流动性风险下的风险度量

为了艾莉∈ N、 V，U∈ Zi满足以下公理a）单调性递减：V（w）≤ U（w），然后ρ（V）≥ ρ（U）；b） 现金不变性（或现金可加性）：M∈ R、 ρ（V+m）=ρ（V）- m、 风险度量ρ称为凸ifc凸性：ρ（λV+（1- λ） U）≤ λρ（V）+（1）-λ） ρ（U），0≤ λ ≤ 1.我们的第一个目标是显示定义（2）以及假设（1）和（2）意味着βiis增加、现金次加性和凸非流动性风险度量。提议1。通过映射βi:R>0表示非流动性风险度量→ R.那么，βi（y）=ρ（Ziy）是递增的，是次可加的，y是凸的∈ R> 0，即满足以下a）递增单调性：Y≥ 五、∈ R> 0，然后是βi（y）≥ βi（v）；b） 现金次加性（或平移超方差）：M≥ 0以至于∈ R> 0，然后是βi（y+m）≥ βi（y）- Mc） 凸度：y、 五∈ R> 0，然后是βi（λy+（1）- λ） v）≤ λβi（y）+（1）- λ） βi（v），0≤ λ ≤ 1.证据。a） 让y，v∈ R> 0。根据假设（1），y≥ v意味着退出（w，-y）≤ 希特（w，-v） 索特·齐伊（w）≤ 齐夫（w）。通过定义（2），可以得出βi（y）=ρ（Ziy）≥ ρ（Ziv）=βi（v）。b） 为了你∈ R> 0米≥ 0很容易确定βi（y+m）≥ βi（y）=ρ（Ziy）≥ ρ（Ziy+m）=ρ（Ziy）- m=βi（y）- m逐点（a）、m的积极性和定义（2）。c） 让y，v∈ R> 0注意，Ziλy+（1-λ） 五≥ λZiy+（1）- λ） Zivfrom假设（2）。这一定义（2）意味着βi（λy+（1- λ） v）=ρ（Ziλy+（1）-λ） v）≤ ρ（λZiy+（1）- λ） （Ziv）≤λρ（Ziy）+（1）- λ） ρ（Zv）=λβi（y）+（1）- λ） βi（v）。备注1。我们观察到，y>0对应于金融机构在时间0借入证券i的单位，并在时间T出售这些单位的情况。公理（a）则表示，如果金融机构增加了证券i的多头头寸，那么其非流动性风险度量β也将增加，因为金融机构的风险更高，流动性更低。

假设m=1，则Axiom（b）的含义是“当金融机构购买超过y个单位的证券i，确切地说是y+弹药时，非流动性风险的降低幅度不能小于m”。然后，公理（b）读作βi（y+1）- βi（y）≥ -这意味着greaterSee Follmer and Schied（2004）和Delbaen（2002）对非流动性风险度量进行了功能定义。或等于-1当安全i中的位置从y变为y+1时。也就是说，金融机构的资金在流动性差的市场中更值钱。最后一个公理说明了一个事实，即当y较小时，由一个单位公司产生的证券i的风险增加在y>0时比在y较大时小。从实践的角度来看，这一公理将鼓励金融机构将一项大型交易变成几个较小的交易。3.2非流动性风险度量的双重表示在本小节中，我们假设所有y的随机变量为Ziy∈ R属于定义在可测空间上的所有有界可测函数的空间(Ohm, F） 。回想一下，为空间zi配备上确界范数| | Ziy | | | supω∈Ohm|Ziy（w）|，凸风险测度是关于这个范数的Lipsch-Itz。我们的目的是给出非流动性风险度量βi的双重表示。正如第（3.1）小节所述，非流动性风险度量的主要公理是凸性、现金的次可加性和递增单调性。现金可加性公理是标准风险度量和本文提出的风险度量之间的一个重要区别。为了在凸分析中使用一些主要结果，我们将在本节的其余部分使用一个新的Translational不变量函数，作为特例包含我们的风险度量函数。为了解决这个问题，我们引入了一种新的功能，其定义方式与中的类似（El Karoui and Ravanelli（2008））。

