大型企业资产定价基本定理的新视角

这样，foreach k∈ N、 Zτk可以写成Zτk=（HAkoSAk）1∧τk对于投资于与时间τk设定的指数对应的债券的λ-容许策略。例如，Z可以通过始终投资于特定资产的策略建立，但在某些停止时间，投资组合的组成可以改变，以包括新的特定数量的资产。引理2.6（连接属性）。金刚砂密集亚群≥1Xnof X表示以下串联属性：设X，Y∈锡≥1Xn，然后是CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmana∈锡≥1确保X，Y∈ XA。对于所有有界的、可预测的策略≥ 0，HG=0，Z=（HoX）+（GoY）≥ -1.它认为∈ xaz∈锡≥1Xn。证据作为X，Y∈锡≥1Xn=Sn≥1SA∈安卡，有一个，一个 I与| A |=nand | A |=m，使得X∈ Xay和Xay∈ XA。让A=A∪ A、 然后∈锡≥1和X，Y∈ XA，其中A最多有n+m个元素。因此，通过集合XA的凝聚性质，参见定义2.1，我们得到了H和G的引理，对于Z=（HoX）+（GoY），Z∈ XA[n]≥1Xn。备注2.7。请注意，我们只在所有可管理投资组合集合的dens esubset上具有连接属性，即我们不能直接应用[8]或[1]的推理。没有通用的方法将此有限维设置中的连接属性扩展到Emery闭包。从数学上讲，这项工作的目标是证明这仍然适用于所有结论。2.1. 与大型金融市场广义交易策略相关的文献。我们在此关注M.De Donno等人在[2]中考虑的大型金融市场情况，这是示例2.2的内容。

如前所述，小金融市场n中与1-可容许投资组合财富过程相关的集合Xn由以下关于n维半鞅Sn=（S，…，Sn）Xn={（HoSn）|H的随机积分集给出∈ Hn}（2.5），其中Hnλ={H | Rn值，可预测，Sn可积和λ-容许过程}。通常λ-可容许性意味着（HoSn）t≥ - λ表示所有t∈ [0, 1].在[2]中，通过半鞅序列的广义随机积分理论，实现了从小型金融市场序列到大型金融市场模型的过渡。正如引言中已经提到的，相应的被积函数被称为广义策略，这是一个概念，它将每个资产都可以贡献的投资组合的概念形式化，可能具有极小的权重。正如我们将在第2.9点中看到的，定义2.4的集合Xof正好对应于随机积分，其1-容许广义策略定义如下，并在[3]中进行了初步考虑。在以下定义中，lim表示金刚砂拓扑中的极限。定义2.8。（i） 每n∈ N、 设Hn是一个Rn值的、可预测的、Sn可积的过程。序列（Hn）n∈Nis称为广义策略如果（HnoSn）在Emery拓扑中收敛到半鞅Z:=S-lim（HnoSn），则称为广义随机积分。（ii）设λ>0。如果逼近序列Hn的每个元素都是λ-容许的，则广义策略Hn称为λ-容许。大型金融市场FTAP 7提案2.9。考虑下面的setZ={S-lim（HnoSn）|（Hn）1-可容许广义策略}。然后Z=X，其中定义2.4中给出了Xis，定义（2.5）中给出了xnd。证据包含Z锡≥1XnS=Xis通过定义1-可容许的广义策略而明确。反过来让X∈ 十、

然后存在一些序列Xk∈锡≥1Xnsuchthat Xk→ 金刚砂拓扑中的X。当每个XKL在某个Xnk中时，它保存着某个Hnk的XK=HnkoSNK∈ Hnk证明了X Z备注2.10。Zand Xin和[2]的设置之间的一对一通信是我们定义XasSn的一个动机≥1XnS。3.主要概念和结果为了引入我们不存在反随机套利的概念，我们需要以下凸锥：C:=K- L≥0，C:=C∩ L∞.在NFSA中，我们称之为“无风险”，在NFR中称之为“无风险”，在NFR中称之为“无风险”∩ L∞≥0={0}，其中C表示L中的范数闭包∞.3.1. 大型金融市场资产定价的基本定理。在陈述我们的主要结果之前，让我们回顾一下等价分离度量的概念。定义3.1。如果存在等效度量Q，则集合X满足（ESM）（等效分离度量）属性~ P使得等式[X]≤ 0代表allX∈ 注意，在条件C下*∩ L∞≥0={0}，（NFL）其中C*表示弱者-*-在L∞, （ESM）属性是Kreps-Yan定理[16,20]的结果，而Kreps-Yan定理又源自Hahn-Banach的定理。条件NFL是抽象的s e t c的经典无免费午餐（NFL）条件。很明显（NFL）=> （NAFLVR）。目的是展示相反的含义，即：定理3.2。在（NAFLVR）下，C=C*, i、 e.圆锥体C已经很弱了-*关闭和（NFL）暂停。这一结果在第7节中得到了证实，我们将[1]中使用的方法应用于大型金融市场的当前环境。与经典环境类似，这将导致下面的定理3.3，这是大型金融市场资产定价基本定理的一个版本。定理3.3（资产定价基本定理）。

