流动性风险下的风险度量

这里，现金超可加性或Trans-slational次方差意味着δi（y+m）≤ δi（y）+m表示每y<0，m≥ 0和（y+m）≤ 备注（1）允许我们解释这些公理。值得考虑的公理是递减单调性和凹性。特别是，第一条公理说，证券i的非流动性风险随着金融机构出售的y数量的增加而增加，从而使其流动性降低，风险增加。我们已经看到，凸性公理促使金融机构将大型交易限制为小型交易。本着同样的精神，凹度公理刺激金融机构拆分其大额交易，因为当y较小时，y<0的单位增加所导致的安全风险i降低更大。接下来，我们定义函数giasgi（y）=ρ(-如果是的话≥ 0δi（y）如果y≤ 0（20），其中δi（0）等于ρ(-~XiT）=ρ(-)。那么，δi（h，x）def=gi（h-十）-xdef=gi（y+x）-十）-x、 其中h=y+x，x，y∈ R、 d是单调的，现金加法的，凹的和Lipschitz连续的吗√2.最后，Fenchel-Moureau-th-eorem的另一个应用导致了定理（1），sup算子被inf算子取代。我们不为一般随机变量定义非流动性风险度量δ离子R<0的原因- Ziyis的结论是，我们通常不能确定由此产生的风险度量δi（y）=ρ(-Ziy），其中ρ是（凸的）风险度量，是凸的或凹的，因此我们不能利用FenchelMoreau th eorem给出δi的对偶表示。我们还注意到命题（3）对δi也适用。此外，使用非流动性风险度量δi代替βi，示例（1）中的资本需求是y（ρ（)XiT）- Xi（y））=y（supw∈Ohm{XiT（w）}- Xi（y））当Ziy=~XiT（w）- 嗯。注意，在这种情况下，ρ是有限值，在U中是线性的∈ 子。

这意味着当h（y）是非确定性的时，命题（3）保持7，δiadmit是Fenchel-Moreau对偶表示。对于h（y）非确定性，我们的意思是它有一种类型B（w）F（y）或B（w）+F（y）。其他情况和示例（2）可以类似地进行。例3。在空间上确定一个概率测度P(Ohm, F） 。现在让我们假设，安全性i的价格XiT（w）遵循几何B罗文运动，漂移项取决于交易量，即isdXit=XiT（hi（y）+u）dt+XiTσdBt（21），其中hi（y）=ay是一个递增和凹函数，σ和u是常数，Xi（y）>0是初值，y>0，B表示标准布朗运动零。这种建模证券价格的方法基于（Almgren和Chriss（2005））开发的框架。求解随机微分方程yieldsXiT（w）=Xi（y）exp{ayT}exp{（u-σ） T+σBT}（22）在这个假设下，我们让XiT（w，y）等于exp{ayT}XiT（w），其中+XiT（w）=Xi（y）exp{（u）-σ） T+σBT}给出了不存在不确定性时的价格。应用于XiT（w，y）的varα是βi（y）=varδ（Ziy）=inf{m∈ R | P（经验值）{-ayT}XiT（w）+m<0）≤ δ} =inf{m∈ R | P（经验值）{-ayT}XiT（w）+m<0）≤ δ} =inf{m∈ R | P(-ayT+ln（~XiT（w））<ln(-m） )≤ δ} =inf{m∈ R | P（ln（~XiT（w））<ln(- m） +ayT）≤ δ} =inf{m∈ R | PBT<ln(-m） +ayT- ln（Xi（y））- (u -σ） Tσ！≤ δ} 因为BT是标准的布朗运动，我们可以把它表示为BT=√T W为标准正态分布。因此，βi（y）=inf{m∈ R | PW<ln(-m） +ayT- ln（Xi（y））- (u -σ） T√Tσ！≤ δ} 和Φ-1（δ）=ln(-m） +ayT- ln（Xi（y））- (u -σ） T√Tσ由此我们得到βi（y）=-经验{-ayT}expΦ-1（δ）√Tσ+（u）-σ） T+ln（Xi（y））= 经验{-ayT}V aRδ（~XiT）（23），它完全符合命题（1）的三个公理。

