非寿险数据中的依赖性和重尾迹象

在研究公司和LOB之间的依赖关系时，我们还保留了Folksam的BLP数据。为了检查是否合并da ta ma kes s e nse，我们对每个LoB进行了Levene的方差相等测试（详见[9]和[2]）。测试统计数据W基于与中间值的绝对偏差。让uijbe表示观察到的第j个标准化损失，mibe表示观察到的第一公司标准化损失的中位数。如果zij=|uij- mi |，thenW=g（n）- 1） g- 1nPgi=1（\'zi·- \'z··）Pgi=1Pnj=1（zij）- “-zi·”），其中g是公司的数量，n是公司的观察数量，“\'zi·=Pnj=1zij/n”是公司平均值，\'z·=Pgi=1·/g”是商业测试统计（^W）p值疾病和事故1.93 0.14家庭0.36 0.78商业责任和财产（不含民谣）1.14 0.33汽车责任4.71 0.0066汽车责任（不含Trygg Hansa）0.64 0.54汽车其他0.82 0.49表3:Levene的测试观察值W统计和cor相应的p值。IA H BLP ML MO（Folksam，If）0.21 0.58-0.30 0.63（Folksam，LF）-0.09 0.93-0.17 0.78（Folksam，Trygg Hansa）-0.40 0.87 - -0.42 0.79（If，LF）0.18 0.67 0.51 0.14 0.79（If，Trygg Hansa）-0.25 0.51 -0.23-0.060.67（左前，尝试gg Hansa）0.320.79-0.31-0.04 0.76表4：根据斯皮尔曼ρ，各LoB公司之间的c级相关性。总体平均值。在假设所有样本的方差相等的情况下，W isF-与g一起分布- 1和g（n）- 1） 自由度。由于Trygg Ha nsa的机动车辆责任样本方差高于其他公司，因此我们在有和没有Trygg HANSA的情况下进行了Levene的测试。表3所示的测试统计数据清楚地表明，Trygg-Hansa的MOR负债差异与其他公司的差异不同。

对于其他LOB，似乎可以合理地得出结论，不同公司的样本具有相似的差异。请注意，FOLKSAM不包括在BLP样本集中。根据斯皮尔曼ρ，各LoB不同公司损失之间的等级相关性如表4所示，公司内部不同LoB损失之间的等级相关性如表5所示。我们选择皮尔曼ρ作为关联的度量，因为它既反对非正态性，又接近二元正态情况下的线性相关系数，ρ斯皮尔曼=π弧ρ线性。对于两个分别有11个观测值的独立样本，获得绝对值大于0.62的斯皮尔曼ρ的概率为5%。因此，对于LoBsHome和Motor Other，不同公司的损失不太可能是独立的，见表4。对于其他LOB，假设公司之间存在独立性似乎是合理的。根据表5中公司内部LOB之间分散的等级相关性，假设LOB之间存在独立性似乎是合理的，但家庭和汽车之间的独立性除外。对于所有公司来说，这是唯一一对具有相同符号相关性的组合。图2中的QQ图表明，LOB Home和Motor OTHER具有正态分布的损失，平均值接近z e ro。让UCH和UcMObethe分别承担c公司在LoB Home和Motor Other的损失。

