现货期货与商品市场的无套利关系

相应的哈密尔顿-雅可比-贝尔曼方程（以下简称HJB方程）由下式给出：-及物动词- sup（u，q，θ）∈ALv=0，其中A:=[u，u]×[0，\'q]×R（4.7），终端条件v（T，R，x，d）=Rγ（4.8），其中lv=uvx+advd+[（q-u） ψ（d）- c（q）- k（x）+α（t，d）θ]vr+σvdd+β（t，d）θvrr HJB方程可以重写为0=-及物动词- advd+k（x）vr-σvdd- sup（u，q，θ）∈A.uvx+[（q-u） ψ（d）- c（q）+α（t，d）θ]vr+β（t，d）θvrr重新排列给定的术语0=-及物动词- advd+k（x）vr-σvdd- sup（u，q，θ）∈A.（vx）- ψ（d）vr）u- （c（q）- qψ（d））vr+α（t，d）θvr+β（t，d）θvrr（4.9）我们立即从上述HJB方程中注意到，存储管理的最佳候选规则是*t=u1（ψ（Dt）vr>vx）+u1（ψ（Dt）vr≤vx）（4.10）为了简化符号，我们从值函数vr和vx的导数中删除了参数（t，Rt，Xt，Dt）。根据一个存储单元的边际效用与现货价格之间的比率η=vx/ψ（d），以最大容量购买和存储或以最大容量提取和出售是最佳的。有人可能认为，这个比率应该简单地与1进行比较。事实并非如此，因为它必须与一个财富单位的边际效用vr进行比较。正如递减部分末尾所指出的，我们看到存储控制取决于财富，因此取决于交易活动。此外，上述启发式计算证实了一个事实，即生产的最优控制是生产，直到边际生产成本等于现货价格，即方程（3.1）。最后，通过求解（4.9）中的最大化问题，给出了交易组合的最优控制θ*t=-α（t，Dt）β（t，Dt）VRR（t，Rt，Xt，Dt）（4.11）由于U是凹的，所以vrris很可能是负的，因此可以恢复预期结果，即如果期货价格呈现正趋势，经纪人持有多头仓位。

此外，θ*与夏普比率类似，夏普比率是指期货价格的预期趋势与其波动性之间的权衡。请注意，为了严格解决优化问题，应该证明Cauchyproblem（4.7,4.8）允许一个具有所需正则性和平均定理的唯一解。这可以通过使用Pham（2002[33]）中开发的技术来实现，例如，对于一大类多维随机波动率模型。然而，将这种方法应用于我们的环境将远远超出本文的范围。5结论在本文中，我们建立了一个商品价格的简约结构模型，可以通过套利论证解释现货和期货价格之间的关系。这一结果适用于每一个底层组件，不管它是否可存储。我们证明，风险中性度量的存在是经营者价值函数的不确定性的结果，并且无论商品的可储存性属性如何，期货价格都会收敛于现货价格。最后，我们讨论了代理人面临的交易生产问题的解决方案，并对需求动态进行了具体说明。我们展示了不同的控件是如何被分离的。特别是，最优存储策略受到期货市场交易可能性的影响。参考文献[1]A"id，R.，Campi，L.，Nguyen Huu，A.和Touzi，N.电力价格的结构风险中性模型。国际期刊。《理论与应用金融学》，2009年，12（7），925-947。[2] A"id，R.，Chemla，G。，Porchet，A.和Touzi，N.，对冲和垂直整合非弹性市场。管理科学，2011，57（8），1438-1452。[3] A"id，R.，Campi，L.和Langrené，N.，一个用于定价和对冲电力衍生品的结构风险中性模型。

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在这里，π表示从生产QN和Astrage un获得的瞬时利润。因此，我们没有- M≤ VnT≤ RnT+M，其中我们表示Vn:=Vθn。根据[21]中的定理15.4.10，存在一个序列VnT∈conv（VnT，Vn+1T，…）将a.s.收敛到某个随机变量VT，取[RT]中的值- M、 RT+M]a.s.因此≥ RT- M≥ -M和P（~VT>-M） >0。此外，由于k（~VnT+M）-K∞≤ k（RnT）-K∞→ 0，后者作为n收敛到0→ ∞, 我们也有k（~VnT+M）-K→ 因此，使用[6]中的命题1.2，我们得到vI（M）=∞暗示v（r）=∞.A.3关于最优生产q的命题*提案证明7。它有助于在包含生产控制的项yqt中的积分中最大化ω。对于固定的给定SST，与QT有关的差异- c′（qt）=0，因此，考虑到约束qt∈ [0，q]由于c是严格凸，我们得到了（3.1）。A.4关于最优存储和交易组合的建议（美国）*, θ*)提案证明8。首先，如果一个人承认一个解的存在性，那么它的唯一性从效用函数U的严格凹性出发。设（un，θn）为问题（3.2）的最大容许序列，即e[U（r+Y）*T+ZnT+VnT）]→ v（r）asn→ ∞, 我们在这里表示：-^T（untSt+k（Xnt））dt，Xnt:=u+^tunsds，VnT:=^TθndFt。我们分别证明了序列unan和θn的紧性。对于存储策略序列un，我们使用Komlós定理，指出对于L中有界的r.v.（ξn）的任何序列，可以提取一个子序列（ξnk），将a.s.乱伦罗意义收敛到随机变量ξ∈ L（例如，参见卡巴诺夫和萨法里安的定理5.2，2009[26]）。我们将这个定理应用于过程序列un，它可以被视为产品空间中定义的随机变量(Ohm×[0，T]，P，dPdt），其中P是可预测的σ场。

序列的唯一性很明显，因为它在区间中取值[-u、 u]。因此，在相同的时间间隔内存在一个可预测的过程，使得Cesaromean序列un:=（1/n）Pnj=1uj将a.e.向u靠拢。实际上，立即检查序列在[-u、 u]也是。此外，沿着新序列的累积s扭转过程，~Xnt:=\'tunsds，是很好定义的，因为每个unis有界且取[0，X]中的值。通过勒贝格主导的收敛，我们得到了Xnt→ Xt:=\'tusda。s、 尽管如此，t∈ [0，T]。因为函数k是连续的，所以我们有k（~Xnt）→ k（Xt）a.s.代表allt。最后，再次感谢控件的有界性和k的连续性，我们有了|ZnT |≤ C |''TStdt |，它是有界的（因为STI在t中一致有界）。因此，再次应用支配收敛定理，我们得到ZnT→ ZTa。s、 作为n→ ∞.至于交易策略序列θn的紧性，我们可以使用相应的财富过程Cesaro均值序列，我们用VnT表示。~ZnTyields的可容许性和一致有界性表明该序列由某个常数从下一致有界。因此，我们可以应用[21]中的定理15.4.10，这意味着存在一个凸组合BVNT∈ conv（~VnT，~Vn+1T，…），它收敛于a.s.，其极限由某个VT支配：=\'Tθtdft对于某个容许的θ。此外，将此程序应用于存储策略的Cesaro平均值unone可得到另一个可接受的存储策略序列，该序列将a.s.会聚到相同的过程uasunbefore。为了得出结论，我们需要证明：v（r）≤ E[U（x+Y*T+VT+ZT）]要做到这一点，必须使用这样的假设，即美国通过进行证明来满足RAE，例如Pham（2000[34]）中的定理7.3.4。

重复他的论点给我们提供了上面的不等式，得到（u，θ）是最优存储控制（u）*, θ*). 现在已经完成了存在的证明。