间点（包括t=0）将扩展状态空间中的每个交易值与基础交易集进行回归，我们称之为停止日期。对于百慕大可调用的交易，可以使用早期启动的Longsta ff-Schwartz（Longsta ff和Schwartz 2001；Wang和Ca flish 2009）完成，对于不可调用的交易，我们可以使用更简单的增强状态空间方法（Green和Kenyon 2014a）。我们对XVacalculation的许多时间点感兴趣，因为这些时间点涉及随时间变化的积分（Burgard和Kjaer 2013；Green、Kenyon和Dennis 2014）。对于每个交易用户界面，i=1|在整个投资组合中，我们有：Ui（tk；ξ）=f*,k|Xl=1ai，j，kfl，k（B\'j，k（tk；ξ））+i、 k（tk；ξ） k=1|K |ξ∈ Ξ（tk）（6）其中fl，k（B\'j，k）是|f*,|B的k |函数*,k |以停止日期k的工具为基础，并且有| k |停止日期从t=0到最后计息日期，比如投资组合的最后现金流动日期tk。*表示时间tk时增广状态空间Ξ（tk）内ξ点处的回归误差。“\'j表示每个f（）可能依赖于基础工具的任意子集。除了标准的正则性条件外，f（）没有任何限制。增强的状态空间可以通过提前开始模拟（Wang和Ca flish 2009）或直接增强（Green和Kenyon 2014a）创建。

a*是常数。在等式6中，只有ai、j、KD参与交易至关重要。OFFL、K功能和B’j、kbasis工具不依赖于交易。这意味着，虽然基础工具和功能可能任意复杂，但它们在所有行业都是常见的。由于计算精度有限，这不是一个显著的限制。有足够多的基函数j、 k（tk；ξ）可以在感兴趣的状态空间内任意调用（Longsta off和Schwartz 2001），我们不再进一步包含它。对于30年的掉期投资组合（Green and Kenyon 2014a），几十个基函数在寿命MVA计算中表现出收敛性，但每个例子都需要研究。（Gerhold 2011）提供了关于收敛性的一般渐近结果。为了清晰起见，我们选择了线性回归设置（线性回归）*, 但不是在B*) 但更复杂的版本是可能的。这是线性的，因为一旦状态空间上的点已知（或由某种机制选择），那么f*（）是简单的数字和a*可以解决。分析灵敏度计算我们使用回归的分析导数，以及下垫面的分析或算法导数来获得灵敏度。在使用敏感性回归的分析导数时，如（Wang和Ca flish 2009），我们依赖于回归是价值函数的良好代表。对于差异（Glasserman and Yu 2004）和L’evy过程（Gerhold 2011），回归到价值函数本身的收敛性已被广泛研究。在（Wang和Ca flish 2009）的定理1中涵盖的导数收敛性。

AD和AAD均可用于校准仪器的底层衍生产品，这些技术已被广泛研究（Broadie and Glasserman1996；Giles and Glasserman 2006；Naumann 2012）。全局条件作用我们使用全局条件作用进行计算。所谓全局条件化，我们的意思是我们使用全局标准来选择场景（蒙特卡罗，和/或VAR或ES），然后我们只对这些场景进行计算。全球标准的一个例子是投资组合价值的符号。然后，我们可以使用选择的情景来计算贸易水平敏感性。从技术上讲，我们使用过滤概率空间上条件期望的线性性质。估值调整通常在条件预期内和跨时间内都是加性的。这只取决于ConditionalExpection的属性，它独立于可能选择的特定场景。考虑一个概率空间(Ohm, F、 P），其中Ohm 是事件的宇宙，是一种过滤Ohm P是F上的概率测度。设X（t，ω（t）），Y（t，ω（t））是定义在F上的随机变量(Ohm, F、 P），G是F的次过滤，其中ω（t）∈ G（t），α（t）是一个确定性标量，然后是（Shreve 2004）中定义2.3.1和定理2.3.2的一个基本结果：E[X（t，ω（t））+α（t）Y（t，ω（t））|G（t）]=E[X（t，ω（t））|G（t）]+α（t）E[Y（t，ω（t））|G（t）]t（7）因此，给定贴现债券价格D（t，ω（t）），也定义为(Ohm, F、 显然（在适当的正则条件下）：ZTt=0E[（X（t，ω（t））+α（t，ω（t）））Y（t，ω（t）））D（t，ω（t））|G（t）]dt=0E[X（t，ω（t））D（t，ω（t））|G（t）]dt dt+ZTt=0α（t[Y（t，ω（t））| D（t），ω（t））| G（t）dtG可能依次在其中有子过滤，也就是说(Ohm, F、 P）可能包含嵌套的概率空间。

