非寿险数据中的依赖性和重尾迹象

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英文标题：
《Signs of dependence and heavy tails in non-life insurance data》
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作者：
Jonas Alm
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we study data from the yearly reports the four major Swedish non-life insurers have sent to the Swedish Financial Supervisory Authority (FSA). We aim at finding marginal distributions of, and dependence between, losses on the five largest lines of business (LoBs) in order to create models for Solvency Capital Requirement (SCR) calculation. We try to use data in an optimal way by sensibly defining an accounting year loss in terms of actuarial liability predictions, and by pooling observations from several companies when possible to decrease the uncertainty about the underlying distributions and their parameters. We find that dependence between LoBs is weaker in our data than what is assumed in the Solvency II standard formula. We also find dependence between companies that may affect financial stability, and must be taken into account when estimating loss distribution parameters. Moreover, we discuss under what circumstances an insurer is better (or worse) off using an internal model for SCR calculation instead of the standard formula.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了瑞典四大非寿险保险公司向瑞典金融监管局（FSA）提交的年度报告中的数据。我们的目标是找到五大业务线（LOB）损失的边际分布以及它们之间的依赖关系，以便创建偿付能力资本要求（SCR）计算模型。我们试图以最佳方式使用数据，通过精算负债预测合理地定义会计年度损失，并在可能的情况下汇集多家公司的观察结果，以减少潜在分布及其参数的不确定性。我们发现，与Solvency II标准公式中的假设相比，我们的数据中LOB之间的依赖性较弱。我们还发现，公司之间的依赖性可能会影响金融稳定，在估计损失分布参数时必须加以考虑。此外，我们还讨论了在什么情况下，保险公司最好（或更糟）使用内部模型来计算SCR，而不是使用标准公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：非寿险 依赖性 distribution observations Quantitative

非寿险数据中的依赖性和重尾迹象Jonas AlmChalmers理工大学，哥德堡，斯威登2018年5月3日摘要本文研究了瑞典四大非寿险保险公司发送给S wedish Financial Supervisory Authority（FSA）的年度报告中的数据。我们的目标是确定五大业务线（LOB）损失的边际分布及其相关性，以便为偿付能力资本要求（SCR）计算创建模型。我们试图以最佳方式使用数据，通过精算负债预测合理确定会计年度损失，并在可能的情况下汇集多家公司的观察结果，以减少有关基本分布及其参数的不确定性。我们发现，与SolvencyII标准公式中的假设相比，我们的数据中LOB之间的依赖性较弱。我们还发现，公司之间的依赖性可能会影响财务稳定性，在估计损失分布参数时必须予以考虑。此外，我们还讨论了在什么情况下，保险公司使用内部模型来计算偿付能力比标准公式更好（或更差）。1简介近年来，许多研究都集中在建立保险风险相关性模型的新方法上（例如[4]、[8]、[10]和[11]）。在依赖性估计数据稀缺的情况下，人们还做了一些有趣的工作（见[1]和[7]）。

在对保险损失进行建模时，针对边缘分布的研究较少；在偿付能力资本要求（SCR）计算的SolvencyII标准公式中，一个简单地假设对数正态分布，然后校准参数，以得到一个整体的SCR，对应于一年期间保险人基本自有资金的99.5%风险价值（VaR），即保险人一年损失分布的0.995分位数（详情见[6]）。在这种情况下，保险人的一年损失是保险人在一年期限内净负债价值的变化。如果我们只考虑资产负债表中负债方面的风险，那么一年损失就是从一年到下一年负债预测的变化。正如大多数从业者所知，当试图为保险公司提出合理的资本要求时，限制因素是缺乏有用的数据。作者的经验是，对于一家保险公司的每一个业务线（Lo B），人们所能期望的最好结果是大约20个年度损失观察值，而且这些观察值通常必须进行调整，以便被视为均匀分布的。如果一个人能够汇集来自各个公司的数据，观察者的数量将大幅增加，但由于该公司在很大程度上面临相同的风险，在汇集数据之前，必须仔细检查相关性。此外，测试来自不同公司的样本是否可以被视为来自同一分布至关重要。

例如，如果我们将来自不同方差的样本的数据汇集在一起，组合样本可能会显示出个体样本中不存在的重尾迹象。在本文中，我们研究了瑞典四大非寿险保险公司（Folksam、If、L–ansf–ors–akringar（LF）和Trygg Hansa）向瑞典金融监管局（FSA）（瑞典语为Finansinspektionen）提交的年度报告中的数据。我们的目标是找到五个LOB疾病和事故、家庭、商业责任和财产、汽车责任和其他汽车的边际分布和相互依赖关系，以创建基于FSA数据的SCR计算模型。我们调查数据中的依赖结构wesee是否与Solvency II标准公式中的依赖结构一致。此外，我们还试图发现公司之间存在依赖的迹象。公司之间过度依赖不利于财务稳定。此外，如果公司之间的依赖性不太强，我们可以汇集多家公司的数据，以减少损失分布参数估计中的不确定性。这是本文的概要：在第二部分中，我们介绍了符号，设置了负债现金流预测，并根据这些预测的变化定义了会计年度损失。我们在第3节中解释了FSA报告中的数据如何转化为损失。在第4节中，我们分析了保险损失数据的尾部权重，并研究了LOB和公司之间的相关性。在第5节中，我们给出了如何对边际分布和依赖性建模以计算SCR的建议，在第6节中，我们将我们的模型与Solvency II中的标准公式进行了比较。

