大型企业资产定价基本定理的新视角

事实上，正如我们在定义2.4中所做的那样，采用1个可接受投资组合的Emery闭包和所有λ的并集，以及采用Sλ>0Sn的Emery闭包，存在着很大的差异≥1λXn。实际上，m[3，例2]的一个例子表明，[λ>0[n≥1λXnS=XS X=[λ>0λ[n]≥1XnS。在那里，一系列的马丁尼啤酒（Sn）n∈一系列Rn值策略的构造，使得所有n∈ N（HnoSn）≥ -n、 其中Sn=（S，…，Sn）。根据Ansel Stricker引理（参见[4]），这意味着（HnoSn）是所有n的局部鞅∈ 然而，这一限制不再适用。事实上，如[3，示例2]所示，金刚砂拓扑中的序列e（HnoSn）在=t时转化为递增过程。如果我们现在定义Xnw，考虑上述鞅序列（Sn）n∈n类似于第2.1节（HnoSn）∈ NxN∈ N，因此也明显是inSλ>0Sn≥1λXn。因此，极限过程ss At=t位于xs。但肯定没有测量Q的方法~ P使得等式[A]=EQ[1]≤ 0.相比之下，集合X满足（ESM）属性。事实上，在这种情况下，只考虑了小市场中一致可接受的贫困人口富裕过程，即，只考虑我们所有人的战略∈ N、 （HnoSn）≥ -λ对于某些λ≥ 通过Fatou\'slemma，这意味着相应的Emery极限是s超鞅，因此（ESM）属性（因此也是（NAFLVR））适用于X。特别是，这个例子表明，SETX通常太大，并导致从一开始就应该排除的渐近套利。另一方面，仅仅是收益λ>0Sn≥1λxn如果没有任何闭合，将太小，如下一节所示。5.2. 没有天真的“没有消失的ris k的自由狂欢”。

考虑与第3.2节类似的一组por tfolio过程[λ>0[n]≥1λXn14 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmand，以及该集合的（NAFLVR）类似概念，即C∩ L∞≥0，其中C在（3.2）中定义，C表示L中的范数闭包∞. 此外，通过K0，n，也就是K0，对小型金融市场中的投资组合的终值进行估值。如果每个小型金融市场都不满足套利，即如果K0，n∩ L≥0={0}表示所有n∈ N.类似于命题4.4，我们得到以下特征。提议5.1。C∩ L∞≥0= { 0} <=> （NAA1）+（NAsmall），可以构造满足（NAA1）和（NAsmall）的例子，但是我们没有得到λ>0Sn的等价分离测度的存在性≥1λXn。事实上，将以下semimar tingales序列视为大型金融市场模型：∈ [0,1）和n∈ N、 设Snt=0，Snt是取两个值的独立随机变量-1和1的概率[Sn=-1] =pn和P[Sn=1]=1- pn，其中所有n的pn>0∈ 布特林→∞pn=0。每n∈ N、 等效分离度量Q需要满足Q[Sn=- 1] =，但它不趋向于0，因此意味着Q不等于P。请注意，违反了第4节开头定义的更严格意义上的（NA），因为在thenthasset的投资顺序，即（HnoSn）=Sn- 对于Hnt，i=1[0,1]（t）δ在极限a元素中的收益率几乎肯定为1，因此是一个（渐进）套利机会（对应于[9]中介绍的第二类渐进套利）。这个例子显示underC∩L∞≥0={0}，C（C*.

考虑到提案4.4和第3.2节，在不使用弱约束的情况下获得FTAP的关键问题-*-因此，closur将加强第4.6节开头所述的从（NAsmall）到（NA）的无套利条件。关于大型金融市场中的σ-鞅测度，本节的目的是表明，与一般小型金融市场相比，（NAFLVR）并不意味着σ-鞅测度的存在。事实上，以下大型金融市场模型提供了一个反例。让(Ohm, F、 P）=（[0,1]，B（[0,1]），λ，其中λde表示勒贝格度量。要塞∈ [0,1）和n∈ N、 设Snt=0，SNA定义如下：Sn（ω）=(-√ωω ∈ [0，εn），（1-ω） n+1Ω∈ [εn，1]，（6.1），其中（εn）是取（0，1）中值的序列。我们从一个引理开始，这个引理显示了一个特定序列（εn）的存在，使得所有n的E[Sn]=1∈ N和εN→ 0作为n→ ∞.引理6.1。让（Sn）由（6.1）给出。然后我们可以选择（εn），使得所有n的e[Sn]=1∈ Nandεn→ 0作为n→ ∞.大型金融市场的FTAP。注意E[Sn]=1相当于1+2√εn=n+1n（1- εn）nn+1。（6.2）在[0,1]上，函数x7→ fn（x）：=n+1n（1）- x） nn+1（对应于右侧）正在减小，而x7→ 1 + 2√x（对应于左手侧）正在增加。因此，对于每个n，我们发现一些εnsuch（6.2）成立。此外，通过相同的参数，序列εnis减小并收敛到0 sincelimn→∞fn（x）=1- 十、在续集中，我们采用引理6.1中的（εn）。此外，我们认为由（Snt）t∈[0,1]，n∈确保所有可预测的策略都简化为确定性策略。前n项资产中的投资组合的终值为X=Pnk=1ck（Sk- 对于某些常数ck，Sk）=Pnk=1cksk∈ R