首先，我们定义了以下函数fi（y）=βi（y）如果y≥ 0ρ（Ziy）如果y≤ 根据惯例，我们把βi（0）=ρ（~XiT（w））=ρ（Zi），而βi（0）≤ ρ（Ziy）=每个y的βi（y）≥ 0，βi（0）≥ ρ（Ziy）=每个y的βi（y）≤ 0，其中XiT（w）给出了未受影响的价格。从现在起，我们将假设ZiYi是凹的∈ R.可以很容易地验证fi（y）满足命题（1）f或任何y∈ R.然后让^βibe函数定义为^βi（h，x）def=fi（（y+x）-x） +x，h=y+x，x∈ 兰迪∈ R.以下命题表明^βi（h，x）满足递增单调性、平移不变性和凸性。提议2。函数^βi（h，x）定义为fi（（y+x）- x） 每小时+x（h，x）∈ 李斯特单调递增，平移不变，凸。证据a） 增加单耳性：让y≥ u、 x≥ x和h=y+x，v=u+x∈ R和x，x∈ R.根据fi的单调递增性，可以得出^βi（h，x）=fi（（y+x）- x） +x=fi（y）+x≥ fi（（u+x）- x） +x=fi（u）+x=^βi（v，x）；b） 平移不变性：假设m∈ R、 x∈ R、 还有y∈ R.那么βi（h+m，x+m）=fi[（h+m）-（x+m）]+（x+m）=[fi（h-x） +x]+m=[fi（（y+x）-x） +x]+m=βi（h，x）+m；c） 凸性：设0≤ λ ≤ 1，y，u∈ R、 x，x∈ R、 h=y+x，v=u+x。通过定义，fi[λ（h- x） +（1）- λ） （五）- x） ]+λx+（1）-λ） x≤ λfi（（y+x）-x） +（1）-λ） fi（（v+x）-x） +λx+（1）- λ） x.fi的凸性意味着^βi[λ（h，x）+（1- λ） （v，x）]≤λ^βi（h，x）+（1）- λ） βi（v，x）。这就完成了证明。下面的引理表明函数^βi（h，x）是Lipschitz连续的（具有常数）√2） 关于R.引理1上的范数| |·| |。关于R，i上的范数| |·| |的函数^βi（^y）i是Lipschitz连续的。e、 |βi（h）-^βi（v）|≤√2 | | h- v | |（3）证据。

如果h=（h，x），v=（v，x），h=y+x，v=u+xhx≤vx+|H- v | | x- x|柯西不等式hx≤vx+√2 | | h- 五||√2 | | h- 五||因此我们得到了βi（h，x）=fi（（y+x）- x） +x≤^βi（v）+√2 | | h- v | |）=βi（v+√2 | | h- v | |，x+√2 | | h- v | |）=fi（（u+x）- x） +x+√2 | | h- v | |=βi（v，x）+√2 | | h- v | |通过增加单调性和平移不变性，或不同的^βi（h，x）-^βi（v，x）≤√2 | | h- v | |反转h和v得到引理|^βi（h）-^βi（v）|≤√2 | | h- v | |（4）作为引理（1）的直接结果，我们得到^βi（h，x）是R上的一个较低的半连续函数。更重要的是，它是正确的和凸的。我们已经证明了凸性和下半连续性。至于剩下的性质，很明显，^βi（h，x）是x的性质，是一个适当的凸函数fi（（y+x）- x） 定义为fi（y）=y的βi（y）≥ 0和fi（y）=y的ρ（Ziy）≤ 0.根据芬切尔-莫罗定理，参见Rockafellar（1970）、Ekeland和T`emam（1999）以及Borwein和Lewis（2006）了解芬切尔-莫罗定理的多元版本，函数βi（h，x）的第二个共轭与函数本身相一致，即βi**（h） =βi（h）（5），其中βi（h）=βi**（h） =supv∈R{hTv-^βi*（v） }和^βi*（v） =suph∈R{vTh-^βi（h）}很容易看出，函数f可以通过设置x=0来导出，因此从方程（5）中，^βi（h）可以被视为e变量的函数。因此，βi（（y，0））=fi（y）=supu∈余{yu- 菲*（u） }其中fi（u）的共轭有以下表达式fi*（u） =^βi*（（u，0））=supy∈R{uy- fi（y）}现在，将y限制在R>0，我们可以提供非流动性风险度量βi，其形式为βi（y）=fi（y）=supu∈余{yu- 菲*（u） }Y∈ R> 因此，我们证明了下列定理。定理1。

R>0上定义为βi（y）=ρ（Ziy）的任何非流动性风险度量，以及定义在有界随机变量线性空间zi上的ρa凸风险度量和ziydecreasin y，可表示为βi（y）=supu∈余{yu- 菲*（u） 具有共轭函数fi的}（6）*被认为是愚蠢的∈R{uy- fi（y）}和方程（2）中的f。例1。假设证券i的价格是由XiT（w，y）=XiT（w）+ay给出的，其中XiT（w，y）是正的，并且对于每个y是有界可测的∈ R、 并且，XiT（w）给出了时间T时安全i的未受影响的价格。从数学上讲，最终价格可能是负值，但实际上是不可能的。实际上，通常a>0是很小的。供应曲线的线性形式通常是在无时获得的，例如，将股票价格与股票的签约交易量进行回归。Blais和Protter（2010）给出了一个实证例子。将这些代入方程中，我们得到thatZiy=~XiT（w）-很容易得出ZiYi是递减的和凹的，ZiYb是有界可测函数的空间。考虑空间Ziasβi（y）=ρ（Ziy）=上定义的凸最坏情况风险度量ρ- infw∈Ohm{XiT（w）-y>0时为}（7）。现在，重写方程（7）βi（y）=- 在fw∈Ohm{XiT（w）}+ay可以得出βi（y）=ρ（~XiT）+ay（8）。正如我们所见，在没有流动性的情况下，风险度量可以通过简单地在等式（8）中取y=0来获得。头寸y的资本要求由y（ρ（~XiT）+Xi（y）给出。我们还发现，非流动性风险度量β满足命题（1）的公理。

