建立一个有信息的双交易者市场

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英文标题：
《Towards a formalization of a two traders market with information
  exchange》
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作者：
F. Bagarello, E. Haven
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper shows that Hamiltonians and operators can also be put to good use even in contexts which are not purely physics based. Consider the world of finance. The work presented here {models a two traders system with information exchange with the help of four fundamental operators: cash and share operators; a portfolio operator and an operator reflecting the loss of information. An information Hamiltonian is considered and an additional Hamiltonian is presented which reflects the dynamics of selling/buying shares between traders. An important result of the paper is that when the information Hamiltonian is zero, portfolio operators commute with the Hamiltonian and this suggests that the dynamics are really due to the information. Under the assumption that the interaction and information terms in the Hamiltonian have similar strength, a perturbation scheme is considered on the interaction parameter. Contrary to intuition, the paper shows that up to a second order in the interaction parameter, a key factor in the computation of the portfolios of traders will be the initial values of the loss of information (rather than the initial conditions on the cash and shares). Finally, the paper shows that a natural outcome from the inequality of the variation of the portfolio of trader one versus the variation of the portfolio of trader two, begs for the introduction of `good\' and `bad\' information. It is shown that `good\' information is related to the reservoirs (where an infinite set of bosonic operators are used) which model rumors/news and external facts, whilst `bad\' information is associated with a set of two modes bosonic operators.
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中文摘要：
本文表明，即使在不完全基于物理的环境中，哈密顿量和算符也可以很好地使用。想想金融世界吧。这里展示的作品{在四个基本算子（现金和股票算子、投资组合算子和反映信息损失的算子）的帮助下，建立了一个具有信息交换的两个交易者系统模型。考虑了一个信息哈密顿量，并给出了一个反映交易者之间股票买卖动态的附加哈密顿量。本文的一个重要结果是信息哈密顿量为零，投资组合算子与哈密顿量相互转换，这表明动态实际上是由信息引起的。在假设哈密顿量中的相互作用项和信息项具有相似强度的情况下，考虑了相互作用参数的摄动格式。与直觉相反，本文表明，在交互参数高达二阶时，计算交易者投资组合的一个关键因素将是信息损失的初始值（而不是现金和股票的初始条件）。最后，本文表明，交易员一的投资组合变化与交易员二的投资组合变化不相等的自然结果要求引入“好”和“坏”信息。研究表明，“好”信息与模拟谣言/新闻和外部事实的水库（其中使用了无限多个玻色子算符）有关，而“坏”信息与一组双模玻色子算符有关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：math.MP is an alias for math-ph. Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
math.mp是math-ph的别名。这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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关键词：交易者 Mathematical formulations Applications Perturbation

建立一个信息交换的两人交易市场。巴加雷洛迪姆、斯库拉·波利特尼察、巴勒莫大学、I-90128巴勒莫和意大利都灵INFN电子邮件：法比奥。bagarello@unipa.ithome页面：www.unipa。它/法比奥。巴加雷洛。英国莱斯特大学哈文斯特管理学院和金融研究所。电子邮件：E。haven@le.ac.ukAbstractThis这篇论文表明，哈密顿量和算符即使在不完全基于物理的环境中也可以很好地使用。想想金融界吧。本文的工作模拟了两个交易者系统，在四个基本操作员的帮助下进行信息交换：现金和股票操作员；aportfolio操作员和反映信息丢失的操作员。信息哈密顿量被认为是一个额外的哈密顿量，它反映了交易者之间买卖股票的动态。本文的一个重要结果是，当信息哈密顿量为零时，投资组合算子与哈密顿量进行交换，这表明动力学实际上是由信息引起的。在假设哈密顿量中的相互作用项和信息项具有相似强度的情况下，考虑了一种基于相互作用参数的摄动格式。与直觉相反，本文表明，在交互参数达到二阶时，交易者投资组合计算中的一个关键因素将是信息损失的初始值（而不是现金和股票的初始条件）。最后，本文表明，traderone投资组合的变化与trader two投资组合的变化不相等的自然结果要求引入“好”和“坏”信息。

研究表明，“好”信息与模拟谣言/新闻和外部事实的储层（其中使用了一组有限的玻色子算符）有关，而“坏”信息则与一组两种模式的玻色子算符有关。I动机将物理学技术应用于自然领域之外的领域，如经济和金融，并不是什么新鲜事。20世纪60年代，著名的哈佛经济学家尼古拉斯·乔治斯库·勒根[14]在经济学中考虑了熵的概念。20世纪90年代，由尤金·斯坦利[23]和布沙德[10]等名人发起的经济物理学运动成为一个重要领域，统计力学的技术在理解金融和宏观经济学中的一些困难问题方面非常有效。Kwapien和Dro˙zd˙z[22]的一篇杰出论文，以非常明智的方式论证了基于物理学的思想如何有助于理解复杂系统领域的大量概念。在那篇论文中，作者指出，从理论角度可以猜测，“金融经济学的所有定律都必须是元素粒子之间四种基本相互作用的严格数学结果”。但作者立即警告说，从实际角度来看，这种方法是行不通的。作者指出，“为了充分解释金融市场的行为，必须在不造成任何有意义的信息损失的情况下，忽略更深层次的组织”。Kwapien和Dro˙zd˙z[22]提出了这样一个问题：在真实股票数据的上下文中，相关矩阵（包含Wishart矩阵）的特征值谱的哪一部分包含关于非平凡相关性的信息。作者发现，同样在股票市场的背景下，噪音和集体性（即。