（NAFLVR）<=> （ESM）.8 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmann注意到，由大量ass ETS组成的市场的相应结果首次由F.Delbaen和W.Schachermayer在[5]中证明。Y.Kabanov[8]发现了自定义2.1起可接受的投资组合财富过程的最抽象的设置，[5]的证据可以转移到该设置。3.2. 与非渐进免费午餐（NAFL）和相应的FTAP有关。在本节中，我们将讨论（NAFLVR）与非渐进免费午餐（NAFL）的关系，见[13]。这里我们又回到了示例2.2的情况。L etK={X，其中X∈[λ>0[n]≥1λXn=[n≥1Xn}，其中xn如定义2.1所示（尤其是示例2.2中的r），以及注释2.10中的xn。在所有的小市场n中，集合k是可容许投资组合的极值，但在Emery拓扑中没有闭包。这与大型金融市场的通常设置相对应，前提是所有过程都基于相同的概率空间(Ohm, F、 例如，参见[9,14,13]。定义（3.2）C=（K- L≥0) ∩ L∞.然后（NAFL）的内容如下：（NAFL）：据说se t C不满足渐近自由午餐ifC*∩ L∞≥0={0}，其中C*表示弱者-*-在L∞.为了将[13]中的FTAP与上述定理3.3进行比较，我们必须定义适当的（ESM）条件。定义3.4。集合λ>0Sn≥1λxn表示（ESM\'）属性，前提是存在等效度量Q~ P使得等式[X]≤ 0代表所有X∈Sλ>0Sn≥1λXn。在[13]中，大型金融市场的以下FTAP在可能不同的概率空间序列的一般设置中得到了证明Ohmn（其中（NAFL）条件看起来更具技术性，但与（NAFL）相对应，如上文所述Ohmncincide）。在我们的情况下Ohmn包括它也可以从Kreps-Yan[16,20]定理的（抽象版本）中推导出来。定理3.5。

（NAFL）<=> （ESM\'）。现在，我们将证明定理3.5和3.3是等价的，因为我们给出了集合C和C之间的精确关系。为此，我们将使用C和C的极集合。definem={Q<< P:EQ[f]≤ 0代表全部f∈ C} 。很容易看出，M是x的绝对连续分离测度集，即isM={Q<< P:EQ[X]≤ 0代表所有X∈ 十} 嗯。此外，我们现在将看到，集合M与（ESM\'）意义上的绝对连续分离度量集合是相同的。引理3.6。Q∈ M当且仅当Q是λ>0Sn的绝对连续分离测度≥1λXn。大型金融市场的FTAP证明了这一点。让Q满足（ESM\'）的定义条件。特别是，等式[X]≤ 0代表所有X∈锡≥1Xn。我们必须证明EQ[Y]≤ 0代表Y∈ X.根据定义，存在一系列流程es Xk∈锡≥1xn确认Xk→ 在Emerytopology中。这意味着Xk→ 阴概率。假设Xk≥ - 1，适用于所有k，并通过（ESM\'）EQ[Xk]≤ 所以法图引理意味着EQ[Y]≤ 0.另一个方向清楚地表示为[λ>0[n]≥1λXn[λ>0λX=X。以配对（L）为例∞, 五十） 对于f，使用双线性形式EP[fg]∈ L∞安德格∈ 设B是L的任意子集∞. 定义极坐标系BoB通常是Bo= {g∈ L:| EP[fg]|≤ 1.尽管如此∈ B} 。如果B是凸锥（就像C和C一样），则极坐标由B给出o= {g∈ L:EP[fg]≤ 0，全部f∈ B} 。现在我们将给出集合C和C的关系。事实证明，在（NAFLVR）下，集合C正是弱的-*-集合C的闭包。这意味着集合Xis定义中Emery拓扑中的闭包是等价的-*-关闭集合C（该集合与C类似，但没有Emeryclosure）。所以，事实上，条件（NAFL）和（NAFLVR）是一致的。定理3.7。假设（NAFLVR）成立。那么C=C*.证据