这种类型的风险度量鼓励金融机构停止大额交易，因为对于较大的y，βI的增长率大于y的比例。然后给出头寸y的资本要求b y y（exp{-ayT}V aRδ（~XiT）+Xi（y）），它在y中增加，直到金融机构放松初始投资。给定V aRδ的值，我们还可以计算另一个常见的风险度量，即AV aRδ，在几何布朗运动情况下，h（y）=ay表示βi（y）=AV aRδ（Ziy）=δZδV aRδ（Ziy）du（24），从而替换βi（y）=δexp{-与V aRδ风险度量不同，AV aRδ是一个一致的风险度量。此外，与V aRδ的情况一样，βi在y中是单调递增的、次可加的和凸的。资本需求通常由y（βi（y）+Xi（y）给出。提议4。给定一个在随机变量Zi空间上定义的适当的正齐次函数ρ，以及一个形式为XiT（w，y）=hi（y）~XiT（w）的证券价格的可分离乘法函数，h（y）在所有R上递增、正、凹且确定，则函数βi（y）=ρ（Ziy）=ρhi(-y） 退出）与齐伊∈ Zi，y>0，ρ取负值，是一个满足命题（1）的风险度量，具有定理（1）中的对偶表示。证据通过应用ρ的正齐性和hi的正性，证明了这一点。事实上，βi（y）=嗨(-y） ρ（~XiT）。然后，凹度和High的递增特性会影响第一个结果。二元表示法通过使用方程式（2）中的函数f得出。相反，如果XiT（w，y）是一个负决定论齐次函数，那么根据上述命题和芬切尔-穆鲁定理，前面讨论的非流动性风险度量δias允许双重表示。同样，我们假设ρ（U）<+∞ρ（U）>-∞ 对某些人来说∈ 子。

如果想要推导出非流动性风险度量和对应于示例（3）的资本要求，那么遵循的程序是相同的。例4。再次，假设证券的价格由XiT（w，y）=XiT（w）+MiT（w）y给出，且XiT（w，y）为正且基本有界，并考虑以下定义在基本有界可测函数空间上的风险度量，L∞(Ohm, F、 P），即βi（y）=ρ（Ziy）=λlog EP（exp{-λZiy}）=λlog EP（exp{-λ（~XiT（w）-MiT（w）y）}（26）式中λ∈ [0, +∞) 给出了风险规避参数。这种凸的风险度量称为熵风险度量，它与指数效用函数密切相关（见F¨ollmer and Knispel（2011））。可以检查到，β是命题（1），可以根据定理（1）表示。资本要求等于y（βi（y）+Xi（y））。这个例子还表明，如果我们定义一个非流动性风险度量δion R<0，δI将导致一个递减的、现金超加法的、具有良好定义的对偶表示的适当凸函数。这一事实再次证实了为什么我们没有发展出一个通用的二元理论来衡量流动性风险，该理论定义为R<0.4，衡量金融机构将其交易拆分为较小交易时的非流动性风险，如前一节所述，非流动性风险度量的凸性促使金融机构将其大额交易冻结为较小的订单，以降低非流动性风险。基于这一假设，在本节中，我们假设金融机构出售数量y>0的证券i的方式与（Acerbi and Scandolo（2008））的论文类似，将其拆分为小订单yjso将尽可能降低流动性风险。

金融机构首先以最高的价格出售单位yj≤ xjuntilPjyj=y，其中xjgives价格XiT（w，-yj）一次订购。在这种情况下，我们正在处理XJ（XiT（w，-yj）- Xi（y））yj对于y>0（27）且XiT（w，y）与假设（1）中的XiT（w，-yj）≥ 希特（w，-yk）如果j≤ k、 及yj>0。请注意，xit（w，-y） 在y中是单调递减的。此外，如果在等式（27）中假设时间0的交易也以分割订单形式进行，则没有任何变化。在这种情况下，现金流将是XJXIT（w，-yj）yj-XkXi（yk）YKY>0withPkyk=y，yk≤ xk，和xk可购买的最大金额。然后，我们可以假设金融机构首先以最低价格购买，因此xi在y中增加。为了使方程（27）中的连续版本存在，我们必须对随机变量XT（w，y）设置一些条件。特别是，为了方便起见，我们必须要求XT（w，y）在Ohm 每一次∈ R.在这些假设下，上述方程中和的连续变化就是积分zyxit（w，-u） 杜-yXi（y）对于y>0（28），风险因此由随机变量Ziy捕捉：Ohm → R表示为asRyXiT（w，-u） 杜。作为一个imm中介结果，我们得出ZiYi在y中增加∈ R\\{0}。此外，它是凹状的∈ R\\{0}自XiT（w，-y） 是一种消弱的功能。请注意，现在我们不再假设XiT（w，-y） 在y方向是凹的∈ R \\{0}。在这个阶段，我们希望确定R>0空间的非流动性风险度量。幸运的是，前一节提出的理论完全适用于Ziyis等于toRyXiT（w，-u） 杜。使用定义（2），可以很容易地得出非流动性风险度量值βiis递减、现金超加法（或平移超变量）和凸y>0。

