慢递减Hawkes核的估计：在高等教育中的应用

为了精确估计整个范围内的核[Tmin，Tmax]，高斯求积受其在小滞后（t’Tmin）下的行为的约束，这意味着使用k=Tmax/Tmin=10阶的多个求积点，即使对于D=1，也远远不能用数字解系统（9）。避免这种困难的一种方法是通过使用[36]中提出的变量变化来增加接近零的点。让{tk，wk}1≤K≤k对应于[log（Tmin），log（Tmax）]，wethen集（tk，wk）=（etk，etkwk）上的高斯求积格式。（10） 然后我们用新系统替换系统（9）：~gij（tn）=~φij（tn）+DXl=1KXk=1wk~gil（tn- tk）~φlj（tk）。（11） 为了测试这种新的估计方案，我们模拟了一个参数为φ（t）=0.06（0.005+t）1.3和u=0.05的一维霍克斯过程。（12） 模拟是在足够长的时间（10秒）内进行的，因此与“正交误差”相比，蒙特卡罗误差足够小。备注3.1。该内核与涉及高频金融动态的内核检查相同类型的“多尺度行为”。事实上，90%的疟疾是在50年内传播的：从10年开始-3到10秒，在这个意义上+∞φ（t）dt=0.98，R-3φ（t）dt=0.05安德烈+∞φ（t）dt=0.05。我们采用了第2.4节中描述的算法，在该算法中，我们使用附录A中描述的程序，使用hmin=1ms、hmax=1000s和hδ=0.05来估计g，并将（9）替换为（11）。我们选择K=200，Tmin=1ms，Tmax=2000s。图1显示了获得的结果。

左侧显示了估计核和理论核（以及条件律g）的对数图。右边显示了理论核和估计核[0，t]上的积分。图1：左图：在尺寸为T=10秒的一维Hawkes情况下，使用参数（12）估计条件定律g和核φ。使用附录A中所述的程序，使用hmin=1ms、hmax=1000s和hδ=0.05进行g的估计，并使用第9节的算法进行核估计，高斯求积随变量（10）的变化而变化（K=200、Tmin=1ms、Tmax=2000s和USδ=0.077）。这三条曲线对应于对数-对数经验条件定律（蓝色）、理论核（红色）和估计核（绿色）适用于200个正交点。右图：累积理论核辐射φ（s）ds（绿点）和累积估计核辐射φ（s）ds（蓝色）作为对数（t）的函数。我们观察到，在很大程度上（t≥ 1s），估计的核与理论核不太接近。此外，这个过程严重低估了累积的内核。实际上，我们得到了| | | | | | | | |φ| |φ=0.98。在我们研究市场事件之间的因果关系时，这种对标准估计的错误将非常重要。实际上，核函数| |φij | |的形式可以直接解释为j型事件引起的i型事件的平均数。让我们试着对这种方法的糟糕性能给出一个直观的解释：回想一下，求积近似于Z+∞g（总氮）- s） φ（s）ds\'KXk=1wkg（tn- tk）φ（tk），N∈ [1，K]由于变量（10）的变化，0附近的正交点比任何其他时间都多。这确保了求积近似捕捉到φ（s）在s=0附近的快速变化。

