慢递减Hawkes核的估计：在高等教育中的应用

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英文标题：
《Estimation of slowly decreasing Hawkes kernels: Application to high
  frequency order book modelling》
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作者：
Emmanuel Bacry and Thibault Jaisson and Jean-Francois Muzy
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We present a modified version of the non parametric Hawkes kernel estimation procedure studied in arXiv:1401.0903 that is adapted to slowly decreasing kernels. We show on numerical simulations involving a reasonable number of events that this method allows us to estimate faithfully a power-law decreasing kernel over at least 6 decades. We then propose a 8-dimensional Hawkes model for all events associated with the first level of some asset order book. Applying our estimation procedure to this model, allows us to uncover the main properties of the coupled dynamics of trade, limit and cancel orders in relationship with the mid-price variations.
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中文摘要：
我们提出了arXiv:1401.0903中研究的非参数Hawkes核估计程序的改进版本，该程序适用于缓慢递减的核。我们在涉及合理数量事件的数值模拟中表明，这种方法允许我们在至少60年的时间里忠实地估计幂律递减核。然后，我们提出了一个8维霍克斯模型，用于与某个资产订单簿的第一级相关的所有事件。将我们的估计过程应用于该模型，可以揭示与中间价格变化相关的贸易、限制和取消订单耦合动力学的主要特性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Estimation_of_slowly_decreasing_Hawkes_kernels:_Application_to_high_frequency_or.pdf (1.05 MB)

2022-5-7 06:44:14 上传

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关键词：Hawk 高等教育 Quantitative Multivariate Econophysics

霍克斯核缓慢减少的估算：应用于高频订购书模型Lingemmanuel Bacry、Thibault Jaisson和Jean-Fran,cois Muzy1、2数学中心、CNRS、Ecole Polytechnique、UMR 7641、91128 Palaiseau、Francoire Sciences Pour l’Environment、CNRS、Universit’e Corse、UMR 6134、20250 Cort\'e、，FranciabstractWe提出了[5]中研究的非参数Hawkes核估计程序的修改版本，该程序适用于缓慢减少的核。我们在涉及合理数量事件的数值模拟中表明，这种方法允许我们在至少60年的时间里忠实地估计幂律递减核。然后，我们提出了一个8维Hawkes模型，该模型适用于与某个资产订单的初始级别相关的所有事件。将我们的估计过程应用于该模型，可以揭示与中间价格变化相关的交易、限制和取消订单的耦合动力学的主要特性。关键词：霍克斯过程、核估计、幂律核、高频、订单动态、交易、限价订单、取消订单、市场影响。1引言对价格形成机制的理解仍然是定量金融中最具挑战性的问题之一。在大多数现代金融交易所中，资产通过连续的双重拍卖进行交易：代理人可以选择以特定价格购买或出售股票，在订单簿中发布限价指令，或使用市场指令执行可用的限价指令。只要他们的限价单没有执行，代理商也可以使用取消订单来执行限价单。

订单簿形成的内在复杂性（它是大量匿名交易者的市场、限制和取消订单的结果）意味着，尽管其具有重大的实践和理论重要性，完整的订单簿模型相对较少（参见[11,37]了解连续双重拍卖功能的更多细节。[35,37]了解“零智能”，即书籍动态的纯随机模型[10,16,24]了解订单簿的马尔可夫模型）。一类较简单的模型不考虑流动性，只关注资产价格，这些价格被描述为各种类型订单影响的结果：以前的模型只考虑市场订单的影响[6,7,25]，而最近的一些模型考虑了所有类型订单事件的影响[11,13]。在最近的一项工作中，我们[4]中的一些人引入了一个使用HawkesProcess框架的价格影响模型。该模型与以前的影响模型具有相同的特点，但允许我们描述交易和价格变动的联合动态。特别是，与之前的影响模型不同，霍克斯模型考虑了价格变化对自身和交易的影响。霍克斯过程在[20]中被定义为点过程，其强度函数是过程λNt=u+Z过去的线性回归(-∞,t） φ（t）- s） dNs。霍克斯过程的自我和相互激励的性质使其自然地适应了多元计数过程的建模。例如，它们已成功应用于许多领域，如地震研究[32]、神经生物学[34]或社会学[30]。

在金融领域，它们最近被用于模拟交易或限制订单的到达[23,8,28]，微观结构层面的价格变化[3,4,19]，金融传染[1]或信用风险[14]。在这项工作中，我们将提出[4]影响模型的一个推广，以说明价格变化与订单一级的任何事件（市场、限制或取消订单）之间的相互作用。这个模型是一个8维的霍克斯过程，可以让我们直接测量内生性和这些事件之间的因果关系，有关使用霍克斯过程测量市场内生性的相关讨论，请参见[15]或[19]。就估计问题而言，在高频金融环境下，霍克斯核的前几次非参数估计导致指数略高于1的幂律递减核[2,4,19]。正如我们将看到的，这意味着需要在广泛的时间尺度（通常从10微秒到100秒）上估计内核，以捕获订单簿的动态。为此，我们对[4,5]中介绍的数值格式进行了改进，以处理缓慢递减的核。一些数值例子将说明，这种方法允许我们在大量的时间尺度上估计核，而这在[5]的高斯格式中是无法做到的。论文的结构如下。在回顾了多维Hawkes过程的主要定义和性质之后，我们在第2节介绍了主要的非参数估计原理。第3节解释了这些原理如何适用于缓慢衰减核的非参数估计。在本节末尾，我们将介绍这样获得的算法，并在数值模拟上进行测试。第4节介绍了一级图书模型。