下面的引理提供了一个必要条件，保证X≥ -1（相当于X∈ Xn），并表明P=λ是一个分离度量。引理6.2。设（Sn）由（6.1）和引理6.1中的（εn）给出。为了n∈ N、 假设X=Pnk=1ckSk≥ - 1.然后∈G+ck≤Xk∈G-|ck |，（6.3）其中G+={j | cj>0}和G-= {j|cj<0}。此外，P=λ是X证明的一个分离度量。关于第一个断言，通过矛盾假设α：=Xk∈G+ck-Xk∈G-|ck |>0。然后在set[0，εn]上，我们有X（ω）=Pnk=1ckSk（ω）=-α√ω、 从下面看是无界的，因此意味着（6.3）。这个加上引理6.1 yieldsE[X]=Xk∈G+ckE[Sk]+Xk∈G-ckE[Sk]=Xk∈G+ck-Xk∈G-|ck|≤ 0代表所有X∈ 由Fatou引理得出，因此也适用于所有X∈ X，反过来也是X∈ 十、引理6.3。设（Sn）由（6.1）和引理6.1中的（εn）给出。那么就不存在等价的鞅测度，也就是说，没有Q~ P=λ，因此对于所有n，等式[Sn]=0。证据通过矛盾假设存在一些Q~ λ使得所有n的等式[Sn]=0。这意味着zεn√ωdQ（ω）=Zεn（1）- ω） n+1dQ（ω）（6.4）对于所有n.自Q~ λ和εn→ 我们必须有Q（[0，εn））→ 0.此外√ω[0,ε)∈ 在L（Q）中，我们通过占优收敛得到，左手边16 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichmanov（6.4）随着n趋于0而趋于0∞. 因此，右侧也趋向于0，这意味着t Q（[εn，1]）→ 0，sinceZεn（1- ω） n+1dQ（ω）≥ Q（[εn，1]）。这与Q和λ的等价性相矛盾，并证明了这一论断。结合上述引理，我们得到以下结果：命题6.4。设（Sn）由（6.1）和引理6.1中的（εn）给出。然后，存在一个等价的分离测度（即P=λ），但没有等价的可度量。证据这个证明是引理6.2和引理6.3的结果。备注6.5。

注意，在上例的情况下，使用σ-鞅的要求等同于使用鞅。因此，我们证明了一般（NAFLVR）并不意味着等价σ-鞅测度的存在。7.定理3.2的证明我们将[1]中的proo f策略应用于当前设置。这尤其意味着，第一部分证明与F.Delbaenad W.Schachermayer[5]针对经典市场情况的原始证明一致。第一系列结论如下。回想一下als o提案4.4，它需要将（NAFLVR）拆分为（NA）和（NUPBR）。（i） （3.1）中定义的凸锥C相对于弱*-拓扑当且仅当Cis Fatou闭合，即对于任何序列（fn），从下有界且几乎肯定收敛到f∈ C、 参见[8]中第3节的开头，以及[5，定理2.1]，基本上可以追溯到A.格罗森迪克。（ii）现在开始-1.≤ fn∈ C几乎可以肯定地转换为f。然后我们可以找到≤ gn=Yn和Yn∈ X.（iii）引理4.1得出如下结论：∈ X.（iv）由（NUPBR）可知，存在前凸组合fyn∈conv（Yn，Yn+1，…）就这样→fh≥ f几乎可以肯定。（v） 这意味着se tbK∩ {g∈ L | g≥ f}，其中bk表示Kin L的闭式，是非空的。由于它也是以（NUPBR）为界且闭的，所以极大元素hexist（见[8]或[5，引理4.3]中第3节的开头）。自从h∈bK，我们可以找到一个半三角形Xn的序列∈ Xsuch那Xn→ 哈尔莫特肯定会和他最大的朋友一起拥有这片土地。备注7.1。在不损失一般性的情况下，我们可以在Emery稠密子etSn中取半鞅序列≥1Xnof X。

