尾部风险约束与最大熵

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英文标题：
《Tail Risk Constraints and Maximum Entropy》
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作者：
Donald Geman, H\\\'elyette Geman, and Nassim Nicholas Taleb
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In the world of modern financial theory, portfolio construction has traditionally operated under at least one of two central assumptions: the constraints are derived from a utility function and/or the multivariate probability distribution of the underlying asset returns is fully known. In practice, both the performance criteria and the informational structure are markedly different: risk-taking agents are mandated to build portfolios by primarily constraining the tails of the portfolio return to satisfy VaR, stress testing, or expected shortfall (CVaR) conditions, and are largely ignorant about the remaining properties of the probability distributions. As an alternative, we derive the shape of portfolio distributions which have maximum entropy subject to real-world left-tail constraints and other expectations. Two consequences are (i) the left-tail constraints are sufficiently powerful to overide other considerations in the conventional theory, rendering individual portfolio components of limited relevance; and (ii) the \"barbell\" payoff (maximal certainty/low risk on one side, maximum uncertainty on the other) emerges naturally from this construction.
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中文摘要：
在现代金融理论界，投资组合构建通常至少在两个中心假设中的一个下进行：约束来自效用函数和/或基本资产回报的多元概率分布是完全已知的。在实践中，绩效标准和信息结构明显不同：承担风险的代理人被要求通过主要限制投资组合回报的尾部来构建投资组合，以满足VaR、压力测试或预期短缺（CVaR）条件，并且基本上不知道概率分布的剩余属性。作为替代方案，我们推导了在真实世界的左尾约束和其他期望下具有最大熵的投资组合分布的形状。两个后果是（i）左尾约束足够强大，足以超越传统理论中的其他考虑，使得单个投资组合组成部分的相关性有限；（ii）“杠铃”回报（一方面是最大确定性/低风险，另一方面是最大不确定性）自然从这种结构中产生。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Tail_Risk_Constraints_and_Maximum_Entropy.pdf (510.24 KB)

2022-5-7 06:56:54 上传

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关键词：最大熵 distribution Construction Applications Expectations

尾部风险约束与最大熵约束*, 赫丽特·杰曼*+, 还有纳西姆·尼古拉斯·塔勒布*约翰·霍普金斯大学应用数学系+伦敦大学伯克贝克分校数学系+纽约大学工程学院现代金融理论世界摘要，portfolioconstruction传统上至少在两个中心假设中的一个下运行：约束来自于自性函数和/或基本资产回报的多元概率分布是完全已知的。在实践中，绩效标准和信息结构明显不同：承担风险的代理人被要求通过主要限制投资组合的尾部来构建投资组合，以满足VaR、压力测试或预期短缺（CVaR）条件，并且基本上不知道概率分布的剩余属性。作为替代方案，我们推导了最大熵服从现实世界的左尾约束和其他期望的投资组合分布的形状。两个后果是（i）左尾约束足以超越传统理论中的其他考虑因素，使单个投资组合组件具有有限的相关性；和（ii）“杠铃”回报（一方面最大确定性/低风险，另一方面最大不确定性）自然从这种结构中产生。I.左尾风险作为核心投资组合通常，在机构框架内工作时，运营商和风险承担者主要使用监管规定的尾部损失限额来设定其投资组合中的风险水平（自巴塞尔协议II以来银行的义务）。

它们依赖于压力测试、止损、风险价值（VaR）、预期缺口（CVaR）和类似的损失削减方法，而不是效用。至少可以说，约束选择中包含的信息是关于风险偏好和期望分布形状的有意义的统计数据。运营商更关心的是在一段时间内可能面临的资金缩减，而不是投资组合的变化。此外，他们不知道投资组合中各组成部分的联合概率分布（关联和对冲的模糊概念除外），但可以通过基于最大风险的分配方法有机地控制损失。尤其是金融交易的保证金（允许一定的杠杆率和目标头寸大小）通过清算公司和尾部损失的交易进行校准，从概率和压力测试两方面来看。用方差代替风险的想法对冒险者来说可能显得非常奇怪。现代投资组合理论的目标是降低方差，这与理性投资者的偏好是不一致的，而不是风险厌恶，因为它也将利润领域的可变性降至最低——除非在未来平均回报的确定性非常狭窄的情况下，在牵强的情况下，投资者只能在变量上投资，去掉对称概率分布，和/或只有对称性。

止损和尾部风险控制违反了这种对称性。可以使用效用和方差的传统概念，但不能直接使用，因为有关它们的信息嵌入尾部损失常数中。由于止损、VaR（和预期短缺）方法和其他风险控制方法只涉及分布的一个部分，即损失领域的负面，我们可以得到类似于投资组合分离或“杠铃式”结构的双重方法，因为投资者在回报分布的不同部分有相反的立场。我们对杠铃的定义是组合中两个极端性质的混合，例如组合中一小部分w的最大保守性的线性组合∈ （0,1）和（1）的最大（或高）风险- w） 剩余部分。从历史上看，金融理论倾向于参数化、不那么稳健的方法。

