现货期货与商品市场的无套利关系

此外，我们还假设：→∞xU′（x）U（x）<1在这种情况下，我们提出了以下生产交易问题：v（r）：=supu，q，θEUr+^Tπtdt+VθT+θT-（英国《金融时报》- （圣）（2.3）式中：or>0是运营商的初始财富，oπ是实物市场上的瞬时利润，表示为方程式（2.1）给出的生产和储存数量的函数，oVθ是方程式（2.2）给出的期货市场中交易组合的价值，oθt-（英国《金融时报》- ST）可以用未来合同到期时的交付条件来解释（见下文离散时间情况的启发式讨论）。控制措施（u、q、θ）必须满足以下附加约束条件：o对代理人财富的约束，以防止不定期借款：Rr、u、q、θt:=r+^tπsds+Vθt+θt-（英国《金融时报》- ST）1（t=t）≥ -a、 t∈ [0，T]，（2.4）对于某些阈值a>0，生产存储控制（ut，qt）T∈[0，T]是关于过滤（Ft）的可预测过程，它们满足前面第2段中描述的约束条件。1.离散时间启发法。现在让我们提供一些离散时间的启发式方法，以便更好地解释连续时间问题（2.3）的形式。交易商-生产商的终端总财富，其生产（例如）燃料能源，并在有限时间网格{0,1，…，T}上与T进行能源期货合约交易∈ N可以写成：RT=T-1Xt=0[（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）]+T-1Xt=0θt（Ft+1- Ft）+θT-1FT-1.- hTST- c（qT）- k（XT）式中，Ht是指在合同到期日为完成期货市场承诺而购买或出售的数量，即。

这是这样的：θT-1=hT+qT- 因此，终端总财富b ecomes:RT=TXt=0[（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）]+T-2Xt=0θt（Ft+1- Ft）+θT-1英尺- ST）=TXt=0[（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）]+T-1Xt=0θt（Ft+1- Ft）+θT-1英尺-1.- ST）（2.5），构成方程式（2.3）中效用函数中出现的总财富的离散时间模拟。注意，我们假设F在时间上是连续的，所以特别是FT-= 自由贸易协定s、 在下面的内容中，我们证明了问题（2.3）处于良好状态的一个必要条件是等式FT=ST，这样第三个和在方程（2.4）中消失。我们的目标是从方程（2.3）所描述的问题的适定性出发，推导出将现货和期货价格联系起来的无套利条件，即证明存在一些等价的概率测度Q，即Ft=EQ[ST | Ft]，t∈ [0，T]并显式计算未来价格。3.最优解的存在性和现货期货无套利关系在本节中，我们推导了最优解（q）的存在性和唯一性*, U*, θ*)对于优化问题（2.3）。同时，我们得到了现货和期货价格之间的无套利关系，以及到期时间为零时期货价格与现货价格的收敛性。此外，我们还证明了最优产量Q*即使在这个通用框架中也可以显式计算。出于解释性原因，其他最佳数量（储存和交易活动（u*, θ*))将在下一节中给出。我们提醒读者，所有的证据都可以在附录中找到。假设3。设v（r）<∞ 对于一些初始财富r>0。期货与现货价格的趋同和无套利关系。