事实上，根据金刚砂拓扑的性质，很明显我们可以在稠密子集中找到一个序列，这样仍然是Xn→ 哈s、 （vi）先前构造的半鞅Xn的“max-imal”序列∈锡≥1xn在概率上是一致的，即| Xn- X|*→ 概率为0，对于某些c`adl`ag过程X（参见[8，引理3.2]或[5，引理4.5]）。大型金融市场的FTAP 17如[1]中所述，现在的目标是证明上述（vi）中构造的序列（Xn）在概率上一致收敛于X，在梅里拓扑中也收敛于X。由此得出h=limn→∞Xn=X∈ K、 因为Xis在Emery拓扑中是闭合的。这反过来意味着f∈ C、 通过上述步骤（i）完成证明。定理7.2。设X=Sn≥1xNSR（NUPBR）。让（Xn）n≥0∈锡≥1xNBE是一个半鞅序列，它以一致的概率收敛到X，因此X是一个极大元incK，其中ck表示Kin L的闭包。然后Xn→ 金刚砂拓扑中的X。证据由于命题A.3，（NUPBR）意味着（Xn）的（P-UT）性质。因此，该定理是下面a.4命题和7.3命题的结果。对于半鞅序列（Xn）n≥当Xn=0且一些C>0时，让我们考虑以下分解：nXn=Bn，C+Mn，C+Xn，C，（7.1），其中71xn，C=Ps≤TXns{|Xns |>C}，Bn，Cis是特殊半鞅Xn的正则分解的可预测有限变分部分，Mn，C是局部鞅部分-ˇXn，C.提案7.3。设X=Sn≥1xn满足（NUPBR）和let（Xn）n≥0∈锡≥1Xnbe一个半鞅序列，其概率一致收敛到X，使得Xis是最大元素incK。（这里，ck表示Kin L的闭。）考虑（Xn）和X的形式（7.1）的半鞅分解，并假设Mn，C→ MCandˇXn，C→ˇXCin Emerytopology。然后Bn，C→ B在金刚砂拓扑中。证据

鉴于备注2.7中削弱的串联特性，我们对[1]中的提案5.5进行了修改。Let（Xn）∈锡≥1Xn。然后Xn∈ XAN有限子集An I.定义Yn:=Mn，C+Xn，C，通过假设在能值论中收敛。矛盾地假设（Bn，C）在Emery拓扑中不收敛。那么它不是柯西序列，存在ik，jk→ ∞ 就这样Zd |比克，Cs- Bjk，Cs |>2γ≥ 2γ > 0.设B是支配所有Bn的可预测的递增过程，C.集rik:=dBik，CdB，rjk:=dBjk，CdBandΓk:=rik≥ rjk}。然后我们可以通过假设ik得出结论∧ jk≥ ik-1.∨ jk-1并可能将IK和jk互换——即（（rik）- rjk）1ΓkoB）>γ≥ γ > 0.以αk为例↓ 0和定义Xk:=1ΓkoXik+1（Γk）coXjk。注意，由引理2.6“Xk∈ 沙伊克∪Ajk。让我们定义σk=inf{t|（1ΓkoYik）t+（1（Γk）coYjk）t<Yikt∨ Yjkt- CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和JOSEF Teichman没有注意到- Yik=1（Γk）co（Yjk）- Yik）和“Yk”- Yjk=1Γko（Yik- Yjk）在Emery拓扑中转化为0，因此概率也一致。因此，我们可能需要（ik，jk）足够快的增长来确保P[σk<∞] → 0.设置noweXk:=1[0，σk]o\'Xk。引理7.4，eXk∈ （1+αk）XAik∪Ajk （1+αk）Sn≥我们有以下代表性exk=（1Γk∩[0，σk]oXik）+（1（Γk）c∩[0，σk]oXjk）=Xjk1∧σk+（1Γk∩[0，σk]o（Xik- Xjk））=Xjk1∧σk+（1Γk∩[0，σk]o（Yik- Yjk））+ξk，其中ξk=（1Γk∩[0，σk]o（Bik，C-Bjk，C））=（1Γk（rik）-rjk）oB）1∧σk.将[8，引理A]应用于ξk，意味着ξkconver ge对arandom变量η的正凸组合≥ 0，η6=0。表示Xjk通过h变换到的最大元素∈bK，通过（Yn）的Emery收敛，它将eXkConver ge的凸组合向前推到h+η。自从埃克斯克∈ （1+αk）X，这与h的极大值相矛盾∈bK。引理7.4。