然而，gis也在0左右快速变化，图1所示的估计误差来自于g（tn）的糟糕近似值- s） 大约s=tn（即，前面的求积公式中的k=nin）。在下一节中，我们提出了一个新的求积方案，该方案将捕捉任何n.3.3慢衰减核的条件律g的所有行为。3.适应的求积方案让我们考虑时间网格，时间网格从0到tMin是一致的，tMin和tMan之间的对数一致，使用相同的网格大小δ<1{tk}1≤K≤K=[0，δTmin，2δTmin，…，Tmin，Tmineδ，Tmine2δ，…，Tmax]。（13） 自适应的求积方案包括考虑核在[tk，tk+1]：φ（t）=φ（tk）+t上分段有效- tktk+1- tk（φ（tk+1）- φ（tk））。在这种线性假设下，在D=1维的情况下，方程（8）变成（对D>1维的推广是简单的）：g（tn）=φ（tn）+N-1Xk=0φ（tk）Ztk+1kg（tn- s） ds+N-1Xk=0（φ（tk+1）- φ（tk））Ztk+1tks- tktk+1- tkg（总吨）- s） ds=φ（tn）+N-1Xk=0φ（tk）Ztn-tktn-tk+1g（u）du+N-1Xk=0φ（tk+1）- φ（tk）tk+1- tkZtn-tktn-tk+1（总氮）- tk- u） g（u）duThus，使用自适应的求积，系统（9）变成（在D=1的情况下）~g（tn）=~φ（tn）+N-1Xk=0φ（tk）Ztn-tktn-tk+1~g（u）du+N-1Xk=0（φ（tk+1）-■φ（tk））（tn- tk）tk+1- tkZtn-tktn-tk+1~g（u）du-N-1Xk=0φ（tk+1）-■φ（tk）tk+1- tkZtn-tktn-tk+1ug（u）du。（14） 在x=tn形式的所有横坐标上，可以很容易地预先计算积分rxg（u）du和rxug（u）du的经验值- t使用第3.1节所述条件定律的线性插值（另见附录A）。与之前一样，这是一个正交点φ值的线性方程。通过求解，可以得到这些点的φ的估计值。

可以执行简单线性插值，以获得其他点的估计值。采用与之前相同的测试程序，我们得到，见图2，该方案在合理数量的正交点下完美工作。图2：左图：与图1相同的霍克斯过程实现的条件律g和核φ的估计。使用第9节的算法进行核估计，其中第3步的求积。已被（14）给出的自适应求积所取代（K=200，Tmin=1ms，Tmax=2000s，因此δ=0.077）。这三条曲线对应于对数-对数经验条件定律（蓝色）、理论核（红色）和估计核（绿色）用于200个正交点。估计和理论核完全匹配。右图：累积的理论核辐射φ（s）ds（绿点）和累积的估计核辐射φ（s）ds（蓝色）作为对数（t）的函数。3.4适应的估计程序本文将采用逐步估计程序：1。使用第3.1.2节中描述的程序，计算矩阵函数g的估计值g。使用自适应求积方法在区间[Tmin，Tmax]上离散维纳-霍普氏系统（8）。求积点由（13）给出，格式由（14）给出（最后一个方程对应于一维格式，但推广到任何维度都是一样的）。逆这个线性系统。这导致在正交点{φij（tn）}i，k处的矩阵核的估计∈[1，D]，n∈[1，K]以及| |φ| |的估计（使用求积）。根据经验估算平均强度∧，并使用（4.4）霍克斯模型估算u，用于一级订单事件4。1.模型的定义多元霍克斯模型提供了一个自然的框架来解释各种类型的过去事件对未来事件发生率的影响。

在[4]中，通过实时计算市场订单对价格变化的“影响”，以及价格变化的自回归动态及其对市场订单到达率的回复作用，在一定程度上考虑了该框架对经典影响价格模型（如[7]）。同样，我们可以通过在多维霍克斯模型中计算订单簿中所有事件类型的交叉和自我影响动态来扩展[4]的模型。为了节约和简单起见，我们只考虑发生在订单簿第一级的事件，即在最佳出价或最佳出价级别改变订单簿状态的事件。更准确地说，我们考虑以下8维计算过程：Nt=（P（a）t，P（b）t，t（a）t，t（b）t，L（a）t，C（a）t，C（b）t），其中：oP（a）（resp.P（b））计算向上（或向下）的中间价移动的次数T（a）（resp.T（b））统计在询价（resp.bid）时不改变价格的市场订单数量L（a）（resp.L（b））统计在询价（resp.bid）时不改变价格的限价订单数量C（a）（resp.C（b））统计在询价（resp.bid）时不改变价格的取消订单数量。备注4.1。让我们强调一下，中间价变动可能与市场订单或取消订单的发生相对应，取消订单消耗了最佳出价或最佳要求下的所有可用流动性，或者与最佳出价和最佳要求之间的价差中的限价订单相对应。为了处理一个维度相对较低的流程，我们选择不区分这些事件。之前的计数过程可以被认为是一个8维的Hawkes过程，其特征是8个外源强度和64个核。我们用φNj表示→n内核表示JTH进程对I强度的影响。