我们的第一个结果表明，只要我们的优化问题是适定的，当到期时间趋于零时，期货价格必须收敛于现货价格。即使合同的基础商品是不可储存的，这也是事实。提议4。在假设3下，我们得到了FT=ST。在证明我们的优化问题的解的存在之前，我们从v（r）的完整性推导出了期货合约的无风险性。这是下一个命题的内容，该命题改编自Ankirchner and Mkeller（2005[6]）中命题1.2的论点，在该命题中，从最优纯投资问题的适定性推断出简单交易策略不存在风险为零的免费午餐（此后为NFLVR）。我们参考Delbaen和Schachermayer的文章（1994，[20]）了解NFLVR的定义，以及他们对资产定价基本定理的著名版本的证明。在这篇文章中，我们推导出更强的东西，即NFLVR的变体，不仅用于（简单的）交易组合，也用于生产和储存。更准确地说，让我们为我们的设置重新定义NFLVR条件。我们记得，简单交易策略θ是α1]τ，τ]形式的策略的任何线性组合，其中α是有界的Fτ可测量随机变量，τ和τ是过滤（Ft）的[0，T]值停止时间。定义5。一顿免费午餐，带有消失的Ris k，带有简单的交易策略、生产和储存，是一系列可接受的计划（qnt、unt、θnt），n≥ 1，这样：（i）每个θ都是一个简单的交易策略，（ii）R0，nT:=R0，qn，un，θnta.s.向某个非负r.v.收敛。

rtp（RT>0）>0和（iii）k（RnT）-K∞→ 0作为n→ ∞.我们会说，如果模型中没有此类可接受的计划，则具有简单交易策略、生产和储存的NFLVR是令人满意的。请注意，由于生产和存储控件是有界的，因此存在一个constantTM>0，使得|'Tπtdt |≤ M表示任何可容许的（q，u），给出瞬时概率πt。这一事实将用于证明以下结果。提议6。在假设1、2、3和所有r>M的情况下，我们得到v（r）<∞意味着NFLVR具有简单的交易策略、生产和储存。特别是，具有简单交易策略和期货价格（Ft）的NFLVR也适用。请注意，前面的结果并不一定意味着期货价格（Ft）存在（局部）鞅测度Q，因此也不意味着著名的公式Ft=EQ[ST | Ft]。事实上，为了存在这样一个度量，我们的模型也应该满足经典的无轨道（NA）条件（参见[20]中的定理9.7.6]）。这是本文后面需要强调的一点。存在与分离原则。前一个收敛结果的直接结果是以下分离原则，即解决我们的优化问题相当于首先最大化生产控制q，然后最大化存储和交易控制（u，θ）。另一方面，最大限度地提高产量也可以分两步进行。让我们表示：v（r）=s upu，q，θEhUr+YqT+ZuT+VθT我在这里设置qt:=^T（qtSt- c（qt））dt，ZuT:=-^T（utSt+k（Xt））dt我们可以分两步解决我们的问题。首先，我们求解v（r）关于生产控制q（对于给定的u，θ）；其次，我们对控制（u，θ）进行求解。让我们从生产开始。提议7。

在假设1、2、3下，对于任意给定的可容许投资策略θ和存储策略u，最优生产控制q*是byq给的*t=（c′）-1（街）∨ “q，t∈ [0，T]（3.1）参见[20]中的定义9.2.8。让我们指出*T:=Yq*T=^T（q*tSt- c（q）*t） ）DTQ*由（3.1）给出。现在，让我们考虑最优存储/交易问题v（r）：=supu，θEhUr+Y*T+ZuT+VθTi（3.2）下一个结果建立了一个唯一的最优存储/交易策略（u*, θ*).提议8。在假设1、2和3下，存在唯一解（u*, θ*) 问题（3.2）。上述交易-生产问题可以通过连续步骤解决，这并不意味着最优控制是独立的。只有生产控制q可以独立于u和θ导出。事实上，由于生产者对现货价格没有影响，他的最佳策略就是将边际生产成本与现货价格相等。因此，无论是否存在期货市场，人们都会观察到相同的生产水平q。对于最优存储策略u和最优交易策略θ，情况并非如此：它们不是独立的。这一事实有两个后果。首先，期货市场的引入改变了存储容量的管理方式。这一点可能有助于对库存水平和价格之间关系的计量经济学分析。

