动态宏观经济模型中的通货膨胀和投机

（31）如果这个条件成立，只要π<1，那么a>0，并且至少有一个解ω是非负的，并且通常不止一个。如果平衡点（ω，λ，b）存在，其稳定性将在第3.2.1节中进行分析。同样，通过研究q=1/b的修正系统（ω，λ，q），可以发现不良平衡，即，˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（1- ω - r/q）- α - β] ˙q=q[g（1- ω - r/q）+i（ω）]- q[κ（1）]- ω - r/q）- (1 - ω - r/q）]，（32），其中点（0,0,0）是一个平凡的平衡，对应于（ω，λ，b）=（0,0+∞).第3.2.2节分析了这种平衡的稳定性。我们现在关注货币模型（26）的一个新特征，即在较低的就业率下，货币贬值制度可能会补偿名义工资的下降。我们从非零工资份额、零就业和有限负债率的均衡开始，其中ω=ξ+Φ（0）- αξηp（1）- γ） （33）和b解非线性方程b[i（ω）+g（1）- ω- rb）- r] =κ（1）- ω- rb）- 1 + ω. （34）注意i（ω）=Φ（λ）- α > Φ(0) - α=i（ω），因此（33）中以工资份额ω为特征的任何平衡点都是基于条件（13）的渐近偏差。由于（9）和（1），零就业率意味着产出和资本都在均衡状态下消失。在（6）-（9）之后，工资总额W为零，但实际人均工资W/p继续以与生产率相同的速度渐进增长，即α，因为Wp=ωa（35）和ω→ ω. 这种情况似乎是人为的，必须加以限定。当这种均衡在当地是稳定的时，它说明了一种经济状况，即就业率下降不会导致劳动力减少的实际工资损失，因为总体价格水平相应下降。

该州仍然很糟糕，但表明经济危机不一定会转化为较低的平均实际工资。此外，我们从（6）中可以看出，在均衡状态下，a也会下降到B=0，这与包括银行活动在内的整体经济放缓相对应。正如我们将在稳定性分析中看到的，更重要的是在投机的情况下，这种情况不太可能发生。名义工资的减少加强了利润份额，从而扩大了信贷。债务减少的可能性有利于债权人，却损害了债务人的利益，这反过来又促进了债务比率的上升。为了研究这种情况下债务比率爆炸的可能性，如果使用变量的变化导致修改后的系统（32），那么（ω，0，0）是该系统的平衡点，对应于平衡点（ω，0+∞) 原始系统（26）。因此，我们看到，如果（33）中的一点或两点保持了当地稳定，我们正在处理与债务危机相关的经济危机的例子，这些危机很可能（但不一定）伴随着债务危机。3.2局部稳定性分析3。2.1良好平衡：ω>0和λ的情况下，存在第3.1节定义的（ω，λ，b）∈ (0, 1). 对系统（26）局部稳定性的研究是通过雅可比矩阵J得出的Φ(λ) - α + (1 - γ） ηp（1）- 2ξω) ωΦ(λ) 0-λκ（π）νg（π）- α - β -rλκ（π）ν（b）- ν)κ(π)ν+ 1 - ηpξb0rκ（π）（b）- ν） r+ν- g（π）- i（ω）. （36）在平衡点（ω，λ，b），g（π）=α+β，如（21）所述，这个雅可比矩阵变成了（ω，λ，b）=KK-K0-rKK- ηpξb0 K,使用术语sk=（γ- 1） ηpξω<0，K=ωΦ（λ）>0，K=λκ（π）ν>0（37），符号明确，术语sk=κ（π）（b）- ν） ν+1和K=rK- （α+β+i（ω））（38）具有依赖于基本参数的符号。

