现货期货与商品市场的无套利关系

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英文标题：
《On the spot-futures no-arbitrage relations in commodity markets》
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作者：
Ren\\\'e A\\\"id, Luciano Campi, Delphine Lautier
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In commodity markets the convergence of futures towards spot prices, at the expiration of the contract, is usually justified by no-arbitrage arguments. In this article, we propose an alternative approach that relies on the expected profit maximization problem of an agent, producing and storing a commodity while trading in the associated futures contracts. In this framework, the relation between the spot and the futures prices holds through the well-posedness of the maximization problem. We show that the futures price can still be seen as the risk-neutral expectation of the spot price at maturity and we propose an explicit formula for the forward volatility. Moreover, we provide an heuristic analysis of the optimal solution for the production/storage/trading problem, in a Markovian setting. This approach is particularly interesting in the case of energy commodities, like electricity: this framework indeed remains suitable for commodities characterized by storability constraints, when standard no-arbitrage arguments cannot be safely applied.
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中文摘要：
在商品市场上，合约到期时，期货价格向现货价格趋同，通常是通过无套利论据来证明的。在本文中，我们提出了一种替代方法，该方法依赖于代理人的预期利润最大化问题，即在相关期货合约中交易时生产和储存商品。在这个框架下，通过最大化问题的适定性，现货和期货价格之间的关系成立。我们证明了期货价格仍然可以被视为到期时现货价格的风险中性预期，并提出了一个明确的远期波动率公式。此外，我们提供了一个启发式分析的最佳解决方案的生产/储存/贸易问题，在马尔可夫设置。在电力等能源商品的情况下，这种方法尤其有趣：当标准的无套利论据无法安全应用时，这种框架确实仍然适用于以可存储性约束为特征的商品。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> On_the_spot-futures_no-arbitrage_relations_in_commodity_markets.pdf (268.07 KB)

2022-5-7 07:21:15 上传

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关键词：商品市场 无套利 maximization Quantitative Mathematical

现货期货商品市场中的无套利关系*RenéA"id+，Luciano Campi，Delphine Lautier§2018年2月27日摘要在商品市场中，在合同到期时，期货价格向spo t价格的趋同通常由无套利论据证明。在本文中，我们提出了一种替代方法，该方法依赖于代理人的预期利润最大化问题，即在相关未来合同中交易时生产和储存商品。在此框架下，现货和期货价格之间的关系通过最大化问题的适定性得以保持。我们证明了期货价格仍然可以被视为到期时现货价格的风险中性预期，并提出了一个明确的远期波动率公式。此外，我们提供了一个启发式分析的最佳解决方案的生产/储存/贸易问题，在马尔可夫设置。在电力等能源商品的情况下，这种方法尤其有趣：当标准的无套利论点无法安全应用时，这种框架确实仍然适用于以可储存性约束为特征的商品。关键词：期货合约；无套利关系；商品生产；存储能量JEL代码：C32；G13；问题4；Q02。*这项研究得到了EDFand CACIB赞助的金融和可持续发展主席的支持，并由巴黎理工大学、巴黎大学、巴黎理工大学和克雷斯特大学主办。+巴黎多芬大学，巴黎理工大学，莱达通讯作者；伦敦经济学院统计系。邮政地址：伦敦霍顿街10号伦敦经济和政治学院哥伦比亚大厦统计部，WC2AE。

电邮：l。campi@lse.ac.uk§巴黎多芬大学、PSL研究型大学、DRM UMR CNRS 7088和FiME实验室——三月能源金融实验室。1简介在这篇文章中，我们的目的是通过一个简洁的模型来解释一种商品的现货价格和未来价格之间的关系。价格关系源于参与商品生产和（在可能的情况下）储存的操作员的优化问题的适定性。这家生产商也在未来的市场上交易。这种方法不同于通常用来解释商品市场时间基础的经典无套利推理。有趣的是，当标准的无套利论据无法安全应用时，它仍然适用于不可储存商品。传统的无套利关系最初是针对股票和债券等投资资产发展起来的，它指出，在t日观察到的在t交割的投资资产合约的期货价格F（t，t）是在t和t之间的利率r下资本化的现货价格ST:F（t，t）=Ster（t）-t） 。然而，运输商品的成本不能降低到利率。需要考虑仓库和/或折旧成本（见Fama and French，1987[24]或最近的Eydeland，2002[23]，第4章，第140-43页）。在分析中引入存储成本甚至不足以描述商品市场中价格传播的行为：此外，还需要解释负面预期，以及同时存在正向库存和反向价格（参见1933年工作[42]）。无套利关系只能通过引入一个额外变量来保持：便利收益率（见Kaldor，1940[27]或最近的Lautier，2009[30]）。后者代表着隐性收入。

