尾部风险约束与最大熵

Geman和T.Ané（1996）[17]展示了股票收益率的正态分布的有限混合是如何通过引入“随机时钟”来解释金融市场中信息流的不均匀到达率而产生的。此外，期权交易者长期以来一直使用混合物来解释厚尾，并检查投资组合对峰度增加的敏感性（“DvegaDvol”）；见Taleb（1997）[18]。这种类型的限制也更普遍地适用于对称分布，因为左尾限制在平均值和尺度上施加了一种结构。例如，对于标度为s、位置为m、尾部指数为α的Student T分布，s和m之间的线性关系相同：s=（K- m） κ（α），其中κ（α）=-智商-12(α,)√α气-12(α,)-1.我在哪里-1是正则化不完全β函数I的逆，s是 =Iαs（k）-m） +αsα,.GEMAN、GEMAN和TALEB：尾部风险约束和最大熵4RetProbability图。2.动态止损起到吸收屏障的作用，执行止损时有狄拉克函数。最后，Brigo和Mercurio（2002）[19]混合使用两种法线来校准股票期权中的倾斜。考虑混合物f（x）=λN（u，σ）+（1）- λ） N（u，σ）。直观上简单且有吸引力的一种情况是乘以总体平均值u，取λ= 和u=ν-, 在这种情况下，u被限制为u-ν-1.-. 因此，左尾翼约束对于σ，σ足够小。实际上，当σ=σ≈ 0时，密度有效地由两个尖峰（小方差法线）组成，左尖峰以ν为中心-右边的那个以μ为中心-ν-1.-. 极端情况是左边的狄拉克函数，正如我们接下来看到的。动态停止损失，一个简短的评论：可以设置一个levelK，在该levelK之下没有质量，其结果取决于停止执行的准确性。

止损右边的分布不再像标准高斯分布，因为它根据止损点与均值的距离建立正偏态。我们将进一步讨论限制在图2中的插图上。四、 最大熵从上面的评论和分析来看，很明显，在实践中，收益X的密度f是未知的；特别是，没有任何理论提供这一点。假设我们可以调整Portfolio参数以满足VaR约束，并可能对X的某些函数的预期值（例如，总体平均值）施加其他约束。然后，我们希望计算感兴趣的概率和预期，例如P（X>0）或损失超过2K的概率，或给定X>0的预期回报。一种策略是在最不可预测的情况下，根据约束条件做出这样的估计和预测。也就是说，使用约束的最大熵扩展（MEE）作为f（x）的模型。f的“微分熵”是h（f）=-Rf（x）lnf（x）dx。（通常，积分可能不存在。）熵在密度空间上是凹的，其定义为：h（αf+（1- α） f）≥ αh（f）+（1）- α） h（f）。我们希望在VaR约束和我们可能施加的任何其他约束下，最大化熵。事实上，VAR约束本身不允许MEE，因为它们不限制x>K的密度f（x）。通过允许f等同于C=1，熵可以变得非常大-N-K<x<N和N→ ∞. 然而，假设我们已经在f的行为上附加了一个或多个约束，这些约束与VaR约束相容，即密度集Ohm 满足所有约束是非空的。在这里Ohm 取决于VaR参数θ=（K，, ν-) 以及与附加约束相关的参数。

然后将MEE定义为Fmee=arg maxf∈Ohmh（f）。众所周知，FMEE是唯一的，并且（远离可行性边界）在约束函数中是指数分布。A.案例A：约束全局平均值最简单的情况是对平均收益增加一个约束，即fix e（x）=u。因为E（X）=P（X≤ K） E（X | X）≤K） +P（X>K）E（X | X>K），加上平均约束等于加上约束（X | X>K）=ν+其中ν+满足ν-+ (1 - )ν+= u.定义-（十）=（K）-ν-)扩展-K-xK-ν-iif x<K，如果x为0≥ K.和F+（x）=(ν+-K） 扩展-十、-Kν+-Kiif x>K，如果x为0≤ K.很容易检查两个f-f+积分为一。ThenfMEE（x）=F-（x） +（1）- )f+（x）是三个约束中的MEE。首先，显然是RK-∞fMEE（x）dx=;2） RK-∞xfMEE（x）dx=ν-;3） R∞KxfMEE（x）dx=（1）- )ν+.第二，Fmee在约束函数中有一个指数形式，即是f函数mee（x）=C-1exp-λx+λI（x≤K） +λxI（x）≤（K）GEMAN、GEMAN和TALEB：尾部风险约束和最大熵50.0.10.250.5-20-10 200.10.20.30.4扰动ε图3。案例A：不同价值观的影响 关于分布的形状。其中C=C（λ，λ，λ）是归一化常数。（这种形式来自于基于熵区分适当的函数lj（f），迫使积分为单位，并用拉格朗日乘子施加约束。）f的形状-取决于Kand和预期短缺ν之间的关系-. 更近的ν-如果是K，尾巴脱落的速度越快。Asν-→ K、 f-在x=K.B.情况B：约束绝对平均值如果我们约束绝对平均值，即e | x |=Z | x | f（x）dx=u，则MEE不太明显，但仍然可以找到。定义f-（x） 如上所述，以及letf+（x）=λ2-exp（λK）exp(-λ| x |）如果x≥ K、 如果x<K，则λ可以选择为ν-+ (1 - )Z∞K | x | f+（x）dx=u。C