J（ω，λ，b）的特征多项式由K[X]=（K）给出- 十） （KK）- X（K）- 十） )- rKKK- ηpξb. （39）因式分解提供-K[X]=X- X（K+K）+X（KK+KK）+KKK。K=α+β+i（ω）- rηpξb，它为平衡点的稳定提供了必要条件：K<-K-KK>KK，K>0，和（K+K）（KK+KK）>KKK。可以进行数值试验来研究这种情况。注意，如果K>ηpξb，那么kha是三个负根，如果（K- 十） （KK）- X（K）- 十） ）有三个负根。根据（37），KK>0和K<0，因此，拉特多项式的Routh-Hurwitz准则降低到最后一个条件K<0。对Kis-thusrηpξb<r有三个负势的充分条件1 + κ(π)bν- 1.< α+β+i（ω）。（40）这种情况类似于（20）的修改。如果b>0，左侧不等式比（20）强，这是预期的。相反，如果i（ω）>0，则（40）的右手边不等式是较弱的条件，这也是预期的。3.2.2坏平衡如第3.1节所述，如果我们研究具有状态空间（ω，λ，q）且q=1/b的修正系统，则出现坏平衡。假设（8），修正系统（32）在（0，0，0）点的雅可比矩阵为jε（0，0，0）=Φ(0) - α + (1 - γ） ηp0κν- α - β - δ 00 0κν- δ - ηp- R. （41）该矩阵与[2]中的矩阵相似。假设（7）成立，当且仅当Φ（0）<α时，坏平衡是局部可解的- (γ - 1） ηpandκν- δ - ηp<r。（42）请注意，特别是对于ηp的高值，上述第一个条件比（13）强，这是在原始基恩模型中稳定不良平衡的必要且有效的条件，而不发生波动（见[2]）。

相反，上述第二个条件比条件（22）弱，但具有相同的解释，与利率r.3.2.3新均衡相比，名义增长率取代了实际增长率。我们现在研究第3.1节末尾定义的新均衡上先前计算的雅可比矩阵。首先取点（ω，0，b），ω由（33）定义，bde由（34）定义。我们从（36）J（ω，0，b）中得到=kk0g（π）- α - β0K- ηpξb0 K（43）式中，K，K，kan-Kare由（37）和（61）给出，其中（ω，λ，b）被（ω，0，b）替换，而Kis中的α+β被g（π）=κ（π）ν替换- δ、 π=1时- ω- rb。因此，（λ，ω，b）的雅可比矩阵是下三角的，这很容易为J（ω，λ，b）提供特征值，以及局部稳定性的条件：（γ）- 1） ηpξω<0，g（π）<α+β和r1 + κ(π)bν- 1.< g（π）+i（ω）。（44）上述第一个条件始终是满足的。然而，当π>π时，第二个条件就不成立，必须进行数值检查，因为（34）没有显式解。第三种情况让人想起（20）和（40），也必须用数字进行检查。转向平衡（ω，0+∞), 也就是说，在修改后的系统（32）中，除ωΦ（0）中的一个零项和对角线项发生变化外，由（33）定义的点处的雅可比矩阵Jε（ω，0，0）与（41）中的相同。因此，局部稳定的条件为（γ）- 1） ηpξω<0和κν- δ+i（ω）<r。

（45）同样，第一个条件总是满足的，而第二个条件应该被解释为名义增长率和名义利率之间的比较，类似于（42）中关于不良均衡（0,0+∞).4敏锐的模型，充满了幻想和猜测。1在[5]中，通过将债务动力学方程（4）修改为˙B=pI，对出于投机目的的假设和均衡借贷进行了建模- π+F，（46），其中，附加术语F对应于仅用于购买现有金融资产的新信贷流量。在[5]中，F本身的动力学被建模为˙F=ψ（g（π））Y，（47），其中ψ（·）是经济增长率g（π）的递增函数。在[2]中给出的分析中，为了确保F的正性，将其改为˙F=ψ（g（π））F，（48）。然后证明了变量（ω，λ，b，f）的扩展系统（其中f=f/Y）承认（ω，λ，b，0）是一个良好的平衡，ω，λ，bde为（17）-（19），但局部稳定性要求除了先前的条件（20）之外，ψ（α+β）<α+β，（49）。此外，[2]还提供了对应于（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, 和（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, +∞), 并表明这些比Basicken模型中的相应条件更宽。换句话说，形式（48）的投机性流动的增加使得良好均衡更难实现稳定性，而不良均衡更容易实现稳定性。在本文中，我们回到了[5]中的原始公式，因为它允许对投机信贷的流动进行更灵活的建模，正如我们将看到的，在均衡时，投机信贷的流动可以是正的，也可以是负的。