这种收益率的存在与实物商品的持有有关，但与未来合同无关，这说明即使存在负价差，经营者也会保持库存。随着这个变量的引入，无套利关系扩展到：F（t，t）=Ste（r-y） （T）-t） ，其中y是扣除存储成本后的便利收益率。文献中已经广泛建立了明确设计用于商品衍生品定价并依赖便利收益率概念的金融模型（参见Lautier，2005[29]的综述）。这些模型表现良好，尤其是Schwartz（1997[40]）提出的双因素模型，其中便利收益率是均值回复，并在现货价格漂移中发挥股息收益率的作用。然而，在这种情况下，现货和期货价格之间的关系依赖于套利操作完美的假设。因此，存在一种独特的风险中性度量，可以根据市场数据进行校准。此外，在这种分析中，现货价格是外生的。在经济和金融文献中进行了一项研究，以提出依赖内生现货价格来解释现货和期货价格之间相互作用的结构性模型。在这种情况下，现货价格来源于商品的生产、消费和储存。在这种情况下，s罐价格是生产和消费平衡的结果。期货价格定义为对现货价格的预期。在这篇文献中，我们的模型与Brennan（1958[14]）和Routledge等人（2000[38]）的模型接近。在这些工作中，作者开发了将现货和期货价格联系起来的生产存储模型。

然而，这些模型的开发主要是为了允许比较静态和很少关于无套利条件的信息。然而，这并不意味着我们的框架仅与n有关的可存储商品，如电，也不意味着它专注于具有可存储输入的商品（A"id等人，2009年和2013年[1,3]）。当在t日，期货价格F（t，t）高于现货价格St时，出现正价差（续价差）。负价差（回差）是指F（t，t）<St.保持不变的情况（对于Routledge等人（2000[38]）的模型尤其如此）。过去三十年电力市场的发展给商品价格文献带来了新的挑战。更准确地说，由于电力无法储存，商品的期货价格通过便利收益率与其现货价格挂钩的观点一直备受争议。许多作者认为，便利收益率可能不适用于电力。尽管如此，电力的期货价格仍然表现出连续和反向两种情况（Benth等人，2013[11]）。其他人也强调，应重新考虑数学金融中用于获得风险中性度量的无套利方法（Benth等人，2003[7]）。最后，由于在这些市场上谈判的未来合同（基本上是掉期，见Frestad，2010[10]）的特殊性质，甚至期货价格与现货价格的趋同也成了一个问题（Viehmann，2011[41]）。由于在电力方面，衍生品的定价不能依赖于便利收益的概念——至少在其有限的初始定义中，收益来自库存持有——这种不可存储的商品促进了关于如何存储现货和期货价格之间关系的研究。

第一种方法依赖于两个日期均衡模型（Anderson和Hu，2008[5]，Bessembinder和Lemmon，2002[12]，Aid等人，2011[2]），其中风险中性度量是从代理人的风险规避参数中提取的。一种更复杂的方法是将市场扩展到基础资产之外，包括生产因素（A"id等人，2009年和2013年[1,3]）、生产限制（Bouchard和Nguyen Huu，2013[13]）或天然气储存水平（Douglas和Popova，2008[22]）。在本文中，我们提出了一个分析，其中期货价格可以通过套利参数与现货价格相关联，与标的资产的可存储性无关。然而，这并不意味着该模型是专门为不可储存商品设计的，例如Benth等人（2007[8]和2008[9]）、Meyers Brandisand Tankov（2008[32]）和Hess（2013[25]）等。我们的框架可以应用于任何商品，无论它是否可储存。这对在大宗商品期货市场上运营的大量工业公司非常有用，例如能源公用事业公司、航空公司、金属或农产品的生产商和加工商。这类公司的利润最大化依赖于现货价格和期货价格。在我们的框架内，一旦选择了现货价格模型和需求风险的市场价格，就只有一个期货价格模型符合它们的优化过程。文章的剩余部分组织如下。首先，我们首先提出了一个简单的生产、储存和交易模型，在该模型中，运营商将其预期效用最大化。该运营商对现货价格没有影响。存储成本和生产函数是凸的。存储容量是有限的。即时存储和提取也是如此。