第二，一旦工业过程包括储存活动，交易就不能与储存分离，而不会造成价值损失。在组织工业公司的贸易活动时，应考虑到这一点。4最优生产交易问题在这一节中，我们在一个简单的环境中说明了在前面几节中开发的ap方法是如何导致期货价格的一致模型的。我们用需求动力学的具体形式讨论了经营者面临的交易生产问题。然后我们确定期货合约的波动性，并将其与潜在条件需求的波动性联系起来。4.1社区需求的动态为了说明前面的方法，我们使用了一个简单的需求动态。特别是，由于我们的目标不是提出一个能够匹配所有程式化事实的模型，所以我们不包括易用性和跳跃等特性。在商品市场上，现货价格取决于实物市场上原材料的可用性。在我们的模型中，这种可用性是通过市场总容量和商品需求的对抗来衡量的，方式如下：St=b·g（`C- Dt）·f（Dt）（4.1）b为维度标准化常数，\'C>0市场的最大可用生产和储存能力（供应常数），Dt商品的总外生需求（这是一个（Ft）适应的连续过程），f（D）需求水平D的生产和储存的边际成本。由于库存存在非负约束，当总产能不足以完全满足需求时，现货价格可能会飙升至非常高的水平。

稀缺性函数g:g（x）=1x>0·min（1/x，1/）+1x<01/捕捉到了这种行为主义。Buyuksahinet al（2008[15]第56页，第10页）中的石油案例清楚地说明了稀缺性对商品价格的影响。在A"id等人（2013[3]）的电力现货价格案例中，已经成功实施了特定形式的电价。由于生产优化问题已在第（7）项中得到解决，因此仍然需要处理：v（x）=supu，θEhUx+Y*T+ZuT+VθT我在哪里*T=^T（q*tSt- c（q）*t） ）dt，t∈ [0，T]。和q*（3.1）中的助教。我们记得，ZuT=u+\'\'Tutdt是累积存储量，thatVθT=\'Tθtdfti是在[0，T]期间交易的投资组合。我们假设期货价格过程（Ft）是一个It过程。更准确地说：假设9。设σdTt=0，其中σdTt=0为标准运动。我们用（Ft）表示W和d生成的自然过滤，并用P-null集完成。2.假设期货价格F是一个完整的过程Ft=αtdt+βTdwt，其中α，β是一些（Ft）可预测的实值过程，例如a.s.^T |αT | dt+E^Tβtdt< ∞关于波动率的可积性假设仅具有Ft的（真实）鞅性质，因此非常有用的公式Ft=EQ[ST | Ft]。4.2等价鞅测度和forwar d波动率首先，我们注意到假设9和Ft=ST（参考命题4）意味着Ft=EQ[ST | Ft]，t∈ [0，T]其中Q是期货过程（Ft）的等价鞅测度，这意味着Q必须满足：LλT:=dQdP | Ft=exp-^tλsdWs-^tλsds式中λ是（Ft）适应过程（被视为“需求风险的市场价格”），因此oαt- λtβt=0 a.e。

数据处理 dt，o\'Tλsds<∞,o E[LλT]=1。在这一点上，为了完整地描述P下期货价格的动态，我们需要假设需求风险λt的市场价格的一种特殊且易于处理的形式。假设λt=λ（t）+λ（t）Dt，t∈ [0，T]，其中λ，λ：[0，T]→R是确定性函数，因此满足上述最后三个属性。该假设的结果是，期货价格的漂移αtof的形式为αt=（λ（t）+λ（t）Dt）βt，这完全取决于波动率βt。我们将在下文中看到，定义现货价格STin（4.1）的生产函数的特殊形式意味着期货价格过程（Ft）波动率的特殊函数形式。设Q为假设10中需求风险λtas的市场价格对应的等价鞅测度。在这种测量下，需求具有如下特征：dDt=（（a+λ（t）σ）Dt+λ（t）σ）Dt+σDWQT，其中WQI是标准Q-BM。因此，给定的dt的条件分布是在Qis高斯条件下，条件平均mQt，Tand方差∑t，Tgiven bymQt，t=e′Tt（a+λ（s）σ）dsDt+^Tte-\'s（a+λ（u）σ）duλ（s）σds, （4.3）∑t，t=σ^Tte-2’st（a+λ（u）σ）duds。（4.4）为了完成对模型的描述，我们设定了边际生产成本的具体形状。假设11。假设生产的边际成本f等于tof（d）=dα（0）≤D≤M） +Mα（d）≥M） ，d∈ 关于某指数α∈ （0，1）和一些上限M>0，这样我们的票价条件就满足了。