它根据一年（2013年6月至2014年6月）内对应于DAX和外滩远期合约的高频数据进行校准。然后，我们就所有类型事件的内生性和相互影响对我们的结果进行评论。第5.2节“多维霍克斯过程和估计原理”总结了与以往研究相关的讨论和对未来研究的展望。在本节中，我们回顾了D维霍克斯过程的定义，并简要回顾了其主要性质。如需了解更多详细信息，请参阅[5].2.1基本定义2.1。D维点过程Nt=（Nit）1≤我≤Dis a hawkes process如果对于每个i，其强度函数λ的Ith分量是Nt过去跳跃的线性回归，即λit=ui+DXj=1Z(-∞,t） φij（t）- s） dNjs，我∈ [1，D]，（1）其中u={ui}1≤我≤Dis指所谓的外生强度（带ui）≥ 0）和φ={φij}1≤i、 j≤d所谓的霍克斯核矩阵，其中每个φij（t）是面积正的因果函数。使用矩阵卷积表示法，方程（1）的系统简单地重写λt=u+φ* dNs。（2） 让我们回顾一下Hawkes过程的以下众所周知的稳定性条件，例如参见[21]。提议2.1。如果定义为| |φ| |=（| |φij |）1的核的范数矩阵≤i、 j≤D根据定义，如果函数的支持包含在inR+中，则该函数是因果函数。有一个严格小于1的光谱半径，那么N允许一个具有静态增量的版本。让我们注意到，Br’emaud和Massouli’e[9]已经证明，当在方程（1）中λ是{dNs}s<tand的非线性正椭圆函数，且核φ的元素不被限制为正时，该稳定性标准仍然有效。在[18]过程中，φ+λ的推广被认为是特别有趣的* dNs）+（3）式中，如果x>0，则（x）+=x，否则为（x）+=0。

当φij（t）<0时，这种扩展允许oneto解释抑制效应。我们现在假设命题2.1的条件满足，并考虑平稳的霍克斯过程。下一个简单结果描述了N的一阶统计量的行为，参见示例[5]。提议2.2。N的强度向量的平均值：λ=（E[λt]，…，E[λDt]）Tsatis fies∧=（I- ||φ||)-1u. （4） 2.2二阶性质和Wiener-Hopf系统Hawkes过程的二阶统计量自然由它们的极小协方差函数表征。定义2.2。N的微小协方差ν是D×D矩阵，其元素为νij（t- t） dtdt=E[dNitdNjt]- λi∧jdtdt，其中∑是D×D矩阵，其对角线是平均强度∧i。以下结果如[2]所示。提议2.3。ν可以表示为φ的泛函：ν=（δI+ψ）* ∑（δI+ψT）（5）其中δ（T）代表狄拉克分布，∑是D×D矩阵，其对角线是平均强度∧I，其中矩阵ψ（T）定义为：ψ（T）=Xk≥1φ(*k） （t），（6）其中我们使用了符号φ(*k） （t）=φ* φ *. . . * φ（其中φ重复k次）。我们要提到的是，霍克斯过程有一种替代的“人口表示法”（参见[22]），根据它，它们被构建为以下人口过程的到达和出生时间：o有类型1的个体。。。，D.oi型移民的泊松速率为ui.o每个人都可以（先天）拥有所有类型的子女，出生或移民的j型个人的i型子女以强度φij（·的非均匀泊松过程分布- t） 。在这个模型中，| |φij | | |显示为j型个体的IOI型子女的平均数量。因此，我们使用| |φij | |作为j和i之间“因果关系”的度量。

类似地，∧j/∧i | |φij | | |表示父代为j型个体的i型个体的比例。在这种结构中，矩阵ψ的元素ψij也具有自然解释。在时间t时，每一个类型为joccurring的外生事件的类型i的后代是一个平均强度ψij的点过程(·-t） 。因此，| |φij | | |显示为从j型个体衍生而来的i型个体的平均数量。类似地，∧j/i | |ψij | |显示为i型个体的比例，其“祖先”是j型个体。正如在[5]中所解释的，由于跳跃的大小始终为1，霍克斯过程的二阶统计量也可以通过其条件统计量求和。定义2.3。我们定义了（gij）1所示的条件定律≤i、 j≤Das测度的非奇异部分E[dNit | dNj=1]：gij（t）dt=E[dNit | dNj=1]-i=jδ（t）- ∧idt。它们通过方程g（t）=ν（t）∑与极小协方差相联系-1.- δ（t）I.（7）以下命题，见[5]，通过维纳-霍普夫方程组将霍克斯过程的条件定律和核联系起来。提议2.4。给定Hawkes过程g的条件律，其核φ是Wiener-Hopf系统的唯一解：g（t）=φ（t）+g*φ（t），t>0。（8） 方程（8）在φ中被视为一个方程，其解的唯一性在[5]中得到了证明。备注2.1。霍克斯过程的线性结构意味着它们具有与自回归过程相似的性质。特别是，前面的命题可以被视为Yule WalkerEquation的反命题。2.3 Wiener-Hopf系统解的存在性和唯一性Wiener-Hopf系统（8）是我们估计过程的核心。