此外，存在非流动性的头寸y的资本要求由y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））给出。那么资本需求是y的线性函数，斜率n由（ρ（~XiT）+ay+Xi（y）给出。这简单地说，y中每单位增加βi的增长率取决于标准风险度量加上两个附加条款，即度量证券i的非流动性风险和Xi（y）初始价格。由于定理（1），非流动性风险度量也具有双重表示。现在假设XiT（ω，y）=XiT（w）+MiT（w）y，其中XiT（ω，y）是所有y的正有界可测函数∈ R、 而且是肯定的。在这种情况下，凸最坏情况风险度量变成βi（y）=ρ（Ziy）=- infw∈Ohm{XiT（w）-麻省理工学院（w）y}=- infw∈Ohm{XiT（w）}+y supw∈Ohm{MiT（w）}=ρ（~XiT）+y supw∈Ohm{MiT（w）}（9）这种情况下的非流动性条件由y supw给出∈Ohm{MiT（w）}，资本要求为y（ρ（~XiT）+y supw∈Ohm{MiT（w）}+Xi（y）），进一步假设XiT（w，y）为XiT（w，y）=XiT（w）+θsgn（y）+ηy，θ，η>0，sgn为符号函数，且XiT（w，y）为正且有界可测。

有关讨论，请参见Almgre n（2000）。最坏情况下的风险度量为βi（y）=ρ（Ziy）=- infw∈Ohm{XiT（w）- θsgn（y）- ηy}=- infw∈Ohm{XiT（w）}+θsgn（y）+ηy=ρ（~XiT）+θsgn（y）+ηy（10），非流动性项由θsgn（y）+ηy给出，资本要求由y给出（ρ（~XiT）+θsgn（y）+ηy+Xi（y））。定理m（1）可以再次用于给出βi的对偶表示。3.3通过之前在空间Zi上所做的假设，β和ρ之间的关系，Zi上定义的任何凸风险度量ρ都有形式为ρ（Z）=suph的adual表示∈ba{h（Z）-ρ*（h） }Z∈ Zi（11）式中ba:=ba(Ohm, F） 表示具有有限总变量和ρ的所有有限可加集函数的空间*等于ρ*（h） =supZ∈Zi{h（Z）- ρ（Z）}（12）人们也可以将ρ不同地写成ρ（Z）=supQ∈M1，f{EQ(-Z）- α（Q）}Z∈ Zi（13）式中M1，f:=M1，f(Ohm, F） 是所有正整数加法集函数的集合Q:F→ [0,1]标准化为Q[Ohm] = 1，α（Q）=supZ∈Zi{EQ(-Z）- ρ（Z）}（14）是取R值的最小惩罚函数∪ {+∞}.因此，将等式（11）中的对偶表示应用于我们的情况，我们立即推导出βi（y）=ρ（Ziy）=supQ∈M1，f{EQ(-（齐伊）- α（Q）}齐伊∈ Zi，y>0（15），α如等式（14）所示。备注2。我们立即发现，风险度量ρ和流动性风险度量βi之间存在明显差异。风险度量ρ被定义为证券i未来价格的函数，而β是证券i交易量空间R>0的函数。这意味着风险度量指标现在是实变量的实值函数。