尽管决策者对未来收益的分布有清晰无误的了解，但这种观点仍然存在，尽管它缺乏实践和理论上的有效性——例如，相关性太不稳定，无法产生精确的测量结果。这是一种基于分布和参数确定性的方法，这种方法可能对研究有用，但不适用于负责任的风险承担。大致有两种传统：一种是基于经济学界的高度参数化决策（主要由马科维茨[2]代表），另一种是基于一些稀疏的假设，称为凯利准则。凯利的方法还与比例投资的左尾控制有关，比例投资在发生损失时会自动减少投资组合；但最初的方法需要一个硬的、非参数的最坏情况，也就是说，证券的变化有一个下限，类似于赌场的赌博，这在金融上只能通过二元期权来实现。Kelly相关性以一种不稳定的方式不稳定，因为资产的联合回报不是椭圆的，参见Bouchaud和Chichepatiche（2012）[1]。凯利，1956[3]，见《贝尔与封面》，1980[4]。与最小方差法相比，凯利的方法（与马尔科维茨在同一时期发展而来）不需要联合分布或效用函数。在实践中，需要动态调整预期收益与最坏情况回报的比率，以避免破产。显然，在凯利标准下，模型误差的影响较小：索普（1969）[5]、海格（2000）[6]、麦克·莱恩（Mac Lean）、齐姆巴（Ziemba）和布莱森科（Blazenko）[7]。

有关这两种方法之间差异的讨论，请参见萨缪尔森对Kelly标准和对数尺寸的反对意见，参见2010年《霍普标准》[8]。GEMAN、GEMAN和TALEB：此外，尾部风险约束和最大熵2标准要求对未来收益率有一些精确的了解，比如平均值。我们的方法超越了后一种方法，适应了关于回报的更多不确定性，即运营商只能通过衍生品和其他形式的保险或基于止损的动态组合构建来控制他的左尾。简言之，我们对损失的削减进行了硬性规定，但对回报的不确定性假设最大。更准确地说，我们将收益分布等同于约束的最大熵扩展，这些约束表示为对左尾行为的统计期望，以及对非危险区的收益或对数收益的期望。在这里，“左尾行为”指的是上文讨论的严格、明确的制度约束。我们描述了由此产生的所谓maxent分布的形状和其他性质。除了在高斯均值-方差框架下揭示可接受尾部损失（VaR）与预期收益之间联系的数学结果外，我们的贡献有两个方面：1）在比均值-方差方法施加的更多自然约束下，研究投资组合构建的收益分配形状，2）使用随机熵表示剩余确定性。VaR和CVaR方法并非无误差——众所周知，参数VaR本身作为一种风险控制方法是无效的。然而，这些方法可以通过使用在支付保险价格后不再依赖于参数假设的结构来实现。

这可以通过衍生合约或有机构造来实现（很明显，如果某人的投资组合中有80%是numéraire securities，损失超过20%的风险与所有可能的回报模型无关，因为numéraire中的波动不被认为是有风险的）。我们通过“硬停”或保险使用“纯稳健性”或bothVaR和零短缺，这是我们在论文中提到的“杠铃”结构的特例。E.T.Jaynes所看到的杠铃我们只限制可以限制的东西（以稳健的方式）并在其他地方最大化熵的方法，呼应了E.T.Jaynes在《我们应该如何在经济学中使用熵？》中的非凡见解[12] 当前位置可能是宏观经济系统不会响应（或至少不会完全响应）。值得一提的是，在经济学中，投资者可以基于两种不同的风险类别建立投资组合，这是一个古老的想法，参见Hicks（1939）。现代投资组合理论提出了共同基金定理或“分离”定理，即所有投资者都可以通过混合两个共同基金获得他们想要的投资组合，一个是无风险资产，另一个代表与其约束相切的最优均值-方差投资组合；参见托宾（1958）[9]，马科维茨（1959）[？]，《默顿变奏曲》（1972）[10]，罗斯（1978）[11]。在我们的例子中，无风险资产是尾部风险设置为零的部分。注意，在传统金融经济学中，投资组合的风险部分必须是最小方差；对于我们的方法，风险的方法采用完全相反的表示法。回应）当前理论中应该存在的力量；在自然和ZF施加的守恒定律的约束下，它可能只是朝着熵增加的方向移动。二、