例如φT（b）→SAT对应于价格向上变动的中间价。这些强度和核可以使用第3.4节中描述的程序，从经验性书籍数据中估算。请注意，在下面的例子中，我们从不“手动”施加任何（出价，向下）（提问，向上）对称性。然而，从附录B中可以看出，按照预期，这种对称性是相当令人满意的（例如φT（B）→P（a）‘φT（a）→P（b））在我们的估计中。这表明，正如在模拟中所建议的，当我们对多维度、多时间尺度的过程进行内核估计时，我们的方法和使用的数据量允许我们检索有关内核的重要结果。事实上，不稳定的方法很难恢复这种对称性。4.2数据库描述本文中使用的财务数据由欧洲/亚洲Quanthouse公司提供(http://www.quanthouse.com).它包括外滩和DAX未来合同的所有一级订单数据。我们每天只保留最具流动性的到期日，我们使用2013年6月至2014年6月一年的数据。每一份文件都以微秒的精度列出了订单簿第一个限额（最佳报价或最佳报价）的所有变化。因此，我们可以很容易地从这些数据中精确计算出这里感兴趣的不同市场事件的时间（询价或竞价市场、限制或取消第一个限价的订单以及中间价的上下波动）。在我们将学习的时间尺度上（从10-5到10秒），订单簿动态很大程度上取决于资产的刻度大小（或者更准确地说，取决于平均价差和刻度大小之间的商，请参见[6]或[12]了解小资产和大资产之间的特征和差异）。

在这方面，DAX对应于“小刻度”资产，而外滩则是“大刻度”资产。我们样本中的事件数量总结在表1中。P（a）P（b）T（a）T（b）L（a）L（b）C（a）C（b）xFDAX 9.36 9.35 2.66 2.67 19.7 19.6 23.3 23.1xFGBL 1.72 1.72 3.40 3.48 29.8 29.8 26.6 26.5表1：事件总数（百万）。我们已经使用具有幂律核的多维Hawkes过程的数值模拟来检查样本的大小是否足以提供对核形状的可靠估计。我们还确认，我们的主要结果并不取决于日内的季节性影响：如果是市场订单的时间，在第一个限额限制和取消订单，以及在这些时间第一次买卖排队的状态。4.3条件性规律估计我们按照第3.1节（另见附录a）的解释，以2013年6月1日至2014年6月1日（252个开放日）期间的参数hδ=0.05、hmin=0.1毫秒和hmax\'1059秒（见（16））来估计64条条件性规律。令人惊讶的是，大多数金融事件之间的条件定律具有非常相似的性质。如图3所示，外滩为gP（a）→P（b）、gT（a）→T（a）、gL（a）→L（a），gC（a）→C（a）、gL（a）→L（b）和gL（a）→C（a）inlog-日志图3：日志-对数经验条件定律gP（a）→P（b）、gT（a）→T（a）、gL（a）→L（a）和gC（a）→C（a）代表外滩。我们首先注意到的是，在时间尺度τ以上~ 0.1秒，这些条件定律表现为t-γ小于1。对于gT（a）→T（a），这是众所周知的流秩序的长程记忆。在τ和τ之间~ 0.3ms时，条件定律大致表现为一阶指数的幂律。