此外，根据上一节，我们继续假设形式为（24）-（25）的工资价格动态，并将（47）修改为˙F=ψ（g（π）+i（ω））pY，（50），其中ψ（·）现在是名义产出增长率的递增函数。将相应的状态变量定义为f=f/（pY），则表明该模型对应于四维系统˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙b=κ（π）- π - ω（π）π+g（π）π+i（ω）- f[g（π）+i（ω）]。（51）与模型（26）类似，随着熟悉的平衡出现了新的平衡。加上推测维度f，我们可以看到通过定义πasin（16）得到的点（ω，λ，b，f），使得g（π）=α+β，并设置ω=1- π- rb（52）λ=Φ-1[α + (1 - γ） i（ω）]（53）b=κ（π）- π+fα+β+i（ω）（54）f=ψ（α+β+i（ω））α+β+i（ω）（55）是（51）的良好平衡。找到这一点需要使用i（ω）=ηp（ξω）的定义同时求解（52）、（54）和（55）- 1). 考虑到变量X=α+β+i（ω）的变化，这相当于求解以下方程：X+（ηpξ（π- 1) - α - β+ηp）X+rηpξ（κ（π）- π） X+rηpξψ（X）=0。（56）由于（56）的多项式部分是三阶的，它至少与非递减项rηpξψ（X）相交一次，这意味着（56）至少存在一个解。当且仅当（56）的对应解验证X>α+β时，良好平衡满足ω>0- ηp.如我们所见，假设α+β+i（ω）>0，正平衡投机流跳出一个高平衡借贷比率区间，因此，与没有投机的模型的平衡值相比，较低的平衡工资份额ω。

第4.2.1节分析了该平衡的稳定性。与[2]类似，变量x=1/f和v=f/b的变化允许我们研究（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, ±∞) 和（ω，λ，b，f）=（0，0+∞, f0，∞) 其中f0，∞=ψ（g）(-∞) - ηp）g(-∞) - ηp.（57）因此，投机流有两种可能的危机状态。一个对应于一个过滤器f0，∞对应于金融流量F0，∞= 0（因为每当λ=0时Y=0）。另一个对应于f的爆炸，但速度比b低。我们参考[2]进行完整解释。第4节研究了这两类平衡的局部稳定性。分别为2.3和4.2.2。接下来，我们考虑平衡（ω，0，b，f），其中ω如（33），bsolvesb所示κ(1 - ω- rb）ν- i（ω）= κ(1 - ω- rb）- (1 - ω- rb）+f.和f=ψκ(1-ω-rb）ν- δ+i（ω）κ(1-ω-rb）ν- δ+i（ω）。（58）如第3节所述，尽管状态变量采用了单位值，但这种平衡必须被解释为不良平衡。该解释延伸至f，这导致财务流量f=fpY=0。第4.2.1节分析了该平衡点的稳定性。最终可能性对应于平衡点（ω，0+∞, ±∞) 和（ω，0+∞, f3，∞),式中ω如（33）和F3所示，∞=ψ（g）(-∞) + i（ω））g(-∞) + i（ω）。（59）第4.2.2节和第4.2.3节研究了这些平衡的稳定性。总的来说，这个体系表现出一个良好的平衡点和七个不同的不良平衡点，这证实了托尔斯泰关于不快乐状态多重性的观点。4.2局部稳定性分析4。2.1通过系统（51）研究了良好平衡（ω，λ，b，f）和不良平衡（ω，0，b，f）的有限平衡。

该系统的雅可比J（ω，λ，b，f）由下式给出：-(1 - γ） ηpξωΦ（λ）0-λκ（π）νg- α - β -rλκ（π）νbκ(π)ν- ηpξ+ 1.- κ（π）0受体bκ（π）ν+1- κ(π)- （g+i）1κ(π)ν- ηpξ（f）- ψ（g+i））0rκ（π）ν（f- ψ（g+i））-（g+i）（60）g=κ（1- ω - rb）/ν- δ和i=ηp（ξω）- 1). 在平衡点（ω，λ，b，f），它变成KK0-K0-rKK- ηpξb0 Kκ(π)ν- ηpξk0rκ（π）νK-（α+β+Ⅰ）在（37）和（38）中定义了K、K、K和Kalready，K=f- ψ（α+β+i）。（61）特征多项式由k[X]非平凡地给出=（α+β+i）+XK[X]+rKκ（π）ν（X）- K） X+ηpξKK= X+aX+aX+aX+a，其中=-K- rKa=KK+KK- （α+β+i）（K+K）- rKκ（π）νa=（α+β+i）KK+rηpξbKK- rKκ（π）νKa=-KK（α+β+i）K+rKηpξ对于i=0到4乘以（37），K=（α+β+i）- rηpξ能带最终为（38），Kby（61）。这种情况下的Outh-Hurwitz标准由AI>0表示≤ 我≤ 3、aa>a和aaa>a+aa。这一问题预计只能通过数值求解。对于新的平衡点（ω，0，b，f），在排列ω和λ的顺序并定义π=1后，（60）变成- ω- rb:g（π）- α - β 0 0 0ωΦ(0) -(1 - γ） ηpξω0 00 bκ（π）ν+ηpξ+ 1.- κ（π）rbκ（π）ν+1- κ(π)- （g+i）1κ（π）ν+ηpξ（f+ψ（g+i））rκ（π）ν（f+ψ（g+i））-G- 我前两个特征值由g（π）给出- α-β和（γ）- 1） ηpξω<0，而右下2×2平方矩阵的特征方程由下式给出：rκ（π）ν（b）- ν） +r- g（π）- i（ω）- 十、（X+g（π）+i（ω））+rκ（π）ν（f）-ψ（g（π）+i（ω））二阶多项式的Routh-Hurwitz条件是方程所有系数的正性。因此，当且仅当ifr时，平衡点是局部稳定的1 + κ(π)bν- 1.> 2（g（π）+i（ω））、g（π）<α+β和ψ（g（π）+i（ω））>f。第一个条件再次调用（20）、（40）和（44），但有一个乘法器使得条件在这里更强。

