建立一个有信息的双交易者市场

当然，像算子^Ij这样的数字的特征值越高，τjknows对市场情况的了解就越少。换言之，为了更有效地工作，交易员应该有一个较低的LoI，也就是说，他应该以某种方式与^Ij的一个小特征值相关联。在我们的模型中，我们还有一个库，它对所有谣言、新闻和外部事实集进行建模，这些事实一起具体创建最终信息，从而确定两名交易员的意向书价值。本文描述了玻色子算符rj（k）、r+j（k）和^rj（k），它们依赖于实变量k∈ R.哈密顿量H包含一个自由正则部分H。我们的意思是，当用二次量子化描述量子多体系统时，它是一个典型的二次哈密顿量。他的主要特点是，每当我们的系统只被H描述时，即当我们把Hinf=0时，所有的数字运算符（^Sj、^Kjand等）在时间上保持不变：因此，从我们的o b可服务性的角度来看，[5]，市场看起来是静态的。然而，事实并非如此，因为不可观测的算子可能仍会随着时间的推移而演化。关于Hinf的问题，现在让我们分别考虑它的两项贡献。它们分别描述了以下内容：当LoI增加时，端口组合的值增加（因为i+j（sj+cj）），反之亦然（因为ij（s+j+c+j））。此外，当储层的“值”减小时（这是i+jrj（k）的意思），LOI增大，反之，当储层的“值”增大时，LOI减小。考虑到金融经济学，通常会区分所谓的“私人信息”和“公共信息”。这里的水库包含公共和私人信息。

区分这些类型的信息可能会很有成效，因为它们隐含着“财务效率”等概念，其中最强大的效率形式是所有价格都包含公共和私人信息。这就是本文的观点。这种对HINFC的首次贡献也可以通过略微不同的途径（[16]）获得，其中aquantum机械（类似）波函数被视为信息的载体，在它向势函数（Payoff函数）传播时，它可能会衰减或不衰减，这取决于势函数相对于总能量的位置。总能量被视为获取公共信息，而波浪函数则承载私人信息。如果我们假设投资组合是一个支付函数，它将一个股票价格域映射到一个利润水平，那么在一个利润位置被发现之前，我们可以将收入信息建模为一种衰减的方式，这将取决于利润水平。我们表明，如果我们将这个价格域限制为非常低，然后，支付函数的收益水平越高，LoI越低，收益水平越低，LoI越高。LoI的变化可以通过比较两种Fisher信息度量来测量。如果我们再次考虑[16]，我们可以得到类似的结果——但又是在不同的环境中。将储能器视为总能量，并假设存在一个支付函数（这是一个势函数），该函数对股票价格具有更大的作用域。

首先设置总能量相对于Payoff函数的水平，以确保引入的量子（类似）机械波函数不会衰减，并计算Fisher信息。现在降低总能量的水平，这样传入的量子（类似）机械波函数，例如，Hinf中的贡献ijr+j（k），我们看到当大量的新闻、谣言等到达交易者时，LoI降低（因此交易形式更好）。注意，在H中，尚未考虑τ和τ之间的相互作用。如[3]中所述，为了建立一个合理简单的模型，我们假设股票的价格在时间上是恒定的，我们将这个常数乘以1。当然，这是该模型的一个很强的局限性，但它有助于获得交易员投资组合的时间演化的一些分析表达式。其他可能性也存在，但毫不奇怪，会产生更复杂的模型：人们可以将股票价格视为系统的一个动态变量。这是我们真正想做的，但很难以现实的方式实现这种可能性。一种更简单的可能性是将价格视为一个外部场，由实验数据推导得出。[5]中讨论了这两种可能性。稍后我们将回到模型的这一方面。[3]H正是我们感兴趣的目标，因为我们没有考虑贸易商之间的互动。另一方面，这正是我们感兴趣的方面之一。因此，我们的完整模型由以下哈密顿量描述：（H=H+Hint，Hint=λ）sc+s+c+s+csc+.（2.3）Hintis的含义如下：sc+s+CD描述了τ向τ出售股份的事实。