下面，τ，条件定律“饱和”。我们还观察到条件定律上的一些“凸起”，它们与估计中的噪声不对应。我们认为有两种颠簸。第一种波动出现在“四舍五入”时间（0.01、0.1、0.5、1和2秒），我们认为这是由于交易的自动化。例如，如果一个算法每秒发布一个限制命令，这意味着在1秒时条件法则会发生变化。第二类泵出现在τ附近~ 0.3毫秒。我们认为它对应于试剂对事件的平均反应时间（即平均“延迟”）。条件定律下降到0.03毫秒以下是我们数据的一个事实。一旦条件定律被估计出来，我们将按照步骤2求解维纳-霍普夫系统。三,。在第3.4节中，参数K=100（因此δ\'0.15），Tmin=0.1毫秒，Tmax\'140秒，并在第4步后计算外源强度估计值。我们将首先介绍外生强度的值。4.4外源强度让我们回顾一下，在霍克斯模型中，外源强度可以解释为“来自”外源信息源的i型（泊松）事件的速率，即不是由模型中任何其他过去事件“引起”的。在这方面，比率：Ri=ui∧i（15）代表外源性比率，即外源性事件数量与i型事件总数之间的比率。

注意，在一维的情况下，根据命题2.2，一个简单地有：R=1- ||φ||.P（a）P（b）T（a）T（b）L（a）L（b）C（a）C（b）u2.37e-2 2.39e-2 1.06e-2 1.14e-2.07e-2.27e-2 1.53e-2 7.51e-3R 2.7%2.7%4.3%4.5%1.1%1.2%0.7%0.4%表2：估计的外源强度-1） 以及DAX期货的相应外生比率（15）。P（a）P（b）T（a）T（b）L（a）L（b）C（a）C（b）u7.13e-37.10e-31.41e-21.45e-23.83e-23.83e-24.00e-24.39e-2R 4.4%4.4%4.5%1.4%1.4%1.6%1.8%-1） 以及相应的外生比率（15）。表2和表3分别给出了估计的强度和相应的外生比率。这些表格显示，对于这两种资产，外生性水平都非常低：R只有几个百分点，这意味着大多数事件可以被认为是由该模型中的过去事件直接触发的。参见[26,27]，了解此类几乎纯粹内源性的霍克斯过程的长期行为差异的理论研究。为了进行比较，参考文献[15]中考虑中间价格跳跃事件的简单一维霍克斯模型提供了一个外生比率，DAX为R=0.059，外滩未来为R=0.10。这意味着8维霍克斯模型比简单的一维模型更好地描述了中间价格的变化，而一维模型必须涉及更多的“外部”信息源。让我们也注意到，对于这两种资产，市场订单比限制和取消订单更为外生。这并不奇怪，因为一些研究倾向于表明，市场订单是“领先”的限制和取消。

因此，限制和取消订单的内生性程度应大于市场订单的内生性程度。最后，我们可以看到，尽管限价和市价指令对小型和大型股票资产具有惊人的相似外生比率，但在小型股票资产（DAX）的情况下，中间价格变化和取消事件更具内生性。4.5内核范数矩阵| |φ| |在讨论估计内核的精确形状之前，我们使用核的范数φij的值来评论订单中发生的主要相互激发和自激发。我们为DAX和BUND获得的核范数| |φ| |矩阵如图4所示。为了简单起见，我们使用从蓝色到红色的颜色映射来表示标准值。请注意，蓝色值对应于negativeLet us。请记住，范数| |φij | |表示由j.kernel范数类型的事件触发的I类型事件的平均数。在方程（3）中描述的霍克斯模型的非线性版本中，该特征被自然地解释为抑制效应。我们已经通过数值模拟验证，只要化质量（2）在大部分时间内保持为正，第3.4节中引入的非参数估计程序，当应用于非线性霍克斯过程（3）时，即使对于负欧内斯，也能得到可靠的估计。正如预期的那样，整体对称性（ask/bid）在矩阵形状上的经验恢复相当好。任何具有齐次输入（即，在价格变化、交易、取消或限制中选择相同类型的输入）和齐次输出的2×2子矩阵都是对称的。例如，核φT（a）→C（b）似乎与核φT（b）具有相同的范数→C（a）。