因此，我们可以将每个正交易量y关联起来∈ R> 0给出证券中金融机构具体情况的实数βi（y）i.3.4 LPSPACE上的非流动性风险度量现在我们在度量空间上定义了一个概率度量(Ohm, F） 回想一下Lp中凸风险度量的双重表示(Ohm, F、 P）1小时≤ P≤ ∞ 空间。一般情况下凸风险度量的定义Zi:=Lp(Ohm, F、 P）概率s步与定义（2）相同。特别是，风险度量ρ定义在∞(Ohm, F、 P）空间具有Lipschitz连续性和有限价值性。ρ的连续性和凸性意味着风险度量ρ存在对偶表示，即ρ（Z）=supQ∈M1，g{EQ(-Z）- α（Q）}Z∈ Zi（16），其中现在M1，gdenotes是所有正整数可加集函数Q:F的集合→ [0,1]这是绝对连续的w。r到P，并归一化到Q[Ohm] = 和α（Q）一样，最小惩罚函数。在这种情况下，液化风险度量等于supQ∈M1，g{EQ(-（齐伊）- α（Q）}。对于凸风险测度ρ：Lp(Ohm, F、 P）→ R∪ {+∞} 关于Zi:=Lp(Ohm, F、 P）1的空间≤ p<∞ , 对偶表示的存在与风险测度泛函的下半连续性（关于范数| |·| | p）密切相关。（Kaina and R¨uschendorf（2009））证明了凸下半连续风险测度ρ的对偶表示形式为ρ（Z）=supQ∈M1，q{EQ(-Z）- α（Q）}Z∈ Zi（17）与通常的α（Q）一样，圆锥形指数Q=p/（p）-1） 和m1，q={q∈ M（P）| dQdP∈ Lq(Ohm, F、 P）}（18），其中M（P）表示关于P的所有绝对连续概率的类别。然后我们有βi（y）=supQ∈M1，q{EQ(-（齐伊）- α（Q）}。

与所有有界可测函数的Banach空间上定义的非流动性风险度量的不同之处在于，在LPS情况下，非流动性风险度量值假设+∞.在这一点上，我们还想强调一个事实，即非流动性风险度量可能独立地接受双重表示，因为风险度量ρ承认或不承认双重表示。事实上，当给定的随机变量空间上定义了一个适当的凸风险度量ρ，并且满足定义公理时，非流动性风险度量可以很好地表示在一个b-uy阶上（2）。我们将这个结果纳入推论。推论1。非流动性风险度量β离子空间R>0定义为βi（y）=ρ（Ziy），其中ρ是满足定义公理（2）和Ziydecreasing与凹公理的适当凸风险度量，具有对偶表示，与ρ是否具有对偶表示无关。我们还注意到，定义在一个变量空间上的适当凸风险度量是确保非流动性风险度量β满足命题（1）的公理和定理（1）的对偶表示的有效条件，但它并不总是一个必要条件。例如，在某些情况下，定义在空间Zi上的风险度量不是凸的，并且仍然具有非流动性风险度量β，即满足命题（1）和定理（1）。下面的例子说明了这一事实。例2。设P是可测空间上的概率测度(Ohm, F） 定义ZiyasZiy=~XiT（w）-嗯- xi风险值测量值V aRδ，δ∈ （0，1），在本质有界随机变量空间上，自然定义为β（y）=V aRδ（Ziy）=inf{m∈ R | P（~XiT（w）-ay+m<0）≤ δ} 对于y>0。回想一下，varδ是单调递减的、现金加性的、正齐次的，但在空间Zi上不是凸的。

然后，βi（y）=V aRδ（~XiT）+ay（19），可以看到n，βiis增加，凸，和现金子加法。其次，它也承认了定理（1）的对偶表示。要了解这一点，请首先注意间隔垫圈上的βi连续>0。将f作为等式（2）给出结果。y（V aRδ（~XiT）+ay+Xi（y））给出的资本要求是y的一个递增函数，可以看出，y大于流动市场中所需的资本要求。受例（2）的启发，我们得出以下命题。提议3。如果证券的价格是XiT（w，y）=XiT（w）+hi（y）类型的可分离加法函数，且hi（y）增加凹性且对所有y具有确定性∈ R、 和XiT（w）未受影响的价格，然后给定一个定义在包含Ziy的随机变量空间上的适当现金加法函数ρ，函数βi表示为βi（y）=ρ（Ziy）=ρ（~XiT+hi）(-y） ）是一个风险衡量标准化命题（1）。此外，它承认定理（1）的对偶表示。证据根据定义，βi（y）=ρ（XiT+hi(-y） ）=ρ（~XiT）-嗨(-y） 。现在，利用hito的凹凸性和递增性得出结论，β是递增单调的、现金次加性的和凸的。通过使用等式（2）中的函数f，可以得到双表示。当ZiYi如命题（3）所示时，我们也可以以类似于前一小节的方式定义函数δi:R<0→ R，它们都衡量金融机构在证券i中y<0的位置的非流动性风险。我们通常通过δi（y）=ρ来定义δias(-Ziy），在给定的空间Zi上定义ρ凸风险度量。此外，我们假设ρ（U）<+∞ ρ（U）>-∞对某些人来说∈ 子。我们注意到-对于所有的Ziy和Ziy∈ R并且这种情况下的现金流由-y[XiT（w，-y）-Xi（y）]。简单计算表明，δiis递减单调、cash超加和凹。