第7节包含一个总结性讨论。2注释在本节中，我们将介绍本文将使用的注释。特别是，我们根据负债预测的变化确定会计年度。以固定公司和固定业务线为例，用Ci表示事故第一年和发展第j年的累计赔付额，j、 这是截至会计年度i+j结束时，因i年期间发生的事故而产生的索赔的总金额。在n时（即，会计年度n结束时），事故年度i累计索赔付款的精算最终预测由^C（n）i表示，最终预测，事故年度i的已赚保费由Vi表示。现在，考虑计算n+1年。在会计年度开始时，已经发生的索赔产生的现金流（未贴现）价值是过去k年预计付款的总和- 1个会计年度，R:=nXi=n-k+2^C（n）i，ultimo- Ci，n-我. （1） （我们使用字母R，因为该现金流的估值变化与准备金风险有关。）要对尚未发生的索赔产生的现金流进行估值，请确定损失率l（n） n+1:=nXi=n-m+1^C（n）i，ultimo，nXi=n-m+1Vi，（2）其中m是用于估算的年数。如果选择m，则从n+1年（尚未发生索赔）的索赔中增加的现金流a的价值isP:=Vn+1^l（n） n+1。（3） （我们使用字母P，因为该现金流的估值变化与溢价风险有关。）不，我们假设在计算年n+1开始时，Vn+1是已知的，但实际上，在年底之前，它并不完全已知。这不是一个很强的假设，因为与支付预测中的误差相比，实际保费的预测误差通常非常小。

此外，如果赚取的保费低于（高于）我们在会计年度开始时的预测，那么损失也将低于（高于），因此误差在很大程度上并不重要。目前，对未偿负债现金流总额的预测为：=R+P。（4）在会计年度结束时，我们有了新的信息，因此对上述现金流进行了新的估值。这些估值是r:=nXi=n-k+2^C（n+1）i，ultimo- Ci，n-我, （5） P:=^C（n+1）n+1，ultimo，（6）Y:=R+P.（7）我们将损失定义为未偿债务估值的积极变化。会计年度n+1的标准化服务水平s由u:=Y给出- YY。（8） 3数据在本节中，我们将解释我们在FSA报告中使用的数据，以及如何将这些数据转化为每家公司不同负债的损失。这些数据来自Folksam、If、LF和Trygg Hansahave发送给FSA的年度报告。我们考虑的五个LOB是：疾病和事故（IA）、家庭（H）、商业责任和财产（BLP）、汽车责任（ML）和汽车其他（MO）。报告中包含了每个LoB今天的累计索赔额，以及过去k年累计索赔额（名义值）的最终预测。对于LOB家庭和Motor OTHER，k=3；对于疾病和事故、商业责任和财产，k=10；对于机动责任，k=15。这些报告还包含最近三个事故年份的（名义）赚取保费值。已赚保费累计付款和ultimo predictionsCn-k+1，k-1^C（n）n-k+1，ultimoVn-2.越南-1Cn-1,1^C（n）n-1、ultimoVnCn、0^C（n）n、ultimoVn+1表1：被认为在时间n（即，会计年度n的结束或会计年度n+1的开始）已知的数据。表1显示了假定在时间n已知的FSA数据。如前一节所述，我们认为Vn+1在时间n时是已知的，尽管直到时间n+1时才完全知道。

对于每个会计年度，我们使用年初已知的数据，并使用（1）-（4）预测（Y）负债现金流，其中m=3（2）。然后，我们将时间向前推进，直到年底下一份报告可用，并使用（5）-（7）对相同的现金流做出新的预测（Y）。正常化的一年损失（U）现在由（8）给出。（1）、（5）和（6）中的最终预测是由不同公司的精算师做出的，但报告中没有说明所使用的方法。作者对上述标准化损失结构的唯一干预是（2）中的选择m=3。我们之所以做出这个选择，是因为我们在第一份可用的FSA报告中只有三年的保费数据。我们可以为以后的会计年度设定一个更长的周期，如果损失率保持不变，这可能会给出更好的预测。然而，我们有理由相信，定价程序的变化使损失率变得非平稳。如果我们使用m=1 orm=2，我们得到的正常化损失与m=3的情况非常相似。我们为这四家公司的五个LOB构建了1999至2011会计年度的标准化损失（U）。本文中考虑的报告是在1998年提出的，因此我们无法追溯到更久远的时间。如图1所示，第一至三个会计年度的数据质量值得怀疑。这可能是由于误报，例如，Folksam在Lob疾病和事故中的前两个标准化损失在情节中甚至不可见。Folksam也是LoB业务负债和财产中的一大正常化损失，在地块中不可见。

