慢递减Hawkes核的估计：在高等教育中的应用

让我们指出，由于Dax是一种股票指数，我们本可以预期买卖双方之间存在一些差异（下跌跳跃的统计数据与股票市场上升跳跃的统计数据略有不同），然而，这种差异在盘中数据上可以忽略不计。两个矩阵上明显出现的一个显著特征是（P（a），P（b））子矩阵的反对角线形状和（T（a），T（b）），（L（a），L（b）），（C（a），C（b））子矩阵的对角线形状，另见附录b.1，b.2，b.3和b.4段，其中绘制了相应的归一化累积核。这意味着，一方面，市场、限制和取消订单主要导致相同类型和标志的事件。这一性质主要归因于元序的分裂，参见[29]，在较小程度上归因于代理人的某些羊群行为。我们将在下一节中看到，这些对角核可以用大致的幂律递减函数很好地描述。就中间价格跳跃而言，P（a）和P（b）之间的交叉激励结构意味着一种强烈的均值回复行为，这是价格微观结构的主要特征，并以某种方式保证价格没有长期相关性，见[4]，符合市场效率。请注意，这个交叉价格内核可以链接到传播子模型的内核，请参见[7,25]。最后，让我们指出，价格变化似乎是对其他组成部分影响最大的组成部分，也就是说，价格变化比任何其他因素都更“驱动”动态。

我们将回到这个特征以及这个矩阵的其他特征（订单对价格的影响，价格对事件的影响，交易对流动性的影响，…）在以下章节中。让我们评论一下，我们允许在| |φ| |代表R的意义上滥用语言∞φ（s）ds不是真正的范数，除非φ（t）>0。图4：估计的| |φij | | | | 4.6范数矩阵| |ψ| | |让我们回顾一下，核φij可以被视为j型事件对i型事件的“裸”影响。如果想要解释“修饰”影响，即与某个事件触发的所有级联相关的影响，我们必须估计（6）定义的函数ψijas，其范数矩阵可以计算为：|ψ| | | |=k |φ| |（I- ||φ||)-1.更准确地说，如果引入：| |ψij | | |=uj∧i | |ψij | |那么，根据第2.2节和命题2.2中提到的总体解释，|ψij | | |对应于由j型外部事件触发的i型事件的分数（而| |ψ| | |对应于由j型事件间接产生的i型事件的平均数）。矩阵范数| |ψ| |如图5所示。图5：估计的| |ψij | |矩阵。我们可以看到，外生限制和取消订单对中间价波动的影响很小，而中间价波动主要是由外生交易和价格上涨引起的。这表明，外生信息主要通过直接改变中间价的交易或订单纳入价格。

人们还可以注意到，在大成交量资产（BUND）的情况下，外生价格变动主要影响价格本身，而不是不影响价格的订单流量，而对于小成交量资产（DAX），外生价格变动影响所有类型的事件。4.7核的形状在所有以前的研究中，对有序流动力学中涉及的霍克斯核进行了非参数估计[2,4,19]，观察到指数接近1的幂律核。这一特性可以直接与订单流动动态的强持续性联系起来，见[25]，主要由大订单的拆分引起，在较小程度上与代理人的羊群行为有关。这一特征在本文所采用的8维描述中仍然适用，当我们关注参与市场自激、限价和取消订单以及中间价波动交叉激发的内核（具有最高范数的内核，见图4）。图6显示了日志- 核的对数图φT（a）→T（a），φL（a）→L（a），φC（a）→C（a）和φP（a）→P（b）。很明显，这些核的行为松散地表现为指数的幂律，略高于1。图6：日志-φP（a）的对数图→P（b），φT（a）→T（a），φL（a）→L（a）和φC（a）→C（a）。这些内核表现出松散的幂律行为，指数接近1。为了便于说明，测试是在整个时间尺度范围内进行的，尽管它们清楚地显示了不同的状态。让我们强调一下，这种“大致幂律行为”并非适用于所有内核。例如，核φT（a）→P（a）和φP（a）→L（a）在毫秒以下“局部化”，见图7和附录B中的累积核。

经验内核的行为比条件定律“丰富得多”，如前所述，条件定律都具有相同的程式化事实。图7：φT（a）→P（a）和φP（a）→L（a）是毫秒以下时间的函数。4.8订单流量对价格的影响为了清晰起见，我们将两个8×8的核矩阵拆分为2×2的子矩阵。附录B中提供了DAX和BUND的内核表示。每个子图表示归一化累积核∧j∧iRtφij（u）du作为log（t）的函数（因此有2×64个）。在霍克斯过程的人口动力学解释中，内核的这种规范化是很自然的，见[22]。实际上，∧j∧i | |φij | | |对应于父母是j的i的比例（而| |φij | | | |对应于j型个体的i型子女的平均数量）。在本节中，我们将重点关注订单流量对价格的影响，即不会瞬间改变价格，并对中间价格变化产生影响的事件。它对应于附录B.5、B.6和B.7段。我们可以看到，这些交易对价格变化有着非常局部的延迟自我影响（我们所说的自我是指在同一个方向上，例如，ask市场订单意味着价格最终会上涨）。事实上，这似乎需要0。3毫秒，以便市场整合交易信息。这是其他代理对该顺序做出反应的平均时间（这对应于我们在第4.3节的条件定律和第4.7节的内核中观察到的“延迟”延迟）。