此外，运营商可以进入衍生品市场，在该市场上交易商品期货。合同只在一个到期日进行谈判，期货市场的流动性是无限的。当然，经营者对期货价格没有影响。其次，我们证明了风险中性测度的存在是经营者价值函数不确定性的结果。这一结果与之前在Rogers（1994，[37]）和Ankirchner and Puller（2005[6]）中建立的纯交易者研究结果有关。这一结果意味着，如果没有风险中性措施，运营商可以利用其生产能力或存储设施的优势获得有限的效用。在同一节中，我们还证明了无论商品的可承受性如何，期货价格总是收敛于现货价格。这一结果非常重要，尤其是对电力市场的分析。事实上，有人指出，电力期货价格对实际现货价格的预测相当差（Prevot等人，2004年[35]）。然而，这项研究是针对月度合同进行的，而趋同问题只涉及接近于零的到期日。例如，在德国电力市场上报价的日前期货合同与实际现货价格的一致性较低（s ee Viehmann，2011[41]）。最后，我们讨论了运营商面临的贸易生产问题，并具体说明了需求动态。我们得到了未来合同波动性的显式公式，并将其与商品潜在条件需求的波动性联系起来。此外，我们认为，在马尔可夫环境中，对于具有powertype效用函数的代理，管理存储的最佳命令是bang-bang类型。

不令人惊讶的是，储存或撤回商品的决定是基于现货价格与一个储存单位的边际效用与经营者财富的边际效用之间的比率的比较。最后，在这种情况下，期货市场的最佳交易策略是，当期货价格呈现正趋势时，经营者持有多头头寸。2个体生产者的模型本节我们提供了生产、储存和交易的简单模型的完整描述。这一模型将在整篇文章中使用和研究。为了便于阅读，证据都集中在附录中。让(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，P）是一个满足通常条件的过滤概率空间，即（Ft）是一个P-完全且正确的连续过滤。此外，为了数学上的方便，我们假设-= FT.当（FT）是由多变量布朗运动产生的自然过滤时，该性质是满足的。本文中考虑的所有过程都假定在此空间中定义并适应此过滤。我们的代理人是一种商品的生产商。他还从事相关衍生品市场的交易。这位制作人是个价格接受者。在实体市场上，他有可能在特定日期出售他生产的全部产品，或更少（他然后储存部分产品），或更多（他然后减少库存）。在衍生品市场上，他有可能买入或卖出一定数量的独特期货合约。他的选择取决于他所面临的价格条件，包括实物市场和衍生品市场。接下来，我们将首先关注实体市场。

然后我们将揭露衍生市场上的交易活动。2.1在实体市场上，代理人有可能决定自己的产量，并动态管理自己的股票。他的瞬时概率πt可以写成如下：πt=（qt- ut）圣- c（qt）- k（Xt）（2.1）式中：oQT是代理人的产量，out是储存（ut>0）或提取（ut<0）的金额，oSTI是商品的现货价格，oc:R+→ R是生产函数，c（0）=0，ok:R+→ R是存储函数，k（0）=0，ox是时间t的存储水平。假设1。我们假设函数c和k都是可微分的、严格递增的、严格凸的和非负的。此外，我们将始终在以下关于现货价格动态的假设下工作：假设2。设（St）为有界连续过程。生产商在实体市场上面临几个限制。他们可以总结如下：o代理人的产量不能超过其能力q:qt∈ [0，q]对于某些q>0；o瞬时存储和提取是有限制的，ut∈ [u，u]对于给定的阈值su<0<u；o存储容量本身受到someX的限制≥ 0，这样我们就可以在现有的库存上加上p positivityConstraint∈ [0，X]a.s.适用于所有t∈ [0，T]；o存储动态为：dXt=utdt，X=u>0。为了简化，我们假设商品的生产不存在不确定性。不确定性的唯一来源来自需求方，这对于大量大宗商品来说是合理的。2.2衍生产品市场上的交易活动在衍生产品市场上，对于给定的到期日t>0，只有一份期货合约可用。本合同在t时的价格为Ft=F（t，t）。我们假设期货价格过程（Ft）是一个连续的半鞅，与过滤（Ft）相适应，并且利率为零。

本合约上交易组合的价值由以下公式给出：VθT=^TθtdFt（2.2），其中θ是任何实值可预测（Ft）-可积过程，使得θT-:= 极限↑我们认为期货市场是流动的，这在这种情况下是标准的。从实证角度来看，这是一个非常大的商品品种的情况，尤其是短期到期。然而，至少到目前为止，对于电力市场而言，这一点并不那么明显（A"id，2015[4]，第2章，第2.2.3节）。2.3生产交易问题作为商品生产者，代理人的行为是为了最大化其终端财富的预期效用。他的效用函数U:R+→ [-∞, ∞ [满足INDA条件，且U（x）→ ∞ 每当x→ ∞.