因此，他的投资组合中的股票数量减少了一个单位（这是s的意思），而他的现金增加了一个单位（因为c+），因为这里假设股票价格为一。相互作用后，τ多了一份股份（s+），但少了一个现金单位（c）。当然，Hintalso包含Adjoint贡献，它描述了相反的情况：τ向τ出售股份。因此，出于明显的原因，sjc+jand s+JCJCJC可以分别统称为销售运营商和购买运营商。λ是一个相互作用参数：如果λ=0，τ和τ不相互作用，我们回到[3]中的分析。值得强调的是，我们对哈密顿量的选择与factwill衰减和测量Fisher信息的方法不兼容。如果价格范围足够大，once确实可以证明，当水库价值降低时，LoI增加。在一些旧型号中，[5]，c+被c+^P取代，其中^P是价格运算符。在时间演化过程中，现金的数量和股份的数量得以保留。这是一个简单的结果，称^K=Pj=1^Kjand^S=Pj=1^S市场的总现金和股票运营商数量，他们不与H通勤。事实上，特别是，他们不与Hinf通勤：[H，^K]6=0，[H，^S]6=0。因此，我们允许破产。此外，我们并不是假设这些现金只用于购买股票，因此不需要及时保存。然而，在时间演化过程中，其他一些自伴算子被保留下来。这些算子是^Mj=^Sj+^Kj+^Ij+^Rj+Rj，j=1,2，其中^Rj=RRr+j（k）Rj（k）dk和^∏j=^Sj+^Kjis是我们所说的τj的组合算子，它只是交易方j的现金量和股票数量之和（以及每股的价格等于一，也是它们的价值）。然后我们可以检查[H，^Mj]=0，j=1，2。

这意味着时间常数是每个交易者的投资组合、LoI和储备输入的总和。我们愿意推导的是组合算子的时间演化：j∏j（t）=j∏Kj（t）+j∏Sj（t），j=1,2。正如我们已经注意到的，由于我们对股票价格的工作假设，^∏j（t）的平均值对我们来说代表τj的richnes s。正如在[5]中广泛讨论的那样，平均值必须与向量有关，向量是系统（所有）数算子的本征态，本征值对应于系统的初始条件。稍后我们将明确地看到这种计算是如何工作的。一旦我们有了哈密顿量，我们就可以通过采用标准的量子力学海森堡方法来推导出我们感兴趣的微分方程：˙X=i[H，X]。通过这种方式，我们得到以下方程组：ddtsk（t）=-iωsksk（t）- iλinfik（t）- iλck（t）sk（t）c+k（t），ddtck（t）=-iωckck（t）- iλinfik（t）- iλsk（t）ck（t）s+k（t），ddtik（t）=-我Ohm基克（t）- iλinf（sk（t）+ck（t））- iγkRRrk（q，t）dqddtrk（q，t）=-我Ohm（r） k（q）rk（q，t）- iγkik（t），（2.4），其中对k，k的否定如下所示：如果k=1，那么k=2。另一方面，当nk=2时，则k=1。关于[3]中推导的方程，在本文中，我们推导出了守恒量的存在性，除其他原因外，也证明了用于求解系统方程的数值格式的有效性[4]。上述前两个方程中的两个高度非线性贡献。毫不奇怪，我们无法准确地解决这个系统。尽管如此，我们还是会得到一个微扰解，我们相信它是有意义的。我们的第一步是以积分形式重写最后一个方程：rk（q，t）=rk（q）e-我Ohm（r） k（q）t- iγkZtik（t）e-我Ohm（r） k（q）（t）-t） dt，并将其替换为ik（t）的微分方程。

首先假设Ohm（r） k（q）在q中是线性的，Ohm（r） k（q）=Ohm（r） kq，[5]，我们推导出thaddtik（t）=-我Ohmk+πγkOhm（r） k！ik（t）- iγkZRrk（k）e-我Ohm（r） kq-tdq- iλinf（sk（t）+ck（t））。到目前为止，我们的计算是准确的。然而，为了找到一些解析解，我们不得不考虑一些近似值，并进行一些微扰展开。出于这个原因，如[3]中所述，我们现在将在这样的假设下工作，即与其他因素相比，这个方程中的最后一个因素可以忽略。换句话说，我们认为λ很小。然而，我们的程序比简单地在H中考虑λinf=0要好得多，因为我们将在（2.4）中的前两个方程中保留对其影响的记忆。现在求解（2.5）在其简化表达式中，我们得到ik（t）=e-我Ohmk+πγkOhm（r） k！Tik（0）- iγkZRrk（q）ρk（q，t）dq, （2.6）式中ρk（q，t）=中兴通讯“i”(OhmK-Ohm（r） kq）+πγkOhm（r） k#tdt=e“i(OhmK-Ohm（r） kq）+πγkOhm（r） k#t- 1i(OhmK- Ohm（r） kq）+πγkOhm（r） k.sj（t）和cj（t）的微分方程如下：˙s（t）=-iωss（t）- iλc（t）s（t）c+（t）- iλinfi（t），˙s（t）=-iωss（t）- iλc（t）s（t）c+（t）- 9（t）λinfi=-iωcc（t）- iλs（t）c（t）s+（t）- iλinfi（t），˙c（t）=-iωcc（t）- iλs（t）c（t）s+（t）- iλinfi（t）。（2.7）备注：到目前为止，出现在这些等式右侧的各种运算符的顺序并不重要，因为它们在它们之间的通勤时间相同：[c（t），s+（t）]=0，对于所有t∈ R、 等等。这是t=0时类比交换规则的结果，也是时间演化由H:X（t）=eiHtX（0）e统一实现的事实的结果-iHt，对于每个动力变量X.II。1如果我们删除这些信息呢？我们用这一小节简要地讨论信息在我们的模型中的重要性。首先，我们检查在定义H时，如果Hinf=0会发生什么。