在这短暂的时间尺度之后，核是可以忽略的，也就是说，累积的核保持不变，而贸易并不意味着任何更多的价格变化。就限价和取消订单而言，它们的影响似乎不是局部性的，在比较DAX（小勾号）和外滩（大勾号）时会有所不同。对于DAX，限价指令通过退出相反方向的价格变动（限价指令在投标时触发价格上升，反之亦然）和轻微抑制同一方向的价格变动来影响价格。对于外滩而言，限价指令主要对价格变动有抑制作用（投标时的限价指令抑制价格下行）。与市场订单的影响相反，限价订单的影响不是很快。虽然市场订单的信息几乎是即时的（0.3毫秒），但限价订单需要时间才能显著。取消订单影响价格的方式与限价订单非常相似，但方向相反。4.9价格上涨对订单流量的影响对应于价格上涨对订单流量影响的内核对应于第B.8、B.9和B.10段，其中绘制了标准化累积内核。最显著的特点是，中间价变化对市场订单的影响很大程度上取决于交易量（如图4所示）。对于DAX（小刻度），这种影响相当小且令人兴奋（价格上涨意味着询价交易）。相反，对于外滩（largetick），这种影响更为重要，而且是交叉刺激的（价格上涨会触发买入交易，抑制卖出交易）。这可以用逆向选择来解释：一方面，对于大的tick资产，在价格上涨后，代理商将不希望以新的要价执行市场订单，因为这个价格太高。

另一方面，新的投标价格将更有趣，代理商将因此执行投标市场订单。在这两种资产上，价格变动对流动性的影响主要是自上而下的，即价格上涨会激发出价限制指令和出价取消指令（并抑制出价限制指令和出价取消指令）。刺激主要是局部的（大约0.3毫秒），对应于做市商对新信息的平均时间反应，而抑制核是长期的。我们还可以注意到，对于DAX，φP（a）的短期刺激效应→C（a）被更长的末端抑制效应（约10秒）所平衡。我们认为，这种影响与价格变化后“很长”一段时间内流动性恢复到稳定状态有关。见上一节开头或附录B4。10.市场订单对流动性的影响，以及与市场订单流动对限制和取消订单流动的影响相对应的内核，见第B.11和B.12段，其中绘制了标准化累积内核。对于这两种资产，交易对相反的限制指令有非常快的积极影响。这是因为潜在的“有效”价格已经移动，流动性必须自我调整。在更长的时间尺度上，效果相反（交叉核变为负值，即交易抑制交叉订单）。这是由于流动性回归到稳定状态。就市场订单对取消订单率的影响而言，对于外滩而言，交易意味着在很短的时间范围内以相同的方向取消订单，然后在较长的时间范围内，这种影响变为负。这种影响非常小，这意味着交易直接隐含的限制和取消订单的比例很小。

然而，我们在图5中看到，当我们用中间事件“修饰”这种影响时，外生交易间接地意味着很大一部分限制和取消订单。关于限制和取消订单流量对市场订单流量的反向影响，相应的内核显示在第B.13和B段中。14.我们可以看到，ask（分别出价）取消和bid（分别出价）限价指令激发了ask（分别出价）的交易率。4.11限价指令流对取消订单流的影响，反之亦然，与限价和取消订单流之间的动态对应的核对应于第B.3、B.4、B.15和B.16段，其中显示了相应的标准化累积核。对于市场订单，限制/限制内核和取消/取消内核大多是自激的（例如φL（a）→L（a）占优势，φL（a）→L（b）可以忽略不计）。还应注意，取消订单对交叉限制订单有短期影响（φC（a）→L（b）约为0.3毫秒），对应于取消订单的信息和对自限订单的长期影响（φC（a）→L（a）是一个幂律），对应于流动性的返回。同样，限价订单对交叉取消订单有短期影响，对自取消订单有长期影响。5讨论和总结要点我们给出了维纳-霍普夫方程（8）的数值解，其中一些核表现为略高于1的指数的幂律，因此在很宽的时间尺度范围内（从100微秒到100秒）具有重要意义在相当大的范围内。这使我们找到了一种有效的核非参数估计算法。利用霍克斯过程的自然因果解释，我们将该算法应用于高频金融数据的研究（时间戳精度为微秒）。