第二个条件也是多余的，如果π>π，它在这一点上失败，就像没有推测的模型一样（26）。最后一个条件是一个额外的条件，使得稳定性更难达到。4.2.2有限债务和有限投机的均衡我们改变变量来研究均衡（0,0+∞, f0，∞) 和（ω，0+∞, f3，∞) 式中ω，f0，∞和f3，∞分别在（33）、（57）和（58）中定义。修改q=1/b提供了新系统˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙q=q[g（π）+i（ω）]- q[κ（π）- π+f]˙f=ψ（g（π）+i（ω））- f[g（π）+i（ω）]，现在π=1- ω - r/q.对于两个平衡点，q=0，我们得到g=κ/ν- δ和κ（π）=0。此外，根据（8），limq→0κ（π）q=limq→0κ（π）q=0。考虑到这些特定值，该系统的雅可比矩阵如下所示：Φ(0) - α - (1 - γ） ηp（2ξω）- 1) ωΦ(λ) 0 0-λκ(π)νκν- δ - α - β 0 00 0κν- δ+i- R0κ(π)ν- ηpξ（f）- ψ（g+i））0-κν+ δ - 我对于第一个平衡点，ωΦ（λ）项消失，而对于第二个平衡点，-λκ(π)/ν = 0. 在这两种情况下，矩阵在排列上都是下三角形的，直接提供了特征值以及平衡局部稳定的必要和充分条件，这两个点几乎相同。对于第一点，雅可比矩阵中的第一项提供了（42）中的第一个条件，而第二点的条件是（γ）- 1） ηpξω<0且始终满足。假设（7）成立，局部稳定性的其他条件降低到0<κν- δ+i（ω）<r。

（62）由于i（0）<i（ω），因此第二个点（工资份额为正）在比第一个点更强的条件下是局部稳定的。4.2.3有限债务和有限投机的不良均衡系统的第二次修改是v=f/b=q/x，x=1/f，提供˙ω = ω [Φ(λ) - α - (1 - γ） i（ω）]˙λ=λ[g（π）- α - β] ˙v=vxψ（g（π）+i（ω））- v[x（κ（π）- π） +1]˙x=x[g（π）+i（ω）]- xψ（g（π）+i（ω）），现在表现出两种平衡：（0,0,0,0）和（ω，0,0,0）。第一个与[2]类似，对应于债务爆炸性和纯金融投资爆炸性的不良均衡。请注意，债务率b的增长速度远远快于金融投资率f，因此爆炸性债务相当于经济实体和金融部门的庞氏骗局。第二点也有同样的解释，通胀支撑着正工资。在这两种情况下，λ=v=x=0，g（π）=κ/ν- δ和from（8），lim | v |+x|→0κ1.- ω -rvx五、+五、+十、+vx+十五+vx= 0 .两点上的雅可比矩阵的形式如下Φ(0) - α - (1 - γ） ηp（2ξω）- 1) ωΦ(0) 0 0κν- δ - α - β 0 00 0 -r 00 0 g+i对于点（0,0,0,0）的局部稳定性，我们需要（42）中的第一个条件，而类似于上面的条件（γ）- 1） ηpξω<0，因为（ω，0，0）的局部稳定性总是满足的。条件（7）提供了第二个条件，r≥ 第三个是0，κν- δ+i（ω）<0表示最后一个条件。注意两件事。首先，i（ω）>i（0），所以和前面一样，最后一个条件适用于点（0,0,0,0）的更大范围的参数。