现在的区别是，βiis递减和现金超加性，而不是递减和现金次加性。通过注意Ziy（w）可以导出递减性质≥ Ziv（w）意味着ρ（Ziy）≤ ρ（Ziv）当y≥ v和y，v>0。因此，这一特性表明，金融机构的长期头寸增加越多，流动性风险指标减少的越多。这种特性可以归因于交易分割效应，在没有固有限制的市场中，这种效应可以将对证券价格的影响降至最低。另一方面，可以通过注意βi（y+m）=ρ（Ziy+m）来获得现金超可加性≤ ρ（Ziy）≤ ρ（Ziy）- m） =ρ（Ziy）+m=βi（y）+m，对于所有m≥ 0.因为y=0意味着XiT（w，0）=XiT（w）和XiT（w，-y）≤ XiT（w，0）≤ XiT（w，y）对于每个正y，我们看到所有y都是凹的∈ R.然后，如果我们在等式（2）和βias fi（h）中定义一个函数，它将遵循这一点- 十）- x=fi（（y+x）- 十）- x和h，x∈ R、 定理（1）的对偶表示形式自^βiis Lipschitz连续且凸，除递减和现金加法外。例5。本例显示了将交易拆分为较小交易的策略如何降低非流动性风险度量βi。假设价格XiT（w，y）如例（1）所示，我们想要计算非流动性风险度量βi（y）=ρ（Ziy）=-infw∈Ohm{RyXiT（w，-u） 杜}。这就是βi（y）=- infw∈Ohm{ZyXiT（w，-u） du}y>0（29），也可以写成βi（y）=- infw∈Ohm{Zy（~XiT（w）-au）du}=-y infw∈Ohm{XiT（w）}+ay=yρ（~XiT）+ay我们注意到βiis递减、cash超加性和凸性。此外，自已也是盟友∈ R、 以及风险度量βiholds的双重表示。资本要求由（ρ（~XiT）+ay+Xi（y）给出。

与给定金融机构出售y>0个单位的证券i而不将其拆分成小块的情况相比，资本要求更小，因为y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））<y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））。如果我们进一步假设位置y>0的初始货币价值由以下公式给出：-PkXi（yk）积分形式的ykor-RyXi（u）du，资本要求为y（ρ（~XiT）+ay+Xi（0）），可以看出它小于y（ρ（~XiT）+ay+Xi（y））。相反，如果我们假设XiT（w，y）由XiT（w，y）=XiT（w）±γ| y |α，α<1，γ>0给出，那么流动性风险度量eβi（y）=-infw∈Ohm{RyXiT（w，-u） du}由βi（y）给出- infw∈Ohm{ZyXiT（w，-u） du}y>0（30），也就是βi（y）=- infw∈Ohm{Zy（~XiT（w）-γ| y |α）du}=-y infw∈Ohm{XiT（w）}+γyα+1α+1=yρ（~XiT）+γyα+1α+1资本要求由y（ρ（~XiT）+γyα+1α+1+Xi（y）给出。之前获得的所有结果仍然有效，包括关于非流动性风险度量δi的结果（使用适当的方法）。其中之一是流动性风险度量δi.5多元非流动性风险度量的增加性。在本节中，我们讨论了多元情况下的非流动性风险度量。我们的目标是为由n项资产组成的投资组合引入流动性风险度量。作为一个起点，我们将介绍我们将在本文测试中使用的投资组合的概念。定义3。投资组合y是向量y=（y，y，…，yn）∈ Rn\\{U}，其中yi表示金融机构在资产i中的位置，U由{v给出∈ Rn：v的至少一个组成部分是ze-ro}。我们说，当yi>0时，金融机构在资产i上做多，当yi<0时，金融机构做空。正如本文开头所讨论的，我们将只为由n个多头头寸组成的投资组合建立一个一般的对偶理论。定义4。固定一个可测量的空间(Ohm, F） 。让我来∈ Rn+\\{U}是一个投资组合。