基于大量非线性相互作用的组成部分）相互之间处于动态平衡，这是复杂系统的典型特征。在同一篇论文[22]中，作者还强调了从量子力学中引入一些观点的基本原理，其中作者提到了两次连续交易之间资产价格的解释。事实上，未观察到的价格可能与aquantum机械测量问题有关。作者引用了沙登[30]在这方面的工作。该地区也出现了其他作品。在博弈论领域，当考虑量子力学解释时，即使是非常基本的博弈的解空间也可以被丰富。在Piotrowski和S ladkowski[26]的论文中，作者邀请读者考虑当交易策略被允许纠缠时会发生什么。本文提出了量子策略的概念。由这些作者[27]撰写的一篇重要论文研究了提高我们对金融市场理解的一个关键方面：信息。信息的概念在物理学中得到了很好的形式化，本文表明，通过度量结构对信息进行形式化是朝着正确方向迈出的一大步，有助于对金融市场进行更深入的理论理解。因此，在本文的动机中，我们将进一步讨论信息问题。将量子力学的技术应用于社会科学的各种问题的研究领域，实际上可以追溯到20世纪50年代，诺贝尔物理学奖得主保利与著名心理学家荣格就一些基本问题进行了讨论，比如量子物理学中的互补性如何在心理学中“某些”存在[24]，[21]。

量子力学技术能够进一步揭示社会科学各个领域的棘手问题的有效性水平有所不同。在心理学方面，在特定领域有相当大的研究势头，该领域积极利用概率干扰来解决经济学和心理学中的决策悖论[11]，[13]。在信息检索领域，研究进展也是如此[12]。金融领域是本论文的应用领域，在引进量子物理机制方面取得了进展，试图增强信息建模。该领域的其他工作也研究了势函数（在量子力学环境下）如何具有财务意义[32]，[2]。在最近的一篇论文[3]中，作者考虑了（简化后的）股票市场的不同交易者在开始交易前收到的信息如何影响交易者的行为。换句话说，我们已经考虑了市场开放前发生的事情，以及交易者的策略是如何产生的。在这个描述中，我们使用了最初在显微镜世界中遇到的工具，并且已经证明在描述不同的经典系统时也很有用，最近的综述见[5]。特别是，一个特殊的作用是由一个算符，系统的哈密顿量，用来推断我们感兴趣的那些量的动力学，即所谓的模型的可观测值。在我们其中一位（F.B.）[6]-[9]的一些旧论文中，从某种意义上讲，信息的作用只是通过正确选择一些常数来定义我们正在考虑的系统的哈密顿量。哈密顿量被用来模拟和描述交易者之间的相互作用[5]。另一方面，E.H。

他的同事们遵循[20]的原始想法，考虑了信息在股票市场中的作用[15]-[17]，主要采用量子力学的玻姆观点，其中信息由导波函数ψ（x，t）携带，满足某种薛定谔运动方程，通过简单的计算，产生文献中所谓的精神力。这个力必须加上作用在系统上的其他硬力，产生一个完整的牛顿式经典微分方程。在[3]中，我们试图产生一个统一的观点，使用波姆量子力学构造哈密顿量H，其中信息不仅由H的某些参数描述，而且成为系统的动力学变量之一。然而，在这项初步工作中，我们只考虑了信息如何有助于从两个等价交易者τ和τ中产生两个不再等价的交易者：即，他们利用信息尽可能改善自己的财务状况（投资组合，见下文）。因此，在[3]中没有考虑τ和τ之间的相互作用。在这里，我们继续我们的分析，为系统添加一个可能的交互。换句话说，我们将看到在一个由τ和τ构成的市场中发生了什么，当它们相互作用时，也会受到来自市场本身和外部世界的信息流的影响。正如人们所预料的，这是一个很难完全概括地讨论的问题，事实上，我们将考虑一些有用的假设，这些假设将使我们能够推导出这个问题的近似解析解。为了阐明我们的主要观点，我们在这里列出了六个简洁的要点，它们是我们目前分析的动力。