因此，我们已经证明了条件数量的寿命成本计算的线性，例如，风险敞口（包括生存加权）、VAR、预期短缺等。这是分配和重新分配的关键，而无需使用贸易水平回归进行重新模拟。这也意味着分配方法可以是精确的，只要对Ohm 通常是风险中性过滤，另一个是它的增强。例如，在t=0时，增广状态空间Ξ（0）包含一组广泛的事件，用于获得适用于VAR或ES的回归。Ξ（t）由一组具有给定概率的事件（通常是一组历史事件）驱动。xVA** 5CVA C+DVA B-FCA B+FVA=DVA+FCA B（空白）表1：替代方案* 5选择了文本中不同的xVA可能性不等式8（方程式改编自Burgard和Kjaer 2013）。考虑线性方程：Ax=b，其中A是非方数据矩阵，x，b是向量，b是数据，x是未知量。现在假设A包含一组场景的基本工具的值，b包含目标工具在相同场景集上的值。x（基本仪器的系数）的最小二乘解可通过使用奇异值分解（SVD）获得，该奇异值分解（SVD）由后代换步骤（Press、Teukolsky、Vetterling和Flannery2007；String 2009）完成。虽然投资组合中有许多工具，但基础工具的（整体）集合是固定的，因此只需完成一次SVD（或一次完成日期）。在每个停止日期（在工具到期之前），投资组合中每一笔交易的反向替换步骤都可以并行完成，是GPU实现的理想选择。

百慕大可调用工具需要进一步的步骤（Longsta off和Schwartz 2001），但仍然包含使用A的回归步骤，因此这是常见的。美国选项的快速GPU实现已在基准测试中得到证明（Denmouth 2014）。现在，我们将技术要点应用到XVA管理中，并展示它们如何简化和加速计算。3.1 CVA、DVA、FVA：定价、敏感度和分配我们从a银行、B银行及其交易对手C之间的无担保净额结算的一般估值调整开始。估值调整可以针对CVA、DVA或FVA，因此我们将其标记为xVA。战略一：在自身违约情况下无短缺的半复制（Burgard和Kjaer，2013年）的等式为：xVA*= -Lgd*ZTtλ*（u） Dq（t，u）EtV（u）杜（8）在哪里*确定计算哪个xVA，请参见表1。* B代表银行，C代表交易对手。5可以选择正风险敞口、负风险敞口，或者根据特定的估值调整不做任何事情。Dq（t，u）是利率q的u和t之间的贴现系数，q=r+λB+λC:r是无风险利率，λ*银行或交易对手的风险率。V是网络设置的未调整值。假设净额集V由一组交易πi组成，那么等式8变成：xVA*= -Lgd*ZTtλ*（u） Dq（t，u）EtXiπi（u）！du（9）现在假设期望值和时间积分都是使用我们（使用最简单的时间积分方案）的观测集（例如，通过模拟生成）来计算的：xVA*= -Lgd*nkXk=1（tk- tk-1)λ*（英国）Dq（t，英国）njnjXj=1Xiπi（英国；ωj，k）！其中NK是时间步数，NJ是每个时间点的场景数。ωj，k表示时间tkinscenario j时随机因子的实现∈ G（tk），其中G是过滤。应用方程式6，即。