我们将展示这一点o= Co=[α≥0（αM）。事实上，右侧的每个元素g都满足EP[fg]≤ 0，每f∈ 柯尔∈ C、 见引理3.6。特里弗斯α≥0（αM） Co, Co. 另一方面，letg∈ Co还是Co. 在这两种情况下-L∞≥0 C、 C，我们马上得到g≥ 0.假设P（g>0）>0的非平凡情况。定义Q bydQdP=gEP[g]，那么这是一个绝对连续的度量，这样eq[f]≤ 0代表全部f∈ C、 或f∈ C、 分别。这就产生了上述说法。根据假设（NAFLVR），我们知道C是一个we ak-*-闭子区∞. 此外，C是一个凸锥。根据双极性定理，双极性Coo是不是很弱-*-C的闭包，见[19]。亨切克oo= 另一方面，C也是一个凸锥。再次，根据双极性定理，Coo=C*.根据上述推理Co= Co, 因此C=C*. 10 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichman3。3.与债券市场的联系，如克莱恩、施密特、泰奇曼[15]所述。在最近的一篇文章[15]中，讨论了无违约债券市场的特定设置，所有到期日都在有限的时间范围内*, 推导出了一个条件，该条件允许通过对大量债券（假设到期日为*作为市场的核心）。这也是一个拥有无数资产的大型金融市场。然而，该条件仅涉及可数且密集的次（大型金融）市场，即到期日密集在[0，T]的债券子集（包括终端债券）*]: 假设经典（NAFL）条件适用于该子市场，更重要的是，假设债券价格的权利连续性（从加权平均利率到到期日）的统一版本适用于整个市场。

这使得——在[15]的局部有界环境中——可以得出整个贴现债券市场存在一个等价的局部市场测度的结论，在我们的大型金融市场环境中，这意味着（NAFLVR）或（NFL）。因此，在许多情况下，在适当的连续性假设下，似乎抽象的条件（NAFLVR）可以从可数子市场中导出。4.NA、NUPBR和NAA1本节致力于回顾文献中关于无（渐近）套利的上述概念，并分析它们之间的关系，同时也是为了证明第7节中提出的定理3.3，其中需要以下第4.4节中所述的等价性：（NAFLVR）<=> （NUPBR）+（NA）。我们从无套利（NA）开始，它的定义类似于小型市场。在我们的大金融市场背景下，这意味着几乎可以肯定的是，可接受的广义投资组合的非负定值必须几乎可以肯定等于零，这在公式中可以理解为：（NA）：据说，如果∩ L≥0={0}，相当于C∩ L≥0={0}和c∩ L∞≥0= { 0}.（4.1）众所周知，如果在满足（NA）的小型金融市场中，一个投资组合的最终价值从下方以一个常数为界，那么整个投资组合的财富过程从下方以该常数为界。下面的引理将这个属性转移到我们大型金融市场的设置中，并且在证明第3.3条时需要用到。然而，这一证据比小规模的市场交易要复杂得多。引理4.1。让我来∈ X.如果（NA）成立，Y≥ -1，然后是Y∈ X.证据。我们会让你明白∈ X.假设Y∈ X=Sλ>0λX，我们可以选择λ：=supt∈[0,1]Y-t> 0使得Y=λZ和Z∈ 十、

假设是这样/∈ x和λ>1（否则就没有什么可以证明的）。然后，就有了t∈ [0,1），α>0和1>ε>0和λ- ε>1，使得（4.2）P（Yt≤ - (λ - ε )) = α > 0.大型金融市场的FTAP 11Letδ=λ- ε - 1 > 0. 集合D={Yt≤ -(λ - ε)}. 定义简单的可预测被积函数Hu=1ID1I]t，1]。然后（HoY）=1ID（Y- Yt）≥ 1ID(-1 + λ - ε） =δ1ID，因此（HoY）≥ 0 a.s.和P（（HoY）≥ δ) = α > 0.我们的下一步是展示（HoY）∈ 十、 然后我们得到（NA）的一个矛盾。我们将证明（HoY）实际上在X中。实际上，通过定义X，存在一个序列Zk∈锡≥1X确认Zk→ 在Emery拓扑中。存在AKI和Zk的有限子集∈ 哈克。此外，很明显，Yk:=λZkEmery收敛到Y=λZ。很容易看出（HoYk）→ （HoY）在金刚砂拓扑中，对于每个K∈ 小心点，kKk∞≤ 1，我们有（Ko（（HoYk）- （HoY））=（KHoYk- Y）和KH∈ 是的，kKHk∞≤ 1.然而，我们不能这么说（HoYk）∈ 哈克锡≥1xn因为（HoYk）可能不是≥ -1.因此我们用可预测的简单积分shk=1IDk 1I]t，1]来近似H，其中dk={Ykt≤ - (λ - ε ) + 2-k} 。作为Yk→ Emery拓扑中的Y，尤其是Ykt→ Ytin概率，因此1IDk→ 1在概率上。此外，香港≥ 0和（HkoYk）u=1IDk（Yku）- （Ykt）≥ 1IDk(-λ + λ - ε - 2.-（k）≥ -ε ≥ -1.每个u≥ t、 因此，通过应用连接属性引理2.6，（HkoYk）∈ 哈克锡≥1Xn。最后，我们展示了ds（（HkoYk），（HoYk））→ 0代表k→ ∞. 事实上，让Jk=Hk- H、 那么Jk6=0仅在集合Ek=D\\Dk上∪Dk\\D，其中P（Ek）→ 0代表k→ ∞.