投资组合y的风险与随机变量Zy有关：Ohm → R、 给定zyaszy（ω）=nXi=1Ziyi（ω）（31），其中yi>0。随机变量紫衣：Ohm → R是相对于F可测量的，对于每一个=1，2。。。，n并假设以下公式ziyi=XiT（w，-yi）XiT（w，yi）表示时间T时证券i的价格，Xi（yi）表示时间0时证券i的价格，对应于qu-anty-yi。假设XiT（w，yi）满足假设（1），即每一个=1，2。。。，N注意，通过Rn+我们表示Rn的正元素，即p∈ Rn+if-pi≥ 0表示每一个=1，2。。。，n、 为了简化符号，我们设置Zy:=ZT，y=ZT（y，y，…，yn）。对于每个y，随机变量zy被解释为来自位置yi的风险，i=1，2。。。，n、 在n种证券中的每一种。考虑一个由n个多头头寸组成的投资组合。就像在单变量情况下一样，我们假设每一个yi的子yi都是凹的∈ 因此，zy在y中是凹的∈ Rn+\\{U}，显然是在Rn中。这可以从假设（2）和众所周知的事实推断出来，即如果可分解函数zy=Pni=1ziyi的所有分量都是凹的，那么它就是凹的。假设3。函数zy在Rn+\\{U}Zλy+（1）上是凹的-λ） 五≥ λZy+（1）- λ） 兹维，v∈ Rn+\\{U}0≤ λ ≤ 1（32）随机变量Zy∈ R代表每一个y∈ 我们假设生活在一个随机变量的空间Z上。我们在这个空间中增加了一个凸风险测度函数ρ：Z→ R满足每S，U的递减单调性、现金不变性和凸性∈ Z.因此，我们可以对空间Rn+\\{U}上的非流动性风险度量给出以下定义。定义5。

给定ρ：Z→ R空间Z上的凸风险测度，Rn+\\{U}i上的非流动性风险测度β定义为β（y）=ρ（Zy）Y∈ Rn+\\{U}（33）然后，我们很容易验证β是一个非流动性风险度量，满足以下公理。a） 单调性增加：Y≥ 五、∈ Rn+\\{U}，这就是易≥ 每i=1，2。。，n、 然后是β（y）≥ β（v）；b） 现金次加性（或平移超方差）：β（y+me）≥ β（y）- MM≥ 0，y∈ Rn+\\{U}，e=（1,1，…，1）；c） 凸度：y、 五∈ Rn+\\{U}，然后是β（λy+（1- λ） v）≤ λβ（y）+（1）- λ） β（v），0≤ λ ≤ 1.通过回顾函数Ziyi的性质和Zy的特殊形式，这些公理很容易遵循。更准确地说，我们可以利用这样一个事实：每个子一在一中是递减的，在一中是凹的，并且是一个可分解的函数来推导上述三个公理中的每一个。5.1多元非流动性风险度量的对偶表示Orem（1）表示，定义在空间R>0上的非流动性风险度量β对于定义在空间Zi上的每个适当凸风险度量具有对偶表示。本小节的目的是将此结果推广到多变量情况。为此，首先使用定义的所有有界可测函数的空间Z将更有指导意义(Ohm, F） 。我们假设每个Ziyi都属于空间Z。作为有界可测函数的和，随机变量Zy属于Z。现在让我们考虑一个定义在空间Rnf（y）=β（y）上的实值函数f，如果y∈ Rn+ρ（Zy）如果y∈ Rn\\{Rn+}（34）其中y∈ Rn\\{Rn+}如果y∈ 所以/∈ Rn+。很快，f（y）在所有y中都是递增的、次可加的和凸的。我们将f（0）=β（0）=ρ（Z）=ρ（Pni=1Zi），这是流动购买投资组合的风险度量。我们以与上一节相同的方式引入了一个新函数^β。

更明确地说，对于所有h，x∈ Rn，我们让^β（h，x）def=f（h）- x） +xdef=f（y+x）-x） +x.以下命题的证明与命题（2）的证明相同。我们把校样交给读者。提议5。函数β（h，x）定义为f（h-x） +x对所有（h，x）来说都是递增单调的、平移不变的和凸的∈ R2n。另一个结果，我们已经在单变量情况下展示过，是函数^β（h），h=（h，x）是Lipschitz连续的，常数等于√空间R2n上的2n。引理2。多元函数β（h）是关于R2n上的范数| |·| |的Li-pschitz连续的，即|β（h）-^β（v）|≤ ||H- v | |（35）表示R2n上的everyh和v。在这个阶段，我们已经具备了将芬切尔-莫罗定理应用于多元函数β（h）所需的一切。根据这个定理，β（h）是真的、凸的和低s连续的当且仅当β（y）是Fenchel双共轭β（h）=β（h）**. 因此，^β（h）是适当的、凸的和低连续的。我们在下面的定理中插入这个重要结果。定理2。函数^β（h）=f（h）- x） 方程（34）中定义了f（y）的+x具有以下对偶表示^β（h）=β（h）**= supv∈R2n{hTv-^β*（h） }（36）如果我们设x=0，只取y∈ Rn+\\{U}，我们可以陈述上述理论的以下推论，这要求我们计算每个y的非流动性风险度量∈ Rn+\\{U}。推论2。