[5]表明，如果g是定义2.3中定义的霍克斯过程的条件定律，那么系统（8）允许唯一因果解φ。现在我们假设∑、ν和g分别是任何平稳维点过程（不一定是霍克斯过程）的平均值、极小协方差函数和条件定律。利用维纳-钦钦定理，我们得到矩阵bν（z）对于任何z都是正的∈ R.因此，我们可以应用[17]中的定理8.2将ν分解为ν（t）=Y（t）* YT(-t） 其中Y是因果关系。然后我们设置ψ=（Y- δI）√Σ-1和φ使得φ=ψ（I+ψ）-1为了得到φ满足方程（5），因此方程（8）（这两个方程对于g（t）=ν（t）∑是等价的）-1.- δ（t）I）。因此，即使我们正在研究的点过程不是霍克斯过程，方程（8）也只有一个解。因此，找到经验数据的维纳-霍普夫系统的解是有意义的。当然，这样得到的解不再一定是正的。稍后，我们将对负φ的解释进行评论。备注2.2。值得注意的是，从基本观点来看，求解维纳-霍普夫系统相当于找到核矩阵φ（和强度向量u），从而提供条件强度的最佳线性预测（在均方误差意义上）。这句话让[18,34]的作者考虑了一种替代的估计算法，该算法依赖于对比度函数的最小化，这是均方误差的代理（更多细节见[5]）。即使经验条件定律不等于实际条件定律。2.4估算原理如[5]所述，数值求解维纳-霍普夫系统（8）的过程遵循Nystr–om方法[31]。

更准确地说，假设过程N在区间[0，T]上实现，非参数估计的过程如下1。使用“足够精确”的时间网格计算矩阵函数g的估计值＠g（该时间网格外的g值将使用插值方案计算）。2。使用求积方法离散维纳-霍普夫系统（8）的欧南区间[Tmin，Tmax]。如果我们使用正交点{tk}1≤K≤正交权{wk}1的卡隆≤K≤K、 我们可以得到，系统<<gij（tn）=φij（tn）+DXl=1KXk=1wk>>gil（tn- tk）~φlj（tk），N∈ [0，K]，（9）对于所有i，j∈ [1，D].3。逆这个线性系统。这导致在正交点{φij（tn）}i，k处的矩阵核的估计∈[1，D]，n∈[1，K]以及| |φ| |的估计（使用求积）。根据经验估算平均强度∧（仅计算过程每个组件上的点数），并使用（4）估算u。在[5]中（在高斯求积的框架中）对该算法进行了深入研究，并表明它对霍克斯过程进行了快速有效的非参数估计。事实证明，在实现过程中有大量的跳跃，并且矩阵核在时间上没有很好地本地化的情况下，它尤其具有竞争力。让我们指出，[5]表明，即使核矩阵的某些元素具有中等负值，该算法也能得到精确的结果。然而，正如我们将在下一节中展示的，当核矩阵的某些元素是幂律时，估计的质量可以显著提高。在这种情况下，由于幂律核指数的“质量”分布在大范围的尺度上，因此不适合使用高斯求积，并导致不准确的估计。

我们将在高频金融数据的框架内研究这一现象。3慢衰减核的非参数估计处理高频金融数据时的一个主要问题是，动力学中涉及的尺度范围相当大。这会转化为支持度大的内核，通常从Tmin=100微秒到Tmax=100秒，缓慢衰减（类似幂律），在小滞后（大约Tmin）时变化非常快，在较大滞后（大约Tmax）时变化非常慢。让我们一步一步地遵循第2.4节的算法，并解释如何使其适应这个框架。3.1使用适用于gStep 1的样本网格。该算法的第一步（g的估计）显然是敏感的。由于核在很小的滞后时间内变化非常快，因此在估计g在0附近的行为时比在其他任何地方都要小心。在附录A中，我们精确地描述了本文中用于g估计的算法。它基本上包括两个步骤：（i）在0附近比其他任何地方更密集的时间网格上进行g的经验计算，（ii）用于在任何时候计算g值的线性插值（在我们所有的数值实验中，我们检查了高阶近似不会给整个算法带来相关精度）。3.2对于自适应的求积方案，求积的选择（算法中的步骤2）是下一个（也是最后一个）敏感步骤。文献[5]中用于求解维纳-霍普夫系统的高斯求积显然不适合这种情况。事实上，高斯正交点在[0，T]上大致一致，而核在0附近变化非常快，在其他任何地方变化都很慢。