每K∈ 小心点，kKk∞≤ 1安度≥ 我们没有吗Ko（（香港oYk）- （HoYk））u=（香港）- H） o（KoYk）u=（1IDk）- 1ID）（（KoYk）u- （KoYk）t）。因此，对于gku=（KoYk）u- （KoYk）t，谢谢∈小心点，kKk∞≤1E|Ko（（香港oYk）- （HoYk））|*∧1.≤ 超级棒∈小心点，kKk∞≤1E|1IDk- 1ID |（supu）∈[0,1]|gku |∧ 1),≤E|1IDk- 1同上∈小心点，kKk∞≤1（supu∈[0,1]|gku |∧ 1).（4.3）但作为|1IDk-1ID |=1IEk→ 概率为0，由于（4.3）中的一切都是以1为基础的，我们通过支配收敛得到（4.3）中的期望值收敛到0。这意味着dS（（HkoYk），（HoYk））→ 0.我们发现的证据到此结束（HkoYk）∈锡≥1xN（香港oYk）→（HoY）在金刚砂地形图Y中，因此（HoY）∈ X合同（NA）。12 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmanlet我们现在介绍的条件（（N）AA1）和（NUPBR）是等价的。定义4.2。如果存在α>0和εk序列，则存在第一类渐近套利（AA1）→ 0，ck→ ∞ Xksuch为每个香港∈ N（i）Xk∈ εkSn≥1Xn，（ii）P[Xk≥ [ck]≥ α、 （NAA1）：如果不存在（AA1），则第一类渐近套利不成立。（NUPBR）：据说集合Xis不满足有界风险的无界利润IFKI是L的有界子集。第一类套利在[7]中首次以这个名称出现，是Y.卡巴诺夫和D.克拉姆科夫[9，定义1]在大型金融市场的背景下引入的。后来，C.Kadaras和I.Karatzas[11]在经典小型金融市场的背景下对其进行了研究。在他们的设置中，（NA1）被证明相当于（相应的概念）NUPBR。以下命题建立了我们大型金融市场环境下的模拟结果。提案4.3。（NAA1）<=> （NUPBR）证据。我们首先证明（NUPBR）=> （NAA1）。通过对比假设存在（AA1）。然后在定义4.2中存在一个序列Xkas。

对于Yk=εkXk∈锡≥1.我们为k∈ NPYk≥ckεk≥ α.这与集合Kin L的有界性相矛盾。反过来，假设Kis在L中没有界，则存在Xn∈ Xsuch thatlimn→∞P[Xn≥ n] =α>0。根据X的定义，存在序列SN≥1Xn Xk，nk→∞→ 在能量经济学中。因此Xk，nk→∞→ 可能性。每个人∈ N、 我们可以选择Knsch thatlimn→∞PhXkn，n≥镍≥α.然后Yn：=√nXkn，nyields an（AA1）。提案4.4。（NA）+（NUPBR）<=> （NA）+（NAA1）<=> （NAFLVR）证据。证明类似于[8，引理2.2]。为了方便起见，我们在我们的环境中提供了相应的参数。我们从展示（NAFLVR）开始=> （NA）+（NAA1）。由（4.1），（NA）简单地跟随。假设存在一个（AA1）。然后在定义4.2中存在一个序列Xkas。通过定义fk:=Xk∧1.∈ 按照[8，引理2.2，a]进行=> b） ，我们得到了一个与（NAFLVR）相矛盾的结果。相反，用于显示（NA）+（NAA1）=> （NAFLVR），支持（NAFLVR）失败。那么就有fn了∈ C和f≥ 使得P[f>0]>0和kfn-fkL∞→因此，存在Xn∈ X使得Xn≥ fn≥ -k（fn）-吉隆坡∞=: -εn→ 0.根据Le mma 4.1，（NA）意味着Xn∈ εnXand√εnXnyields an（AA1）。大型金融市场FTAP 135。为什么大型金融市场中的另类投资组合财富过程集不适用于定义2.4中引入的集合X，我们在这里考虑两种不同的可能性来定义大型金融市场中的投资组合财富过程集。在这两种情况下，我们都没有期望的等效分离措施，这说明了在定义2.4.5.1中对1-可容许投资组合进行一次性关闭的重要性。一致可容许近似投资组合财富过程的重要性。作为投资组合财富过程集Xs=[λ>0[n≥1λXnS。那么就不可能得出结论，X的分离度量也是X的分离度量。