我们特别记住“不相信”或“怀疑”的读者首先，本文中使用的哈密顿量以“自然”的方式在模型中引入动力学。我们可以明确地说，这里所考虑的哈密顿人正在接受一种基于经济学的解释。文献中的重要工作也提到了在社会科学框架中使用哈密顿框架。在Kwapien和Dro˙zd˙z[22]中，提到了所谓的市场因素，即作用于所有股票的力量。正如作者所解释的，这种方法指的是一个多体问题，它可能导致使用哈密顿量。Piotrowski和S ladkowski[28]在论文中使用了一个哈密顿量，其中包含了他们定义为“风险倾向算子”的内容。我们的论文将哈密顿量（相对于我们的第一篇论文（Bagarello和Haven[3]）扩展为一个哈密顿量，该哈密顿量现在也可以模拟相互作用，即使是以非常简单的形式。虽然我们的第一篇论文没有交易者之间的互动，而当前的这篇论文明确允许交易者之间的互动，但应该强调的是，即使在没有互动的情况下，第一篇论文也有相当丰富的内容。考虑到没有交易者的参与，对交易者数量的限制当然是无关紧要的，但即使没有交易者的参与，我们也非常关心在交易开始之前和谣言到达交易者之后会发生什么。我们的第一篇论文还积极研究了两个不再完全对等的交易者的情况。在本文中，我们认为很重要的一点是，我们现在可以使用扩展的哈密顿框架将信息分为两组信息——坏信息和好信息。信息被视为一个动态变量，因此它在哈密顿量本身中有一个变量。

这让我们呼吁，量子力学概念在社会科学中到底有多有用。我们认为，当考虑量子力学范围之外的应用时，信息建模是量子形式主义必须发挥的一个非常大的优势。我们想暗示费希尔信息的使用（在经济学中通过所谓的Cramer-Rao界而广为人知），以及费希尔信息最小化和薛定谔方程之间存在的密切关系（见Hawkinsand Frieden[19]）。另请参见下文第五点。我们还可以提到费舍尔信息和特定类型的潜力之间的关系（见Reginato[29]，Haven和Khrennikov[18]）其次，在金融环境中对非通勤运营商的使用进行了调查。在Segal和Segal[31]中，我们发现应该使用这种算子来描述股票价格及其远期衍生产品的时间依赖性。其动机纯粹是经济上的：如果一个交易者确切地知道这两个数量，他就可以赚一大笔钱。因为这种情况不会发生，所以用依赖时间、不通勤的运营商取代时间的功能是合理的第三，玻色算符在本文中具有财务意义，这种玻色算符在我们的财务设置中以自然方式出现的原因是，该算符可以假设一组非常大的离散值。

这使我们能够以一种相当自然的方式描述交易者的投资组合（见下文）第四，交易者与之互动的水库产生了一个自由度不高的系统第五，正如我们在当前论文的几个脚注中所表达的那样，我们可以在交易金融支付函数和Fisher信息（我们在上文第一点中提到）的背景下研究信息损失的度量第六，我们可能还应该提到，薛定谔方程和布莱克-斯科尔斯方程之间建立了非常紧密的联系[1]。这是量子力学在经济学中相关性的另一个迹象。总之，我们认为量子力学和金融市场都受益于我们的方法。从量子力学的角度来看，我们证明了在量子力学的自然范围之外，可以使用基本概念。我们相信，以上6点为当前研究提供了很好的理由，可以为更好地理解金融市场提供证据。经济学中很少有模型会使用哈密顿量来描述动力学，哈密顿量包含信息和交互成分。此时此刻，我们只能迈出“小步”，但这应该被视为一个可信的证据，鉴于量子力学真的是一种极其强大的机器，在社会科学领域利用这种力量可能并非不可能。事实并非如此，金融和经济不应该接受新模式。恰恰相反，为了自身的生存，它应该对来自其他研究领域的模型持开放态度。金融文献中的许多模型通常也非常简单。通常，这些模型背后的假设会限制模型对贝弗里的适用性。

在这篇论文中，我们的假设非常超前。本文的结构如下：在下一节中，我们提出了我们的模型，并讨论了它的一些最重要的方面。特别地，我们推导了相关的运动方程。在第三节中，我们提出了一种微扰方法来推导这些方程的近似解。第四节包含我们的结论。II模型我们感兴趣的模型扩展了[3]中最初提出的模型，增加了交易者之间的显式交互项。我们首先定义[3]中已经考虑过的哈密顿量：H=H+Hinf，H=Pj=1hωsj^sj+ωcj^Kj+Ohmj^Ij+RROhm（r） j（k）^Rj（k）dki，Hinf=Pj=1hλinfij（s+j+c+j）+i+j（sj+cj）+ γjRR（i+jrj（k）+ijr+j（k））dki，（2.1），其中^Rj（k）=r+j（k）Rj（k），^Sj=s+jsj，^Kj=c+jcjand^Ij=i+jij，并假设以下正则交换关系[Sj，s+l]=[cj，c+l]=[Ij，i+l]=11δj，l（k），r（k），q，+- q） ，（2.2）所有其他换向器为零。而且ωsj，ωcj，Ohmj、 λinfandγjare实常数，而Ohm（r） j（k），j=1，2，是两个实值函数。在本文中，每个玻色子算符都有不同的含义，这在[3]中有详细解释：cj，c+jand^Kjare算符。它们分别降低、增加和计算组合τj中的现金单位，见下文。与sj类似，s+jand^sj是共享运营商。它们降低、增加并计算τj投资组合中的股票数量。顺便说一句，我们注意到，为了简化符号，我们假设我们的市场由单一类型的股票组成。这不是一个主要的限制，可以避免。然而，我们不会在这里这样做。运算符i+jin增加τj的信息量（LoI）的lac k，而ij减少它。