此外，让我≥\'C- .在所有这些假设下，我们可以将现货价格表示为需求量t=ψ（Dt）的函数，其中函数ψ如下所示：ψ（d）=b·dα（0≤d</C-）+dα\'C- d（\'C-≤d<M）+M\'C- d（d）≥M）（4.5）请注意，现货价格始终为非负。根据上述度量Q计算的时间t的期货价格由ft=EQt[ψ（DT）]，t给出∈ [0，T]其中eqt表示给定Ft=FDt的条件Q-期望。我们用hT，Dt（y）表示给定Dt的条件密度，即：hT，Dt（y）=∑t，t√2πexp-（y）- mQt，T）2∑T，T！式中，平均mQt和方差∑t分别在（4.3）和（4.4）中给出。我们认为方差不依赖于Dt。我们可以将期货价格FTA表示为时间t，Dt时需求的函数，如：Ft=~n（t，Dt）=^Rψ（y）hT，Dt（y）dyA简单地应用It^o的公式以及期货价格FTQ下的鞅性质，得出期货价格的波动率β（t，Dt），βt=βTt=σφd（t，Dt）如果我们明确计算期货价格的一阶和二阶导数φ（t，Dt），关于需求，我们得到以下结果，给出了远期动态参数的完整说明。提议12。在假设9、10和11下，最优生产交易问题（2.3）的适定性意味着dft=αtdt+βtdwt，其中αt=~α（t，Dt）=（λ（t）+λ（t）Dt）βtβt=~β（t，Dt）=σ^Rψ（y）y- mQt，T∑T，Te′Tt（a+λ（u）σ）duhT，Dt（y）dyfor all T∈ [0，T]。此外，远期波动率β（t，Dt）在需求中增加。4.3马尔可夫环境中的生产交易优化问题为了完整起见，我们现在提供一个非正式的讨论，讨论在前面的命题中确定的马尔可夫模型中的最优解。让我们假设代理的偏好是权力类型的，即。

U（x）=xγ，x>0，其中γ∈ (0, 1).回想一下，我们想要解决的问题如下：v（x）：=sup（u，q，θ）∈AE“r+^Tπtdt+VθTγ#（4.6），其中r>0是初始财富。回想一下，π指的是：πt=（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt），Xt=u+^tusds，而VθT=`Tθtdfti是指在期货市场交易的自融资投资组合的收益。A表示所有容许控制（u，q，θ）的集合。更准确地说，如果：oq=（qt）t，我们将说三重态（u，q，θ）是可容许的控制∈[0，T]和u=（ut）T∈[0，T]是分别在[0，\'q]和[u，u]中具有值的适应过程θ=（θt）t∈[0，T]是任何可预测的实值F-可积过程，使得结果财富在任何时候都是非负的，即r+^Tπsds+VθT≥ 0，t∈ [0，T]问题的相关状态变量是Z=（R，X，D），其中R是agent的财富，即Rt=R+^Tπsds+VθT，T∈ [qt]是由[qt]的状态给出的- ut）ψ（Dt）- c（qt）- k（Xt）+α（t，Dt）θt]Dt+β（t，Dt）θtdWtdXt=utdtdDt=aDtdt+σdWtLet我们引入优化问题的值函数asv（t，r，x，d）=sup（u，q，θ）∈AtE[（RT）γ| Zt=（r，x，d）]，其中at表示从时间t开始的所有容许控制的集合。