重温均值-方差设置let~X=（X，…，Xm）表示单个周期内的m资产收益率，其联合密度为g（~X），平均收益率~u=（u，…，um）和m×m协方差矩阵∑：ij=E（XiXj）-uiuj，1≤ i、 j≤ m、 假设~u和∑可以根据数据进行可靠估计。权重为w=（w，…，wm）的portolio的回报率为X=mXi=1wiXi，其均值和方差为E（X）=~w~uT，V（X）=~w∑~wT。在标准投资组合理论中，对于固定的期望平均回报率u，我们将V（X）最小化。等价地，在固定方差V（X）下，一个最大化预期收益E（X）。在这个框架中，差异被视为风险的替代品。为了与我们以熵为中心的方法建立联系，我们考虑了两种标准情况：1）正常世界：资产回报的联合分布g（~x）是多元高斯N（~u，∑）。假设不正态性相当于假设g（~x）在所有多元分布中具有最大（香农）熵，且具有给定的一阶和二阶统计量~u和∑。此外，对于固定平均值E（X），最小化方差V（X）相当于最小化X的熵（不确定性）（这是真的，因为联合正态性意味着对于任何选择的权重和N（u，σ）变量isH=（1+log（2πσ））的熵，X是单变量正态。）在一个信息完整的世界里，这是很自然的。2） 未知的多元分布：由于我们假设我们可以估计二阶结构，我们仍然可以执行Markowitz计划，即选择投资组合权重以找到最佳的均值-方差性能，这决定了e（X）=u和V（X）=σ。然而，我们不知道returnX的分布情况。

观察到假设X为正态N（u，σ）等于假设X的熵最大化，因为正态在给定的人和方差下使熵最大化，参见[13]。熵作为平均不确定性的概念见于Philippatos和Wilson（1972）[13]；参见Zho等人（2013）[14]对金融经济学中熵的回顾，以及Georgescu-Roegen（1971）[15]对一般经济学的回顾。GEMAN、GEMAN和TALEB：尾部风险约束和最大熵3区域ενu4-2返回0。10.20.30.4图。1.通过设置K（风险值），概率 在高斯分布下，没有回旋余地：σ和u被确定，这使得根据拓扑学理论的构造不那么相关。我们的策略是通过将方差σ替换为两个左尾风险价值约束来推广第二种情况，并将投资组合回报建模为这些约束的最大熵扩展，以及对整体绩效或非危险区内投资组合增长的约束。分析约束设X具有概率密度f（X）。在接下来的一切中，让K<0成为一个与风险承担者的财富一致的标准化常数。无论如何 > 0和ν-< K、 风险价值约束为：1）尾部概率：P（X）≤ K） =ZK-∞f（x）dx=.2） 预期差额（CVaR）：E（X | X≤ K） =ν-.假设1）保持不变，约束2）相当于脚趾（XI（X≤K） ）=ZK-∞xf（x）dx=ν-.给定风险值参数θ=（K，, ν-), 允许Ohmvar（θ）表示满足两个约束的概率密度f的集合。注意Ohmvar（θ）是凸的：f，f∈ Ohmvar（θ）表示αf+（1-α） f∈ Ohmvar（θ）。稍后我们将添加另一个涉及总体平均值的约束。三、 重温高斯情况假设我们假设X是高斯的，均值为u，方差为σ。

原则上，应该可以满足VaR约束，因为我们有两个自由参数。的确，如下图所示，左尾约束决定了均值和方差；参见图1。然而，满足“不平等”和“不平等”的风格会导致“不平等”。让η() 成为-标准正态分布的分位数，即η() = Φ-1(), 其中Φ是标准正常密度φ（x）的c.d.f。此外，挫折() =η()φ(η()) =√2πη()经验{-η()}.命题1：如果X~ N（u，σ）并满足两个变量约束，则平均值和方差由以下公式给出：u=ν-+ KB()1+B(), σ=K- ν-η()（1+B）()).此外，B() < -1和lim↓0B() = -1.证据见附录。VaR约束直接导致u和σ中的两个线性方程：u+η()σ=K，u- η()B()σ = ν-.考虑VaR约束允许正平均回报u=E（X）>0的条件。首先，根据上述线性方程，用u表示，用η表示σ() K，我们看到σ随着 当且仅当σ>Kη时，任何固定平均值u和u>0都会增加(), i、 例如，我们必须接受一个较低的方差范围，它随着时间的推移而增加, 这是合理的财产。其次，根据uinProposition 1的表达式，我们得到了u>0<==> |ν-|> KB().因此，获得积极预期回报的唯一方法是适应足够大的风险，该风险由满足上述内在质量的风险参数θ之间的各种权衡来表示。两个法线的混合在许多应用科学中，两个法线的混合为高斯函数本身提供了一个有用且自然的扩展；在金融领域，混合分布假设（文献中称为MDH）指的是两个正态分布的混合，并且已经得到了广泛的研究（参见Richardson and Smith（1995）[16]）。H