它使我们能够理清订单簿中发生的八种类型的一级限制事件之间的交叉影响。我们的方法使我们能够检索到一些关于市场动态的众所周知的程式化事实：o订单流是强烈的自我兴奋：市场、限制和取消订单的主要影响是它们自己。这与众所周知的订单流的持续性以及元订单到订单序列的拆分有关。此外，订单也会对相同“方向”的订单产生影响。例如，ask trades激发bidlimit订单，并要求取消订单。通过直接观察这些事件之间的相关函数，在[13]中已经观察到了同样的行为价格是有效的：为了平衡订单流量不平衡的持续性，价格变化对自身的影响最大。也就是说，价格上涨导致价格下跌。这与[13]中“裸传播子”的度量是一致的。事实上，在[13]中，事件对价格的直接影响在一段时间内降低。然而，这种简单的影响并不完全等同于我们的内核，因为它没有完全“理清”所有事件对所有事件的影响，而只是订单对价格变化的影响订单会影响价格，即使它们不会机械地移动价格。同样，这与传播者[13]对不影响价格的事件的衡量是一致的。霍克斯模型的普遍性使我们能够解释比以前的工作更丰富的动力学，并描述和量化所有类型事件之间的影响。因此，我们发现了一些据我们所知从未被观察到的新的、更微妙的结果价格变动对订单流有着复古的影响：这些是价格变动影响最大的谷物。

对于大型股票资产，逆向选择占主导地位，这种影响是交叉的：价格上涨引发买入交易，反之亦然。对于小规模资产，由于订单流的持续性，这种影响是自成一体的霍克斯框架和我们对内核的估计不仅允许我们测量不同事件之间的“因果关系”，还可以测量这种因果关系出现的时间尺度。我们发现大致有两种影响：快速影响和局部影响，其中内核的容量集中在市场反应时间附近（根据我们的数据为0.3毫秒），而影响则分布在广泛的时间尺度上，相应的内核因此以某种方式表现为略高于1的指数的幂律函数还要注意，与[13]相反，我们的模型是实时模型，而不是离散时间模型，其中每个周期对应一个事件。例如，这让我们看到，市场和限价指令具有不同的影响。市场订单具有局部影响，而有限订单需要时间产生影响最后，我们可以测量所有市场事件的内生性。我们特别发现，市场订单比限制和取消订单更具外生性。因此，当我们观察“修整的内核”ψ时，我们发现交易在某种意义上是领先的，即外生交易的影响大于外生限制和取消订单。我们纯粹的霍克斯订单簿模型中可能缺少的一点是，事件的到达并不直接取决于订单簿的状态，而只取决于过去的事件。例如，在我们的模型中，当利差很重要时，流动性是否会到来还不清楚。在订单簿模型的另一个方面，我们可以提到[16,24]，其中订单簿动态纯粹是马尔可夫的，因此不依赖订单流的历史。

我们认为，“现实”介于这两种方法之间：市场事件的强度既取决于它们的历史，也取决于订单簿的状态。我们的数值估计方法在极宽的时间尺度范围内的稳定性和可处理性，以及随着模型维数的增加，意味着我们有很多改进订单簿模型的途径。例如，我们可以添加标记来说明不同事件的大小，参见[5]，或者添加外生术语来说明外部新闻，参见[33]。我们的结论是，当然，霍克斯模型的相关性并不局限于金融。因此，我们的程序可以应用于任何需要测量点过程之间复杂关系的领域。感谢Rosenbaum先生的有益讨论。这项研究得益于转型期椅子市场的支持，该市场由路易斯巴赫利尔金融与可持续增长实验室（UIS Bachelier Finance and Sustainable Growth laboratory）赞助，该实验室是理工学院、埃弗里·瓦尔·德松大学（Universit’e d’Evry Val d’Essonne）和法国联邦银行（F’ed’erationBancaire Fran,caise）联合发起的。条件定律的多尺度估计本附录的目的是介绍（2.3）中定义的条件定律的多尺度估计程序。A.1 gLet us的估计程序假设，对于所有（i，j），我们有事件i（Tik）k的时间≤niand j（Tjk）k≤我们想要一个条件定律的经验估计。为此，我们将选择一个时间网格（tl）l≤n足够小，因此我们可以接近gij（tl+tl+1）bytl+1-tlRtl+1tlgij（s）ds，但足够大，因此有足够的点（k，k），以便- 宽放时间∈ [tl，tl+1]对tl+1tlgij（s）ds bynjPnik=1Pnjk=1Tik有一个很好的近似值-宽放时间∈[tl，tl+1]。