我们使用简短的形式：F代表Folksam，I代表If，LF代表L–ansf–ors–akringar，TH代表TryggHansa，假设向量（UFH，UIH，ULFH，UTH，UFMO，UIMO，ULFMO，UHMO）是Folksam，如果LF代表nsa（IA，H）-0.22 0.26 -0.54-0.13（IA，BLP）－-0.22-0.27 0.30（IA，ML）-0.36-0.25-0.50 0.76（IA，MO）0.05-0.52-0.26-0.65（高，BLP）-0.29 0.16 0.34（高，毫升）0.60-0.34 0.53 -0.17（H，MO）0.58 0.27 0.65 0.52（BLP，ML）－-0.01-0.480.49（BLP，MO）-0.550.46-0.13（ML，MO）0.86-0.24 0.06 -0.56表5：根据斯皮尔曼ρ对公司内部LOB之间的相关性进行排名。由均值为零的多元正态分布和c矩阵∑得出=∑H∑H，MO∑H，MO∑MO,式中，∑H=σH1ρHρHρHρH1ρHρHρHρH1ρHρHρHρHρHρH,∑MO=σMO1ρMOρMOρMOρMO1ρMOρMOρMOρMO1ρMOρMOρMOρMOρMOρMO,和∑H，MO=σHσMOρρρρρρρρρρρρρρρρ.导致上述矩阵的假设是：o对于每个Lo B，所有公司的方差都是相同的，即Var（UcH）=σHand Var（UcMO）=σmof对于所有c，o对于每个LoB，每对公司之间的相关性都是相同的，即Corr（UcH，UcH）=ρHand Corr（UcMO，UcMO）=ρmof或c6 c，o在所有公司内部，住宅和汽车之间的相关性是相同的，即，Co rr（UcH，UcMO）=ρ对于所有c而言，一家公司的住宅和另一家公司的汽车之间的相关性对于每对公司都是相同的，即，对于c6=c而言，Corr（UcMO，UcMO）=ρ。由于Folksam在LoB汽车中的异常值，我们在样本中使用和不使用观察到的2001会计年度矢量来估计参数。

似然比检验强烈表明，在这两种情况下，ρ=ρ，最大似然参数估计值如表6所示。案例^σH^σMO^ρH^ρMO^ρ2001会计年度包括0.099 0.12 0.74 0.57 0.35 2001会计年度不包括0.10 0.096 0.75 0.52 0.64表6：家庭和汽车其他的最大似然参数估计。业务线形状（^ξ）量表（^β）疾病和事故0.088企业责任和财产（不含Folksam）0.16表7：广义帕累托参数的最大似然估计。用M表示家用和其他汽车的型号，让Mbe表示M的减少，ρ=0。检验统计量D=2(l（M）- l（M） ）在哪里l（Mi）是模型Mi的最大对数似然，近似χ-分布在零假设ρ=0下（见[3]第35-36页）。如果将2001会计年度包括在样本中，我们观察到^D=2.73，并且在无效假设下，sinceP（D>2.73）=0.099，那么在MandMis之间的选择并不明显。在下一节的SCR计算中，我们使用估算值^ρ=0.35。这种选择将产生比M更高的资本要求，但由于数据量有限，我们选择保守。如果2001会计年度不包括在样本中，我们观察到^D=16.1，因此在这种情况下，似然比t明确表明ρ6=0。对于疾病和事故，我们汇集了所有公司的数据；对于商业责任和财产，我们汇集了If、L F和Trygg-Hansa的数据；对于汽车责任，我们汇集了Folksam、If和LF的数据。这些决定基于本节前面进行的Le vene测试的结果。汽车责任数据接近正态分布。我们假设平均值为零，并估计2001会计年度有无Folksam观测的汇总数据的标准偏差σmla。

如果包括Folksam的200 1观察，我们得到^σML=0.050，如果不包括^σML=0.025。疾病和事故以及商业责任和财产的年度损失分布显示出重尾的迹象。对于这些LOB，我们使用最大似然法将PARETO（GP）分布推广到集合正损失。我们得到了表7所示的形状和比例参数估计值，相应的QQ图如图3所示。值得强调的是，不可能通过论证GP分布是一种限制性分布来证明选择GP分布的合理性。我们选择GP分布，因为它有几个参数，但仍然足够灵活，可以捕捉不同的尾部行为。5建模和SCR计算在本节中，我们为每家公司建立了简单的内部模型。此外，我们还建议如何使用来自所有四家公司的数据对每个LoB的边际损失分布和LoB之间的依赖性进行建模。我们根据这些模型计算了四家公司的SCR值。对于给定的公司，我们表示LoB的已发生和尚未发生cla ims的当前负债预测l 作者：Rl和Pl, 分别是a和letYl= Rl+ Pl. 我们希望为SCR计算创建一个模型，但只能访问给定公司的FSA数据。由于有限的-0.5 0.0 0.5-0.50.00.5正常QQ绘图0。0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.00.10.20.30.40.5GP QQ图-0.5 0.0 0.5-0.50.00.5磅。0.2 0.4 0.60.00.20.40.6图3：LOBS疾病、事故、商业责任和财产汇总数据的正常和广义帕累托QQ图。数据量我们建立了一个非常简单的内部模型，我们假设所有LOB都是独立的，并且利润率不是平均值为零的正态分布。