让Xk∈ XAk，Xl∈ XAl（因此是Xk，Xl∈ 哈克∪Al）和α>0。考虑Xkand Xl的分解（7.1），即Xi=Bi，C+Mi，C+ˇXi，C=：Bi，C+Yi，i=k，l。设B是支配Bi的可预测增长过程，C。集ri=dBi，CdBfori=k，l和σ：=inf{t |（1ΓYk）t+（1ΓCoYl）t<Ykt∨ Ylt- α} ，其中Γ={rk≥ rl}。TheneX=1Γ∩[0，σ]oXk+1Γc∩[0，σ]oXl∈ （1+α）XAk∪艾尔 （1+α）[n≥1Xn （1+α）XProof。注意，1ΓBk，C+1ΓCoBl，C≥ Bk，C∨ 因此在[0，σ[eX]上≥ Bk，C∨Bl，C+Yk∨伊尔-α ≥ （Bk，C+Yk）∨ （Bl，C+Yl）- α=Xk∨Xl码- α.当时eX由eXσ=1ΓXkσ+1ΓcXlσ和henceeXσ≥ - 1.- α、 因为左极限至少是Xk∨ Xl码- α. 附录A.一些技术成果定义A.1。一个积极的c`adl`ag适应过程D被称为1+Xif D的supermart ingalede flicator≤ 1和D（1+X）是所有X的超鞅∈ X.定理A.2。设Xbe是一组满足定义2.4和（NUPBR）的半鞅，则存在1+X证明的超鞅定义D。正如[1]中定理4.5的证明一样，断言来自[12，引理2.3]。事实上，紧跟[1]中定理4.5的证明，并使用引理2.6的串联性质的方差，很容易看出fork凸性适用于n≥1Xn。因此，对于n存在一个超鞅≥1Xn。由法图引理D是金刚砂closureXas井的一个超级艺术家。大型金融市场FTAP 19以下命题与[1，命题4.10]相对应，其证明在当前环境下完全类似。提案A.3。设xsatify（NUPBR）和Let（Xn）n≥0∈ Xbe半鞅的任意序列。然后（Xn）满足（P-UT）性质。以下命题是[18，命题1.10]的一个变形，与[1，命题5.2]相对应。提议A.4。让（Xn）n≥0是Xn=0的半鞅序列，其概率一致收敛到X。

进一步假设这个序列的（P-UT）属性，并考虑（Xn）和x的形式（7.1）的分解。然后存在一些C>0，使得Mn，C→ MCandˇXn，C→ˇXCin-theEmery拓扑与Bn，C→ 在概率上是一致的。参考文献[1]C.Cuchiero和J.Teichman。埃默里拓扑的收敛结果和资产定价基本定理证明的变体。预印本，arXiv:1406.43012014。[2] 多诺先生、瓜索尼先生和普拉特利先生。大型金融市场的超级复制和效用最大化。随机过程。应用程序。，115(12):2006–2022, 2005.[3] 多诺先生和普拉特利先生。关于半鞅序列的随机积分。在《纪念保罗·安德烈·梅耶：概率论的埃米奈尔》第XXXIX卷，数学课堂讲稿1874卷中。，第119-135页。柏林斯普林格，2006年。[4] 多诺先生和普拉特利先生。在安塞尔和斯特里克的引理上。在S\'eminaire de Probabilit\'esXL《数学课堂讲稿》第1899卷中。，第411-414页。柏林斯普林格，2007年。[5] F.德尔班和W.沙切迈耶。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994.[6] 埃默里先生。半鞅空间上的拓扑。在S\'eminaire de Probabilit\'es，XIII（斯特拉斯堡大学，斯特拉斯堡，1977/78）中，数学课堂讲稿第721卷。，第260-280页。柏林斯普林格，1979年。[7] 英格索尔。财务决策理论。Rowman&Little Field金融经济学研究。Rowman&Little Field，1987年。[8] Y·M·卡巴诺夫。关于克雷普斯·德尔巴恩·沙切梅耶的自由贸易协定。《随机过程的统计和控制》（莫斯科，1995/1996），第191-203页。世界科学杂志。公共图书馆。，River Edge，新泽西州，1997年。[9] Y·M·卡巴诺夫和D·O·克拉姆科夫。大型金融市场：渐进套利和连续性。特奥。维罗亚特诺斯特。我是Primenen。，39(1):222–229, 1994.[10] Y·M·卡巴诺夫和D·O·克拉姆科夫。

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