对我们获得的贸易价值进行回归：xVA*= -Lgd*nkXk=1（tk- tk-1)λ*（英国）Dq（t，英国）×njxj=1Xi | f*,k|Xl=1ai，l，kfl，k（B\'j，k（tk；ωj，k））= -Lgd*nkXk=1（tk- tk-1)λ*（英国）Dq（t，英国）×njxj=1|F*,k | Xl=1al，kfl，k（B\'j，k（tk；ωj，k））al，k=Xiai，l，k因为基础工具在所有交易中都是常见的，所以我们现在有一个只涉及这些工具的等式。现在我们可以展开xVA的方程*以消除（）支架的非线性，如：xVA*= -Lgd*nkXk=1（tk- tk-1)λ*（英国）Dq（t，英国）×njnjXj=1IVj，k | f*,k | Xl=1al，kfl，k（B\'j，k（tk；ωj，k））（10）=-Lgd*nkXk=1（tk- tk-1)λ*（英国）Dq（t，英国）×njXj | Vj，k | f*,k|Xl=1al，kfl，k（B\'j，k（tk；ωj，k））（11）方框表示开发的关键点——我们根据我们的调节标准选择的一组全局场景进行计算。这是全球调节的一个例子。我们在未经调整的未来净额结算设定值的符号上使用IVj、kas指标函数（选项见表1）。等式11我们在每个时间点都选择了这样的场景，即设置集值满足标准（即与指标函数相同的选择）。这些场景在每个时间点都会有所不同。在这一点上，可以说我们做了更多的工作，而不是更少。我们必须在所有（增加的）场景和所有时间点对所有原始交易进行估值，以获得回归系数。此外，我们还必须计算回归。然而，xVA只是第一步，我们的目标也是xVA管理。现在，我们将展示我们在敏感性、分配和分配xVA敏感性方面取得的成就。一般来说，所有这些计算都比最初的xVA计算成本更高。在下一节中，我们将使用与MVA计算、灵敏度、分配和MVA灵敏度分配完全相同的回归。

因此，即使对于XVA计算，我们也将展示其巨大的优势。敏感度通过敏感度，我们指的是对冲的敏感度，即校准、仪器。我们假设这两组是相同的。我们进一步假设灵敏度是通过分析计算的（或通过算法计算的，除了不颠簸之外，我们对方法没有区别）。显然，我们已经立即降低了分析衍生工具的实施成本，从整个投资组合中的所有交易类型到基础工具集。在这种情况下，实施通常意味着节省大量时间。下一个关键观察结果是，由于分析灵敏度基于微小变化，我们以有限的精度计算，因此我们计算的场景集j | Vj，k不变。因此，对于我们需要灵敏度的校准仪器：xVA*s=。fl，k（B′j，k（tk；ωj，k））B\'j，k（tk；ωj，k）B\'j，k（tk；ωj，k）盐碱活性JxVA*,s=。Jfl，k（），B\'j，k（）JB\'j，k（），swhere j*,*他们是雅各比派。我们预先选择了场景j | Vj，kT，以便计算，因此所有内容都是线性的——由于微分是一个线性算子，所以这一点仍然存在。一般来说，jfl，k（），B\'j，k（）将是分析的，因为该属性将选择fl，k（）。典型的正交基函数集，如正弦和余弦，或切比雪夫多项式，具有简单的解析导数（Press、Teukolsky、Vetterling和Flannery 2007）。xVA交易平台的交易级别分配估值调整价格分配是xVA交易平台的核心活动。xVA的贸易水平分配通过考虑各贸易对其回归系数的贡献，由方程式11直接给出。

例如，贸易i:xVA*= -Lgd*nkXk=1（tk- tk-1)λ*（英国）Dq（t，英国）×njXj | Vj，k | f*,k|Xl=1ai，l，kfl，k（B|j，k（tk；ωj，k）），其中与等式11的区别在于，我们现在使用贸易i的回归系数ai，l，krather，而不是净集回归系数al，k。使用贸易水平回归和全局条件，即在选定情景j|Vj，k内计算，分配既精确又可加性。因此，重新分配，也就是说，将不同行业的xVA重新分配给不同的集团，例如报告，是微不足道的。敏感度的交易级别分配套期保值成本通常来自敏感度，因此这些敏感度的交易级别分配是XVA交易台的核心活动。由于微分是一个线性算子，我们可以结合前两部分的参数，观察使用我们的回归和调节方法，对于校准仪器s：CVA（C，t）s=XiCVA（πCi，t）在这里，我们只计算选定情景下的“交易”敏感度。我们引用贸易是因为我们可以利用回归系数的可加性任意创建新的贸易分组。因此，我们可以自由地分配和重新分配对冲成本。也就是说，成本是线性的，我们只将标量数之和重新分配到不同的盆（桌子、小组等）。此外，我们仅使用适当的回归系数计算所需的最粗略水平的灵敏度。增量xVA在一个交易日内，投资组合将持续变化，xVA交易台必须向其他交易台提供这些变化的价格。投资组合的变化可能会改变调节集j | Vj，k。对于xVA，调节集是针对每个交易对手的。