在我们的内部模型中，总损失分布的0.995分位数，即偿付能力II中准备金和资产负债风险的SCR，由CRINTERNAL=z0给出。995sXl∈{IA，H，BLP，ML，MO}（Y）lsl),哪里是z0。995≈ 2.58表示标准正态分布和s的0.995分位数l是LoB标准化d损失的标准偏差l. 使用2011会计年度的负债预测（见表9）和样本标准偏差（见表2）作为参数，为该内部模型计算的CR值如表11所示。请注意，报告中的精算师给出了V和稀有值，而PDE取决于作者的损失率定义（见（2）和（3））。现在，我们对所有公司使用FSA数据。根据我们在前几节中的发现，我们假设我们公司的总损失X是四个独立损失的总和X=Xa+XBLP+XML+XH，MO，其中Xa、XBLP和XML分别是LoB的疾病和事故损失、商业责任和财产损失，以及汽车责任，XH，MOi是LoB房屋和汽车其他的综合损失。此外，我们假设模型σHσMOρσF，I，LFMLσTHMLξIAβIAξBLPβBLP1 0.099 0.12 0.35 0.050 0.12 0.088 0.1620.10 0.096 0.64 0.025 0.12 0 0.088 0.16表8：基于集合FSA数据的模型中的参数假设。民谣如果兰斯福-阿克林格-汉萨洛夫RPV RPV RPIA 1.49 5.05 1.11 0.64 1.07 0.42 1.30 3.18 1.08 2.53 6.00 1.51H2。67 1.12 1.76 1.63 0.59 1.10 3.51 1.61 2.51 1.49 0.65 1.08BLP0。26 0.14 0.18 1.85 2.27 1.02 5.13 3.71 3.22 1.67 1.26 1.05 ML0。98 4.32 0.74 1.94 11.07 1.67 2.87 11.29 2.16 1.70 6.29 0.99MO1。96 0.18 1.13 3.50 0.34 2.19 3.62 0.60 2.45 2.11 0.39 1.44表9：2011财年的已赚保费和初步预测。

所有价值单位：十亿瑞典克朗XH，moi正态分布，均值为零，方差为（YHσH）+（YMOσMO）+2YHYMOσHσMOρ，oxml正态分布，均值为零，方差为（YMLσML），o对于l ∈ {IA，BL P}，Xl= BlZl, B在哪里l还有Zl你是独立的，Zl具有形状参数ξ的广义帕累托分布l和比例参数Ylβl, 和P（B）l= 1） =P（B）l= -1) = 0.5.我们使用2011会计年度的负债预测（见表9）以及表8所示的参数假设来计算总损失X分布的0.995分位数。模型1和模型2中的参数是前一节中的估计值，其中包括和不包括Folksam在汽车负债和汽车其他方面的异常值，在样品中。请注意，与其他三家公司相比，我们对瑞格汉莎采用了不同的汽车责任标准贬值。L evene的测试表明，Trygg Hansa的方差与其他公司的方差存在显著差异，因此我们使用表2中的样本标准差来计算Trygg Hansa，而不是汇总数据样本的标准差。还要注意的是，我们为所有公司提供了相同的业务责任和财产参数，尽管Folksam的数据被认为与其他公司的数据不同，因此不包括在汇总样本中。然而，由于Folksam的sBLP L oB与其他LOB相比较小，因此该假设不会对Folksam的总体SCR产生实质性影响。对于LOB的疾病和事故以及企业的责任和财产，在绝对值为gp且形状参数ξ=0的情况下，假设分布在零附近对称，即expo ne distributed。