一个简单的计算表明，在这种情况下，由这个新哈密顿量导出的微分方程与（2.7）中的方程完全一致，i（t）=i（t）=0。这表明Hinfin H的存在会产生某种外力，驱动我们感兴趣的动力学变量sj（t）和cj（t）的时间演化，并由此产生^∏j（t）。应该强调的是，在（2.7）中，i（t）和i（t）现在是（2.6）中给出的已知算子值时间函数。换言之，移除类似Hinfi的东西就是移除这些已知的力量。现在让我们来看看这两个投资组合算子在这种情况下的动力学行为：原则上，我们应该求解（2.7）中的海森堡微分方程，将λinf=0。不用说，这个系统不是平凡的，当λ是一个小参数时，当没有人考虑摄动方案时，可以找到一个解。然而，由于我们在这里假设的规范交换规则（2.2），很容易检查这两个投资组合的动力学是微不足道的。事实上，由于H=H+Hint，检查[H，^∏j]=0，j=1，2是一个简单的练习。因此，对于所有t，^∏j（t）=∏j（0）∈ R：即使两位交易员的现金和股票可能会及时发生变化，他们的投资组合也不会发生变化。这个结果似乎是合理的，因为我们的贸易商没有收到来自市场之外的任何信息，没有真正的理由改变他们的原始状态，即使他们原则上可以互动。然而，这一结论与以下事实密切相关：在我们的模型中，股票价格在时间上保持不变。

事实上，如果不是这样，那么，比如τ的投资组合应该更合理地定义为∏（t）：=^K（t）+^P（t）^S（t），^P（t）是时间t的股票价值，并且该算子不需要与H通勤，即使当nhinf=0时也是如此。因此，这一简单分析的结论是，为了不使模型变得琐碎，Hinfc不能被认为是零，因此要求解的方程完全是（2.7）中的方程，而是其中的所有成分！III方程的微扰解之前的结果表明，首先要检查，当Hinf6=0时，portfoliooperators不与H通勤。事实上，如前所示，如果他们通勤，没有理由尝试求解微分方程，而且模型（基本上）很琐碎，对我们来说肯定不是很有趣。然而，幸运的是，情况并非如此：[H，^∏j]=λinfi+j（sj+cj）- ij（s+j+c+j）,j=1,2。这也是我们模型中信息相关性的一个度量：它确实是Hinf的存在，这使得模型不是微不足道的，而不是τ和τ之间的相互作用。我们现在准备好建立微扰方案。因此，可以方便地定义新变量σj（t）：=sj（t）eiωsjt和θj（t）：=cj（t）eiωcjt，j=1,2。为了简化处理，我们还假设λ=λinf。从经济的角度来看，这仅仅意味着我们假设相互作用和信息项H具有相似的强度。然后方程（2.7）变成˙σ（t）=-iλσ（t）θ（t）θ+（t）ei^ωt+i（t）eiωst,˙σ（t）=-iλσ（t）θ+（t）θ（t）e-i^ωt+i（t）eiωst,˙θ（t）=-iλσ（t）σ+（t）θ（t）e-i^ωt+i（t）eiωct,˙θ（t）=-iλσ+（t）σ（t）θ（t）ei^ωt+i（t）eiωct,（3.1）式中^ω=ωs- ωs- ωc+ωs。λ中的第0次近似非常简单：˙σ（0）j（t）=˙θ（0）j（t）=0，对于j=1，2。