案例C：右尾的幂律如果我们认为实际收益有“厚尾”，特别是右尾以幂律而不是指数衰减（如正态或指数密度），那么我们可以将此约束添加到VaR约束中，而不是使用均值或绝对均值。鉴于MEE的指数形式，密度f+（x）将具有幂律，即f+（x）=C（α）（1+|x |）-（1+α），x≥ K、 -10-5 100.10.20.30.40.5扰动ν图4。案例A：不同的ν值的影响-关于分布的形状。对于α>0，如果约束的形式为（log（1+|X |）|X>K）=A。此外，从MEE理论，我们知道参数是通过最小化正规化函数的对数获得的。在这种情况下，很容易证明C（α）=Z∞K（1+| x |）-（1+α）dx=α（2）- (1 - （K）-α).因此，A和α满足方程A=α-日志（1）- K） 2（1）- K） α- 1.我们可以将该方程视为确定给定a的衰减率α，或者，确定获得特定幂律α所需的约束值a。1322523-2-1 1 2 30.51.01.5扰动α图5。案例C：不同值对肥尾最大熵分布形状的影响。VaR约束的最终MEE扩展包括GEMAN、GEMAN和TALEB：尾部风险约束和最大熵61322523-2-1 1 2 30.51.01.5扰动α图6。案例C：不同值对肥尾最大熵分布形状的影响-4-2 4 6 8 100.10.20.30.40.5图。7.案例A的多周期朴素策略的平均回报，即假设“规模”独立，因为职位规模不依赖于绩效。

它们很好地聚合为标准高斯分布，并且（如等式1所示）在平均值处收缩为狄拉克分布。返回日志上的约束为：fMEE（x）=I（x）≤K） （K）- ν-)经验-K- xK- ν-+ (1 - )I（x>K）（1+|x |）-（1+α）C（α）。D.多时段设置的扩展：一个注释考虑多时段的行为。我们用一种简单的方法总结性能，就好像对以前的回报没有反应一样。我们可以看到情况A是如何接近正则高斯分布的，但情况C不是。对于情况A，特征函数可以写成：ψA（t）=eiKt（t（K- ν- + ν+( - 1)) - i） （Kt）- ν-T- （一）(-1.- 它（K- 所以我们可以从卷积中得出，函数ψA（t）收敛于n-和高斯函数。进一步研究了平均策略极限的特征函数Limn→∞ψA（t/n）n=eit（ν）++(ν--ν+），（1）是狄拉克δ的特征函数，显然是大数定律的影响，它提供了与平均值为nu++的高斯函数相同的结果(ν-- ν+) .对于情形C中的幂律，α收敛到高斯非线性≥ 2，而且相当缓慢。V.评论和结论我们注意到，止损在确定随机性方面比投资组合构成发挥更大的作用。简单地说，止损不是由单个组成部分触发的，而是由总投资组合的变化触发的。当我们所知道并能控制的只有通过衍生工具或有机结构的尾巴时，这将使分析从关注单个投资组合组成部分中解放出来。总之，在数学金融文献中，大多数关于熵的论文都将熵最小化作为优化标准。例如，Fritelli（2000）[20]在某些条件下展示了“最小熵鞅测度”的唯一性，并表明熵的最小化相当于终端财富的预期指数效用的最大化。

相反，在任何效用标准之外，我们提出了熵最大化，作为对资产分布不确定性的认识。在VaR和预期短缺约束下，我们得到了一个完全通用的“杠铃投资组合”作为最优解，推广到了一个非常通用的设置两基金分离定理的方法。参考文献[1]R.Chicheportiche和J.-P.Bouchaud，“股票收益的联合分布不是椭圆的，”国际理论与应用金融杂志，第15卷，第03期，2012年。[2] H.Markowitz，“投资组合选择*，《金融杂志》，第7卷，第1期，第77-911952页。[3] J.L.Kelly，“信息率的新解释”，信息论，IRE交易，第2卷，第3期，第185-189页，1956年。[4] R.M.Bell和T.M.Cover，“对数投资的竞争最优性”，《运筹学数学》，第5卷，第2期，第161-166页，1980年。[5] E.O.Thorp，“有利游戏的最佳赌博系统”，国际统计研究所评论，第273-293页，1969年。[6] J.Haigh，“利差博彩中的凯利标准和赌注比较”，《皇家统计学会期刊：D辑》（统计学家），第49卷，第4期，第531-539页，2000年。[7] L.MacLean、W.T.Ziemba和G.Blazenko，“动态投资分析中的增长与安全”，管理科学，第38卷，第11期，1562-1585页，1992年。[8] E.O.Thorp，“理解凯利标准”，《凯利资本增长投资标准：理论与实践》，世界科学出版社，新加坡，2010年。[9] J.Tobin，“流动性偏好作为风险行为”，《经济研究评论》，第65–86页，1958年。[10] R.C.Merton，“有效投资组合前沿的分析推导”，《金融与定量分析杂志》，第7卷，第4期，第1851-1872页，1972年。GEMAN，GEMAN和TALEB：尾部风险约束和最大熵7[11]S.A。

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因此，K=u+η()σ（2）对于短缺约束，E（X；X<k）=ZK-∞十、√2πσexp-（十）- u）2σdx=u + σZ（K）-u)/σ)-∞xφ（x）dx=u -σ√2πexp-（K）- u）2σ，E（X；X<K）=ν-, 从B的定义来看(),我们得到了ν-= u - η()B()σ（3）求出u和σ的（2）和（3）得到了位置1中的表达式。最后，通过对称于标准法线的“上尾不等式”，我们得到了，对于x<0，Φ（x）≤φ（x）-xforx>0。选择x=η() = Φ-1() 产量 = P（X<η）()) ≤-B() 还是1+B() ≤ 0.因为上尾不等式与x有交感精确关系→ ∞ 我们有B（0）=-1，这就是证据。