特胡斯l ∈ {IA，BLP}，E[Xl] = 0，Var（X）l) = E[Xl] = E[Zl] = Var（Z）l) + E[Zl]= 2βl安德夫-1Xl（0.995）=F-1Zl(0.99) = - 对数（0.01）βl≈ 3.26pVar（Xl),F在哪里-1.表示逆分布函数，即分位数函数。因此，在这些LOB中，0.995分位数和标准偏差之间的比率比正态分布大。LoB（在偿付能力II中）VLoBpremVLoBresσLoBpremσLobRes医疗费用0.25VIA0。25RI10。050 0.050收入保障0.750。75里亚尔。085 0.14机动车辆责任VMLRML0。10 0.090其他电机VMORMO0。080 0.080火灾和财产损失0.9VH+0.8VBLP0。9RH+0.8RBLP0。080 0.10第三方责任0.1VH+0.2VBLP0。1RH+0.2RBLP0。14 0.11表10:Solvency II LoB细分和标准公式参数。6 Solvency II中的标准公式在本节中，我们使用Solvency II中的标准公式计算四家公司的SCR（详见[5]）。我们将e值与使用我们的模型计算的S值进行比较。为了使用Solvency II标准公式计算保费和准备金风险的SCR，我们必须使用指令中定义的LoB细分。疾病和事故包括两个Solvency II LOB；健康模块中的医疗费用（ME）和收入保护（IP）。我们假设25%的保费（和保留金）对应于医疗费用，75%对应于收入保障。汽车责任和其他汽车责任分别与Solvency II LoBsMotor Vehicle Responsibility（MVL）和其他汽车责任（OM）直接对应。这两个LOB都在非生命模块中。我们假设90%的房屋对应于Solvency II LoB火灾和财产损失（FPD），10%对应于第三方责任（TPL）。对于商业责任和财产，我们假设比例分别为80%和20%。火灾和财产损失以及第三方责任都在非生命模块中。

根据这些假设，我们分别得到了保费和reserverisk、VlobPrem和VLoBres的Solvency II交易量指标，如表10所示。在该表中，我们还可以看到监管机构规定的标准偏差。使用表10中的值，我们计算每个LoB的LoB VolumeMeaSureLob=VLoBprem+VLoBres（9）和LoB标准偏差σLoB=q（σLoBpremVLoBprem）+2ασLoBpremσLoBresVLoBpremVLoBres+（σLobResVlobResVlobRes）VLoB（10），其中，根据标准公式中的假设，相关系数α=0.5。LOB医疗费用和收入保障属于健康模块中的子模块NSLT Health。该子模块的体积测量值由VNonSLT Health=VME+VIP给出，标准偏差由σNonSLT Health=p（σMEVME）+2ρME，IPσMEσIPVMEVIP+（σIPVIP）VNonSLT Health给出，其中，假设相关系数ρME，IP=0.5。由于我们只考虑了前期和储备风险，健康模块的SCR由CRHealth=3σNonSLT HealthVNonSLT Health给出。（11） （11）背后的偿付能力II假设是，潜在风险遵循正态分布。对于Solvency II标准公式中考虑的标准偏差范围，0.995分位数约为3σ。现在，定义集合SNon life:={MVL，OM，FPD，TPL}包含非life模块中的LOB。非寿险模块的保费和准备金风险的量值由Vnon life=Xj给出∈SNon-lifeVj，标准偏差由σNon-life=VNon-lifesXi给出∈SNon-lifeXj∈SNon寿命ρi，jσiσjViVj，其中，假设相关系数为ρMVL，OM=0.5，ρMVL，FPD=0.25，ρMVL，TPL=0.5，ρOM，FPD=0.25，ρOM，TPL=0.25和ρFPD，TPL=0.25。由于我们只考虑溢价和储备风险，非寿命模块的SCR由CRNON life=3σNon lifeVNon life给出。在标准公式中，健康模块和非生命模块是独立的。

因此，我们得到了总的SCR bySCR=qSCRHealth+SCRNon寿命。再次注意，我们在本文中只考虑了保费和准备金风险。SCR值是使用表11所示的Solvency II标准公式计算的，同时SCR值是使用上一节的模型假设计算的。现在，对于每个瑞典LoBl, 让Vl是所有公司和公司的已赚保费之和l是2011会计年度所有公司已发生索赔的初始预测之和（见表9）。将这些值与表10中的比例和标准偏差以及等式（9）和（10）一起使用，我们得到了每个Solvency II LoB的标准偏差（σLoB）的基准值。瑞典LoBs汽车责任和其他汽车责任分别与Solvency II L oBs汽车责任和其他汽车责任直接对应。