因此，用明显的符号σ（0）j（t）=σ（0）j（0）=sj和θ（0）j（t）=θ（0）j（0）=cj，j=1，2，我们将其插入系统（3.1）的右侧，以得出σj（t）和θj（t）的一阶近似值。通过引入新的（已知的）算子isj（t）：=Ztij（t）eiωsjtdt，Icj（t）：=Ztij（t）eiωcjtdt，并假设σ（1）j（0）=sj，θ（1）j（0）=cj和^ω6=0，我们得到σ（1）（t）=s-λ^ωei^ωt- 1.scc+- iλ是（t），σ（1）（t）=s+λωE-i^ωt- 1.sc+c- iλ是（t），θ（1）（t）=c+λωE-i^ωt- 1.ss+c- iλIc（t），θ（1）（t）=c-λ^ωei^ωt- 1.s+sc- iλIc（t）。（3.2）不难检查扰动展开中的第一阶是不够的：事实上，[5]，为了推导（经典）函数nj（t），我们必须计算以下平均值：nj（t）：=DаG，s+j（t）sj（t）GE=DаG，σ+j（t）σj（t）аGEDаG，（σ（1）j（t））+σ（1）j（t）аGE。类似地，kj（t）：=DаG，c+j（t）cj（t）аGEDаG，（θ（1）j（t））+θ（1）j（t）аGE。这里是向量φGisφG=√NNKK我我（s+）n（s+）n（c+）k（c+）k（i+）i（i+）iа，而а是sj、cj和ij的真空：sjа=cjа=ijа=0，j=1，2，见[5]。数字n、n、k、k和Ide的明确选择取决于两个交易者的原始（即att=0）状态：例如，nis是τ的att=0的股份数，KAR是他的投资组合中的现金单位，同时，Iis是他的LoI。简单的计算表明，在λ的这个顺序下，nj（t）=nj（0）=nj和kj（t）=kj（0）=kj，因此每个投资组合在时间上保持不变：∏j（t）=∏j（0）。因此，结论是，如果我们想要得到一些非平凡的动力学，我们需要，至少，在微扰展开中，达到二阶。第二阶必须以同样的方式推导：我们替换系统（3.1）右侧的一阶解，然后我们只需及时积分，要求σ（2）j（0）=sj和θ（2）j（0）=cj。

顺便说一句，我们应该注意到，由于这种近似，我们得到了算子的排序问题。事实上，虽然我们已经讨论过，σ（t）θ（t）θ+（t）=θ（t）σ（t）θ+（t）=σ（t）θ（t）θ+（t）=σ（t）θ（t）θ+（t），但当我们用一阶或二阶近似替换算子时，这些等式是错误的。因此，我们在这里采用以下常规订购规则：每次我们有运营商的产品时，我们订购时首先考虑sor s+，然后考虑sor s+，cor c+，最后考虑cor c+。特别是（3.1）中的方程已经以这种正常的顺序形式写成。不用说，这是一个武断的选择，原则上不一定是最好的选择。在这里，我们只想提醒一下，对于有限自由度的系统，正常的排序过程在量子力学中相当常见，而且它们已经被证明是非常有用和合理的，产生的结果与实验数据非常一致。经过长时间但简单的计算，我们得到以下结果：σ（2）（t）=s- iλ(-iη（t）X+Is（t））- iλQ（t）+η（t）Yσ（2）（t）=s- iλiη（t）X+Is（t）- iλ（Q（t）+η（t）Y）θ（2）（t）=c- iλiη（t）X+Ic（t）- iλ（Q（t）+η（t）Y）θ（2）（t）=c- iλ(-iη（t）X+Ic（t））- iλQ（t）+η（t）Y,（3.3）其中我们提出了以下数量：η（t）：=ei^ωt- 1Ω，η（t）=Ztη（t）e-i^ωtdt=^ωT- iη（t）,X:=scc+，X:=sc+c，X:=ss+c，X:=s+sc，Y:=s（c+ccc++ss+cc+- cc+ss+），Y:=s(-ss+c+c+ss+c+c- cc+c+c，Y:=c（ss+c+c- ss+c+c- ss+s+s，Y:=c（s+sss++s+sc+c- s+sc+c）以及以下时间相关运算符：G（t）：=-我-scIc（t）++sc+Ic（t）+cc+Is（t）,G（t）：=-我sc+Ic（t）- scIc（t）++c+cIs（t）,G（t）：=-我ss+Ic（t）+s+cIs（t）- scIs（t）+,G（t）：=-我s+sIc（t）+s+cIs（t）- scIs（t）+,和qj（t）：=（RtGj（t）ei^ωtdt，j=1,4，RtGj（t）e-ωtdt，j=2，3。我们现在可以计算σ（2）j+（t）σ（2）j（t）和θ（2）j+（t）θ（2）j（t）的平均值。