然而，由于Folk sam在2001年将大部分LoB出售给了Thrygg Hansa，对于Folksam这样规模的公司来说，绝对损失很小。对于LOB疾病、事故和机动车辆责任，我们始终有RI>>Pi（i=0，1），因此，在考虑的会计年度之前发生的重新估价和索赔付款是这些LOB损失的主要组成部分。对于LOB Home和Motor Other，我们始终有Pi>>Ri，因此在考虑的会计年度内发生的索赔的重估和支付是这些LOB损失的主要组成部分。对于LoB业务的责任和适当的责任，RIA和PIA的规模相似。4数据分析在本节中，我们研究了不同LoB的边际分布、特定LoB的公司之间的依赖关系，以及LoB与公司之间的依赖关系。2000 2005 2010-1-0.50.00.51.0IAFolksam2000 2005 2010-1-0.50.00.51.0If2000 2005 2010-1-0.50.00.51.0LF2000 2005 2010-1-0.50.00.51.0Trygg-Hansa2000 2005-2010-0.4-0.20.00.20.4H2000 2005 2010-0.4-0.20.00.20.42000 2005 2010-0.4-0.20.00.20.42000 2005 2010-0.4-0.20.00.20.42000 2005 2010-2.-1012BLP2000 2005 2010-2.-10122000 2005 2010-2.-10122000 2005 2010-2.-10122000 2005 2010-0.50.00.5ML2000 2005 2010-0.50.00.52000 2005 2010-0.50.00.52000 2005 2010-0.50.00.52000 2005 2010-0.50.00.5MO2000 2005 2010-0.50.00.52000 2005 2010-0.50.00.52000 2005 2010-0.50.00.5图1:1999年至2011年会计年度标准化损失es（U）的时间序列图。Folksam的损失中有三个在地块上看不到，两个在IAP，一个在BLP。在图1中，我们看到所有LOB和公司的标准化损失都是在z ero前后输入的，因此负债预测中没有明显的偏差。对于LoB汽车负债，Trygg Hansathan与其他三家公司的差异似乎更大。

作者不知道有任何保险事件比其他能够解释这一事实的公司对Trygg Hansa的影响更大。此外，至少从2004年开始，Lobs Home和Motor Other的损失似乎呈现出积极的趋势。2009/10年、2010/11年和2011/12年的冬季比21世纪第一年的冬季更冷。另一种假设是，竞争加剧，导致保费降低，因此基于历史损失率的预测值低估了未来的服务水平。在接下来的分析中，我们排除了所有LOB和公司在前两个会计年度因数据质量问题而产生的损失。图2中的QQplot表明，非正态分布是LOB Home、机动车辆责任和机动车辆其他损失边际分布的合理选择。Folksam有两个异常值，一个在运动负荷的左尾，另一个在运动负荷的左尾。这些异常值均来自2001会计年度，这是该期间的第三年，目前尚不清楚这些异常值是否是由于误报或某些保险事件而存在。

在LOB的疾病和事故以及商业责任和财产方面，数据中存在严重的尾部。如前一节所述，Folksam的业务责任和财产-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10-0.10-0.050.000.050.10IAFolksam-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4-0.4-0.20.00.20.4If-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.2-0.10.00.10.2LF-0.5 0.0 0.5-0.50.00.5Trygg-Hansa-0.1 0.0 0.1-0.10.00.1H-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.2-0.10.00.10.2-0.1 0.0 0.1-0.10.00.1-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.2-0.10.00.10.2-4.-2 0 2 4-6.-4.-20246BLP-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.2-0.10.00.10.2-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4-0.4-0.20.00.20.4-0.5 0.0 0.5-0.50.00.5-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.3-0.2-0.10.00.10.20.3ML-0.05 0.00 0.05-0.050.000.05-0.05 0.00 0.05-0.050.000.05-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.2-0.10.00.10.2-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4-0.4-0.20.00.20.4MO-0.10-0.05 0.00 0.05 0.10-0.10-0.050.000.050.10-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2-0.2-0.10.00.10.2-0.2 0.0 0.2-0.20.00.2图2：基于2001年至2011年会计年度标准化损失（U）的正常QQ图，假设每家公司的每个LoB的平均值为零。Folksam If LF Trygg Ha nsaIA 0.040 0 0.15 0.090 0.21H 0.082 0.10 0.092 0.12BLP 1.50 0.10 0.18 0.22ML 0.077 0.026 0.028 0.12MO 0.17 0.069 0.12 0.11表2：2001至2011会计年度标准化损失的样本标准偏差，假设每家公司的每个LoB均数为零。与Folksam的其他LoB和其他三家公司的BLP LoB相比，erty LoB都很小。Folksam的标准化BLP损失中有一个极端异常值（值为4.94），导致Folksam的样本标准偏差比其他三家公司大得多（见表2）。由于Folksam的规模和数据不同，在汇集BLP数据以改善分配假设和参数估计时，将Folksam包括在内是没有意义的。